LINGUAGGI FORMALI E AUTOMI

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1 LINGUAGGI FORMALI E AUTOMI (DISPENSE) ALBERTO BERTONI, BEATRICE PALANO 1

2 Cpitolo 1: Linguggi e Grmmtiche 1. Monoide delle prole, Linguggi e operzioni tr linguggi In generle, con linguggio si intende l cpcità d'uso e l'uso stesso di un qulunque sistem di simoli dtti comunicre. Quest ccezione è del tutto generle: si prl di linguggio dell music o del cinem, così come di linguggi di progrmmzione. Un esempio importnte è il linguggio nturle, scritto o prlto. V osservt l profond differenz tr il linguggio prlto e quello scritto: nel primo cso, il messggio è veicolto d un segnle custico continuo, in cui è difficile rilevre l seprzione tr lettere o prole, mentre nel secondo il messggio è codificto d un sequenz di crtteri tipogrfici e spzi inchi. Un testo nel linguggio scritto può quindi essere visto come un sequenz finit di simoli scelti d un insieme finito prefissto di simoli come {,.., z, A,.., Z,., ;, :,!,, - (= spzio )}. Nturlmente non ogni sequenz di simoli è riconosciut essere un testo del linguggio: tutti riconoscono che l sequenz mi-illumino-di-immenso è un frse dell itlino scritto, mentre miil-lumi-nodiimmen-so non lo è. Un importnte e difficile oiettivo dell linguistic è quello di dre un rigoros descrizione di un linguggio scritto, specificndo quli frsi sono formte correttmente. Di prticolre interesse sono i linguggi rtificili, importnti strumenti per l comuniczione uomomcchin. Ad esempio, il linguggio C è descritto dlle sequenze di crtteri che un compiltore C ccett per tle linguggio. Fcendo strzione dgli esempi precedenti, possimo or introdurre l nozione di linguggio formle. Si consider per prim cos un ritrrio insieme finito Σ ={ 1, 2 n }, detto lfeto, i cui elementi sono detti simoli. Un prol (o string) su un lfeto Σ è un sequenz finit di simoli pprtenenti Σ; d esempio, e sono due prole sull lfeto {,}. E conveniente considerre l prol non contenente lcun simolo: ess srà dett prol vuot e indict con il simolo ε. Dt un prol w, l lunghezz di w (denott con l(w) oppure w ) è il numero di simoli che compongono w. L lunghezz dell prol vuot è 0. Dto un lfeto Σ, l insieme di tutte le prole che si possono ottenere d Σ viene indicto come Σ*, mentre l insieme di tutte le prole che si possono ottenere d Σ trnne l prol vuot viene indicto come Σ +. Dte due prole v = x 1 x n e w = y 1 y m, si dice prodotto di giustpposizione di v e w (e si indic come v w) l prol z = x 1 x n y 1 y m. Si osservi che l(x y) = l(x) + l(y) Il prodotto di giustpposizione è un operzione inri su Σ*, che gode dell proprietà ssocitiv e in cui ε è l elemento neutro: 1. (x y) z = x (y z) 2. x ε= ε x=x 2

3 Grzie queste due proprietà l insieme Σ* con l operzione di giustpposizione e l elemento neutro ε form un monoide. Più precismente, l tern (Σ*,, ε) è dett monoide liero generto d Σ. Dte le prole x, y diremo che x è prefisso di y se y=x z per qulche z, x è suffisso di y se y=zx per qulche z, x è fttore di y se y=z x w per qulche z e w. Un linguggio L è un qulunque sottoinsieme (finito o infinito) di Σ*. Il linguggio non contenente lcun prol viene detto linguggio vuoto e indicto con Ø. Si osservi che Ø è diverso dl linguggio { ε } contenente solo l prol vuot. I linguggi sono sottoinsiemi di Σ*, quindi si possono pplicre d essi le usuli operzioni oolene: 1. Unione: dti linguggi L 1 e L 2, il linguggio L 1 L 2 contiene tutte le prole che pprtengono s L 1 oppure L Intersezione: dti linguggi L 1 e L 2, il linguggio L 1 L 2 contiene tutte le prole che pprtengono si L 1 che L Complemento: il linguggio L c contiene tutte le prole che non stnno in L. Si osservi che l unione e intersezione di linguggi finiti è ncor un linguggio finito, mentre il complemento di un linguggio finito è un linguggio infinito. Aimo introdotto in Σ* il prodotto di giustpposizione. Due nturli operzioni indotte sui linguggi grzie ll giustpposizione sono il prodotto e l chiusur di Kleene: 1. Prodotto: dti linguggi L 1 e L 2, il loro prodotto è il linguggio L 1 L 2 ={xy x L 1 e y L 2. Poiché il prodotto è ssocitivo, possimo definire l potenz L k, dove L 0 = { ε } L k+1 = L k L. 2. Chiusur di Kleene: dto un linguggio L, l su chiusur è il linguggio L*= L 0 L 1 L k = U k L k =0 dove L 0 = ε e L n è= L L n-1, cioè il prodotto di L per sé stesso n volte. Ponimo ulteriormente L + = U k L k =1 Si osservi che L* è un sottomonoide di Σ*, ed in prticolre è il più piccolo dei monoidi che contengono L. Un linguggio L è un codice se ogni prol in L + è univocmente decomponiile come prodotto di prole di L. Ad esempio, L={,, } non è un codice, poichè l prol L + e può essere scompost in due modi diversi come prodotto di prole in L: = =. E invece fcile osservre che L = ={, } è un codice. 3

4 2. Rppresentzione di Linguggi: genertori e riconoscitori. Un linguggio L è un insieme di prole su un dto lfeto. Come è possiile dre un descrizione di L? Due soluzioni sono: 1. Se L è finito, può essere rppresentto estensivmente elencndo tutte le sue prole: L = {w 1, w 2 w n }. 2. Se L è infinito, potremo rppresentrlo solo intensivmente, ttrverso cioè un proprietà P(w), descriviile con un quntità finit di informzione, che risult ver solo su tutte le prole di L: L={w P(w)=1 }. Due importnti metodi per rppresentre linguggi infiniti sono quello genertivo e quello riconoscitivo. Dl punto di vist riconoscitivo, un linguggio L è descritto d un lgoritmo A che, vendo in ingresso un prol w, dà in uscit 1 se w L, 0 se w L: l lgoritmo A, detto riconoscitore, clcol dunque l funzione crtteristic del linguggio L, cioè l funzione χ L (w) = se w L llor 1 ltrimenti 0. Non tutti il linguggi mmettono un riconoscitore: linguggi che mmettono riconoscitori sono detti ricorsivi o decidiili. In questo corso introdurremo riconoscitori come gli utomi stti finiti e gli utomi pil, per sottoclssi di linguggi ricorsivi. Osservimo che l funzione crtteristic del complemento di L è esttmente 1- χ L (w); se χ L (w) è clcolile medinte un lgoritmo, lo è nche 1- χ L (w), e questo implic che il complemento di un linguggio ricorsivo è ricorsivo. Dl punto di vist genertivo, un linguggio L è descritto medinte un procedur che gener in modo sistemtico tutte le prole del linguggio. Quest viene usulmente dt ttrverso un sistem genertivo ( o sistem formle o clcolo logico), descritto d un relzione V(w,d), con w vriile su Σ* e d vriile su U*, dove U è un opportuno lfeto. Tle relzione deve verificre le seguenti condizioni: 1. Se V(w,d) = 1 llor w L (correttezz) e, se w L, llor esiste d U* per cui V(w,d) = 1 (completezz); se V(w,d) = 1 si suole dire che d è un dimostrzione ( o testimone) di w. 2. V è clcolile d un lgoritmo A, esiste cioè un lgoritmo A che, vendo in ingresso le prole w e d, dà in uscit 1 se V(w,d) = 1, 0 se V(w,d) = 0. Osservimo che L={w d V(w,d)=1 }. Non tutti il linguggi mmettono un sistem genertivo: linguggi che mmettono sistemi genertivi sono detti ricorsivmente numerili o semidecidiili. In questo corso introdurremo sistemi genertivi come le grmmtiche, cpci di generre tutti i linguggi ricorsivmente numerili. Chirmente, se un linguggio L mmette un riconoscitore, llor mmette nche un sistem genertivo. Questo implic che ogni linguggio ricorsivo è nche ricorsivmente numerile. Se invece L mmette un sistem genertivo, in generle è solo possiile costruire un procedur (cioè un lgoritmo A che può non terminre), che vendo in ingresso un prol w, dà in uscit 1 se w L, 4

