Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

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1 Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine una equazione della forma y + b(x)y + c(x)y = g(x) dove y(x) è la funzione incognita, e supporremo sempre che b(x), c(x), g(x) siano funzioni continue in un intervallo I. Se g(x) = 0 l equazione si dice omogenea. Se b, c sono delle costanti, si dice a coefficienti costanti. Una EDO lineare si può descrivere mediante un operatore lineare L, cioè tale che L(αy) = αl(y), α R, e L(y 1 + y 2 ) = L(y 1 ) + L(y 2 ). Nel nostro caso scriviamo Ly = g(x), con L := D 2 + a(x)d + c(x)d 0, dove D 2 = d2 dx, D = d 2 dx e D0 = I l operatore identità. Infatti la derivazione, e l identità, sono operatori lineari. Per risolvere un equazione del secondo ordine, intuitivamente si devono fare due integrazioni, per cui ci si aspetta la comparsa di due costanti di integrazione. Per esempio, y = 0 ha soluzioni y(x) = A + Bx. Più in generale si può dimostrare il seguente Teorema. 1. Equazione omogenea. Esistono due soluzioni indipendenti y 1 e y 2 dell equazione omogenea, cioè tali che A y 1 (x) + B y 2 (x) = 0 per ogni x I A = B = 0. Inoltre, ogni altra soluzione z(x) della equazione omogenea si esprime come combinazione lineare di esse, cioè z(x) = A y 1 (x) + B y 2 (x), A, B R. OVVERO, le soluzioni di una EDO lineare omogenea del secondo ordine formano uno spazio vettoriale di dimensione Equazione non omogenea. Esiste una soluzione y 0 (x) della equazione non omogenea in I, e tutte le soluzioni della non omogenea in I hanno la forma y(x) = A y 1 (x) + B y 2 (x) + y 0 (x), A, B R, dove y 1 e y 2 sono due soluzioni indipendenti della equazione omogenea in I. 1

2 Dim. Per dimostrare che z(x) è soluzione della equazione omogenea, e y(x) è soluzione della non omogenea, basta osservare che questo è una ovvia conseguenza della linearità di L, oppure verificare la tesi mediante derivazione e sostituzione delle ipotesi. La dimostrazione del viceversa, cioè che ogni altra soluzione è di quella forma, è più complessa e non la faremo. Per determinare l insieme delle soluzioni dell equazione omogenea, detto anche integrale generale, il teorema precedente rimanda quindi alla determinazione di due soluzioni y 1 e y 2 indipendenti, cioè non proporzionali. Corollario Sia data l equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti, ay + by + cy = 0, con a 0, dove y(x) è la funzione incognita, a, b, c sono costanti. Date due soluzioni indipendenti, y 1 (x) e y 2 (x), l insieme delle soluzioni ha la forma y(x) = A y 1 (x) + B y 2 (x), A, B R. OSERVAZIONE. E evidente che essendo y uguale a una funzione derivabile su R, le soluzioni sono derivabili anche tre volte, e iterando il ragionamento si deduce che le soluzioni sono funzioni di classe C (R), cioè derivabili infinite volte su tutto R. Abbiamo visto il modello di crescita/decadimento esponenziale, y = ky. Questo per esempio modella il moto di un punto che si muove a velocità proporzionale allo spazio percorso. Se k > 0 la velocità aumenta (esponenzialmente), se k < 0 diminuisce (e va a zero). Una soluzione è y(t) = e kt. Ora supponiamo che l accelerazione sia proporzionale allo spazio percorso: y = k 2 y. Sostituendo si verifica che y 1 (t) = e kt e y 2 (t) = e kt sono due soluzioni, indipendenti, e il moto di una soluzione è una combinazione lineare dei due moti, uno a velocità crescente, l altro a velocità decrescente: y(t) = Ae kt + Be kt, essendo i coefficienti della combinazione lineare determinati da certe condizioni iniziali. Se invece l accelerazione ha verso opposto allo spostamento, y = k 2 y, si ha il modello dell oscillatore armonico in assenza di attrito, che ha soluzioni indipendenti y 1 (t) = cos(kt) e y 2 (t) = sin(kt). Poichè cos(kt) e sin(kt) sono combinazione lineare di e ikt e di e ikt (come spiegheremo più oltre) questo esempio ci suggerisce una tecnica per trovare in generale due soluzioni indipendenti. 2

