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1 Perché le celle delle api hanno una struttura esagonale regolare? Università delle Liberetà appunti di marinella bassi 1 2 Il tessuto di molti vegetali e il pigmento della retina nei nostri occhi hanno anche una conformazione a esagoni regolari I radiolari (animali unicellulari che vivono in acque marine e non marine) hanno spesso uno scheletro regolarmente strutturato che dà all animale la forma di poliedro regolare La struttura a maglie regolari, in tecnologia, è la più resistente a parità di materiale usato La natura fabbrica cristalli di sale a forma di cubi Il cristallo di pirite (solfuro di ferro) è un dodecaedro regolare Il cristallo di diamante ha la forma di ottaedro piastrelle piastrelle piastrelle 4 1

2 e s a g n i quadrati Tassellatura di Penrose triangoli equilateri Si utilizzano due rombi con angoli di 36 e e 144 per il primo e di 72 e e di 108 per il secondo tassellano un piano 5 6 Tassellatura di Penrose Penrose e John Conway hanno dimostrato che ci sono infiniti modi di coprire il piano con mattonelle di questi due tipi (nessuna di queste coperture è periodica) Le figure che si ottengono danno l impressione di tendere sempre alla regolarità ma di non riuscire mai a raggiungerla aquiloni e punte riempiono il piano 7 8 2

3 Escher ( ) lavoro simmetrico 21 Tassellatura del piano mediante riproduzione, per trasformazioni isometriche, di un unico motivo fondamentale Il pavimento del distretto della cattedrale di Wakefield Gran Bretagna 9 10 Studio di divisione regolare del piano con cavalieri china ed acquarello di Escher Una trasformazione si dice che è una isometria se due figure del piano che si corrispondono secondo quella trasformazione sono uguali Diciamo isometro un gruppo costituito da isometrie (traslazioni, rotazioni, ribaltamenti,... ) In questa tassellatura del piano euclideo,non solo i diversi cavalieri si corrispondono secondo trasformazioni di un gruppo isometro, ma si verifica anche che la linea che delimita ciascuno di essi delimita anche parti di altri 11 Tra l Ottocento e il Novecento furono scoperti tutti i gruppi isometri del piano ed il loro numero ( sono diciassette) Gli artisti arabi nell Alhambra (a Granada) riprodussero tutti i 17 gruppi isometri, con tecniche di mosaico o di intarsio o con la lavorazione dello stucco a incisione o a stampo Oss. La costruzione dell Alhambra ebbe inizio nel

4 Alcuni particolari delle decorazioni che ricoprono pareti, pavimenti, soffitti, colonne ed arcate Interno di una delle sale dell dell Alhambra di Granada ricordiamo che tassellatura del piano mediante riproduzione, per trasformazioni isometriche, di un unico motivo fondamentale la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto la somma degli angoli interni di un poligono (convesso) vale tanti angoli piatti quanto è il numero dei vertici del poligono meno due la somma degli angoli esterni di un poligono è un invariante

5 alcuni esercizi PAVIMENTAZIONI Si propongono alcuni tipi di pavimentazione con mattonelle non tutte uguali, verificare che i poligoni sono regolari 1. E possibile realizzare una pavimentazione con ottagoni regolari? e con decagoni regolari? 2. Si può realizzare una pavimentazione accostando esagoni regolari e triangoli equilateri di ugual lato? 3. Accostare due pentagoni regolari e un decagono regolare di ugual lato e verificare che si riempie un angolo giro. Far vedere che, però, non si può costruire una pavimentazione 4. In alcune vetrate del XVI secolo si trovano esagoni regolari e parallelogrammi di cui due lati sono doppi degli altri due. Di quanti gradi devono essere gli angoli dei parallelogrammi? (v. figura) Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero ( ) V + F S = 2 (V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli) Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e tutti gli angoloidi sono uguali Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono più di cinque poliedri regolari La formula di Eulero è valida per poliedri semplici, cioè poliedri la S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro) cui superficie può essere trasformata per deformazione continua se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e nella 19 superficie di una sfera 20 S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) Infatti Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n (n 3) lati e che a ciascun vertice si incontrino r (r 3) spigoli n F =2 S (ogni spigolo appartiene a due facce) e inoltre r V = 2 S (ogni spigolo contiene due vertici) da cui 2 S 2 S _ S 2 + = n r... (*) 1/n + 1/r = 1/2 + 1/S ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e 5

6 I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) L angoloide in V diminuisce V L angoloide in V aumenta V tetraedro esaedro o cubo ottaedro dodecaedro icosaedro L angoloide in V si schiaccia sul piano α γ β Sulla porta d ingresso della scuola di Platone era scritto Non entri nessuno che sia ignorante di geometria La somma degli angoli che delimitano un angoloide deve essere minore di 360 Non entri nessuno che sia ignorante di geometria Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice 3 60 = 180 Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice = 240 Tre quadrati concorrono in un vertice 3 90 = 270 Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 60 = 240 Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 60 =

7 Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un triangolo Facciamo una semplice osservazione: se cammino attorno ad un edificio di forma poligonale, mi ritrovo alla fine al punto di partenza Tassellatura di Penrose

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