5 non termin oppure dà in uscit 0 se w L. A tl rigurdo, si consideri un nturle codific di interi con prole di U*: diremo u n l prol che codific l intero n. Se V(w,d) è l relzione stilit dl clcolo logico per L, l procedur A è l seguente: Procedur A( w: prol di Σ*) n=0 while V(w,u n )=0 do n=n+1 return(1) Se inftti w L, esiste un n per cui V(w,u n )=1; l procedur A di conseguenz termin e restituisce 1. Se invece w L, per ogni n vle che V(w,u n )=0; in questo cso l procedur A non termin. Esistono linguggi L ricorsivmente numerili il cui complemento non è ricorsivmente numerile. Tli linguggi non sono ricorsivi: se inftti L fosse ricorsivo, nche il suo complemento L c sree ricorsivo e quindi ricorsivmente numerile. Possimo concludere che, dto un sistem genertivo per L, non necessrimente esiste un lgoritmo che termin sempre e che riconosce L. 3. Un esempio di sistem genertivo: le grmmtiche Considerimo il seguente insieme di regole descritte informlmente, che permettono l generzione di lcune frsi dell itlino: 1. Un <Frse> è l giustpposizione di un <Soggetto>, di un <Predicto>, di un <Complemento>. 2. Un <Soggetto> è l giustpposizione di un <Articolo> e di un <Nome>. 3. Un <Complemento> è l giustpposizione di un <Articolo> e di un <Nome>. 4. Un <Articolo> è il. 5. Un <Nome> è cne oppure gtto oppure topo 6. Un <Predicto> è mngi oppure teme Esempi di frsi generte sono il gtto mngi il topo oppure il cne teme il gtto. Osservimo che tli frsi sono prole sull lfeto {il, cne, gtto, topo, mngi, teme}, quindi le regole precedenti denotno un linguggio L { il, cne, gtto, topo, mngi, teme}*, mentre i simoli <Frse>, <Soggetto>, <Complemento>, <Predicto>, <Articolo>, <Nome> sono utilizzti per generre tle linguggio, m non fn prte di prole del linguggio: essi vengono quindi detti metsimoli o simoli non terminli, mentre {il, cne, gtto, topo, mngi, teme} sono detti simoli terminli (o semplicemente simoli). Le regole 1,2,3,4,5,6 possono essere interprette come regole di produzione come segue: <Frse> <Soggetto> <Predicto> <Complemento> <Soggetto> <Articolo> <Nome> <Articolo> il <Nome> cne / gtto / topo <Predicto> mngi / teme Un regol di produzione è dt quindi d un coppi α β, dove α (prte sinistr) è un prol non vuot di simoli (terminli o non) e β, in modo nlogo, un prol di simoli (terminli o non); si osservi che nel nostro cso l prte sinistr di un regol è sempre costituit d un solo metsimolo. 5

6 L ppliczione di un regol del tipo α β d un prol xαy produce l prol xβy, ottenut sostituendo il fttore α con β; l ppliczione dell regol srà denott xαy xβy. Dte due prole w e z, diremo w *z se z può essere ottenuto d w pplicndo un numero finito di regole di produzione; nel nostro cso, d esempio, possimo rilevre che: <Frse> * il cne teme il gtto Inftti: <Frse> <Soggetto> <Predicto> <Complemento> <Articolo> <Nome> <Predicto> <Complemento> il <Nome> <Predicto> <Complemento> il cne <Predicto> <Complemento> il cne teme <Complemento> il cne teme <Articolo> <Nome> il cne teme il <Nome> il cne teme il gtto Si noti che nell derivzione precedente le regole di produzione sono stte pplicte in ogni prol l primo metsimolo d sinistr. Il linguggio generto è formto dlle prole w { il, cne, gtto, topo, mngi, teme}* tli che <Frse> *w. Il metsimolo <Frse> gioc quindi il prticolre ruolo di prol scelt inizilmente e viene chimto ssiom. Un rppresentzione grfic dell precedente derivzione è dt dl seguente lero: <Frse> <Soggetto> <Predicto> <Complemento> <Articolo> <Nome> teme <Articolo> <Nome> il cne il gtto Astrendo dll esempio precedente, simo pronti d introdurre in generle il concetto di grmmtic G e di linguggio L(G) generto d G. Definizione 3.1: un grmmtic G è un qudrupl < Σ,Q,P,S> dove: 1. Σ e Q sono due lfeti finiti disgiunti, rispettivmente di simoli terminli e metsimoli (o simoli non terminli). 2. P è un insieme finito di regole di produzione; un regol di produzione è un coppi α β di prole con α ( Σ Q) + e β ( Σ Q)*. 3. S è un elemento in Q, detto ssiom o simolo di prtenz. Fisst un grmmtic G, dte due prole w,z ( Σ Q)* diremo che z è derivile in G d w in un psso, scrivendo w G z, se w = xαy, z = xβy e α β è un regol in P. 6

7 Un derivzione di z d w in G è un sequenz w G w 1 G w 2 G G w m z, per cui si w G w 1,..., w i G w i+1.., w m G z; diremo infine che z è derivile in G d w, scrivendo w G * z, se w=z oppure se esiste un derivzione di z d w in G. Il linguggio L(G) generto dll grmmtic G è l insieme di prole sull lfeto Σ derivili dll ssiom S, cioè: L(G) = {w w Σ* e S G * w } Due grmmtiche G 1 e G 2 sono dette equivlenti se generno lo stesso linguggio, cioè se L(G 1 )=L(G 2 ) Osservimo che un derivzione d è un prol in ( Σ Q { G })* ; considerimo or l seguente funzione: V(w,d) = se d è un derivzione di w d S in G llor 1 ltrimenti 0 E fcile disegnre un lgoritmo che clcol V, ed inoltre L={w d V(w,d)=1}. Possimo concludere che se il linguggio L è generto d un grmmtic G llor L è ricorsivmente numerile; è possiile mostrre nche l proposizione invers: se L è ricorsivmente numerile, llor si può trovre un grmmtic G per cui L=L(G). Esempio 3.1: Si L il linguggio formto dlle espressioni prentesizzte ottenute prtire d vriili x,y, d costnti 0,1, contenenti operzioni *, +. E chirmente L {x, y, 0, 1, *, +. (, ) }*; per esempio, ((x+1)*y) L mentre x)+01) L. L può essere generto dll seguente grmmtic: 1. Alfeto terminle Σ={x, y, 0, 1,., +. (, ) }.. 2. Alfeto non terminle Q={<Espressione>,<Vrieile>,<Costnte>,<Operzione> } 3. Regole di produzione P: <Espressione> <Costnte> / <Vriile> / ( <espressione> <operzione> <espressione> ) <Costnte> 0 / 1 <Vriile> x / y <Operzione> + / * 4. Assiom S = <Espressione> <Espressione> ( <Espressione> <Operzione> <Espressione> ) <Costnte> + 0 ( <Espressione> <Operzione> <Espressione> ) <Vriile> * <Costnte> x 1 7

