Campo magnetico stazionario

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1 Campo magneco sazonaro (versone del 3--) Equazon fondamenal Equazon per l campo magneco H J B H B n d J n d Equazon d legame maerale ezzo lneare soropo B H H ) ( ezzo non lneare B B(H) m H

2 Poenzale veore Il veore nduzone magneca è solenodale B E possble esprmere B come roore d un veore A deo poenzale veore magneco (unà d msura Tm) B A La condzone precedene non defnsce A n modo unvoco: nfa se s consdera un veore A defno come A A rsula A A ( = generca funzone scalare) A 3 Poenzale veore può dmosrare (eorema d Clebsh) che un campo veorale è unvocamene deermnao se s assegnano n ogn puno valor del suo roore e della sua dvergenza Per defnre unvocamene A, s devono assegnare delle condzon sulla sua dvergenza el caso del campo magneco sazonaro convene mporre la condzone A (scela d Coulomb) In queso modo, se l mezzo è lneare soropo e omogeneo s oene: B H J B H B A B J A A A J 4

3 Poenzale veore d una dsrbuzone volumerca d correne Il poenzale veore magneco soddsfa l equazone d Posson veorale A J el caso d una dsrbuzone d correne con densà J all nerno d un volume, la soluzone dell equazone è A(P) 4 J(Q) d r ( L negrale è valuao facendo varare Q su ) 5 Poenzale veore d una correne flforme consdera l caso d un conduore flforme d sezone che s svluppa lungo una lnea e è la correne nel conduore rsula Jd J osuendo nell espressone d A s oene A(P) 4 r A dfferenza dell espressone precedene, quesa non può essere ulzzaa per valuare l campo n un puno del conduore perché dverge In praca, l approssmazone d conduore flforme vale solo per pun suffcenemene lonan dal conduore 6

4 Campo magneco d una correne flforme oo A, s deermna B medane la relazone B(P) P A(P) P 4 r Il pedce P ndca che l roore è valuao rspeo alle coordnae del puno P Ulzzando l denà veorale (s v) s v s v s oene B(P) P r P 4 r Il secondo addendo è nullo perchè non dpende dalle coordnae del puno P n cu s valua l campo 7 Campo magneco d una correne flforme Qund s oene B(P) Da quesa relazone, dao che P r r r s rcava l espressone fnale d B r 4 B(P) 4 P r r r d versore dreo dal puno Q verso l puno P 8

5 Campo magneco d un elemeno d correne Il veore nduzone magneca rsula espresso come somma d nfn conrbu del po db 4 r r Quesa relazone corrsponde alla prma legge d Laplace e formalmene può essere nerpreaa come l espressone del campo prodoo da un elemeno nfnesmo d correne 9 Campo magneco d una dsrbuzone volumerca d correne Procedendo n modo smle, nel caso d una dsrbuzone volumerca d correne s può dmosrare che l espressone dell nduzone magneca è B(P) 4 J(Q) r r d

6 Tub d flusso d nduzone magneca Il veore B è solenodale I ub d flusso d B non possono avere sezon ermnal, qund devono chus (evenualmene all nfno) Il flusso d B araverso ogn sezone rasversale d un ubo d flusso assume lo sesso valore B n d Poenzale scalare magneco consdera un ronco d ubo d flusso d B delmao da due superfc rasversal A e B orogonal alle lnee d flusso assume che all nerno del ubo d flusso l mezzo sa lneare soropo e all nerno del ronco d ubo d flusso la densà d correne J è nulla s ha H Dao che la regone nerna al ronco d ubo d flusso è semplcemene connessa, n ale regone è possble defnre un poenzale scalare magneco [unà d msura A] H A e B sono orogonal anche alle lnee d campo d H sono due superfc equpoenzal

7 Tensone magneca La ensone magneca [A] ra le due superfc ermnal del ronco d ubo d flusso è ( A) ( B) H dove A e B sono due generc pun, rspevamene, d A e B e l negrale è valuao su una qualunque lnea, neramene conenua nel ronco d ubo d flusso, che collega pun A e B 3 luanza e permeanza defnsce rluanza [unà d msura henry - = H - ] del ronco d ubo d flusso compreso ra le superfc equpoenzal A e B l rapporo ra la ensone magneca e l flusso d nduzone magneca Il recproco della rluanza è deo permeanza [unà d msura henry, H] P H B d B n d H La rluanza e la permeanza non dpendono da B e da H, ma solo dalla geomera del ubo d flusso e dalla permeablà del maerale 4

