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2 del polo. Consideriamo il punto Q 6= P, allora si ha (g. (2.1)): M P = PA i ^V i = (PQ+QA i ) ^ V i = {z } = (PQ^V i +QA i ^ V i )= = PQ^V i + QA i ^ V i = =M Q + PQ^R Il momento polare risulta indipendente dal polo se e solo se R = 0. Infatti: M Q M P = M Q quali che siano P e Q se e solo se PQ ^R = 0; cioe stante l'arbitrarieta dip eq se e solo se R = 0. Esistono sistemi in cui il risultante e uguale a zero. Adattare le formule che deniscono il momento polare risultante ed il risultante ad una distribuzione lineare, superciale, cubica di vettori applicati. Dimostrare che se AA 0 e parallelo a V, allora il momento polare di (A; V) e uguale a quello di (A 0 ; V). Momento assiale Consideriamo un vettore applicato (A; V) ed una retta orientata a di versore bu. Si denisce momento assiale (g. (2.1.1)) m a = QA ^ V b U : La denizione (2:1:1) e ben posta, in quanto e indipendente dal polo Q scelto sull'asse a. Per vericare cio si scelga un altro punto Q1 sulla retta a; avremo: m a1 =Q1A ^ V b U = =(Q1Q + QA) ^ V b U = = Q1Q ^ V {z b U + QA ^ V } {z b U } 0 m a = m a Si e vericato, quindi, che il momento assiale dipende solamente dal vettore applicato e dalla retta orientata a. a = QA i ^ V i b =b U QA i ^ V i = M Q b Si denisce momento assiale risultante di un sistema di vettori applicati a rispetto ad una retta orientata a: M a = m (i) U = U cioe la componente del momento risultante rispetto all'asse. Nella (2:1:1) si puo sostituire al vettore applicato V la sua parte ortogonale alla retta a cioe: m (V) a = m (V?) a : 2

3 La componente V? risulta uguale a: V? = V V k = V (V bu)b U ; sostituendo nella (2:1:1) avremo: m (V) a =QA ^ [V? +(Vbu)b U] b U= =QA ^ (V? ) b U + QA ^ (V b U) b U b U = m (V?) a essendo il secondo addendo il vettore nullo (g. (2.1.2)). Grandezze intrinseche di un vettore applicato rispetto ad un asse Dato un vettore applicato e una retta orientata, restano denite le seguenti grandezze intrinseche, del vettore applicato rispetto a quest'ultima: { modulo di V, { braccio b di V rispetto all'asse, { angolo di V con la retta orientata ' =(d V;U). Il braccio e la distanza fra le due rette sghembe a ed s, retta sostegno del vettore. Se l'asse a e la retta sostegno s del vettore sono incidenti o parallele, incidenza all'innito, il braccio del vettore risulta nullo. Il momento assiale di un vettore rispetto alla retta orientata si puo esprimere in termini delle grandezze intrinseche del vettore V rispetto alla retta a per mezzo della seguente espressione: Dimostrare la validita della formula di cui sopra. m a = bv sin ' + se V e levogira rispetto ad a se V e destrogira rispetto ad a 3

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