8 Il precedente lero identific un derivzione dell prol (0+(x*1)), dimostrndo che tle prol è un espressione prentesizzt corrett. Esempio 3.2: Si L il linguggio ={ n n c n n 1}. L può essere generto dll seguente grmmtic: 1 Alfeto terminle Σ={,,c }.. 2 Alfeto non terminle Q={S, B, C } 3 Regole di produzione P: S SBC, S BC, CB BC, B, B, C c 4. Assiom: S, cc cc L prol n n c n può essere derivt come segue: S G * n-1 S(BC) n-1 n-1 S(BC) n-1 G n (BC) n n (BC) n G * n B n C n n B n C n G n B n-1 C n n B n-1 C n G * n n C n n n C n G n n cc n-1 n n cc n- G * n n c n ppliczione itert dell regol S SBC ppliczione itert dell regol S BC ppliczione itert dell regol CB BC ppliczione dell regol B ppliczione itert dell regol B ppliczione dell regol C c ppliczione itert dell regol cc cc Le prole che non sono del tipo n n c n non possono invece essere derivte. 4. Clssificzione delle grmmtiche e gerrchi di Chomsky E possiile clssificre le grmmtiche in funzione del tipo di regol di produzione. Un interessnte clssificzione è quell propost d Chomsky in se considerzioni di crttere linguistico e di semplicità di trttzione mtemtic. Viene considert un gerrchi decrescente di quttro tipi di grmmtiche: 1. Grmmtiche di tipo 0: le regole di produzione sono ritrrie. 2. Grmmtiche di tipo 1: ogni regol di produzione α β dell grmmtic deve essere tle che l(β) l(α) ; è permess l regol S ε, se S è l ssiom, ptto che S non compi nell prte destr di nessun ltr regol. L grmmtic presentt in Esempio 3.2 è di tipo Grmmtiche di tipo 2: ogni regol di produzione α β dell grmmtic è tle che α è un metsimolo. L grmmtic presentt in Esempio 3.1 è di tipo 2. Un ltro esempio è l seguente grmmtic G, che gener il linguggio di Dyck formto dlle prentesizzzioni corrette: G = < {(, )}, {S}, {S SS, S (S), S ε }, S> 4. Grmmtiche di tipo 3: ogni regol di produzione dell grmmtic è del tipo A σb, A σ o A ε, dove A, B sono ritrri metsimoli e σ un ritrrio simolo terminle. L seguente grmmtic G è di tipo 3 e gener il linguggio { 2n n>0}: G = < {}, {S,A}, {S A, A S, A }, S> 8

9 Ogni grmmtic G gener un linguggio L(G). Un clssificzione delle grmmtiche port d un nturle clssificzione dei linguggi. Definizione 4.1: un linguggio L è detto di tipo k (k=0,1,2,3) se esiste un grmmtic G di tipo k tle che L = L(G). Indichimo con R k l clsse dei linguggi di tipo k (k=0,1,2,3). Chirmente le grmmtiche di tipo k sono un sottoinsieme proprio delle grmmtiche di tipo j, se k<j. Questo implic l seguente relzione di inclusione per le clssi R k : E possiile mostrre che tle inclusione è propri: R 3 R 2 R 1 R 0 Proposizione 4.1: R 3 R 2 R 1 R 0 Dim.: - R 3 R 2 : come mostreremo in seguito, il linguggio { n n n 1} R 3 ; per contro { n n n 1} R 2 in qunto generile dll grmmtic G = < {,}, {S}, {S S, S }, S>. - R 2 R 1 : come mostreremo in seguito, il linguggio { n n n n 1} R 2 ; per contro tle linguggio è generto d un grmmtic di tipo 1 (si ved Esempio 3.2) - R 1 R 0 : sppimo che esistono linguggi ricorsivmente numerili che non sono ricorsivi. Bst llor provre che ogni linguggio L R 1 è ricorsivo. A tl rigurdo, dto L generto d un grmmtic G= < Σ,Q,P,S> di tipo 1, fisst un prol w Σ*, si consideri il grfo orientto finito GR(w) che h come insieme di vertici le prole z ( Σ Q)* con l(w) l(z) e come rchi le coppie (x,y) per cui x G y. Osservimo che w L se e solo se c è un derivzione S G w 1,..., w i G w i+1.., w m G w con l(w) l(w m ). l(w 1 ) l(s)=1, poiché se α β è un regol di produzione dell grmmtic vle l(β) l(α). Possimo concludere che w L se e solo se in GR(w) c è un cmmino d S w. Un lgoritmo riconoscitore per L è llor il seguente: Input ( w ) 1. Costruisci GR(w) 2. If in GR(w) c è un cmmino d S w then return(1) else return(0) I linguggi di tipo 0 coincidono, come imo visto, coi linguggi ricorsivmente numerili. I linguggi di tipo 1 sono nche detti dipendenti dl contesto o contestuli, mentre quelli di tipo 2 sono detti nche lieri dl contesto o non contestuli. Quest terminologi deriv dl ftto che un regol A β, con A metsimolo e β prol non vuot, è dett non contestule, mentre l regol xay xβy, con xy ( Σ Q) +, è dett contestule. L prim può essere pplict ll prol gah, producendo l prol gβh, per qulsivogli g,h, mentre l second può essere pplict ll prol gah, producendo nche in questo cso l prol gβh, m solo in certi contesti, e precismente se x è suffisso di g e y è prefisso di h. Ogni grmmtic con regole di produzione contestuli è dett contestule e un linguggio generto d un grmmtic contestule è detto dipendente dl contesto. Poiché ogni grmmtic contestule è chirmente di tipo 1 ed è possiile provre che per ogni grmmtic G di tipo 1 esiste un grmmtic G contestule che gener lo stesso linguggio, i linguggi di tipo 1 sono esttmente i linguggi dipendenti dl contesto. 9

10 I linguggi di tipo 3, infine, sono detti nche linguggi regolri. 5. Linguggi regolri e lieri dl contesto. In questo corso l interesse è dedicto i linguggi di tipo 2 o 3; introducimo qui lcune nozioni e risultti specifici per queste clssi. Comincimo col richimre che un linguggio è di tipo 3 se esiste un grmmtic di tipo 3 che lo gener. E tuttvi possiile che un grmmtic G non di tipo 3 generi un linguggio di tipo 3; in questo cso deve nturlmente esistere un grmmtic G di tipo 3 equivlente G. Esistono quindi clssi di grmmtiche un po più generli di quelle di tipo 3 che tuttvi generno linguggi di tipo 3. Come esempio, considerimo le grmmtiche lineri destr: un grmmtic è dett linere destr se le sue produzioni sono del tipo A xb o A y, con A,B metsimoli e x,y prole di simoli terminli (eventulmente ε). Chirmente un grmmtic di tipo 3 è linere destr, mentre in generle non è vero il vicevers. Vle: Proposizione 5.1: se L è generto d un grmmtic linere destr, llor è di tipo 3. Dim. Il metodo dimostrtivo consiste nel trsformre l grmmtic linere in grmmtiche equivlenti, fino d ottenere un grmmtic equivlente di tipo 3. Dt un grmmtic linere G: - per ogni regol del tipo A σ 1 σ m B (m>1), si elimin tle regol dopo ver introdotto nuovi metsimoli e regole A σ 1 M 1, M 1 σ 2 M 2,, M m-1 σ m B; - stesso discorso per ogni regol del tipo A σ 1 σ m (m>1). Si ottiene in tl modo un grmmtic equivlente che contiene regole del tipo A σb, A σ, A ε, A B. Quest grmmtic non è di tipo 3 solo per l presenz di regole del tipo A B. - Allo scopo di eliminre regole di questo tipo, si considerino tutte le derivzioni del tipo F G * H, dove F e H sono metsimoli. Per ogni regol A σb si ggiungono or le regole F σh se F G *A e B G * H; inftti risult possiile nell grmmtic l seguente derivzione: F G * A G σb G * σh, che equivle riscrivere F come σh. - Anlogmente per ogni regol A σ (o A ε) si ggiungono le regole F σ (o F ε) se F G * A. - Possimo questo punto eliminre tutte le regole del tipo A B, ottenendo un grmmtic equivlente di tipo 3. Si osservi inoltre che ogni grmmtic di tipo 3 può essere trsformt in un equivlente contenente solo regole del tipo A σb, A ε. Bst introdurre un nuovo metsimolo M e l regol M ε, sostituendo poi ogni regol del tipo A σ con l regol A σm. Vle dunque: Proposizione 5.2: se L è di tipo 3, llor è generto d un grmmtic di tipo 3 contenenti solo regole del tipo A σb, A ε. E possiile trsformre ogni grmmtic di tipo 3 in un equivlente contenente solo regole del tipo A σb, A σ, eliminndo le regole del tipo A ε? In generle no, perché se L è generto d un grmmtic contenente solo regole del tipo A σb, A σ, llor ε L. Vle tuttvi: 10

