App. 2 Numeri n-equivalenti in ragione della procedura di Collatz nella versione classica.

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1 Appendice App.1 Numeri equivalenti essenziali in ragione della procedura di Collatz nella versione classica. Procedura classica (i) Prendere un numero naturale a caso, (ii) dividerlo per 2 se è pari, fin quando è ridotto a dispari, (iii)... Se si considerano due numeri naturali di cui il primo, p 0 sia dispari e il secondo sia 2 x p 0, ovvero il prodotto di p 0 con una qualsivoglia potenza di 2 con esponente maggiore di 0, e si sottopongono entrambi alla procedura, si avrà che il primo numero accederà direttamente alla fase (iii) mentre il secondo dovrà ripetere la fase (ii) tante volte quante ne indica l'esponente x, fino a quando cioè x=0 e quindi 2 x p 0 = p 0. In entrambi i casi, alla fase (iii) accederà solo la componente dispari dei numeri, ovvero p 0. Es. 17, 68 caso * 3 = 51, = 52, 52 / 2 = 26, 26 / 2 =, * 3 = 39, = 40, 40 / 2 = 20, 20 / 2 = 10, 10 / 2 = 5, 5 * 3 = 15, = 16, 16 / 2 = 8, 8 / 2 = 4, 4 / 2 = 2, 2 / 1 = 1 stop caso / 2 = 34, 34 / 2 = 17, 17 * 3 = 51, = 52, 52 / 2 = 26, 26 / 2 =, * 3 = 39, = 40, 40 / 2 = 20, 20 / 2 = 10, 10 / 2 = 5, 5 * 3 = 15, = 16, 16 / 2 = 8, 8 / 2 = 4, 4 / 2 = 2, 2 / 1 = 1 stop In grassetto la fase (ii) nel caso 68. App. 2 Numeri n-equivalenti in ragione della procedura di Collatz nella versione classica. Sia m un numero naturale dispari. La procedura di Collatz, nella versione classica, riducendo subito i pari a dispari, ci impone questa limitazione perchè la relazione in discussione riguarda la fase (iii). Sviluppiamo un ciclo della procedura di Collatz con m, e con 4m+1, che è il numero m-equivalente immediatamente superiore. m*3+1 = 3m+1 (4m+1)*3+1 = 12m+3+1 = 4(3m+1) I due risultati ottenuti (uno quadruplo dell'altro), se reinseriti nella procedura di Collatz subiranno la riduzione di parità prevista dalla fase (ii), ovvero l'eliminazione di tutti i fattori 2 e saranno perciò ridotti allo stesso numero dispari non avendo essi fattori primi differenti. Es. 17, 69 caso * 3 = 51, = 52, 52 / 2 = 26, 26 / 2 =, * 3 = 39, = 40, 40 / 2 = 20, 20 / 2 = 10, 10 / 2 = 5, 5 * 3 = 15, = 16, 16 / 2 = 8, 8 / 2 = 4, 4 / 2 = 2, 2 / 1 = 1 stop caso *3 = 207, = 208, 208 / 2 = 104, 104 / 2 = 52, 52 / 2 = 26, 26 / 2 =, * 3 = 39, = 40, 40 / 2 = 20, 20 / 2 = 10, 10 / 2 = 5, 5 * 3 = 15, = 16, 16 / 2 = 8, 8 / 2 = 4, 4 / 2 = 2, 2 / 1 = 1 stop In grassetto la fase (ii) nel secondo ciclo, entrambi i numeri in ingresso vengono ridotti allo stesso dispari di cui sono entrambi multipli secondo differenti potenze di 2.

