Dietro la curva di domanda: Q d =Q d (P) Ovvero: Come ci comportiamo? E perché? (Capitolo 3 del libro di testo di micro)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Dietro la curva di domanda: Q d =Q d (P) Ovvero: Come ci comportiamo? E perché? (Capitolo 3 del libro di testo di micro)"

Transcript

1 Dietro la curva di domanda: Q d =Q d (P) Ovvero: Come ci comportiamo? E perché? (Capitolo 3 del libro di testo di micro) Mio Prologo Ripeto i concetti della prima lezione: Nessun uomo dovrebbe essere un'isola: gli scambi ci migliorano la vita. Dunque si scambia, cioè si agisce, cioè ci si comporta. Le due ipotesi fondamentali della teoria economica, il cui oggetto di studio è un insieme di decisori interagenti, richiedono che le loro azioni siano compatibili e derivino da scelte libere (ne abbiamo già discusso). Compatibili significa che non si ostacolano tra di loro, per cui è possibile arrivare all'equilibrio economico. Comunque la compatibilità è un requisito di sistema e non individuale. Qui, invece, ci limitiamo al livello individuale: studiamo le scelte di uno di noi, non ci preoccupiamo di se/come le nostre scelte impattano sul benessere degli altri. L ipotesi che le azioni siano delle scelte presuppone che: 1. siano disponibili e possibili azioni alternative, 2. ci sia un criterio di scelta, ad esempio il perseguimento di un obiettivo. Ovvero: agire/scegliere è opportuno, ma come scegliere? Senza un criterio di scelta, senza un obiettivo, l azione è indeterminata e può essere una qualsiasi. Ad esempio, può essere scelta a caso fra le alternative possibili. Il criterio di scelta di un agente è associato, nell analisi economica, a preferenze sull insieme delle azioni: preferisco ergo scelgo. M. Bovi Pag. 1

2 Sono dunque le preferenze, cioè i gusti, che riflettono il fine dell agente. Lo trovate realistico? Quando agite/scegliete voi, lo fate a caso? O avete un obiettivo? Ad esempio, Bentham (un filosofo padre dell Utilitarismo) alcuni secoli fa diceva che noi agiamo col fine di massimizzare il nostro benessere e di minimizzare le nostre sofferenze. Vi ci riconoscete? Lo trovate strano? Faccio notare che l Economia è una scienza teoretica e quindi si astiene dai giudizi di valore, cioè non stabilisce i fini degli individui, non dice se il fine scelto è giusto o sbagliato. Studia solo le conseguenze delle scelte e prende i fini umani come un dato. Dunque, i (nostri) gusti sono importanti e meritano di essere studiati in modo approfondito e con criteri scientifici: Spesso, in Economia, le migliori domande sono di natura filosofica, le migliori risposte sono di tipo analitico. Vediamo meglio. Gli economisti standard (es. Walras, ma anche noi in questa e nelle prossime lezioni) ipotizzano che l agente è un Homo Economicus. Cioè: * razionale (persegue una funzione obiettivo); * informato (conosce la propria funzione obiettivo e l ambiente in cui agisce/sceglie); * intelligente (ha capacità di calcolo); * auto-interessato (il suo benessere dipende solo da quanto consuma lui, gli altri non contano). Bene, ma perché l Economia (standard) si è messa a studiare proprio questo genere di persona? M. Bovi Pag. 2

3 La Filosofia e l Economia Suggerimenti dei filosofi su cosa guida i comportamenti nell Uomo come individuo e come parte della Società. IV secolo ac: Felicità e Razionalità Scuola cirenaica L origine di ogni comportamento umano è il piacere (edonismo). Solo il piacere è il bene e solo il dolore è il male. Platone La ricerca del piacere allontana dal sommo bene, che è la felicità. La felicità individuale dipende direttamente dalla giustizia e dalla felicità collettiva, nel senso che nessun individuo può sperare di vivere felicemente se non in una Società ben ordinata. La psiche(=anima in greco) è costituita da tre parti: 1. Razionalità 2. Due componenti non razionali: 2a Pulsioni irrazionali 2b Volontà di obbedire alla ragione La parte razionale dell'anima è quella piccola parte che deve guidare le altre due componenti in modo che l'anima possa raggiungere la felicità. (La Repubblica,IV,442) Cristianesimo La felicità non è di questo mondo. I-IV secolo dc: l Uomo è fallibile ma, razionalmente, dovrebbe imparare Cicerone nullius nisi insipientis, in errore perseverare (errare è cosa comune; è solo dell'ignorante perseverare nell'errore) S. Agostino M. Bovi Pag. 3

4 errare humanum est, perseverare autem diabolicum XVII secolo: L Uomo è soprattutto e semplicemente Ragione e Egoismo Cartesio La psiche ha una sola componente, che è razionale. ( ) i nostri piaceri dipendono totalmente dalle Passioni. Ma la Saggezza si dimostra utile soprattutto in questo, dato che insegna a rendersene talmente padroni, e a trattarle con tanta sagacia, che i mali che esse causano sono molto sopportabili. (Les Passions de L Âme, 1649) Hobbes Homo homini lupus: Man's destructive hand spares nothing that lives; he kills to feed himself, he kills to clothe himself, he kills to adorn himself, he kills to attack, he kills to defend himself, he kills to instruct himself, he kills to amuse himself, he kills for the sake of killing. (De Cive, Epistola dedicatoria. The Elements of Law, Natural and Politic, 1651) XVIII secolo: L Uomo è una summa di Egoismo e Ragione David Hume Se devono fare una cosa insieme, è molto difficile, anzi impossibile, che molte persone possano mettersi d accordo ( ). Ognuno cerca un pretesto per sottrarsi alla preoccupazione ed alla spesa e cerca di scaricarne l intero peso sugli altri. (A Treatise of Human Nature, Volume II, 1739) Adam Smith Non è dalla benevolenza del macellaio, del birraio o del fornaio che ci aspettiamo il nostro desinare, ma dalla considerazione del loro interesse personale. Non ci rivolgiamo alla loro umanità, ma al loro egoismo e parliamo dei loro vantaggi, e mai delle nostre necessità. ( ) Pur agendo egoisticamente una mano invisibile ci porta, inconsapevolmente, a buoni risultati sociali. (The Wealth of Nations, 1776). M. Bovi Pag. 4