11 Proposizione 5.3: se L è di tipo 3 con ε L, llor L=L {ε}, dove L è generto d un grmmtic con regole del tipo A σb, A σ. Dim. Si G l grmmtic di tipo 3 che gener L; per ogni regol in G di tipo A σb ggiungi regole del tipo A σ se B G * ε; elimin poi tutte le regole del tipo A ε. L grmmtic ottenut gener L. Un proposizione nlog, che dimo senz dimostrzione, vle per linguggi di tipo 2: Proposizione 5.4: se L è di tipo 2 con ε L, llor L=L {ε}, dove L è generto d un grmmtic con regole del tipo A x, con x (Σ Q) +. Cpitolo 2: Automi stti finiti 1. Sistemi stti Voglimo introdurre un sistem che modelli un semplice meccnismo di interzione con un sctol ner, dott di un ingresso e di un uscit. Supponimo che tle sistem poss ricevere in ingresso messggi, dti in un lfeto finito Σ = {σ 1,σ 2,,σ l }, e produrre in uscit un vlore in {0,1}che può essere osservto. Un esperimento sul sistem consiste nei due pssi: 1. Viene presentt un sequenz di messggi, descritt d un prol w Σ*. 2. Al termine, viene effettut un osservzione: se il risultto è 1 l prol viene ccettt, ltrimenti respint. Poiché possimo ccedere l sistem solo ttrverso esperimenti, il comportmento del sistem è descritto dll insieme di prole ccettte; questo sistem è quindi visto come riconoscitore di linguggi. Esso può essere modellto ttriuendo l sistem un insieme di possiili stti interni Q, con le seguenti richieste: 1. Ad ogni istnte il sistem si trov in un preciso stto q Q e questo stto può essere modificto solo ttrverso un messggio σ Σ invito in ingresso. L legge che descrive l modific di stto interno cust d un messggio è dt dll funzione di trnsizione (o di stto prossimo) δ: ΣxQ Q. Se il sistem si trov nello stto q ed rriv il messggio σ, il sistem pss nello stto δ(q, σ). 2. Prim dell rrivo di ogni messggio, il sistem si trov in uno stto inizile q o Q. 3. L osservzione sul sistem è descritt d un funzione di uscit λ: Q {0,1}: se il sistem è nello stto q, il risultto dell osservzione è λ(q). Si osservi che l funzione λ è univocmente individut ssegnndo l insieme di stti F = {q λ(q) =1}; tli stti sono detti stti finli. 11

12 Messggio in ingresso σ Σ Stto q Osservzione in uscit o {0,1} Formlmente: Definizione 1.1: Un utom stti A è un sistem A = < Q, Σ, δ, q o, F >, dove Q è un insieme di stti, Σ è un lfeto finito, δ: ΣxQ Q è l funzione di trnsizione, q o Q è lo stto inizile, F Q è l insieme degli stti finli che definisce un funzione λ: Q {0,1}, dove: λ(q) = se q F llor 1 ltrimenti 0 Se l insieme Q è finito, l utom è detto stti finiti. L funzione δ: ΣxQ Q può essere estes δ: Σ*xQ Q : se l prol w Σ* identific l sequenz di messggi inviti, δ(q, wσ) è lo stto in cui si trov il sistem, inizilizzto con q, dopo ver ricevuto w. L funzione δ: Σ*xQ Q è definit induttivmente d: 1. δ(q, ε)=q 2. δ(q, wσ)= δ(δ(w,q), σ) per ogni w Σ*. Il linguggio L(A) riconosciuto dll utom A è dto d: L(A) = {w w Σ* e δ(q o,w) F } = {w w Σ* e λ(δ( q o, w))=1 } Un utom stti finiti può essere ulteriormente rppresentto come digrmm degli stti, cioè come un grfo orientto in cui i vertici (indicti in circonferenze) rppresentno gli stti e i lti (etichettti con simoli di Σ ) le possiili trnsizioni tr stti. Lo stto inizile viene indicto con un frecci in ingresso mentre gli stti finli vengono indicti con un doppi circonferenz (vedere esempio 2.1). Esempio 2.1: si consideri l utom A= < Σ, Q, δ, q 0, F> dove: Σ={,} Q={q 1, q 2 } δ: {,}x{ q 1, q 2 } { q 1, q 2 } dt dll tell : δ A Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 q 2 q 1 Stto inizile: q 1 F={ q 2 } 12

13 Il suo digrmm stti è il seguente: q 1 q 2 Si osservi che ogni prol w Σ* induce nel digrmm degli stti un cmmino, dllo stto inizile q o d uno stto q, così che il linguggio ccettto dll utom corrispond i cmmini che portno dllo stto inizile in uno stto finle. Nel corso di questo cpitolo studimo gli utomi come riconoscitori di linguggi. In prticolre ffrontimo prolemi di sintesi (dto un linguggio, costruire un utom che lo riconosce) e di sintesi ottim (dto un linguggio, costruire il più piccolo utom che lo riconosce). Dimo poi due crtterizzzioni dell clsse dei linguggi riconosciut d utomi stti finiti. 2. Osservilità e indistinguiilità di stti. Dto un utom stti A = < Q, Σ, δ, q o, F >, il comportmento di A è il linguggio L(A) = {w w Σ* e δ(q o, w) F } = {w w Σ* e λ(δ(q o, w))=1 } Essenzilmente il comportmento è ottenuto di risultti degli esperimenti sull utom, poiché λ(δ(q o, w)) è il risultto di un osservzione dopo che l utom h processto l sequenz di messggi descritt dll prol w. Uno stto q Q è detto osservile se esiste un prol w Σ* per cui q = δ( q o, w); un utom A è detto osservile se tutti i suoi stti sono osservili. Esempio 2.2: nel seguente utom lo stto q 3 è irrggiungiile o non osservile, mentre q 1 e q 2 sono osservili: q 3 q 1 q 2 Gli stti non osservili in un utom sono irrilevnti per qunto rigurd il riconoscimento e possono essere trnquillmente soppressi rendendo l utom osservile: per questo motivo in seguito supponimo di trttre solo utomi osservili. 13