3 Integrale generale. Cerchiamo una soluzione del tipo y(x) = e λx con λ parametro reale o complesso. Sostituendo si ottiene e λx (aλ 2 + bλ + c) = 0. Perciò la funzione y è soluzione se e solo se la costante λ è radice dell equazione aλ 2 + bλ + c = 0, detta equazione caratteristica. Distinguiamo tre casi. 1) = b 2 4ac > 0, l equazione caratteristica ha due radici reali distinte λ 1 e λ 2, le funzioni y 1 (x) = e λ 1x e y 2 (x) = e λ 2x sono due soluzioni indipendenti. L integrale generale ha forma y(x) = Ae λ 1x + Be λ 2x, 2) = b 2 4ac = 0, l equazione caratteristica ha una radice reale doppia λ 0 = b 2a, le funzioni y 1(x) = e λ 0x e y 2 (x) = xe λ 0x sono due soluzioni indipendenti. L integrale generale ha forma y(x) = e λ 0x (A + Bx), 3) = b 2 4ac < 0, non vi sono radici reali, ma l equazione caratteristica nel campo complesso (λ numero complesso) ha due radici complesse coniugate λ 1 = u + ik e λ 2 = u ik, dove u = b 2a, k = che conducono a due soluzioni reali indipendenti 2a L integrale generale ha forma y 1 (x) = e u x cos(k x), y 2 (x) = e u x sin(k x). y(x) = e u x (A cos(k x) + B sin(k x)), NOTA. Per capire meglio il caso < 0, si ha che in questo caso l equazione caratteristica ha le due soluzioni indipendenti nel campo complesso: ỹ 1 = e (u+ik)x = e u.x e ikx, ỹ 2 = e (u ik)x = e u.x e ikx 3

4 e l insieme delle soluzioni è della forma y(x) = Aỹ 1 + Bỹ 2. Ricordiamo ora che vale la notazione e ix = cos x + i sin x, e quindi e ix = cos x i sin x e si ricavano le relazioni cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix 2 2i Quindi possiamo ottenere le due soluzioni reali indipendenti y 1 (x) = e u x cos(k x) e y 2 (x) = e u x sin(k x) scegliendo nella combinazione lineare (a coefficienti complessi) gli opportuni coefficienti, cioè y 1 = 1 2ỹ ỹ2, e y 2 = 1 2iỹ1 1 2iỹ2. NOTA. Il terzo caso ( < 0) è quello visto dell oscillatore armonico: in assenza di attrito b = 0 u = 0; in presenza di attrito (b > 0 u < 0) si avranno oscillazioni smorzate. NOTA: Per avere una soluzione particolare occorre assegnare due condizioni iniziali. Teorema di esistenza e unicità. Siano a, b, c R, a 0. Allora esiste una e una sola soluzione definita su R del problema di Cauchy ay + by + cy = 0 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 1 Il significato geometrico del problema di Cauchy è determinare la soluzione che passa per un dato punto (x 0, y 0 ) e tale che la retta tangente alla soluzione nel punto (x 0, y 0 ) ha coefficiente angolare assegnato dal valore y 1. Per risolvere il problema di Cauchy, troviamo la soluzione generale y(x) che dipende dalle costanti A e B e la deriviamo. Quindi risolviamo il sistema (di due equazioni nelle due incognite A e B) che si ottiene sostituendo in y(x), y (x) i valori x 0, y 0 e y 1 stabiliti dal problema di Cauchy. La soluzione particolare è quindi quella che si ottiene dall integrale generale sostituendo i valori A e B così trovati. 4

5 Esempi y + 4y + 13y = 0 L equazione caratteristica è λ 2 + 4λ + 13 = 0. Per questa equazione = = 36 < 0, ci troviamo nel terzo caso. L integrale generale dell equazione è y(x) = e 2x (A cos(3x) + B sin(3x)). y + 4y 12y = 0 L equazione caratteristica è λ 2 + 4λ 12 = 0. Per questa equazione = = 64 > 0, ci troviamo nel primo caso. Le radici reali e distinte sono λ 1 = 2 e λ 2 = 6. L integrale generale dell equazione è y(x) = Ae 2x + Be 6x. y + 2y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0. L equazione caratteristica è λ 2 + 2λ + 1 = 0. Per questa equazione = 0, ci troviamo nel secondo caso, e λ = 1 è radice doppia. L integrale generale dell equazione è y(x) = e x (A + Bx). Per risolvere il problema di Cauchy deriviamo y : y = e x ( A Bx + B) e poichè y(0) = A, y (0) = A + B, il sistema da risolvere è { A = 1 A + B = 0 B = A = 1 e la soluzione è y(x) = e x (1 + x). 5

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