5 Immanuel Kant L illuminismo è l uscita dell uomo dallo stato di minorità che egli deve imputare a se stesso. Minorità è l incapacità di valersi del proprio intelletto senza la guida di un altro. [...] Sapere aude! Abbi il coraggio di servirti del tuo intelletto! (Risposta alla domanda: che cos è l illuminismo, 1784) Cartesio e Smith sembrano aver ragione: La rivoluzione industriale, l illuminismo, il progresso scientifico e tecnologico, tutto sembra dimostrare la potenza della ragione e il suo ruolo centrale non solo nella psiche umana ma, ipso facto, anche nella società. Hobbes e Hume sembrano aver ragione: Il progresso scientifico e tecnologico (razionalità) è molto più veloce di quello sociale (egoismo). La Scienza Economica Standard si sviluppa in questo periodo storico. Il che spiega la scelta degli economisti del tempo di Walras. La Storia, invece, non finisce qui: XIX secolo: I dubbi dell Uomo sulla razionalità dell Uomo Freud: E la sessualità, non il raziocinio, l energia primaria della psiche. Metà XX secolo: L Uomo crea il suo clone razionale, il Computer La rivincita di Cartesio: la mente umana è così potente che è in grado di ricreare se stessa (intelligenza artificiale, sistemi esperti). Fine XX secolo: L Uomo capisce che non è un Computer Platone e Freud sembrano aver ragione: La Psicologia Cognitiva dimostra che l Uomo, di fronte a problemi che M. Bovi Pag. 5

6 richiedono un ragionamento logico, molto spesso sceglie istintivamente e usa delle scorciatoie mentali. Non riuscendo a trovare le soluzioni più razionali, che pure sarebbero disponibili evitando le scorciatoie, l Uomo sbaglia e non impara dai suoi errori. Kanheman, uno psicologo cognitivo, vince il Nobel per l'economia nel 2002). La Neuroscienza dimostra che le emozioni interferiscono profondamente e sistematicamente con la razionalità. Insomma: dopo vari millenni e molti pensatori geniali molte domande restano senza una risposta definitiva: Come agiamo? Perché agiamo? Forse siamo razionali ma non così tanto da capire che lo siamo? Forse siamo così emotivi da crederci razionali? Ora, comunque, dovrebbero essere più chiari sia il quadro concettuale di riferimento sia i pregi, i difetti e i limiti di analizzare l Homo walrasiano. Detto ciò, la Scienza Economica è sempre attenta ai nuovi schemi comportamentali. E il nostro mestiere e, d'altronde, abbiamo strumenti analitici a geometria sociale variabile. Per dire, si studiano anche preferenze sociali quali l altruismo, il senso di colpa, l invidia, ecc. ma anche altre caratteristiche molto umane come le tentazioni e il modo di affrontare il futuro o situazioni rischiose a cui accenneremo dopo queste lezioni sull homo walrasiano. Esempio. Perché studiare l'altruismo? Come si può spiegare con l economia standard che in molti paesi ci sono milioni di volontari che lavorano gratis? Milioni? Sì: in Italia sono più di 6 milioni e mezzo: M. Bovi Pag. 6

7 Sei milioni sono tanti, ma è ovvio che non tutti fanno volontariato. Per cui ora torniamo all'uomo walrasiano che non è ancora estinto. M. Bovi Pag. 7

8 DALLE PREFERENZE ALL UTILITA' Ingredienti della Teoria Economica standard: Utilità (totale e marginale) Preferenze e loro ordinamento Curva di indifferenza (CI) Saggio Marginale di Sostituzione (pendenza della CI) M. Bovi Pag. 8

9 UTILITA' TOTALE Come possiamo quantificare il benessere (soddisfazione, piacere...) che ci dà il consumo di un bene che abbiamo scelto di consumare? A domanda psico-filosofica, segue risposta analitica: la fz. di utilità. Intuitivamente: si ha una funzione quando si riesce a stabilire un legame tra due insiemi diversi in modo che ad elementi del primo insieme corrispondano (uno o più) elementi del secondo insieme. Esempio economico con gli insiemi U e q: U = 2q ovvero, ogni unità di consumo del bene q mi fornisce una Utilità pari a 2. Naturalmente, il legame deve avere certe caratteristiche. Perciò definiamo la funzione e facciamo delle ipotesi sulla sua forma. M. Bovi Pag. 9

10 UTILITA' MARGINALE Le ipotesi non finiscono con più è meglio, per la nostra Teoria serve di più. In particolare, si suppone che l Utilità marginale sia decrescente: più è meglio, ma il piacere del consumo si riduce con la quantità consumata. Andiamo con ordine e definiamo: M. Bovi Pag. 10

11 Logica della ipotesi di utilità marginale decrescente: il piacere diminuisce col consumo. Dalla 11 a unità consumata in poi, l ulteriore consumo non dà ulteriore utilità. Immaginate che qa=bicchieri d acqua: il troppo stroppia Bevendo ancora, probabilmente l utilità totale calerebbe poiché quella marginale diverrebbe negativa. In questo esempio, qa=11 è il PUNTO DI SAZIETA. M. Bovi Pag. 11