14 Dto un utom A = < Q, Σ, δ, q o, F >, due stti q,q Q sono indistinguiili se, per ogni prol w Σ* vle che λ(δ(q, w))= λ(δ(q, w)): non è cioè possiile distinguere con esperimenti il comportmento dell utom inizilizzto con q d quello inizilizzto con q. Se q e q sono indistinguiili, porremo q q, e diremo distinguiili due stti non indistinguiili. Proposizione 2.1: è un relzione di equivlenz, verific cioè le proprietà: 1. Riflessiv: q (q q) 2. Simmetric: q,q (q q q q) 3. Trnsitiv: q,q,q (q q e q q q q ). verific inoltre l proprietà: 4. Se q q, llor δ(q, z) δ(q, z) per ogni z Σ*. Dim. E immedito dll definizione mostrre che è un relzione di equivlenz. Verifichimo quindi solo l proprietà 4. Supponimo che q q. Per prole w,x Σ* vle che δ(δ(x, q), w)= δ(q, wx) e δ(δ(x, q,w))= δ(q, wx); ne segue che per ogni prol w Σ* vle λ(δ(δ(q,x),w))= λ(δ(q, wx))= λ(δ(q, wx))= λ(δ(δ(q,x),w)), poiché q q. Questo prov che δ(q,z)) (δ(q,z). Esempio 2.3: si consideri il seguente utom, rppresentto dl digrmm degli stti: q 2 q 0 q 1 q 3 q 4 In tle utom q 1 e q 3 sono indistinguiili, q 2 e q 4 sono indistinguiili mentre sono tutti gli stti q 0, q 1 e q 2 sono distinguiili tr loro. L presenz in un utom A di stti indistinguiili ci permette di costruire un nuovo utom A, ottenuto d A identificndo gli stti indistinguiili. A h meno stti di A pur riconoscendo lo stesso linguggio. Più precismente, osservimo che l relzione prtizion l insieme degli stti Q in clssi di equivlenz; indichimo con [q] l clsse di equivlenz contenente q, cioè l insieme di stti q con q q. Possimo or costruire un nuovo utom A che h come stti le clssi di equivlenz [q], come funzione di trnsizione δ([q], σ) = [δ(q, σ)], come stto inizile l clsse di equivlenz [q o ], come funzione λ l funzione λ([q] )= λ(q). 14

15 Si osservi che, cus dell Proposizione 2.1, tli definizioni sono en poste e che il nuovo utom riconosce lo stesso linguggio del precedente: L(A)=L(A ). Esempio 2.4: riprendendo Esempio 2.3, si ottiene l utom A dove: osservili: q 0 q 1 q 2 3. Sintesi di utomi Affrontimo in quest sezione il prolem di sintesi di utomi: dto un linguggio L Σ*, costruire un utom che riconosc L. Considereremo in prticolre il più grnde utom osservile che riconosce L e il minimo utom che riconosce L. Osservimo che un utom A ssoci d ogni prol w Σ* lo stto δ(q o,w), definendo dunque un funzione f: Σ* Q dove f(q)= δ(q o, w). In un utom osservile, per ogni stto q esiste un prol w Σ* tle che q= δ(q o, w): l funzione f risult quindi essere suriettiv. Nel più grnde utom osservile per un linguggio L prole diverse corrispondono stti diversi, cioè se w w deve essere δ( q o, w) δ( q o, w ). L funzione f: Σ* Q risult llor un corrispondenz iunivoc: indicheremo con [w] lo stto corrispondente ll prol w. Dto un linguggio L Σ*, il più grnde utom osservile per L è l utom G L = < Q, Σ, δ, q o, F > dove: 1. Q={[x] x Σ*} 2. δ([x], σ) = [xσ] 3. q o = [ε] 4. F = {[y] y L} Si osservi che gli stti di G L sono essenzilmente le prole in Σ*, quindi per qulsisi L l utom G L h sempre infiniti stti. 15

16 Esempio 3.1 Il grfo degli stti G L per il linguggio L={ n m m,n>0} è il seguente: [ε] [] [] [,] [,] [,] [,] [,,] [,,] [,,] [,,] [,,] [,,] [,,] [,,] Tornndo l cso generle, osservimo che due stti [x], [y] in G L sono indistinguiili se, per ogni w, xw L yw L. L utom minimo M L per L è ottenuto identificndo gli stti indistinguiili in G L, con l costruzione presentt in Sezione 2. Come ci si può spettre, l utom minimo è, fr tutti gli utomi che riconoscono lo stesso linguggio, quello che h il minimo numero di stti. Proposizione 3.1: Se A = < Q, Σ, δ, q o, F > è un utom che riconosce L, il numero di stti di M L non può superre quello di A. Dim. Sino [x], [y] due stti distinguiili in G L, e quindi per un opportun prol w vle d esempio che xw L m yw L. Allor gli stti δ(q o, x) e δ(q o, y) sono stti di A distinti, poiché λ(δ(δ(q o, x), w)= λ(δ(q o, xw)) = 1, m λ(δ(δ(q o, y), w)= λ(δ(q o, yw)) = 0. Sino or [x 1 ], [x 2 ], [x 3 ], tutti gli stti di M L ; poiché [x 1 ], [x 2 ], [x 3 ], sono stti distinguiili in G L, per qunto detto sopr δ(q o, x 1 ), δ(q o, x 2 ), δ(q o, x 3 ), sono stti distinti in A. A possiede lmeno tnti stti qunto M L, d cui l tesi. L utom minimo per un linguggio L può essere dunque determinto dl seguente procedimento: 1. Consider l utom G L (descritto d un lero con infiniti nodi) 2. Prtendo dll rdice [ε], visit l lero in mpiezz e modificlo, fino qundo ci sono nuovi nodi d visitre. Visitndo il nodo [wσ], cui rriv un rco etichettto σ dl nodo [w], se [wσ] è indistinguiile d un nodo [x] già precedentemente visitto llor colleg [w] [x] con un rco etichettto σ e cncell il sottolero di rdice [wσ]. 16

17 3. Il nodo inizile del grfo degli stti di è [ε], i nodi finli sono quelli del tipo [x] con x L. Esempio 3.2: Si L={ n m m,n>0}. Per costruire M L si prt visitre in mpiezz G L dll rdice [ε]. 1. [] è distinguiile d [ε], poiché ε L m L. 2. [] è distinguiile si d [ε] che d [], poiché L m ε L e L m L. 3. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 4. [] è distinguiile d [ε], d [] e d [], come si verific fcilmente (per esempio, [] è distinguiile d [] perché L m L). 5. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 6. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 7. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] [] con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 8. [] è indistinguiile d [], come si verific fcilmente. Colleg llor [] se stesso con un rco etichettto e sopprimi il sottolero di rdice []. 9. Non esistendo nuovi nodi d visitre, l costruzione è termint. L utom minimo per L={ n m m,n>0} è llor descritto dl seguente grfo degli stti: [ε] [] [] [,] Esempio 3.3: Si L={ n n n>0}. Osservimo che, in G L, per k,n>0 e se k n vle che [ k ] è distinguiile d [ n ], poichè n n L m k n L. Ne segue che in M L gli stti [], [ 2 ],, [ k ], sono distinti: l utom minimo contiene dunque infiniti stti, quindi il linguggio L={ n n n>0} non può essere riconosciuto d utomi stti finiti. 17