2 App. 3 Numeri dispari come indici di sottoinsiemi di numeri equivalenti essenziali Si tratta di accorgimenti espositivi. Se si considera l'insieme dei Naturali e il fatto che la procedura di Collatz si serve dell'addizione e della moltiplicazione e che, alle potenze di 2 è assegnata in pratica una neutralità, ci è parso opportuno marcare la specificità dell'equivalenza e dell'elemento neutro che riguardano la procedura intesa come operazione. In effetti la procedura di Collatz associa un elemento qualunque di un sottoinsieme equivalente a un elemento di un differente sottoinsieme equivalente, salvo che per i sottoinsiemi che hanno per indice 1 e siano di numeri equivalenti essenziali (1, 2, 4, 8, 16, 32...) o 1-equivalenti (1, 5, 21, 85...). App. 4 Ciascun elemento dell'insieme detto sarà in forma Un, essendo n elemento dello stesso insieme. Il numero 27, per fare un esempio, potrà essere: 27 (U = 2 0, n = 27), ovvero 27 (U = 2-2, n = 108), ovvero 27 (U = 2 4, n = 27 / 16 ) ecc. Risulta banale osservare che n può sempre, a sua volta, essere espresso in forma Un. Altresì banale è osservare che non è possibile prescindere dalla forma Un di un numero. App. 5 Esempi per la procedura di Collatz riformulata. Sia m = 28, vediamo 4 casi ponendo per lo stesso numero differenti valori di U e sia: 28 dove ( U = 2 0, n = 28) 28 dove ( U = 2 4, n = 7 / 4 ) 28 dove ( U = 2-1, n = 56) 28 dove ( U = 2 2, n = 7) primo caso 28 * 3 = 84, = 85, rettifica di parità => 85 (U = 2 0, n = 85) 85 PdC 1 stop secondo caso 28 * 3 = 84, = 100, rettifica di parità => 25 (U = 2 0, n = 25) 25 PdC 19 PdC 29 PdC PdC 17 PdC PdC 5 PdC 1 terzo caso 28 * 3 = 84, 84 + ½ = 169 / 2, rettifica di parità => 169 (U = 2 0, n = 169) 169 PdC 127 PdC 191 PdC 287 PdC 431 PdC 647 PdC 971 PdC 1457 PdC 1093 PdC 205 PdC 77 PdC 29 PdC PdC 17 PdC PdC 5 PdC 1 quarto caso 28 * 3 = 84, = 88, rettifica di parità => (U = 2 0, n = ) PdC 17 PdC PdC 5 PdC 1 Come evidenziano gli esempi sviluppati a differente valore di U corrisponde un differente risultato per il primo ciclo della procedura che prosegue poi, grazie alla rettifica di parità con U = 2 0. App. 6 La procedura ridefinita, iterata, non si differenzia dalla procedura nella definizione classica se non per il comportamento nel primo ciclo. Diamo tre esempi di sviluppo:

3 sia m = 22, dove (U = 2 1, n = ) e 22, dove (U = 2 0, n = 22) qui 22 è 89-equivalente caso m = 22(U = 2 1, n = ) con procedura classica è dato 22 (pari), 22 / 2 = (dispari), * 3 = 33, = 34 (fine 1 ciclo) è risultato 34 (pari), 34 / 2 = 17 (dispari), 17 * 3 = 51, = 52 (fine 2 ciclo) è risultato 52 (pari), 52 / 2 = 26 (pari), 26 / 2 = (dispari), * 3 = 39, = 40 (fine 3 ciclo) è risultato 40 (pari), 40 / 2 = 20 (pari), 20 / 2 = 10 (pari), 10 / 2 = 5 (dispari), 5 * 3 = 15, = 16 (fine 4 ciclo) è risultato 16 (pari), 16 / 2 = 8 (pari), 8 / 2 = 4 (pari), 4 / 2 = 2 (pari), 2 / 2 = 1 (dispari), (fine 5 ciclo) traiettoria: 22, 34, 17, 52, 26,, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 caso m = 22(U = 2 1, n = ) con procedura ridefinita è dato 22 (U = 2 1, n = ), 22* 3 = 66, = 68, rettifica di parità => 17 (fine 1 ciclo) è risultato 17 (U = 2 0, n = 17), 17* 3 = 51, = 52, rettifica di parità => (fine 2 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 39, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 3 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 