12 Ovviamente, il punto di sazietà è soggettivo (dietro le curve ci siamo noi). M. Bovi Pag. 12

13 UTILITA' E ORDINAMENTO DELLE PREFERENZE Il sistema di preferenza è rappresentabile con una funzione di utilità se è possibile associare ad ogni azione (i.e. ad ogni scelta) un numero in modo che se un azione è preferita ad un altra, allora ad essa corrisponde un numero relativamente più grande. Ricordate che il nostro fine qui è quantificare i nostri gusti : dalle preferenze (elemento sensoriale ) all utilità (elemento analitico). Curiosità intellettuale: il Teorema della Rappresentazione di Debreu Giusto per vedere come si possono studiare analiticamente assunzioni comportamentali di tipo psico-filosofico, vi scrivo la parte finale del Teorema della Rappresentazione di Debreu. Dati due beni x, y, se le preferenze, definite su, sono (riflessive,) complete, transitive, continue e strettamente monotoniche, allora esiste una funzione tale che: M. Bovi Pag. 13

14 In parole semplici: date le citate ipotesi sui gusti è possibile rappresentare questi ultimi mercé funzioni di utilità che conservano l ordine dei miei gusti. Cioè: se secondo i miei gusti io preferisco (debolmente) x a y allora, se consumo x la funzione di utilità mi darà un valore (=mi quantificherà un livello di piacere) non minore rispetto a quello che mi darebbe se consumassi y. Vale anche il viceversa (dall utilità alle preferenze). Insomma: Teorema della Rappresentazione = posso rappresentare i gusti attraverso funzioni di utilità. I gusti, però, possiamo solamente ordinarli (q 1 mi piace più di q 2 ) ma non quantificarli. In modo non rigoroso, ma utile per i nostri scopi, possiamo dire che: un numero può essere usato per due scopi differenti. 1) per descrivere una grandezza => numero cardinale, 2) per descrivere una posizione => numero ordinale. Utilità ordinale vuol dire infatti che conta solo il segno della differenza [U(q1)-U(q2)] poiché è questo segno che ci indica se q1 è preferito a q2 (o viceversa). Tuttavia, NON possiamo dire di quanto q1 è preferito a q2 (o viceversa) perché l utilità è solo ordinale. Ma perché l utilità è concetto solo ordinale e non anche cardinale? Risposta: M. Bovi Pag. 14

15 Perché teorizzare l utilità cardinale vorrebbe dire che si riesce a quantificare esattamente i gusti/preferenze: - un conto è dire che la panna mi piace più della nutella, - un altro è dire che mi piace il 31% in più della nutella. Siete d accordo che la seconda frase è eccessiva? Come si può quantificare una sensazione? (NB in questi ultimi anni stanno provando a farlo i neuroscienziati, ma qui limitiamoci all analisi standard). Ma, forse ancor di più, la cardinalità implicherebbe una questione politica piuttosto seria. In presenza di due o più persone, infatti, la faccenda della quantificazione si complica ulteriormente. E giusto e ha senso dire che: a me la panna piace 3,2 volte più che a te? Tenete presente che sulla base di questi calcoli e teorie ci si basano (o potrebbero basarsi) interventi politici. Per ora non approfondiamo e diciamo che, grazie agli studi degli economisti, si può dimostrare che l ordinalità può essere sufficiente per costruire una Teoria del (comportamento del) Consumatore. In merito è oltremodo importante notare che le funzioni di utilità e le quantificazioni che ne derivano - NON sono necessarie per la Teoria del Consumatore. La Teoria del Consumatore, infatti, regge anche se ci si limita alle assunzioni che stanno dietro alle curve di indifferenza (CI) che vedremo tra qualche pagina. Procediamo, dunque, come se non avessimo mai parlato di funzioni di utilità: si riparte dalle preferenze e si definisce l oggetto grafico le CI - facendo delle ipotesi che lo rendano realistico o, almeno, plausibile. M. Bovi Pag. 15

16 Preferenze del consumatore e loro rappresentazione M. Bovi Pag. 16

17 RELAZIONI DI PREFERENZA M. Bovi Pag. 17

18 ASSUNZIONI SULL'ORDINAMENTO DELLE PREFERENZE Vediamole una alla volta. M. Bovi Pag. 18

19 COMPLETEZZA TRANSITIVITA' Dati tre panieri A, B, C se A B e B C => deve essere che A C se A ~ B e B ~ C => deve essere che A ~ C Poi vedremo meglio il perché con l ausilio di un grafico. Per ora continuiamo con altre ipotesi alla base della Teoria del Consumatore via Curve di Indifferenza. M. Bovi Pag. 19

20 ULTERIORI IPOTESI: GUSTI REGOLARI (well-behaved) Vediamole una alla volta. M. Bovi Pag. 20

21 3. NON SAZIETA' (MAGGIORE QUANTITA' E' MEGLIO) M. Bovi Pag. 21

22 4. PREFERENZA PER LA VARIETA' (PIU' QUALITA' E' MEGLIO) M. Bovi Pag. 22

23 DALLE PREFERENZE ALLE CURVE DI INDIFFERENZA Finora abbiamo visto come trasformare le preferenze in funzioni di utilità, ovvero come graficare ordinatamente i nostri gusti. Similmente, qui trasformiamo le preferenze in un oggetto grafico, la Curva di Indifferenza (CI). Evidentemente, CI e funzioni di utilità hanno dei legàmi. Ma, come già detto, posso studiare le preferenze direttamente tramite le CI, senza usare le fz. di utilità. Definiamo il nuovo oggetto grafico. Vale la pena ripeterlo: è il consumatore (cioè noi) che liberamente sceglie (scegliamo) quali panieri gli (ci) sono indifferenti: la CI rappresenta i suoi (nostri) gusti. M. Bovi Pag. 23