18 4. Automi stti finiti e grmmtiche di tipo 3 In quest sezione provimo che i linguggi regolri (di tipo 3) sono esttmente quelli riconosciuti d utomi stti finiti; gli utomi stti finiti risultno dunque i riconoscitori corrispondenti quei sistemi genertivi che sono le grmmtiche di tipo 3. Proposizione 4.1: Per ogni linguggio L riconosciuto d un utom stti finiti esiste un grmmtic G di tipo 3 tle che L=L G. Dim. Si A = < Q, Σ, δ, q o, F > un utom stti finiti che riconosce L. Dto A, costruimo l seguente grmmtic G=< Σ,Q,P, q o > dove: 1. L insieme dei metsimoli coincide con gli stti dell utom. 2. L ssiom è lo stto inizile. 3. q k σq j è un regol di produzione di G se q j = δ(q k, σ). 4. q k ε è un regol di produzione di G se q k F. Per induzione sull lunghezz dell prol, si prov che: (1) q j = δ( q 0, w) se e solo se q 0 G * w q j per ogni prol w Se l(w)=0, cioè w=ε, l proprietà (1) è verifict. Supponimo che l proprietà si verifict per tutte le prole di lunghezz l più n, e considerimo un prol wσ di lunghezz n+1. Supponimo che q j =δ( q 0, w) e che q= δ(q 0, wσ), così che q= δ(q j, σ) poiché δ(q 0, wσ)= δ(δ( q 0, w), σ),poiché l(w)=n, per ipotesi di induzione esiste un unico q j tle che q 0 G * w q j ; per l regol di costruzione dell grmmtic numero 3, l unic regol in G che permette di riscrivere q j con un prol inizinte per q è q j σq. Ne segue: q = δ(q 0, wσ) se e solo se q 0 G * wσq Se q j è stto finle, llor osservimo ulteriormente che q 0 G * w se e solo se q 0 G * wq j e q j è finle (per l regol di costruzione dell grmmtic numero 4). Concludimo che q 0 G * w se e solo se δ(q 0, w) F, che equivle dire: se e solo se w L. Esempio 4.1: Si dto il seguente utom, descritto dl digrmm degli stti: q 0 q 1 q 2 Il linguggio ccettto dll utom è generile dll grmmtic con ssiom q 0 e dlle seguenti regole di produzione: q 0 q 1, q 2 q 1, q 1 q 2, q 2 ε Aimo visto che, per ogni utom stti finiti è possiile costruire un grmmtic di tipo 3 che gener il linguggio riconosciuto dll utom. Ponimoci il prolem inverso: dt un grmmtic di tipo 3, costruire un utom che riconosce il linguggio generto dll grmmtic. 18

19 Si consideri, questo rigurdo, un grmmtic G =< Σ,Q,P,S> di tipo 3; per l Proposizione 5.2 in Cp.1 possimo supporre, senz perdit di generlità, che l grmmtic conteng solo regole del tipo A σb, A ε. Cercndo di invertire l costruzione dt in Proposizione 4.1, possimo costruire un grfo con rchi etichettti Σ come segue: 1. Vertici del grfo sono i metsimoli in Q. 2. Nel grfo c è un rco d A B etichettto σ se A σb è un produzione di G. 3. Nodo inizile è S 4. A è un nodo finle se A ε è un regol di G. Esempio 4.2: Dt l grmmtic G =< Σ,Q,P,S> con regole di produzione q 0 q 0 q 0 q 1 q 1 q 0 q 0 ε il grfo con rchi etichettti ssocito è il seguente: q 0 q 1 Interpretndo i metsimoli come stti, osservimo che il grfo precedente non è il grfo degli stti di un utom. In un utom, inftti, dto uno stto q e un simolo σ esiste un unico stto prossimo δ(σ,q); nel grfo precedente, ci sono invece due trnsizioni etichettte con σ che portno d q 0 due distinti stti q 0 e q 1. Possimo interpretre questo ftto come un specie di non determinismo: se il sistem si trov in un dto stto (d esempio q 0 ), l rrivo di un messggio non port necessrimente d uno stto prossimo univocmente individuto dllo stto presente e dl messggio, ensì port in uno tr un insieme di stti possiili (nel nostro esempio q 0 o q 1 ). Questo port ll seguente: Definizione 4.1: Un utom stti finiti non deterministico A è un sistem A = < Q, Σ, R, q o, s 0 >, dove Q è un insieme finito di stti, Σ è un lfeto finito, R QxΣxQ Q è l relzione di trnsizione (R si può nche indicre come R:QxΣ P(Q) dove P(Q) è l insieme delle prti di Q), q o Q è lo stto inizile, F Q è l insieme degli stti finli. Un prol w= x 1 x m è riconosciut dll utom non deterministico A se ess induce lmeno un cmmino s 0, s 1,, s m dllo stto inizile s 0 = q o uno stto finle s m F, cioè se: 1. s 0 = q o 2. R(s 0, x 1, s 1 )= = R(s k, x k+1, s k+1) = = R(s m-1, x m, s m )=1 3. s m F Il linguggio L(A) riconosciuto dll utom non deterministico A è l insieme delle prole riconosciute. 19

20 Osservimo che un utom stti finiti A = < Q, Σ, δ, q o, F > è un prticolre utom non deterministico A = < Q, Σ, R, q o, F >, in cui R(q, σ,q )=1 se e solo se q =δ(q, σ). L relzione R è equivlente in tl cso d un funzione δ: ΣxQ Q, ed ogni prol w= x 1 x m induce un unico cmmino prtente dllo stto inizile. Ovvimente esistono utomi stti finiti non deterministici che non sono utomi stti (si ved Esempio 4.2 ). Ciò nonostnte, i linguggi riconosciuti d utomi non deterministici coincidono con quelli riconosciuti d utomi deterministici: Proposizione 4.2: Per ogni linguggio L riconosciuto d un utom stti finiti non deterministico finiti esiste un utom stti finiti che lo riconosce. Dim. Si A = < Q, Σ, R, q o, F > un utom stti finiti non deterministico che riconosce L. Possimo costruire il seguente utom deterministico A = < Q', Σ, δ, q o, F > che riconosce lo stesso linguggio come segue: 1. Q = 2 Q, cioè gli stti del nuovo utom A sono i sottoinsiemi degli stti di A. 2. Se X Q, llor δ(x, σ)={q R(q,σ,q )=1 e q X}, cioè δ(x, σ) è l insieme di stti ccessiili d X con un rco etichettto con σ. 3. q o = { q o } 4. F = {X X Q e X F Ø}, cioè F è formto di sottoinsiemi di Q che contengono lmeno un stto in F. Per induzione sull lunghezz dell prol, cus delle condizioni 2. e 3. di dimostr fcilmente che: δ( q o, x 1 x m,) = {q x 1 x m induce un cmmino q o, s 1,, s m d q o llo stto s m = q} Per l 4. segue infine che x 1 x m è riconosciut d A se e solo se è riconosciut d A. Esempio 4.2: Si L il linguggio riconosciuto dll utom non deterministico descritto dl seguente grfo: q 0 q 1 Un utom deterministico equivlente, ottenuto con l costruzione mostrt in Proposizione 4.2, è il seguente: Ø {q 0 } {q 0, q 1 } 20