8 Analoga ra campo magneco sazonaro e campo d correne sazonaro Il campo magneco sazonaro n una regone n cu non sono presen dsrbuzon d correne e l campo d correne sazonaro n una regone n cu non sono presen camp mpress sono governa da equazon sml Β J Campo magneco sazonaro H B H Campo d correne sazonaro La defnzone d rluanza d un ubo d flusso d B è analoga alla defnzone d ressenza d un ubo d flusso d J E H V B d J n d luanza essenza E J E 5 Legge d Hopnson La ensone magneca ra le sezon ermnal d un ronco d ubo d flusso d B e l flusso magneco araverso l ubo sono legae dalla relazone (analoga alla legge d Ohm) e qund P / Legge d Hopnson P 6

9 Deermnazone della rluanza Per calcolare è convenene fare concdere con una lnea d campo con una superfce equpoenzale (sezone normale) In queso modo n B e H sono parallel a Qund, enendo cono del fao che l flusso d B ha lo sesso valore su ue le sezon rasversal, s può esprmere nella forma l H ( x) dx B d l H ( x) ( x) B d dx l lunghezza d x ascssa curvlnea lungo 7 luanza d un ubo d flusso flforme e l area della sezone rasversale è molo pccola ( ubo flforme) s può assumere che l nduzone magneca B e la permeablà sano unform sulla superfce sa B che dpendono solo da x L espressone della rluanza è l H ( x) dx B( x) d ( x) ( A(x) area sella sezone (x) ) l H ( x) dx ( x) H ( x) e la permeablà e l area della sezone hanno valore cosane n uo l ronco d ubo d flusso, s oene l A ( x) d l dx ( x) A( x) 8

10 Tubo d flusso con smmere parcolar L espressone l dx ( x) A( x) non vale solo nel caso d ub d flusso flform, ma può essere ulzzaa n u cas n cu la permeablà e l nduzone magneca sono unform sulla sezone normale del ubo d flusso In alcun cas parcolar s può rconoscere che B deve essere unforme a conseguenza d propreà d smmera del ssema 9 luanza d un ubo d flusso generco Un ubo d flusso non flforme può essere suddvso n un nseme d ub d flusso flform elemenar, le cu sezon ermnal sono conenue nelle superfc A e B Al -esmo ubo d flusso elemenare è assocao l flusso Per u ub d flusso la ensone magneca è par alla dfferenza d poenzale ra le superfc A e B Per cascun ubo elemenare, applcando l procedmeno precedene, s può defnre la rluanza, daa da

11 luanza d un ubo d flusso generco Il flusso magneco oale è dao dalla somma de fluss de ub elemenar Qund la rluanza oale è Dao che le dpendono solo dalla confgurazone geomerca e dalla permeablà, lo sesso vale anche per Tub d flusso chus Un ubo d flusso chuso d B cosusce un crcuo magneco elemenare Pù n generale crcu magnec possono avere sruure pù complesse (ramfcae) Per ogn ubo d flusso chuso deve necessaramene essere dversa da zero la correne concaenaa Infa, n assenza d correne concaenaa, per ogn lnea d campo d H conenua nel ubo d flusso s avrebbe H Dao che l verso d H lungo una sua lnea d campo è cosane, queso rchederebbe H e qund anche B

12 Legge d Hopnson per un crcuo magneco In presenza d corren concaenae, dalla legge d Ampere s oene Per un ubo d flusso chuso la legge d Hopnson assume la forma c In parcolare, se l ubo d flusso è concaenao con un avvolgmeno formao da spre e percorso da una correne, s ha H c B d La correne concaenaa c è dea forza magneomorce (f.m.m.) (ha un ruolo analogo a quello della f.e.m. n un crcuo elerco) 3 Crcu magnec Per l campo magneco sazonaro è possble svluppare un modello crcuale analogo a quello defno per crcu elerc A parre dalle equazon fondamenal è possble dervare legg analoghe alle legg d Krchhoff per crcu elerc fruando le analoge ra le equazon de crcu elerc e de crcu magnec è possble rcondurre lo sudo d un crcuo magneco all anals d un crcuo elerco equvalene Il modello crcuale è ulzzable solo ne cas n cu l andameno de ub d flusso d B è noo a pror ssem doa d parcolar smmere crcu magnec cosu da maeral con permeablà molo elevaa rspeo a quella de mezz crcosan 4

13 Crcu magnec ad elevaa permeablà Dal puno d vsa del comporameno magneco non essono maeral analogh agl solan (Tu mezz, vuoo compreso, sono magnecamene permeabl) enre le conducblà de buon conduor e quelle degl solan possono dfferre d 8-4 ordn d grandezza, le permeablà magneche possono dfferre, al pù, d 5-6 ordn d grandezza Esempo: Crcuo magneco cosuo da un maerale ad elevaa permeablà ( ) crcondao da un mezzo con permeablà relavamene bassa ( ) ono possbl due p d lnee d flusso a) lnee che s svluppano neramene nel mezzo ad elevaa permeablà b) lnee che n pare s svluppano nel mezzo a bassa permeablà 5 Crcu magnec ad elevaa permeablà consderano due ub d flusso flform aven ass concden con le lnee a e b Dalla legge d Hopnson s oene a a b Dao che l ubo d flusso b comprende un rao a bassa permeablà rsula b a b E possble rascurare l flusso dovuo a lnee del po b e consderare l anello d maerale ad elevaa permeablà come un ubo d flusso d B b a 6