24 Una mappa di curve di indifferenza: la Collina del Piacere insieme di CI che descrivono le preferenze del consumatore per tutti i possibili panieri di consumo ad ogni CI di una mappa corrisponde un diverso livello di soddisfazione A CI più alte sono associati livelli di soddisfazione maggiori NB le scritte U sono solo per farvi vedere che la linea più bassa è la meno preferita: non è necessario alcun legame con l utilità. Ricordiamoci ora le 4 proprietà delle preferenze: 1. Completezza 2. Transitività 3. Non sazietà 4. Preferenza per la varietà Ancora una volta: si parte da assunzioni sui gusti per derivare un oggetto grafico utile per fare delle analisi. Infatti: Vediamo punto per punto come disegnare curve che soddisfino le nostre ipotesi circa i nostri gusti (o, se non vi ci riconoscete, i gusti di una persona walrasiana). M. Bovi Pag. 24

25 LA CURVA DI INDIFFERENZA HA INCLINAZIONE NEGATIVA Perciò la CI non può essere rettilinea Se non può essere rettilinea, vediamo come l ipotesi sui gusti che la media sia preferita agli estremi renda curva la CI (i panieri F e H devono essere più in alto del - cioè devono essere preferiti al paniere A): M. Bovi Pag. 25

26 LA CURVA DI INDIFFERENZA E' CONVESSA: in ogni suo punto il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) è diverso NB SMS è la pendenza della CI (ricordate il discorso sull elasticità?). Vediamo meglio perché l ipotesi di preferenza per la varietà sembra plausibile M. Bovi Pag. 26

27 SIGNIFICATO ECONOMICO DELL SMS: A quanto sono disposto a rinunciare? Dipende da quanto ne ho e da quanto lo preferisco! ESEMPIO: se ho tanti vestiti (V) e poco cibo (C), a parità di piacere, scambierei molti V per poco C. Vi convince? Gli economisti (di 100 anni fa) erano poi così fuori dal mondo? Non assomiglia all ipotesi di utilità marginale decrescente? Vedremo che è proprio così M. Bovi Pag. 27

28 SMS COME CONCETTO GRAFICO SMS COME CONCETTO ANALITICO Supponiamo che il consumatore cambi il consumo di quantità pari a q1 e q2. La sua utilità cambia così ( U=differenziale totale): U=U 1 q1 + U 2 q2 Se costui vuole rimanere sulla stessa CI allora U=0 => U = 0 = U 1 q1 + U 2 q2 => -U 1 U 2 = q2/ q1 => SMS = U 1 U 2 = -( q2/ q1) IL SMS E UN CONCETTO CON DUE SIGNIFICATI. ESSO E UN 1) RAPPORTO DI VARIAZIONI TRA BENI ( q2/ q1) 2) RAPPORTO TRA UTILITA MARGINALI (U 1 U 2 ) Come detto, la Teoria del Consumatore regge anche solo col primo concetto che usa le CI e non necessariamente le funzioni di utilità. M. Bovi Pag. 28

29 PIU' ALTA LA CI, PIU' GRANDE E' IL PIACERE (UTILITA ) A parole: D è preferito ad A (ha maggiori quantità di entrambi i beni => non si discute: più è meglio); D e E sono indifferenti per il consumatore: stanno sulla stessa CI Ergo E è preferito ad A Si può generalizzare: qualunque paniere su una CI più alta è strettamente preferito a qualunque paniere su una CI più bassa. Ricordo che ad ogni CI di una data mappa corrisponde un diverso livello di soddisfazione. D altronde, come potrebbero coesistere due CI diverse ma con lo stesso contenuto di piacere? E chiaro che si tratta di un ossimoro. Le CI, possono incrociarsi? No! Qui la logica di questa caratteristica grafica delle CI deriva dall ipotesi di coerenza del consumatore. M. Bovi Pag. 29

30 LE CI NON SI POSSONO INCROCIARE Transitività NON soddisfatta! M. Bovi Pag. 30

31 DUE CASI PARTICOLARI BENI SOSTITUTI => CONSUMO ALTERNATIVO BENI COMPLEMENTI => CONSUMO PROPORZIONALE I BENI PERFETTI SOSTITUTI SODDISFANO LO STESSO BISOGNO (diciamo: benzina Agip o Q8): M. Bovi Pag. 31

32 Qui si scambiano 1 a 1 (ma potrebbe essere 1 a 2, comunque: SMS=cost) M. Bovi Pag. 32

33 BENI COMPLEMENTARI Es. Linea celeste: se q 2 passa da 2 a 4 rimango sulla stessa curva celeste => avere 2 o 4 guanti sx, se ho solo 2 guanti dx, non mi dà maggiore utilità. M. Bovi Pag. 33

34 DOPO I GUSTI, ENTRANO IN SCENA I PREZZI: IL VINCOLO DI BILANCIO Entrate coi vostri bimbi in un negozio di giocattoli: vi spiegheranno molto chiaramente che cosa vuol dire avere preferenze senza vincoli! Se tutti (o in molti) ci comportassimo così, la Scienza Economica cambierebbe assunzioni comportamentali e studierebbe questo nuovo Mondo Bimbo. Ma cosa succederebbe in un simile Mondo? Vincolo: non posso spendere più del mio budget M. Bovi Pag. 34

35 Perché il rapporto tra R e prezzi è il valore della relativa intercetta? Perché il rapporto tra i due prezzi è la pendenza della retta di bilancio? Ecco i calcoli per un bilancio generico (cioè con beni x e y): M. Bovi Pag. 35

36 Dunque: Al solito, vediamo che cosa succede cambiando una sola cosa alla volta (i.e., ceteris paribus). Iniziamo con R: perché in parallelo? M. Bovi Pag. 36