21 Not ene: nel grfo così ottenuto non viene visulizzto lo stto {q 1 } in qunto tle stto non è osservile. Possimo questo punto concludere: Teorem 4.1. Le due seguenti ffermzioni sono equivlenti: (1) L è generto d un grmmtic di tipo 3. (2) L è riconosciuto d un utom stti finiti Dim. (1) implic (2). E il contenuto di Proposizione 4.1. (2) implic (1). Dt un grmmtic G di tipo 3 che gener L, si costruisce il grfo etichettto ssocito, che può essere interpretto come utom stti finiti non deterministico che riconosce L. Si costruisce infine come in Proposizione 4.2 un utom stti finiti che riconosce L. In Proposizione 4.2 imo mostrto che per ogni utom non deterministico stti finiti esiste un utom deterministico equivlente. V per contro osservto che, se l utom non deterministico h M stti, il nuovo utom deterministico può vere fino 2 M stti, cos che rende inutilizzile l costruzione in molte ppliczioni. 5. Automi stti finiti e espressioni regolri In quest sezione introducimo un clsse di espressioni (le espressioni regolri) ed ssocimo in modo nturle d ogni espressione un linguggio. Mostrimo poi che l clsse di linguggi denotti d espressioni regolri è l clsse di linguggi riconosciuti d utomi stti finiti (Teorem di Kleene). Definizione 5.1: Dto un lfeto Σ, le espressioni regolri su Σ sono definite induttivmente: 1. Ø, ε, σ (per σ Σ) sono espressioni regolri 2. se p, q sono espressioni regolri, llor (p+q), (p.q), (p*) sono espressioni regolri Richimimo or che, dti linguggi L 1, L 2 e L sull lfeto Σ: 1. Unione di L 1 e L 2 è il linguggio L 1 L 2 ={x x L 1 o x L 2 } 2. Prodotto di L 1 e L 2 è il linguggio L 1. L 2 ={xy x L 1 e y L 2 } 3. Chiusur (di Kleene) di L è il linguggio L*= L 0 L 1 L k = U L k =0 Ad ogni espressione regolre p ssocimo un linguggio L (e diremo che p denot L) come segue: 1. Ø denot il linguggio vuoto, ε denot il linguggio {ε}, σ denot il linguggio {σ} 2. se p,q,m denotno rispettivmente L 1, L 2 e L, llor (p+q), (pq), (m*) denotno rispettivmente L 1 L 2, L 1. L 2, L*. Esempio 5.1: ***+()* è un espressione regolre che denot il linguggio L dove: L = {w w= j k l (j,k,l 0) o w=() k (k 0)}. Il linguggio {w w= 2k+1 ( k 0) } è denotto dll espressione regolre.()*, oppure d ()* o ()*()* (o d ltre ncor). k 21

22 Osservimo che le espressioni regolri denotno linguggi in modo composizionle: un dt espressione indic le operzioni di unione, prodotto e chiusur che, pplicte i linguggi-se Ø, {ε}, {σ}, permettono di ottenere il linguggio denotto. Questo permette l uso di tecniche induttive per mostrre proprietà dei linguggi denotti d espressioni regolri. Ad esempio, per mostrre che un proprietà P vle per tutti i linguggi denotti d espressioni regolri, st provre che: 1. Il linguggi se Ø, {ε}, {σ} verificno l proprietà P 2. Se i linguggi A,B verificno l proprietà P, llor A B, AB, A* verificno l proprietà P. Esempio 5.2: Dt un prol w=x 1 x 2.. x m, l su trspost w R è l prol w R = x m x m-1.. x 1 ; dto un linguggio L, il suo trsposto L R è il linguggio {w w R L}. Voglimo provre che se L è denotto d un espressione regolre, llor nche L R lo è. A tl rigurdo, st osservre: 1. Ø R = Ø, {ε} R = {ε}, {σ} R = {σ} 2. (A B) R = A R B R, (AB) R = B R A R, (A*) R = (A R )* Le regole precedenti permettono, conoscendo l espressione che denot L, di costruire l espressione che denot L R. Per esempio, se (+)(c+)* denot L, llor (c+)*(+) denot L R. I linguggi denotti d espressioni regolri sono tutti e soli quelli riconosciuti d utomi stti finiti, come enuncito nel seguente: Teorem (di Kleene) 5.1: Le due seguenti ffermzioni sono equivlenti: (1) L è denotto d un espressione regolre (2) L è riconosciuto d un utom stti finiti Dim. (1) implic (2). Bst provre che: 1. Ø, {ε}, {σ} sono riconosciuti d utomi stti finiti 2. Se A, B sono riconosciuti d utomi stti finiti, llor A B, AB, A* lo sono. Per il punto 1., st osservre che: σ sono utomi che riconoscono rispettivmente Ø, {ε}, {σ}. Per il punto 2., supponimo che A,B sino riconosciuti d utomi stti finiti. Per l Proposizione 4.1, A è generto d un grmmtic G =< Σ,Q,P,S > di tipo 3 e B è generto d un grmmtic G =< Σ,Q,P,S > di tipo 3. Senz perdit di generlità, possimo supporre che le regole sino del tipo q k σq j oppure q k ε, ed inoltre che Q e Q sino insiemi disgiunti. Si verific fcilmente che:. A B è generto dll grmmtic G 1 =< Σ,Q 1,P 1,S 1 >, dove Q 1 contiene i metsimoli in Q, i metsimoli in Q e un nuovo metsimolo S 1, mentre P 1 contiene le regole in P, le regole in P e le nuove regole S 1 S, S 1 S. 22

23 . AB è generto dll grmmtic G 2 =< Σ,Q 2,P 2,S >, dove Q 2 contiene i metsimoli in Q e in Q, mentre P 1 contiene le regole in P, d esclusione di quelle del tipo q ε, tutte le regole in P e le nuove regole q S per ogni metsimolo q in Q per cui q ε è un regol in P. c. A* è generto dll grmmtic G 3 =< Σ,Q, P 3, S >, dove P 3 contiene le regole in P più le nuove regole q S per ogni metsimolo q in Q per cui q ε è un regol in P. (2) implic (1) Si L riconosciuto dll utom stti finiti A = < Q, Σ, δ, q o, F >; voglimo esiire un espressione regolre che denot L. A tl rigurdo, per ogni stto q k considerimo l utom A k = < Q, Σ, δ, q k, F > che differisce d A solo per lo stto inizile, che è q k nziché q 0. Si X k il linguggio riconosciuto d A k, così che L=X 0. Osservimo che: 1. ε X k se e solo se q k è stto finle. 2. σw X k se e solo se δ(q k,σ)=q j e w X j. Per ogni stto finle q k, possimo quindi scrivere l equzione: X k = {ε} ( σ Σ,δ(qk, σ)=qj σ X j ) Anlogmente, per ogni stto non finle q s possimo scrivere l equzione: X s = ( σ Σ,δ(σ,qs)=qj σ X j ) Aimo or un sistem in cui le incognite sono linguggi; il numero di incognite è inoltre pri l numero delle equzioni. V segnlto inoltre che il sistem è linere destr (l prte sinistr di ogni equzione è un vriile, mentre l prte destr è un unione di prodotti, ed in ogni prodotto l incognit compre l più un volt ed in ultim posizione). Allo scopo di risolvere tle sistem, comincimo con lo studio dell equzione (#) X=AX B dove A,B sono linguggi e supponimo che ε A. Tle equzione mmette un sol soluzione che è X=A*B - A*B è un soluzione, come si verific immeditmente: A(A*B) B=A({ε} A A 2... A k..)b B=( A A 2... A k..)b B=( A A 2... A k.. {ε})b=a*b - Tle soluzione è inoltre l sol. Supponimo inftti che ci sino due soluzioni distinte X,Y tli che X=AX B e Y=AY B. Si h l lunghezz dell più cort prol che distingue X d Y (si trov in un linguggio e non nell ltro) e si inoltre s l lunghezz dell più cort prol in A ( s>0 poiché per ipotesi ε A). L più cort prol che distingue AX B d AY B risult llor di lunghezz h+s>h: ssurdo, poiché X=AX B e Y=AY B. Il sistem può essere risolto per sostituzione: si fiss un equzione e un incognit in ess contenut, l si risolve come (#) e si sostituisce il risultto in ogni ltr equzione, pplicndo poi opportunmente l proprietà distriutiv. Si ottiene un sistem dello stesso tipo, con un equzione in meno ed un incognit in meno. 23

