M P = PA^V. Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a

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1 VETTORI APPLICATI Sistema di vettori applicati L'ente matematico costituito da un punto P e da un vettore (libero) V, si dice vettore applicato in P e si denota con (P;V). E comodo rappresentare il vettore applicato (P;V) geometricamente con un segmento orientato la cui origine coincide con P (g. (1.1)). Da quanto detto risulta che due vettori applicati (P;V) e(q; W) sono eguali se P = Q e V = W (come vettori liberi g. (1.2)). La retta che contiene il vettore V e passa per il punto di applicazione P si chiama retta sostegno del vettore applicato (P;V) (g. (1.3)). Un insieme di vettori applicati S = f(p i ; V i )g i2i si dice sistema di vettori applicati. Dalla denizione di uguaglianza fra due vettori applicati discende che due sistemi di vettori applicati si debbano denire eguali se sono coincidenti, cioe se sono lo stesso sistema di vettori applicati. Se I, insieme dei punti di applicazione dei vettori, e discreto, S si dice un sistema nito di vettori applicati e lo si indica con a. Nelle applicazioni capita spesso che I sia una linea, una supercie o una regione tridimensionale dello spazio ordinario; in tal caso S si dice rispettivamente una distribuzione lineare, superciale o cubica di vettori applicati. Dire quando e possibile schematizzare la forza peso di un sistema continuo in una distribuzione lineare, superciale o cubica di vettori applicati. Momento polare risultante e risultante Dato un vettore applicato (A; V) edunpuntop il momento polare e denito da (g. (1.1.1)): M P = PA^V Il momento polare e ortogonale al piano contenente PA e V e risulta, per denizione, un vettore libero. Se a e un sistema di vettori applicati, il momento polare risultante del sistema rispetto ad un polo Q e denito: M Q = QA i ^ V i : Il risultante e denito semplicemente come la somma dei vettori di a R = V i : In generale il momento polare del risultante e diverso dal risultante dei momenti polari. Tuttavia esiste un caso in cui il momento polare e uguale al momento polare del risultante. (di Varignon) Se tutti i vettori sono applicati allo stesso punto, il momento polare del risultante e uguale al risultante dei momenti polari. Cioe se: allora: A1 = A2 = A3 = =A n =A M Q = QA i ^ V i = QA ^ V i = QA ^ R Variazione del momento polare risultante al variare del polo Dalla denizione discende che il momento polare risultante varia al variare del polo rispetto al quale lo si calcola; qui stabiliremo la legge che mette in evidenza il modo di variare del momento polare al variare 1

2 del polo. Consideriamo il punto Q 6= P, allora si ha (g. (2.1)): M P = PA i ^V i = (PQ+QA i ) ^ V i = {z } = (PQ^V i +QA i ^ V i )= = PQ^V i + QA i ^ V i = =M Q + PQ^R Il momento polare risulta indipendente dal polo se e solo se R = 0. Infatti: M Q M P = M Q quali che siano P e Q se e solo se PQ ^R = 0; cioe stante l'arbitrarieta dip eq se e solo se R = 0. Esistono sistemi in cui il risultante e uguale a zero. Adattare le formule che deniscono il momento polare risultante ed il risultante ad una distribuzione lineare, superciale, cubica di vettori applicati. Dimostrare che se AA 0 e parallelo a V, allora il momento polare di (A; V) e uguale a quello di (A 0 ; V). Momento assiale Consideriamo un vettore applicato (A; V) ed una retta orientata a di versore bu. Si denisce momento assiale (g. (2.1.1)) m a = QA ^ V b U : La denizione (2:1:1) e ben posta, in quanto e indipendente dal polo Q scelto sull'asse a. Per vericare cio si scelga un altro punto Q1 sulla retta a; avremo: m a1 =Q1A ^ V b U = =(Q1Q + QA) ^ V b U = = Q1Q ^ V {z b U + QA ^ V } {z b U } 0 m a = m a Si e vericato, quindi, che il momento assiale dipende solamente dal vettore applicato e dalla retta orientata a. a = QA i ^ V i b =b U QA i ^ V i = M Q b Si denisce momento assiale risultante di un sistema di vettori applicati a rispetto ad una retta orientata a: M a = m (i) U = U cioe la componente del momento risultante rispetto all'asse. Nella (2:1:1) si puo sostituire al vettore applicato V la sua parte ortogonale alla retta a cioe: m (V) a = m (V?) a : 2

3 La componente V? risulta uguale a: V? = V V k = V (V bu)b U ; sostituendo nella (2:1:1) avremo: m (V) a =QA ^ [V? +(Vbu)b U] b U= =QA ^ (V? ) b U + QA ^ (V b U) b U b U = m (V?) a essendo il secondo addendo il vettore nullo (g. (2.1.2)). Grandezze intrinseche di un vettore applicato rispetto ad un asse Dato un vettore applicato e una retta orientata, restano denite le seguenti grandezze intrinseche, del vettore applicato rispetto a quest'ultima: { modulo di V, { braccio b di V rispetto all'asse, { angolo di V con la retta orientata ' =(d V;U). Il braccio e la distanza fra le due rette sghembe a ed s, retta sostegno del vettore. Se l'asse a e la retta sostegno s del vettore sono incidenti o parallele, incidenza all'innito, il braccio del vettore risulta nullo. Il momento assiale di un vettore rispetto alla retta orientata si puo esprimere in termini delle grandezze intrinseche del vettore V rispetto alla retta a per mezzo della seguente espressione: Dimostrare la validita della formula di cui sopra. m a = bv sin ' + se V e levogira rispetto ad a se V e destrogira rispetto ad a 3

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