37 NB: pendenza=p C /P V Con PV = 2= costante. Notate che scrivendo R=PcC+PvV sto implicitamente assumendo che spendo tutto. Cioè non risparmio nulla. Infatti qui il Mondo è senza Tempo, cioè tutto (scelte, consumi, ) avviene in un istante. In altre lezioni il Tempo entrerà nelle nostre teorie. Qui ne facciamo a meno per focalizzare l attenzione sulla scelta ottima del consumatore quando non è possibile risparmiare. Notate, infine, il fondamentale ruolo dei prezzi nell economia di mercato: come scritto nelle dispense introduzione, essi eliminano gli squilibri tra Dom. e Off. Inoltre, i prezzi evitano sprechi di risorse. Pensiamo all aria: essa è gratis e, quindi, non c è un mercato dell aria. Bene, direbbe qualcuno: l aria è di tutti e guai a chi ce la tocca. Però, siccome è gratis(=non c è il freno dei P) e l Uomo si comporta come un bimbo egoista, allora la si consuma in eccesso. Cioè la si inquina perché tanto è gratis (cfr. dispense introduzione ). Si potrebbe fare un discorso simile per l enorme indebitamento e spesa pubblica presente in molti paesi? M. Bovi Pag. 37

38 Perché il paniere deve trovarsi proprio SULLA retta di bilancio? Iniziamo con la scelta del bimbo, il punto D: Dobbiamo dunque ridurre le nostre pretese: caliamo al punto B. M. Bovi Pag. 38

39 Anche a occhio si capisce che potrei permettermi una CI (e => una utilità) più elevata di quella che ottengo consumando B. Infatti, punto A: (Unità alla settimana) Un caso particolare: M. Bovi Pag. 39

40 Torniamo al caso generale e vediamone le logiche Logica economica del punto A: vorrei di più, ma non posso; se ho di meno, voglio e posso. Infatti, per ipotesi, più è meglio: desidero la CI più elevata possibile. Insomma: voglio usare tutto il budget per raggiungere la CI più alta possibile. Logica analitica del punto A: se la retta di bilancio è tangente alla CI allora sto sulla CI più alta possibile. Quand è che due curve sono tangenti? Quando le loro pendenze sono uguali. M. Bovi Pag. 40

41 Vista la scelta ottima tramite CI, vediamola con la fz. di utilità: M. Bovi Pag. 41

42 A parole qui con due soli beni o panieri (q1 e q2) ma vale in generale - questo principio funziona così: all inizio scelgo/acquisto/consumo il bene con la maggiore utilità (diciamo q1). Per il principio delle utilità marginali decrescenti, però, ad un certo punto l utilità che mi dà l ultimo consumo (appunto l utilità del consumo marginale) di q1 mi diventa pari a quella di q2. A questo punto ragiono: se continuassi a consumare q1 allora l utilità che mi dà q1 scenderebbe al di sotto di quella di q2; se mi fermassi prima allora l utilità che mi dà q1 sarebbe ancora maggiore di quella di q2. In entrambi i casi, potrei dunque migliorare il mio piacere. Ecco perché ci si ferma proprio quando le utilità marginali (divise per i prezzi che sono esogeni) sono uguali. Il ruolo dei prezzi è il seguente: sarò all apice (vincolato) del mio colle del piacere se e solo se l ultimo euro speso in q1 mi dà la stessa soddisfazione dell ultimo euro speso in q2. Fermarmi prima o dopo mi ridurrebbe inevitabilmente il piacere. Dopo quanto detto dovrebbe essere chiaro che: 1) questo è un principio normativo: se vogliamo massimizzare il nostro benessere dovremmo comportarci esattamente così. 2) il concetto di utilità non è necessario e, da questo punto di vista, la Teoria non è criticabile per il suo uso. M. Bovi Pag. 42

43 MASSIMIZZAZIONE VINCOLATA COL METODO DI LAGRANGE Abbiamo visto che il problema del consumatore è massimizzare il proprio benessere dato il vincolo di bilancio. C è un metodo matematico per risolvere questo genere di problemi. Vediamone l essenza. Abbiamo due beni, x1 e x2, che costano rispettivamente p1 e p2 e dobbiamo scegliere quanto consumare di entrambi volendo massimizzare (=trovare il valore più alto del) la nostra funzione di utilità (u): Abbiamo però un vincolo di bilancio: non possiamo spendere più del nostro budget (m): Il metodo elaborato da Lagrange risolve la faccenda così: mettiamo insieme il vincolo e la funzione di utilità in una nuova funzione (detta L=lagrangiana) in modo da avere solamente una funzione da massimizzare (il vincolo entra in L col segno meno: vi sorprende?): è il cosiddetto moltiplicatore di Lagrange. M. Bovi Pag. 43

44 Il buon Lagrange ha dimostrato che, se massimizzo L, allora sono sicuro che sto massimizzando tenendo conto anche del vincolo. Dovrebbe essere noto che il massimo di una funzione si trova uguagliando a zero la derivata prima. Facciamolo per tutti e tre gli argomenti di L: A questo punto, tralasciando la terza, si nota che le prime due equazioni sono entrambe uguali a zero. Pertanto si uguagliano e si può scrivere: Perché abbiamo scritto così? Risp. perché le due seguenti espressioni non sono altro che le utilità marginali dei due beni calcolate nel punto di massimo=ottimo. Si mettono gli asterischi proprio perché si tratta di derivate nel punto di massimo=ottimo. Dovreste riconoscere che la precedente uguaglianza è proprio il già visto principio di ottimo stabilito dell uguaglianza delle utilità marginali ponderate (per i prezzi) quando i due beni sono x1=cibo e x2=vestiti: Morale di queste lezioni: Filosofia, Economia e Matematica al servizio del consumatore M. Bovi Pag. 44

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Economia del Lavoro 2010

Economia del Lavoro 2010 Economia del Lavoro 2010 Capitolo 1-3 Offerta di lavoro -Le preferenze del lavoratore 1 Offerta di lavoro Le preferenze del lavoratore Il comportamento dell offerta di lavoro è analizzato dagli economisti

Dettagli

Effetto reddito ed effetto sostituzione.