24 Al termine ogni linguggio X k, e quindi in prticolre L= X 0, verrà ottenuto pplicndo Ø, {ε}, {σ} un numero finito di volte le operzioni di unione, prodotto e chiusur. Esempio 5.3: Dto il seguente utom che riconosce il linguggio L, trovre l espressione regolre che denot L. Detto q 0 lo stto inizile e q 1 l ltro stto, ottenimo il sistem (utilizzndo il simolo + invece di ): X 0 =ε+ X 1 +X 0 X 1 = X 0 +X 1 Risolvendo l second equzione: X 1 = *X 0 Sostituendo l soluzione dt dll second equzione nell prim e rccogliendo: X 0 = ε +(*X 0 )+ X 0 = ε + *X 0 + X 0 = ε + X 0 (* + ) Risolvendo: X 0 = (*X 0 +)* ε=(*x 0 +)*=L Esempio 5.4: Il linguggio L={w w {,}* e non è fttore di w} è riconosciuto dl seguente utom non deterministico: Trovre l espressione regolre che determin lo stesso linguggio. Detto q 0 lo stto inizile e q 1 l ltro stto, ottenimo il sistem (utilizzndo il simolo + invece di ): X 0 = X 0 +X 1 +ε X 1 = X 0 Sostituendo l soluzione dt dll second equzione nell prim e rccogliendo: X 0 = (+)X 0 +ε Risolvendo: X 0 = (+)*ε D cui L= X 0 = (+)*, ottenendo un espressione regolre che denot L. 24

25 Cpitolo 3: Linguggi lieri dl contesto 1. Alero di derivzione e derivzione più sinistr Ricordimo che un linguggio L è contestule (o liero dl contesto) se è generto d un grmmtic di tipo 2, in cui cioè ogni regol di produzione è dell form α β dove α è un metsimolo. Quest prticolrità permette di dre un semplice descrizione visiv di un derivzione medinte il cosiddetto lero di derivzione. Dt un grmmtic G = < Σ,Q,P,S> di tipo 2 che gener il linguggio L(G), un lero di derivzione dell prol w L(G) in G è un lero ordinto i cui nodi sono etichettti con simoli in Σ Q, così che: - ogni fogli è etichettt con un simolo terminle, mentre ogni nodo interno è etichettto con un metsimolo. - l rdice è etichettt con l ssiom S - se un nodo interno è etichettto col metsimolo B e i suoi figli sono etichettti, in ordine, coi metsimoli B 1 B m, llor B B 1 B m è un regol di produzione di G - leggendo le foglie in ordine prefisso, l sequenz di etichette form l prol w. Esempio 1.1: Dt l grmmtic G =< {(,),+,x.,y}},{e},{e (E+E)/x/y},E>, si consideri l seguente derivzione dell prol ((x+y)+x): E G (E+E) G ((E+E)+E) G ((x+e)+e) G ((x+y)+e) G ((x+y)+x) L lero di derivzione corrispondente è: ( + ) ( + ) x x y Si osservi che diverse derivzioni possono vere ssocito lo stesso lero. Per esempio, riferendoci ll grmmtic dell esempio precedente, l seguente derivzione, divers d quell presentt sopr, gener lo stesso lero: E G (E+E) G (E+x) G ((E+E)+x) G ((E+y)+E) G ((x+y)+x) Dt un grmmtic G, diremo che due derivzioni sono equivlenti se hnno ssocito lo stesso lero. Può essere interessnte ottenere un elemento rppresenttivo nell clsse delle derivzioni equivlenti, comptiili quindi con lo stesso lero di derivzione. Un soluzione è quell di considerre l cosiddett derivzione più sinistr, corrispondente ll visit dell lero in profondità. Dt un prol w contenente lmeno un metsimolo, è inftti univocmente individuto il 25

26 metsimolo più sinistr nell prol. Ad esempio, nell prol ACcCB il metsimolo più sinistr è A. Questo port ll seguente: Definizione 1.1: dt un grmmtic G = < Σ,Q,P,S> di tipo 2, si w Σ* un prol derivile dll ssiom S. L derivzione S G w 1 G w 2 G G w m G w è dett derivzione più sinistr se, per ogni j (1 j m), w j+1 è ottenut pplicndo un regol di produzione l metsimolo più sinistr in w j. Ovvimente, ogni lero di derivzione in G h ssocit un derivzione più sinistr e vicevers: le derivzioni più sinistr risultno llor in corrispondenz iunivoc con gli leri di derivzione. 2. Grmmtiche di tipo 2 migue e non migue In vri contesti, dt un grmmtic G di tipo 2 che gener il linguggio L(G) ed un prol w L(G), risult rgionevole interpretre un lero di derivzione di w in G come significto dell prol w. Considerimo, scopo esemplifictivo, l grmmtic G =< {(,),+,x.,y}},{e},{e (E+E)/x/y},E> : possimo interpretre le prole del linguggio generto L(G) come prticolri espressioni ritmetiche in un linguggio di progrmmzione. Assegnndo i simoli x,y un vlore numerico e interpretndo + come operzione inri, d esempio l usule somm, deve essere possiile ttriuire un preciso vlore d ogni prol del linguggio: in questo cso, l lero di derivzione dell prol stilisce l ordine di ppliczione delle operzioni così d individure univocmente il vlore dell espressione. Ad esempio, l prol ((x+y)+x) h ssocito l lero di derivzione: ( + ) ( + ) x x y Se x=3 e y=5, l lero di derivzione permette di clcolre il vlore ((3+5)+3)=11 dell espressione. Un richiest importnte è che ogni prol in L(G) i un unico significto. Attriuendo un lero di derivzione di w in G come significto dell prol w, può succedere che l stess prol i diversi leri di derivzione, e quindi significti diversi, risultndo migu. Questo port ll seguente definizione: Definizione 2.1: Un grmmtic G = < Σ,Q,P,S> di tipo 2 è dett migu se esiste un prol w L(G) che mmette due diversi leri di derivzione; un grmmtic G = < Σ,Q,P,S> di tipo 2 è dett non migu se ogni prol w L(G) mmette un unico lero di derivzione. 26

27 Esempio 2.1: Dt l grmmtic G =< {+,*,x.,y}},{e},{e E+E/E*E/x/y},E>, si consideri l prol x+y*x, Ess mmette i seguenti due distinti leri di derivzione: * + + x x * x y y x Tle grmmtic risult dunque migu. Esempio 2.2: Dt l grmmtic G =< {(,),+,*,x.,y}},{e},{e (E+E)/(E*E)/x/y},E>, è possiile mostrre che ogni prol del linguggio generto mmette esttmente un lero di derivzione (o, equivlentemente, un derivzione più sinistr). Dimostrimolo per induzione sull lunghezz dell prol derivt. Le prole di lunghezz 1 in L(G) sono x e y, che hnno un'unic derivzione (e quindi un unico lero di derivzione). Si w L(G) un prol di lunghezz n>1. Ess è dell form (w 1 + w 2 ) o lterntivmente (w 1 * w 2 ), dove (w 1, w 2 ) <n. Supponimo senz perdere di generlità che w=(w 1 + w 2 ). Allor w è genert d un derivzione più sinistr del tipo E G (E+E) G *( w 1 +E) G * (w 1 + w 2 ), Per ipotesi di induzione, esiste un unic derivzione più sinistr del tipo E G *w 1 e del tipo E G *w 2, quindi esiste un unic derivzione più sinistr di w. Se L è generto d un grmmtic migu G di tipo 3, è sempre possiile costruire un grmmtic non migu G di tipo 3 che gener L. Bst inftti costruire l utom deterministico che riconosce L: l reltiv grmmtic non è migu. Esistono invece linguggi contestuli che possono essere generti solo d grmmtiche di tipo 2 migue: tli linguggi sono detti inerentemente migui. Esempio 2.2: Si consideri il linguggio L = { j s c k j=s oppure k=s }. Esso è contesule, poiché è generto dll grmmtic con ssiom S e produzioni del tipo: S XC / AY, Y Y / ε, X Xc / ε, A A / ε, C cc / ε Tle grmmtic è migu poichè le prole del tipo j j c j mmettono due distinti leri di derivzione. E inoltre possiile mostrre che, per ogni grmmtic G di tipo 2 che gener L, esistono infinite prole del tipo j j c j che mmettono due distinte derivzioni. 27