Metodo delle Forze nelle strutture a nodi spostabili

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1 Metodo delle Forze nelle strutture a nodi spostabili L inserimento delle cerniere nelle strutture a nodi spostabili rende queste labili ma quest operazione si rende necessaria se vogliamo utilizzare i coefficienti noti delle travi appoggiate. La struttura viene resa isostatica imponendo vincoli ausiliari come ad esempio delle bielle fittizie ed ammettendo la presenza di uno spostamento h incognito. Se gli spostamenti h fossero reali le reazioni delle bielle sarebbero nulle, da questa condizione (reazioni nulle) si ricava l entità dello spostamento. 1 Metodo biella fittizia Il metodo ha lo svantaggio di aggiungere incognite ma ha il vantaggio di poter utilizzare i noti coefficienti delle travi appoggiate. Ricavare la rotazione f 2 e lo spostamento h 2 incogniti 2 1

2 Evidenziamo in 1 il momento X = M inserendo in 1 una cerniera. Con ciò la trave diverrebbe ipostatica e non potrebbe in genere sostenere carichi esterni. Ristabiliamo l'isostaticità aggiungendo in 2 una biella fittizia imponendo però che la reazione R 2, funzione di M e di P, sia uguale a zero, cioè imponendo che: (come ottenibile direttamente usando la struttura a mensola) 3 Poiché in 2 nella realtà avviene uno spostamento h 2, questo deve essere tale da produrre in 1 la rotazione finale nulla, cioè f 1 (M,P,h 2 )= 0, in modo da soddisfare la condizione d'incastro perfetto al piede: Da quanto ottenuto con i corollari di Mohr sappiamo che: 2

3 Il problema è stato risolto ricorrendo a 2 incognite (M e h 2 ) e a 2 equazioni, di cui, l'una di equilibrio e l'altra di congruenza. Da qui la denominazione di metodo misto. In generale la struttura ipostatica, derivante dall'inserzione delle cerniere in tutti i nodi, viene resa isostatica imponendo vincoli ausiliari di ritegno (le bielle) ed ammettendo via via la presenza di uno spostamento incognito come moto rigido in corrispondenza di ciascuna biella. Se gli spostamenti imposti fossero quelli reali, i ritegni avrebbero esaurito la loro funzione e le relative reazioni complessive sarebbero nulle: da questa condizione si ricavano le entità degli spostamenti. 5 ESERCIZIO N 11 Risolvere il telaio iperstatico. 6 3

4 1 FASE Mediante le condizioni di congruenza, calcoliamo i momenti iperstatici M i0 e le forze H i0 nelle bielle. Queste forze sono le reazioni orizzontali che si scaricano sulle biellette per effetto di q ed M i 0. si considerano positive le forze 7 che tendono le biellette medesime Se H = L risulta: cioè M 20 ha senso inverso a quello ipotizzato. Dall equilibrio alla rotazione si ricava la forza nella biella: cioè di compressione. 8 4

5 2 FASE Affinché la struttura principale, sotto i carichi e le iperstatiche, venga a coincidere con quella reale, bisogna ammettere di saper imporre ai vincoli aggiuntivi (cioè alle biellette) gli stessi spostamenti orizzontali h i che avvengono nella struttura reale. Gli spostamentih i, a priori incogniti, sono definiti tali da rendere nulle le reazioni dei vincoli aggiuntivi, questo significa imporre un numero di equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale delle aste pari al numero degli spostamenti impediti. In tal modo, sovrapponendo gli effetti della 1 a e della 2 a fase, si ottiene una struttura 9 staticamente coincidente con quella di partenza. Indicato con d 3 lo spostamento unitario e detti M 1 h Ie M 2 h gli incrementi di momento dovuti a tale spostamento, le equazioni di congruenza per H=L sono: 10 5

6 trazione. 11 Imponendo ora la condizione di rendere nulla l'azione sulla bielletta (il che equivale ad imporre la condizione di equilibrio alla traslazione dell'asta 2-3) si ha: 12 6

7 I momenti finali si ottengono per sovrapposizione: Diagramma dei momenti Deformata qualitativa 13 Procedimento sintetico Per risolvere l'esercizio precedente si poteva più sinteticamente operare in un'unica fase: tenendo subito conto dello spostamento orizzontale d 3 a priori incognito che la struttura subisce per effetto dei carichi. 14 7

8 Impostiamo un sistema di tre equazioni in cui le prime due di congruenza esprimono rispettivamente l'annullamento delle rotazioni elastiche e rigide delle estremità delle aste in 1 e 2, e la terza di equilibrio, esprimente l'annullamento di tutte le forze orizzontali che vengono a sollecitare l'asta 2-3 (ossia la biella fittizia). 15 Poiché nella terza equazione risulta M 1 =M 2, sostituendo tali valori nella prima equazione si ricava per L=H: e quindi andando nuovamente a sostituire i valori precedentemente ottenuti nella seconda equazione, si ha: 16 8

9 2 modo - Struttura principale "isostatica". Allo stesso risultato si poteva giungere rendendo la struttura isostatica mediante l'introduzione di una cerniera in corrispondenza del nodo 2 ed evidenziando il corrispondente momento iperstatico M 2 : osservando allora che il pilastro 1-2 si comporta staticamente come una mensola, essendo l'estremità 1 incastrata e l'estremità 2 libera di spostarsi orizzontalmente, basta scrivere l'equazione di congruenza esprimente la condizione che sia nulla la rotazione relativa in Scrivendo l'equazione di congruenza al nodo 2 si ottiene" Per L=H risulta: Lo spostamento orizzontale del nodo 2 e quindi dell'asta 2-3 vale pertanto: La convenienza di applicazione dei tre procedimenti: - per fasi (con struttura ipostatica) - sintetico (con struttura ipostatica) - con struttura isostatica è connessa alla maggiore o minore complessità del telaio. Parrebbe di poter concludere che si ha convenienza a considerare i pilastri come travi a mensola adottando la soluzione sintetica. Ciò però non è più vero per i telai a più piani e soggetti a carichi orizzontali, lungo 18 l'altezza dei pilastri. 9