Effetto reddito ed effetto sostituzione. . Indice.. 1 1. Effetto sostituzione di Slutsky. 3 2. Effetto reddito. 6 3. Effetto complessivo. 7 II . Si consideri un consumatore che può scegliere panieri (x 1 ; ) composti da due soli beni (il bene

Dettagli

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15)

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE Esistono molteplici relazioni tra mercati Per comprendere il funzionamento dell economia è quindi indispensabile

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

Equilibrio economico generale e benessere

Equilibrio economico generale e benessere Scambio Equilibrio economico generale e benessere Equilibrio economico generale e benessere (KR 12 + NS 8) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline Scambio 1 Scambio 2 3 4

Dettagli

Corso di Politica Economica

Corso di Politica Economica Corso di Politica Economica Lezione 6: Equilibrio economico generale (part 2) David Bartolini Università Politecnica delle Marche (Sede di S.Benedetto del Tronto) d.bartolini@univpm.it (email) http://utenti.dea.univpm.it/politica

Dettagli

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 12 Il monopolio IL MONOPOLIO Il monopolio è una forma di mercato in cui un unico venditore offre un bene che non ha stretti sostituti, ad una moltitudine di consumatori La differenza fondamentale

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Alcolismo: anche la famiglia e gli amici sono coinvolti

Alcolismo: anche la famiglia e gli amici sono coinvolti Alcolismo: anche la famiglia e gli amici sono coinvolti Informazioni e consigli per chi vive accanto ad una persona con problemi di alcol L alcolismo è una malattia che colpisce anche il contesto famigliare

Dettagli

Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza

Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza Funzione del benessere sociale e trade-off equità ed efficienza Economia Pubblica lezione 3 1 Esistono infinite allocazioni Pareto-efficienti: Frontiera del Benessere (FB) o grande frontiera dell utilità

Dettagli

L Economia del Benessere

L Economia del Benessere L Economia del Benessere L'Economia del Benessere è la branca normativa della Scienza Economica. In quest'area della ricerca vengono studiate e definite delle regole (o dei metodi) per poter classificare,

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

Ci relazioniamo dunque siamo

Ci relazioniamo dunque siamo 7_CECCHI.N 17-03-2008 10:12 Pagina 57 CONNESSIONI Ci relazioniamo dunque siamo Curiosità e trappole dell osservatore... siete voi gli insegnanti, mi insegnate voi, come fate in questa catastrofe, con il

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best La mano invisibile e i due teoremi fondamentali dell economia del benessere Nel 1776 Adam Smith nella Ricchezza delle

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

1 Il criterio Paretiano e la "Nuova economia del Benessere"

1 Il criterio Paretiano e la Nuova economia del Benessere 1 Il criterio Paretiano e la "Nuova economia del Benessere" 1.1 L aggregazione di preferenze ordinali inconfrontabili e il criterio di Pareto L aggregazione delle preferenze individuali è problematica

Dettagli

LA RICERCA DI DIO. Il vero aspirante cerca la conoscenza diretta delle realtà spirituali

LA RICERCA DI DIO. Il vero aspirante cerca la conoscenza diretta delle realtà spirituali LA RICERCA DI DIO Gradi della fede in Dio La maggior parte delle persone non sospetta nemmeno la reale esistenza di Dio, e naturalmente non s interessa molto a Dio. Ce ne sono altre che, sotto l influsso

Dettagli

I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche

I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche (versione provvisoria) Marisa Faggini Università di Salerno mfaggini@unisa.it I beni pubblici rappresentano un esempio

Dettagli

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Sommario Z 1. L elasticità della domanda rispetto al prezzo. - 2. La misura dell elasticità. - 3. I fattori determinanti l elasticità. - 4. L elasticità rispetto

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Proposta per un Nuovo Stile di Vita.

Proposta per un Nuovo Stile di Vita. UNA BUONA NOTIZIA. I L M O N D O S I P U ò C A M B I A R E Proposta per un Nuovo Stile di Vita. Noi giovani abbiamo tra le mani le potenzialità per cambiare questo mondo oppresso da ingiustizie, abusi,

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

Capitolo 6. La produzione. A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1. Questo file (con nome cap_06.pdf)

Capitolo 6. La produzione. A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1. Questo file (con nome cap_06.pdf) Capitolo 6 La produzione A.A. 2013-2014 Microeconomia - Cap. 6 1 Questo file (con nome cap_06.pdf) può essere scaricato da siti e file elearning.moodle2.unito.it/esomas/course/ view.php?id=215 abbreviato

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA

SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA LIBRO IN ASSAGGIO SETTE MOSSE PER LIBERARSI DALL ANSIA DI ROBERT L. LEAHY INTRODUZIONE Le sette regole delle persone molto inquiete Arrovellarvi in continuazione, pensando e ripensando al peggio, è la

Dettagli

IL TUO CORPO NON E STUPIDO! Nonostante se ne parli ancora oggi, il concetto di postura corretta e dello stare dritti è ormai superato.!!

IL TUO CORPO NON E STUPIDO! Nonostante se ne parli ancora oggi, il concetto di postura corretta e dello stare dritti è ormai superato.!! IL TUO CORPO NON E STUPIDO Avrai sicuramente sentito parlare di postura corretta e magari spesso ti sei sentito dire di stare più dritto con la schiena o di non tenere le spalle chiuse. Nonostante se ne

Dettagli

Fin dove andrà il clonaggio?