4 ciclo) traiettoria: 22, 17,, 5, 1 caso m = 22(U = 2 0, n = 22) con procedura ridefinita è dato 22 (U = 2 0, n = 22), 22* 3 = 66, = 67, rettifica di parità => 67 (fine 1 ciclo) è risultato 67 (U = 2 0, n = 67), 67* 3 = 201, = 202, rettifica di parità => 101 (fine 2 ciclo) è risultato 101 (U = 2 0, n = 101), 101* 3 = 303, = 304, rett. di parità => 19 (fine 3 ciclo) è risultato 19 (U = 2 0, n = 19), 19* 3 = 57, = 58, rett. di parità => 29 (fine 4 ciclo) è risultato 29 (U = 2 0, n = 29), 29* 3 = 87, = 88, rett. di parità => (fine 5 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 33, = 34, rettifica di parità => 17 (fine 6 ciclo) è risultato 17 (U = 2 0, n = 17), 17* 3 = 51, = 52, rettifica di parità => (fine 7 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 39, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 8 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 9 ciclo) traiettoria: 22, 67, 101, 19, 29,, 17,, 5, 1 Si evidenzia, confrontando questo caso col precedente, come, nel primo ciclo, la procedura ridefinita discrimini secondo il valore di U e abbia dunque un diverso comportamento rispetto alla versione classica. Di seguito viene dato lo sviluppo di un n-equivalente con procedura classica per constatare come il diverso comportamento si limiti al solo primo ciclo. caso m = 89 con procedura classica (p)=pari, (d)=dispari è dato 89 (dispari), 89 * 3 = 267, = 268 (fine 1 ciclo) è risultato 268 (p), 268 / 2 = 4 (p), 4 / 2 = 67 (d), 67 * 3 = 201, = 202 (fine 2 ciclo) è risultato 202 (p), 202 / 2 = 101, 101 * 3 = 303, = 304 (fine 3 ciclo) è risultato 304 (p), 304 / 2 = 152 (p), 152 / 2 = 76 (p), 76 / 2 = 38 (p), 38 / 2 = 19 (d), 19 * 3 = 57, = 58 (fine 4 ciclo) è risultato 58 (p), 58 / 2 = 29 (d), 29 * 3 = 87, = 88 (fine 5 ciclo) è risultato 88 (p), 88 / 2 = 44 (p), 44 / 2 = 22 (p), 22 / 2 = (d), * 3 = 33, = 34 (fine 6 ciclo)

4 è risultato 34 (p), 34 / 2 = 17 (d), 17 * 3 = 51, = 52 (fine 7 ciclo) è risultato 52 (p), 52 / 2 = 26 (p), 26 / 2 = (d), * 3 = 39, = 40 (fine 8 ciclo) è risultato 40 (p), 40 / 2 = 20 (p), 20 / 2 = 10 (p), 10 / 2 = 5 (d), 5 * 3 = 15, = 16 (fine 9 ciclo) è risultato 16 (p), 16 / 2 = 8 (p), 8 / 2 = 4 (p), 4 / 2 = 2 (p), 2 / 2 = 1 (d), (fine 10 ciclo) traiettoria: 89, 268, 4, 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22,, 34, 17, 52, 26,, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 in grassetto i dispari per agevolare il confronto.(vedi anche App. 14) App. 7 Nel primo ciclo la procedura ridefinita ammette alla triplicazione anche numeri non interi o numeri pari. Diamo tre esempi tra i possibili di un pari; sia m = 6, per comodità annotiamo per ciascun caso la n-equivalenza m = 6 dove (U = 2 0, n = 6) 25-equivalente, (U=1) m = 6 dove (U = 2 2, n = 3/2) 10-equivalente, (U=4) m = 6 dove (U = 2-1, n = 12) 97/2-equivalente, (U= 1 / 2 ) caso m = 6 (U = 2 0, n = 6) con procedura ridefinita è dato 6 (U = 2 0, n = 6), 6* 3 = 18, = 19, rettifica di parità => 19 (fine 1 ciclo) è risultato 19 (U = 2 0, n = 19), 19* 3 = 57, = 58, rettifica di parità => 29 (fine 2 ciclo) è risultato 29 (U = 2 0, n = 29), 29* 3 = 87, = 88, rettifica di parità => (fine 3 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 33, = 34, rettifica di parità => 17 (fine 4 ciclo) è risultato 17 (U = 2 0, n = 17), 17* 3 = 51, = 52, rettifica di parità => (fine 5 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 39, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 6 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 7 ciclo) caso m = 6 (U = 2 2, n = 3/2) con procedura ridefinita è dato 6 (U = 2 2, n = 3/2), 6 * 3 = 18, = 22, rettifica di parità => (fine 1 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 33, = 34, rettifica di parità => 17 (fine 2 ciclo) è risultato 17 (U = 2 0, n = 17), 17* 3 = 51, = 52, rettifica di parità => (fine 3 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 39, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 4 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 5 ciclo) caso m = 6 (U = 2-1, n = 12) con procedura ridefinita è dato 6 (U = 2 0, n = 22), 6 * 3 = 18, 18 + ½ = 37 / 2, rettifica di parità => 37 (fine 1 ciclo) è risultato 37 (U = 2 0, n = 37), 37 * 3 = 1, = 2, rettifica di parità => 7 (fine 2 ciclo) è risultato 7 (U = 2 0, n = 7), 7 * 3 = 21, = 22, rettifica di parità => (fine 3 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 33, = 34, rettifica di parità => 17 (fine 4 ciclo) è risultato 17 (U = 2 0, n = 17), 17 * 3 = 51, = 52, rettifica di parità => (fine 5 ciclo) è risultato (U = 2 0, n = ), * 3 = 39, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 6 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 7 ciclo)

5 Diamo tre esempi tra i possibili per un numero non intero, sia m = / 8. m = / 8 dove (U = 2 0, n = / 8 ) m = / 8 dove (U = 2-3, n = ) m = / 8 dove (U = 2 2, n = / 32 ) caso m = / 8 (U = 2 0, n = / 8 ) è dato / 8 (U = 2 0, n = / 8 ), / 8 * 3 =, 39 / = 47 / 8, rettifica di parità => 47 (fine 1 ciclo) è risultato 47 (U = 2 0, n = 47), 47 * 3 = 141, = 142, rettifica di parità => 71 (fine 2 ciclo) e trascurando lo sviluppo di ciascun risultato successivo, avremo: traiettoria: / 8, 47, 71, 107, 161, 121, 91, 7, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 9, 67, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1. caso m = / 8 (U = 2-3, n = ) è dato / 8 (U = 2-3, n = ), / 8 * 3 =, 39 / / 8 = 5, rettifica di parità => 5 (fine 1 ciclo) è risultato 5 (U = 2 0, n = 5), 5 * 3 = 15, = 16, rettifica di parità => 1 (fine 2 ciclo) caso m = / 8 (U = 2 2, n = / 32 ) è dato / 8 (U = 2 2, n = / 32 ), / 8 * 3 =, 39 / = 71 / 8, rettifica di parità => 71 (fine 1 ciclo) è risultato 71 (U = 2 0, n = 71), 71 * 3 = 2, = 214, rettifica di parità => 107 (fine 2 ciclo) e trascurando lo sviluppo di ciascun risultato successivo, avremo: traiettoria: / 8, 71, 107, 161, 121, 91, 7, 103, 155, 233, 175, 263, 395, 593, 445, 167, 251, 377, 283, 425, 319, 479, 719, 1079, 1619, 2429, 9, 67, 2051, 3077, 577, 433, 325, 61, 23, 35, 53, 5, 1. App. 8 Sottoinsiemi di numeri equivalenti essenziali ed n-equivalenti. Dati due numeri l e m, sono equivalenti essenziali se, data la forma Un, il fattore n è uguale in entrambi. es. 26 (U = 2 2, n = / 2 ) ; / 8 (U = 2-2, n = / 2 ) e 208 (U = 2 5, n = / 2 ) caso 26 (U = 2 2, n = / 2 ) è dato 26 (U = 2 2, n = / 2 ), 26 * 3 = 78, = 82, rettifica di parità => 41 (fine 1 ciclo) caso / 8 (U = 2-2, n = / 2 ) è dato / 8 (U = 2-2, n = / 2 ), / 8 * 3 = 39 / 8, 39 / / 4 = 41 / 8, rettifica di parità => 41 (fine 1 ciclo) caso 208 (U = 2 5, n = / 2 ) è dato 208 (U = 2 5, n = / 2 ), 208 * 3 = 624, = 656, rettifica di parità => 41 (fine 1 ciclo) App. 9 Dati due numeri l e m, sono n-equivalenti se, posto l = Un, risulta m = 4l+U.