14 Legge d Krchhoff per fluss magnec La somma algebrca de fluss de ram che araversano una superfce chusa è nulla In parcolare s ha che: La somma algebrca de fluss de ram afferen ad un nodo è nulla Quesa legge è drea conseguenza del fao che B è solenodale B n d B n d Legge d Krchhoff per le enson magneche La somma algebrca delle enson magneche de ram d una magla è uguale alla forza magneomorce concaenaa con la magla sessa Quesa legge s oene dreamene dalla legge d Ampere H H e la forza magneomorce è prodoa da un nseme d avvolgmen concaena con la magla C

15 Vers d rfermeno delle f.m.m. f.m.m. f.m.m. Alle f.m.m. degl avvolgmen s assocano vers d rfermeno orena relavamene a vers delle corren secondo la regola della mano desra A secondo membro dell equazone d una magla, alla f.m.m. d un avvolgmeno s arbusce segno se l suo verso d rfermeno è concorde con l verso della magla, segno se è dscorde 9 Analoge ra crcu elerc e crcu magnec Crcu elerc v (f.e.m.) e v Crcu magnec (f.m.m.) e 3

16 Esempo l l l l l Crcu magnec con raferr In alcun cas, n un crcuo magneco s possono avere delle nerruzon del maerale ad elevaa permeablà (raferr) La presenza d raferr d pccolo spessore non alera n modo sgnfcavo l andameno delle lnee d flusso d B (s hanno degl effe d bordo, spesso rascurabl) 3

17 Crcu magnec con raferr Qualora sa necessaro enere cono degl effe d bordo, s può valuare la rluanza de raferr assumendo un area effcace > ( = sezone del nucleo n corrspondenza del raferro) Un meodo emprco per defnre l area effcace consse nell aggungere un bordo d larghezza par allo spessore del raferro I raferr possono alerare noevolmene l enà de fluss magnec, dao che le loro rluanze possono essere molo elevae anche per valor modes dello spessore pesso le rluanze de ra d maerale ad elevaa permeablà rsulano rascurabl rspeo alle rluanze de raferr el crcuo elerco equvalene ra ad elevaa permeablà corrspondono a conduor deal e raferr a corrspondono a ressor 33 Esempo Traferr d uguale spessore luanza d un raferro: 34

18 Coeffcen d auo e muua nduzone consderano due crcu elerc e percors dalle corren e e mmers n un mezzo lneare soropo In quesa poes le equazon che descrvono l campo magneco generao dalle corren sono lnear I fluss d nduzone magneca concaena con due avvolgmen sono funzon lnear delle corren e 35 Coeffcen d auo e muua nduzone Le espresson de fluss sono del po c c L L I coeffcen L e L sono de coeffcen d auonduzone o (auo)nduanze de crcu e (unà d msura henry, H) I coeffcen e sono de coeffcen d muua nduzone o muue nduanze de crcu e (unà d msura henry, H) può dmosrare che rsula sempre verfcaa l uguaglanza qund s può parlare d un unco coeffcene d muua nduzone ra due crcu 36

19 37 Coeffcen d auo e muua nduzone Il coeffcene d auonduzone L rappresena l rapporo ra l flusso concaenao con l crcuo e la correne, quando la correne nell alro crcuo è nulla Il coeffcene d muua nduzone rappresena l rapporo ra l flusso concaenao con l crcuo e la correne nell alro crcuo valuao quando la correne è nulla c L c L c c 38 Coeffcen d auo e muua nduzone Le defnzon d coeffcen d auo e muua nduzone possono essere generalzzae al caso d crcu In queso caso rsula dove Inolre s ha c c c L L L h c h L h h j h j c j h

20 egn de coeffcen d auo e muua nduzone L Il coeffcene d auonduzone è sempre posvo Il coeffcene d muua nduzone può essere posvo o negavo a seconda d come sono defn vers d rfermeno 39 Flusso nel nucleo Fluss concaena con gl avvolgmen c c Esempo Coeffcen d auo e muua nduzone l L L 4

21 4 Esempo Flusso nel nucleo Fluss concaena con gl avvolgmen Coeffcen d auo e muua nduzone l c c L L 4 Uguaglanza de coeffcen d muua nduzone Espressone del flusso concaenao con un crcuo n funzone del poenzale veore I poenzal veor corrsponden alle due corren e sono Espresson de coeffcen d muua nduzone (formule d eumann) d d A n A n B 4 4 r r A A 4 r A 4 r A