Fin dove andrà il clonaggio? Fin dove andrà il clonaggio? Mark Post, il padrone della sezione di fisiologia dell Università di Maastricht, nei Paesi Bassi, ha dichiarato durante una conferenza tenuta a Vancouver, in Canada, che aveva

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

QUESTIONARIO SUGLI STILI DI APPRENDIMENTO

QUESTIONARIO SUGLI STILI DI APPRENDIMENTO QUESTIONARIO SUGLI STILI DI APPRENDIMENTO Le seguenti affermazioni descrivono alcune abitudini di studio e modi di imparare. Decidi in quale misura ogni affermazione si applica nel tuo caso: metti una

Dettagli

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 10 Costi COSTI Per poter realizzare la produzione l impresa sostiene dei costi Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori produttivi per l impresa È bene ricordare che la categoria

Dettagli

Spinoza e il Male. Saitta Francesco

Spinoza e il Male. Saitta Francesco Spinoza e il Male di Saitta Francesco La genealogia del male è sempre stato uno dei problemi più discussi nella storia della filosofia. Trovare le origini del male è sempre stato l oggetto principale di

Dettagli

Beni pubblici e analisi costi benefici

Beni pubblici e analisi costi benefici Beni pubblici e analisi costi benefici Arch. Laura Gabrielli Valutazione economica del progetto a.a. 2005/06 Economia pubblica L Economia pubblica è quella branca della scienza economica che spiega come

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle

Dettagli

Lezione XII: La differenziazione del prodotto

Lezione XII: La differenziazione del prodotto Lezione XII: La differenziazione del prodotto Ci sono mercati che per la natura del loro prodotto, la numerosità dei soggetti coinvolti su entrambi i lati del mercato (e in particolare, la bassa concentrazione

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

John Dewey. Le fonti di una scienza dell educazione. educazione

John Dewey. Le fonti di una scienza dell educazione. educazione John Dewey Le fonti di una scienza dell educazione educazione 1929 L educazione come scienza indipendente Esiste una scienza dell educazione? Può esistere una scienza dell educazione? Ṫali questioni ineriscono

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Lavorare in gruppo. Corso di formazione per i dipendenti dell Università di Palermo

Lavorare in gruppo. Corso di formazione per i dipendenti dell Università di Palermo Lavorare in gruppo Corso di formazione per i dipendenti dell Università di Palermo Premessa La conoscenza del gruppo e delle sue dinamiche, così come la competenza nella gestione dei gruppi, deve prevedere

Dettagli

Alberto Bartoli Presidente Corso di Studi Ingegneria Informatica Coordinatore Dottorato di Ricerca Ingegneria dell Informazione

Alberto Bartoli Presidente Corso di Studi Ingegneria Informatica Coordinatore Dottorato di Ricerca Ingegneria dell Informazione Alberto Bartoli Presidente Corso di Studi Ingegneria Informatica Coordinatore Dottorato di Ricerca Ingegneria dell Informazione Dipartimento di Elettrotecnica, Elettronica, Informatica Università di Trieste

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

ITCG Cattaneo via Matilde di canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (RE) SEZIONE I.T.I. - Corso di Fisica - prof. Massimo Manvilli

ITCG Cattaneo via Matilde di canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (RE) SEZIONE I.T.I. - Corso di Fisica - prof. Massimo Manvilli ITCG C. CATTANEO via Matilde di Canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (Reggio Emilia) Costruzione del grafico di una funzione con Microsoft Excel Supponiamo di aver costruito la tabella riportata in figura

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Unità 1. I Numeri Relativi

Unità 1. I Numeri Relativi Unità 1 I Numeri Relativi Allinizio della prima abbiamo introdotto i 0numeri 1 naturali: 2 3 4 5 6... E quattro operazioni basilari per operare con essi + : - : Ci siamo però accorti che la somma e la

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa

Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Gli uni e gli altri. Strategie in contesti di massa Alessio Porretta Universita di Roma Tor Vergata Gli elementi tipici di un gioco: -un numero di agenti (o giocatori): 1,..., N -Un insieme di strategie

Dettagli

Gioco d Azzardo Patologico (GAP): anche la famiglia e gli amici sono coinvolti

Gioco d Azzardo Patologico (GAP): anche la famiglia e gli amici sono coinvolti Gioco d Azzardo Patologico (GAP): anche la famiglia e gli amici sono coinvolti Informazioni e consigli per chi vive accanto ad una persona con problemi di gioco d azzardo patologico Testo redatto sulla

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

ADOZIONE DA PARTE DI COPPIE OMOSESSUALI

ADOZIONE DA PARTE DI COPPIE OMOSESSUALI ADOZIONE DA PARTE DI COPPIE OMOSESSUALI L argomento che tratterò è molto discusso in tutto il mondo. Per introdurlo meglio inizio a darvi alcune informazioni sul matrimonio omosessuale, il quale ha sempre

Dettagli

L impresa che non fa il prezzo

L impresa che non fa il prezzo L offerta nei mercati dei prodotti L impresa che non fa il prezzo L impresa che non fa il prezzo (KR 10 + NS 6) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline L offerta nei mercati

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Il mondo in cui viviamo

Il mondo in cui viviamo Il mondo in cui viviamo Il modo in cui lo vediamo/ conosciamo Dalle esperienze alle idee Dalle idee alla comunicazione delle idee Quando sono curioso di una cosa, matematica o no, io le faccio delle domande.

Dettagli

SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE A TRE DIMENSIONI AVENTI TUTTI I GENERI NULLI

SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE A TRE DIMENSIONI AVENTI TUTTI I GENERI NULLI G. FANO (Torino - Italia) SULLE VARIETÀ ALGEBRICHE A TRE DIMENSIONI AVENTI TUTTI I GENERI NULLI 1. - La distinzione, che pareva tradizionale, tra scienze di ragionamento e scienze sperimentali è ormai

Dettagli

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi il risparmio, dove lo ora? metto le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi Vademecum del risparmiatore le principali domande emerse da una recente ricerca di mercato 1

Dettagli

TELEFONO AZZURRO. dedicato ai bambini COS E IL BULLISMO? IL BULLISMO?

