Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica

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1 Didattica della Matematica per il triennio Geometria sintetica e geometria analitica anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 1 / 24

2 index Il concetto di curva 1 Il concetto di curva 2 Possibili definizioni 3 Tracciatori di rette Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 2 / 24

3 Il concetto di curva Un esempio: il concetto di "curva" sin dalle scuole elementari: rette, circonferenze, grafici di spezzate poligonali,... alle scuole medie: espressione analitica delle rette, grafici di funzioni elementari (proporzionalità diretta e inversa), semplici grafici che descrivono fenomeni fisici,..., diagrammi,... e poi: luoghi geometrici, coniche, grafici di funzioni reali di variabile reale, traiettoria di un punto materiale,..., curve interpolanti,..., curve in geometria solida,... Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 3 / 24

4 Il concetto di curva La nozione comune di "curva" Da: Sabatini Coletti - Dizionario della Lingua Italiana ( curva Nel linguaggio comune, linea non retta.... Linea : Ente geometrico esteso solo nel senso della lunghezza, descrivibile come la successione delle posizioni assunte da un punto in movimento nello spazio. Nel linguaggio scientifico e tecnico, diagramma dell andamento quantitativo di una grandezza in funzione di un altra: curva dell andamento dell inflazione In geografia curva altimetrica o di livello, nella rappresentazione cartografica, linea che unisce tutti i punti della superficie terrestre aventi uguale altitudine rispetto al livello del mare... Profilo o tratto di superficie ad andamento curvilineo: la curva dell orizzonte;... Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 4 / 24

5 Il concetto di curva Wikipedia In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta... Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio... Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 5 / 24

6 index Possibili definizioni 1 Il concetto di curva 2 Possibili definizioni 3 Tracciatori di rette Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 6 / 24

7 Possibili approcci Possibili definizioni A) curva: in corrispondenza (biunivoca?) con una retta, o un segmento, o una circonferenza,... B) curva: luogo geometrico descritto in forma parametrica x = f (t), y = g(t), f, g funzioni (continue?) di t R o t I = [0, 1]. C) curva luogo geometrico descritto in forma cartesiana da un equazione F(x, y) = 0, con F : R 2 R funzione non costante (continua?). In tutti e tre i casi introducono anche oggetti che NON corrispondono alla nozione intuitiva di curva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 7 / 24

8 Possibili definizioni Ad esempio, per C), anche se F è un polinomio, può capitare che il luogo sia vuoto (F = x 2 + y 2 + 1) o costituito da solo da punti (F = x 2 + y 2 ) o che sia un insieme di punti "con molteplicità" (F = x 2.) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 8 / 24

9 Possibili definizioni Possibili correttivi? Richiedere l esistenza di almeno un punto reale. Richiedere che localmente sia un grafico di funzione continua: i grafici di funzione sono omeomeorfi alla base. Teorema del Dini (funzione implicita): regolarità della funzione F(x, y) (ad esempio polinomio) e ( F ) (0, 0). x, F y Troppo restrittivo: chiederlo salvo che per un numero finito di punti (singolari),... Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 9 / 24

10 Possibili definizioni Per A), si costruiscono facilmente corrispondenze biunivoche, ad esempio tra il quadrato unitario Q = [0, 1] [0, 1] e (un sottoinsieme del) segmento unitario I = [0, 1]. Siano (x, y) Q, con x e y in forma decimale Convenzione: non utilizzare x = 0, a 1 a 2 a 3... y = 0, b 1 b 2 b z = 0, a 1 a 2 9, quindi invece di 0, , scrivere 0, L applicazione iniettiva f : Q I è definita da (x, y) = (0, a 1 a 2 a 3..., 0, b 1 b 2 b 3... ) 0, a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3... Si noti che f non è suriettiva; ad esempio 0, 259 = 0, / f (Q). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 10 / 24

11 Possibili definizioni Possibili correttivi? La corrispondenza biunivoca non è il giusto punto di vista. Anche aggiungendo alla biunivocità ipotesi di tipo topologico, è difficile ottenere una buona nozione di curva che non restringa troppo l ambito delle curve trattate (se si chiede la locale euclideicità, dal punto di vista topologico si ottengono solo unioni di rette e circonferenze) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 11 / 24

12 Curve di Peano Possibili definizioni Per B), esistono esempi di "curve" parametriche x = f (t), y = g(t), con f, g funzioni continue di t I = [0, 1], che hanno per immagine, ad esempio, un quadrato (curve di Peano). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 12 / 24

13 Possibili definizioni {F n } F n : I I I La prima e la seconda iterazione (F 1 e F 2 ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 13 / 24

14 Possibili definizioni La terza iterazione (F 3 ) F = lim F n : I I I è limite di una successione di funzioni continue uniformemente convergente, quindi è continua. L immagine di F è densa in I I. I è compatto e I I è di Hausdoorf, quindi F è suriettiva. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 14 / 24

15 Possibili definizioni Possibili correttivi? Ipotesi di regolarità per la funzione. Un analogo differenziabile della curva di Peano non può esistere. Ciò è conseguenza del lemma di Sard: Se M e N sono varietà differenziabili con dim(m) < dim(n) e f : M N è un applicazione di classe C, allora f (M) è di misura nulla in N. Conclusione: non c è una definizione di curva che sia "buona" per tutto: le più naturali lasciano spazio a patologie, le più rigorose sono troppo restrittive. Deve essere il contesto a suggerire di volta in volta la matematica più adeguata da usare. Tenerlo presente:... ovviamente avendo però cura di non disorientare lo studente. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 15 / 24

16 index Tracciatori di rette 1 Il concetto di curva 2 Possibili definizioni 3 Tracciatori di rette Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 16 / 24

17 Tracciatori di rette Per tracciare una circonferenza posso usare un compasso. Con quale strumento posso tracciare una linea retta?... senza disporre già di una retta. Problema pratico: guidare l asta di un pistone senza avere parti striscianti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 17 / 24

18 Tracciatori di rette Curva di Watt (Macchina a vapore - James Watt ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 18 / 24

19 Tracciatori di rette La curva descritta non è una retta: è una sestica con un biflessnodo. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 19 / 24

20 Tracciatori di rette Inversore di Peaucellier (Charles Nicolas Peaucellier ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 20 / 24

21 Tracciatori di rette Inversione circolare L inversione circolare nella circonferenza γ di centro K e raggio r è l applicazione I γ che ad ogni punto X del piano diverso da K associa il punto X = I γ (X) che appartiene alla semiretta di origine K e passante per X e tale che KX KX = r 2. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 21 / 24

22 Tracciatori di rette costruzione dell inverso Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 22 / 24

23 Tracciatori di rette Proprietà: Se X varia su una circonferenza passante per K, allora X varia su una retta Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 23 / 24

24 Tracciatori di rette I punti A, D, P sono allineati, inoltre il prodotto delle lunghezze di AD e AP è costante infatti AD AP = (AM DM) (AM + DM) = = AM 2 DM 2 = (AB 2 BM 2 ) (BD 2 BM 2 ) = AB 2 BD 2 Pertanto i punti D e P si corrispondono nell inversione rispetto ad una circonferenza di centro A. D si muove su una circonferenza passante per A, quindi il suo inverso P si muove lungo una retta. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica per il triennio 24 / 24