6 Sia l = 12 (U = 2 2, n = 3), sia m = 52 (U = 2 2, n = ) per l = 12 (U = 2 2, n = 3) è dato 12 (U = 2 2, n = 3), 12 * 3 = 36, = 40, rettifica di parità => 5 (fine 1 ciclo) per m = 52 (U = 2 2, n = ) è dato 52 (U = 2 2, n = ), 52 * 3 = 156, = 160, rettifica di parità => 5 (fine 1 ciclo) App. 10 Un medesimo numero m, in ragione di una diversa determinazione del suo coefficiente U, appartenere a differenti insiemi di n-equivalenti. Sia m = 14, dove (U = 2 2, n = 7 / 2 ) ovvero (U = 2 1, n = 7) ovvero (U = 2 0, n = 14) ovvero (U = 2-2, n = 56) Dato 14 (U = 2 2, n = 7 / 2 ), avremo 14 * 4 = 56, = 60 (U = 2 2, n = 15) suo n-equivalente. Dato 14 (U = 2 1, n = 7), avremo 14 * 4 = 56, = 58 (U = 2 1, n = 29) suo n-equivalente. Dato 14 (U = 2 0, n = 14), avremo 14 * 4 = 56, = 57 (U = 2 0, n = 57) suo n-equivalente. Dato 14 (U = 2-2, n = 56), avremo 14 * 4 = 56, 56 + ¼ = 225 / 4 (U = 2-2, n = 225) suo n-equivalente. Avremo dunque 14 essere rispettivamente: 60-equivalente (U = 2 2 ) 58-equivalente (U = 2 1 ) 57-equivalente (U = 2 0 ) 225 / 4 -equivalente (U = 2-2 ). App. Inversa alla procedura (IpC) (b) sia dato un numero m = U 0 n 0 con n 0 3k (non multiplo di 3) (bb) si moltiplichi per 2 x in modo da ottenere un numero di forma 3U 1 n 1 + U 1 (essendo U 1 un valore del coefficiente di parità scelto ad arbitrio) (bbb) si sottragga U 1 e si divida il resto per 3 ottenendo U 1 n 1. Sia dato m = / 2 dove (U 0 = 2-1, n 0 = ) si ponga U 1 = 2 2 / 2 * 2 0 = / 2, / = 3 / 2, 3 / 2 * 1 / 3 = 1 / 2 (U 0 = 2 2, n 0 = 1 / 8 ) e, volendo ottenere un n-equivalente, / 2 * 2 2 = 22, = 18, 18 * 1 / 3 = 6 (U 0 = 2 2, n 0 = 3 / 2 ) oppure / 2 * 2 4 = 88, = 84, 84 * 1 / 3 = 28 (U 0 = 2 2, n 0 = 7) ecc. Sia dato m = / 2 dove (U 0 = 2-1, n 0 = ) si ponga, invece, U 1 = 2 0 / 2 * 2 0 = / 2, / = 9 / 2, 9 / 2 * 1 / 3 = 3 / 2 (U 0 = 2 0, n 0 = 3 / 2 ) e, volendo ottenere un n-equivalente, / 2 * 2 2 = 22, = 21, 21 * 1 / 3 = 7 (U 0 = 2 0, n 0 = 7) ecc. App. 12 In sintesi IpC individua un sottoinsieme. I suoi elementi (U 1 n 1 ) sono caratterizzati da: U 1 = 2 y (valore qualsivoglia per il coefficiente di parità, y = intero) n 1 = 2 z d (naturale dispari eventualmente moltiplicato per potenza di 2, z = intero)

7 ovvero: un sottoinsieme di numeri n-equivalenti e tutti i possibili loro equivalenti essenziali (cioè multipli secondo la potenza 2 y, y = intero). Sia dato m = / 2 dove (U 0 = 2-1, n 0 = ) si ponga, ad es. U 1 = 2 0, U 1 = 2-2 eccetera, potendosi porre per U 1 qualsivoglia potenza di 2 (con esponente intero). Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2 0, avremo: / 2 * 2 1 =, = 12, 12 * 1 / 3 = 4 (U 1 = 2 0, n 1 = 4), ma anche / 2 * 2 3 = 52, = 51, 51 * 1 / 3 = 17 (U 1 = 2 0, n 1 = 17) ecc. ecc. e, variando l'esponente della potenza di 2 per la quale si moltiplica m, ogni altro 4-equivalente (U 1 = 2 0 ). Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2-2, avremo: / 2 * 2 1 =, = 51 / 4, 51 / 4 * 1 / 3 = 17 / 4 (U 1 = 2-2, n 1 = 17), ma anche / 2 * 2 3 = 52, = 207 / 4, 207 / 4 * 1 / 3 = 69 / 4 (U 1 = 2-2, n 1 = 69) ecc. ecc. e, variando l'esponente della potenza di 2 per la quale si moltiplica m, ogni altro 17 / 4 -equivalente (U 1 = 2-2 ). Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2 5, avremo: / 2 * 2 4 = 104, = 72, 72 * 1 / 3 = 24 (U 1 = 2 5, n 1 = 3 / 4 ), ma anche / 2 * 2 6 = 416, = 384, 384 * 1 / 3 = 128 (U 1 = 2 5, n 1 = 4) ecc. ecc. e, variando l'esponente della potenza di 2 per la quale si moltiplica m, ogni altro 24-equivalente (U 1 = 2 5 ). E così via con valori a piacere per U 1 e valori n-equivalenti fra loro per n 1. App. IpC tratta tutti i pari in ingresso come equivalenti essenziali di un dispari (come la procedura di Collatz nella versione classica). Sia dato m = 14 dove (U 0 = 2 0, n 0 = 14). Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2 0, avremo: 14 * 2 1 = 28, = 27, 27 * 1 / 3 = 9 (U 1 = 2 0, n 1 = 9) Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2 2, avremo: 14 * 2 1 = 28, = 24, 24 * 1 / 3 = 8 (U 1 = 2 2, n 1 = 2) Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2 3, avremo: 14 * 2 0 = 14, = 6, 6 * 1 / 3 = 2 (U 1 = 2 3, n 1 = 1 / 4 ) Se sottoponiamo m a IpC con U 1 = 2-1, avremo: 14 * 2 0 = 14, = 27 / 2, 27 / 2 * 1 / 3 = 9 / 2 (U 1 = 2-1, n 1 = 9) E così via, risultando n 1 sempre un elemento del sottoinsieme dei numeri 9-equivalenti ( U 0 = 2 0 ) ( ¼, 2, 9, 37, 149 ecc.), in pratica m viene trattato come (U 0 = 2 1, n 0 = 7). App. 14 Comparazione di traiettorie Sia dato m = 56, Traiettoria secondo la formulazione classica: 56, 28, 14, 7, 22,, 34, 17, 52, 26,, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Traiettoria secondo la diversa formulazione proposta: 56, 7,, 17,, 5, 1 Sia dato m = 15, Traiettoria secondo la formulazione classica: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 Traiettoria secondo la diversa formulazione proposta:

8 15, 23, 35, 53, 5, 1 App. 15 Esempi di quartine n = n = / 4 8 n = / 2 n = / 4 14 n = n = / 4 20 Si rammenta che U = 2 0 = 1 sia per la relazione di n-equivalenza tra terzo e quarto membro di ciascuna quartina, sia per IpC mediante la quale dal secondo elemento si ricava il primo e dal quarto il secondo. Per quanto riguarda i primi elementi essi sono tutti U = 1, i pari dunque sono rispettivamente: 2, 9-equivalente (U = 1) 4, 17-equivalente (U = 1) 6, 25-equivalente (U = 1) ecc. Per quanto riguarda i pari che compaiono come quarto elemento, si ricorda che IpC li tratta come equivalenti essenziali, essi dunque sono rispettivamente: 8, equivalente essenziale di 1 14, equivalente essenziale di 7 20, equivalente essenziale di 5 ecc.