TELEFONO AZZURRO. dedicato ai bambini COS E IL BULLISMO? IL BULLISMO? COS E IL BULLISMO? IL BULLISMO? 1 Ehi, ti e mai capitato di assistere o essere coinvolto in situazioni di prepotenza?... lo sai cos e il bullismo? Prova a leggere queste pagine. Ti potranno essere utili.

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE O B I E T T I V I M I N I M I P E R L A S C U O L A P R I M A R I A E S E C O N D A R I A D I P R I M O G R A D O ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE Ascoltare e comprendere semplici consegne operative Comprendere

Dettagli

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi ONDI OMUNI: AI A CELTA IUSTA Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi CONOSCERE I FONDI D INVESTIMENTO, PER FARE SCELTE CONSAPEVOLI I fondi comuni sono

Dettagli

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina

Sistemi di supporto alle decisioni Ing. Valerio Lacagnina Cosa è il DSS L elevato sviluppo dei personal computer, delle reti di calcolatori, dei sistemi database di grandi dimensioni, e la forte espansione di modelli basati sui calcolatori rappresentano gli sviluppi

Dettagli

UD 1.1 - LE NORME SOCIALI

UD 1.1 - LE NORME SOCIALI UD 1.1 - LE NORME SOCIALI Vivere in un mare di norme La nostra vita si svolge in un mondo di norme affermava in un suo famoso libro il grande filosofo protagonista del ventesimo secolo Norberto Bobbio.

Dettagli

prova, e che sembra provenire dal nostro interno, è una caratteristica fondamentale dell esperienza emotiva.

prova, e che sembra provenire dal nostro interno, è una caratteristica fondamentale dell esperienza emotiva. M. Cristina Caratozzolo caratozzolo2@unisi.it Psicologia Cognitiva A.A. 2010/2011 Dipartimento di Scienze della Comunicazione Università di Siena } Il termine ha origine dal latino emovere, cioè muovere

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Ludovica Scarpa Che cos è la competenza sociale?

Ludovica Scarpa Che cos è la competenza sociale? Ludovica Scarpa Che cos è la competenza sociale? Come l intelligenza e l empatia, e un poco come tutte le caratteristiche che contraddistinguono gli esseri umani, anche la competenza sociale non è facile

Dettagli

IL SENSO DELLA CARITATIVA

IL SENSO DELLA CARITATIVA IL SENSO DELLA CARITATIVA SCOPO I Innanzitutto la natura nostra ci dà l'esigenza di interessarci degli altri. Quando c'è qualcosa di bello in noi, noi ci sentiamo spinti a comunicarlo agli altri. Quando

Dettagli

STRUMENTI DI ANALISI E DI INTERPRETAZIONE DEI PROBLEMI: LE TECNICHE DI PROBLEM SOLVING

STRUMENTI DI ANALISI E DI INTERPRETAZIONE DEI PROBLEMI: LE TECNICHE DI PROBLEM SOLVING STRUMENTI DI ANALISI E DI INTERPRETAZIONE DEI PROBLEMI: LE TECNICHE DI PROBLEM SOLVING Gianna Maria Agnelli Psicologa Clinica e Psicoterapeuta Clinica del Lavoro "Luigi Devoto Fondazione IRCCS Ospedale

Dettagli

Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp.

Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp. RECENSIONI&REPORTS recensione Erwin Schrödinger Che cos è la vita? La cellula vivente dal punto di vista fisico tr. it. a cura di M. Ageno, Adelphi, Milano 2008, pp. 154, 12 «Il vasto e importante e molto

Dettagli

Flusso a costo minimo e simplesso su reti

Flusso a costo minimo e simplesso su reti Flusso a costo minimo e simplesso su reti La particolare struttura di alcuni problemi di PL può essere talvolta utilizzata per la progettazione di tecniche risolutive molto più efficienti dell algoritmo

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

L apertura di una economia ha 3 dimensioni

L apertura di una economia ha 3 dimensioni Lezione 19 (BAG cap. 6.1 e 6.3 e 18.1-18.4) Il mercato dei beni in economia aperta: moltiplicatore politica fiscale e deprezzamento Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Economia

Dettagli

I cambiamenti di cui abbiamo bisogno per il futuro che vogliamo

I cambiamenti di cui abbiamo bisogno per il futuro che vogliamo I cambiamenti di cui abbiamo bisogno per il futuro che vogliamo Le raccomandazioni della CIDSE per la Conferenza delle Nazioni Unite sullo Sviluppo Sostenibile (Rio, 20-22 giugno 2012) Introduzione Il

Dettagli

Mario Polito IARE: Press - ROMA

Mario Polito IARE: Press - ROMA Mario Polito info@mariopolito.it www.mariopolito.it IMPARARE A STUD IARE: LE TECNICHE DI STUDIO Come sottolineare, prendere appunti, creare schemi e mappe, archiviare Pubblicato dagli Editori Riuniti University

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica

La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La Termodinamica ed I principi della Termodinamica La termodinamica è quella branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un sistema (sia esso naturale o costruito dall uomo), in seguito

Dettagli

1. Limite finito di una funzione in un punto

1. Limite finito di una funzione in un punto . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi

al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Evelina De Gregori Alessandra Rotondi Evelina De Gregori Alessandra Rotondi al via 1 Percorsi guidati per le vacanze di matematica e scienze per la Scuola secondaria di primo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio Test d'ingresso NUMERI

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA 1 LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA Un conduttore ideale all equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno. Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli