FORWARD RATE AGREEMENT

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1 FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato all istante di stipula. Al momento della stipula non è previsto alcuno scambio di denaro. Nel mercato dei tassi d interesse i beni in questione sono titoli obbligazionari. Il caso più semplice è quello di uno ZCB unitario. In tal caso si stabilisce, al momento della stipula t 0, di acquistare (o vendere), alla data futura T, lo ZCB unitario con scadenza s > T ; il prezzo v(t 0, T, s), fissato in t 0 e da pagare in T, per acquistare lo ZCB con scadenza s, viene detto prezzo a termine. Si noti che, con tale operazione a termine, si sta fissando in t 0 il tasso d interesse per operazioni di investimento (o indebitamento) da T a s; tale tasso d interesse, che indichiamo con j(t 0, T, s) e detto tasso a termine, è infatti, su base periodale, pari a j(t 0, T, s) = v(t 0, T, s). In altri termini, alla data t 0, si sta stabilendo di scambiare la somma v(t 0, T, s) alla data T con il capitale unitario alla data s; più in generale, si può stabilire di scambiare un capitale C alla data T con un capitale C [ + j(t 0, T, s)] alla data s. Un contratto scritto su un titolo, che implica cioè l acquisto o la vendita di un titolo si dice contratto o titolo derivato e il titolo su cui è scritto si dice sottostante. Un contratto a termine rientra dunque nella categoria dei titoli derivati con titolo sottostante uno ZCB. Un contratto a termine del mercato monetario è il Forward Rate Agreement (FRA). Alla data di stipula t 0, si fissano: il capitale C su cui calcolare gli interessi, detto nozionale o ammontare di riferimento, e la sua divisa; la data d inizio del periodo di godimento degli interessi T, detta data di fixing; la data di scadenza s; un tasso (semplice) detto tasso F RA T s ;

2 2 FLAVIO ANGELINI un tasso di mercato (semplice) di riferimento i per scadenza s T, il cui valore non è noto in t 0. Il costo per entrare nel contratto è nullo. Verrà liquidato all acquirente, alla data T, il differenziale, calcolato sul capitale C, tra il tasso di mercato indicato nel contratto (generalmente il tasso EURI- BOR per operazioni in EURO e il tasso LIBOR per altre valute) rilevato sul mercato in T e per scadenza s e il tasso F RA T s stabilito: Λ T (T, s) = C [i(t, s) F RA T s ] (s T )v(t, s). Il fattore di sconto v(t, s) corrisponde al tasso i(t, s): v(t, s) = [ + i(t, s)(s T )]. Nel caso i(t, s) sia maggiore di F RA T s l acquirente riceverà tale differenziale dal venditore, altrimenti lo pagherà al venditore. Tale payoff, da considerarsi con il segno, descrive una posizione long, ovvero da acquirente. Nella posizione opposta, quella del venditore, posizione short, il payoff va cambiato di segno. In altre parole vengono scambiati tra le controparti (acquirente e venditore) interessi calcolati al tasso di mercato i, non noto alla data di stipula t 0, con interessi calcolati al tasso fisso F RA T s. L acquirente paga gli interessi a tasso fisso e riceve gli interessi a tasso variabile, il venditore viceversa. In genere la somma viene liquidata in T. Nel caso il payoff venga liquidato in s, non ci sarà bisogno di scontare l importo, ovvero Λ s (T, s) = C [i(t, s) F RA T s ] (s T ). Il contratto sopra descritto può venire utilizzato come copertura dai rischi derivanti dall andamento del mercato monetario, cioè derivanti dal rialzo o dal ribasso dei tassi d interesse. Consideriamo ad esempio il caso ci si voglia coprire dal rischio di rialzo del tasso d interesse per un operazione di indebitamento da effettuare in T con scadenza in s. Se ci si indebita in T al tasso di mercato i(t, s) per una somma C, gli interessi da pagare in s saranno I(T, s) = Ci(T, s)(s T ). Se, in t 0, si entra in un contratto FRA come acquirente, in T si riceverà la somma Λ T (T, s) in T, la quale, investita al tasso di mercato i(t, s) produrrà la somma Λ s (T, s) in s. Alla data s si dovranno dunque pagare gli interessi I(T, s) e riscuotere la somma Λ s (T, s) (se positiva); il netto risulta dunque Ci(T, s)(s T ) Λ s (T, s) = CF RA T s (s T ), cioè un interesse calcolato al tasso stabilito nel contratto F RA T s. Si noti che, nel caso che il tasso di indebitamento di mercato in T sia più basso di quello fissato nel contratto, il sottoscrittore deve comunque

3 FRA 3 liquidare il payoff Λ T (T, s) (il quale in questo caso darebbe appunto risultato negativo), rimanendo dunque vincolato al tasso F RA T s stabilito. Il contratto permette dunque di fissare un tasso di interesse per operazioni di indebitamento o investimento in un istante futuro e per una certa scadenza. In tal caso si sta effettuando un operazione di copertura dal rischio di cambiamenti avversi dei tassi futuri. Il contratto può tuttavia venire utilizzato per motivi puramente speculativi. Il tasso F RA T s fissato in t 0, di solito espresso su base annua, è detto tasso a termine e viene anche indicato con i(t 0, T, s). Fissare un tasso d interesse per operazioni di indebitamento (investimento) a termine è, come detto all inizio, la stessa cosa della vendita (acquisto) a termine di uno ZCB a un prezzo v(t 0, T, s) fissato in t 0. Il payoff del contratto FRA può dunque essere espresso in termini di prezzi degli ZCB unitari. Si vede, con semplici passaggi algebrici, che il contratto FRA dovrà liquidare la differenza tra il prezzo di mercato in T dello ZCB con scadenza s e il prezzo a termine v(t 0, T, s). Precisamente il payoff Λ T (T, s) del contratto FRA può essere espresso come: Λ T (T, s) = C v(t 0, T, s) [v(t 0, T, s) v(t, s)]. Tale payoff permette al sottoscrittore del contratto di vendere, in T, C quote dello ZCB unitario con scadenza s al prezzo di v(t v(t 0,T,s) 0, T, s) per unità. C al tasso i(t 0, T, s) = C [ + i(t 0, T, s)(s T )]. In altri termini permette l indebitamento per la somma v(t 0,T,s) s T, cioè la restituzione a scadenza di 2. La relazione tra tassi a termine e tassi a pronti In un mercato perfetto, se si vogliono escludere arbitraggi, deve sussistere una relazione tra tassi a termine e tassi a pronti. Sia F RA T s il tasso a termine in t 0, i(t 0, T ) e i(t 0, s) i tassi a pronti per scadenze rispettivamente T e s. Consideriamo due operazioni di investimento in t 0 con scadenza in s: () investimento a pronti di Euro fino alla scadenza T e investimento a termine in T con scadenza in s della somma prodotta in T dall investimento iniziale; Un contratto che permette al sottoscrittore di utilizzare il più conveniente tra il tasso fissato all istante della stipula e il tasso di mercato futuro rientra nella categoria delle opzioni finanziarie; i contratti base, definiti con uno schema analogo a quello del contratto a termine, si chiamano caplet e floorlet.

4 4 FLAVIO ANGELINI (2) investimento a pronti di Euro fino alla scadenza s. Vediamo quali sono i soldi prodotti alla scadenza finale s dai due investimenti. Risulta evidente che, per evitare arbitraggi, tali somme devono essere uguali, dato che si è investito in t 0 la stessa somma e che in T non ci sono introiti o spese in entrambi i casi; se non fossero uguali si potrebbe investire nell operazione che paga a scadenza la somma più alta finanziandosi interamente con l altra operazione (vendendo cioè allo scoperto) in modo da ottenere un arbitraggio a scadenza, cioè un netto nullo in t 0 e T e una somma positiva in s. Supponiamo che i tassi, essendo usualmente tassi a breve, paghino interessi in base alla legge degli interessi semplici. Analogo ragionamento vale nel caso i tassi siano composti. () la somma prodotta in T è + i(t 0, T )(T t 0 ) la quale, investita per intero al tasso a termine, produce in s la somma [ + i(t 0, T )(T t 0 )] [ + F RA T s (s T )] ; (2) la somma prodotta in s è + i(t 0, s)(s t 0 ). Così, per evitare arbitraggi, si deve avere ovvero [ + i(t 0, T )(T t 0 )] [ + F RA T s (s T )] = + i(t 0, s)(s t 0 ) (2.) + F RA T s (s T ) = + i(t 0, s)(s t 0 ) + i(t 0, T )(T t 0 ). La relazione (2.) è equivalente alla relazione (8.6) del Teorema dei prezzi impliciti in (), 8.5, e l argomentazione con cui si è ottenuta è una dimostrazione semplice e intuitiva del Teorema. La/o studente può, per esercizio, trovare analoga formula nel caso tutti i tassi paghino interessi secondo la legge degli interessi composti. Per controllare il proprio lavoro si noti che tale formula deve essere equivalente alle relazioni (8.7) e (8.8) in (), Il portafoglio replicante All istante t 0, supponiamo di volere vendere (o acquistare) a termine, in T, lo ZCB unitario con scadenza s a un prezzo v(t 0, T, s) fissato in t 0, senza sostenere costi in t 0. Un modo è stato descritto nel paragrafo precedente: entrare in un FRA che ci paghi in T il differenziale [v(t 0, T, s) v(t, s)] (per unità di valore facciale). Vogliamo ora invece

5 FRA 5 costruire un portafoglio in t 0 composto da ZCB unitari che replichi l - operazione di vendita (o acquisto) a termine. Innanzitutto descriviamo l operazione di vendita a termine: t 0 T s 0 v(t 0, T, s) - Costruiamo ora un portafoglio così composto: () vendita in t 0 di uno ZCB unitario con scadenza s; (2) con il ricavato si finanzi l investimento in t 0 nello ZCB con scadenza in T, cioè si investa v(t 0, s) nello ZCB con scadenza in T, o, ancora in altri termini, si acquisti v(t 0, s)/v(t 0, T ) quote dello ZCB unitario con scadenza T. Descriviamo le due operazioni e il loro risultato nella seguente tabella t 0 T s () v(t 0, s) 0 - (2) v(t 0, s) v(t 0,s) v(t 0 0,T ) v(t 0 0,s) v(t 0 -,T ) Come si vede, le due operazioni replicano l operazione di vendita a termine descritta sopra, con prezzo a termine in T dello ZCB unitario che scade in s pari a v(t 0,s) v(t 0. Detto a parole: un operazione di finanziamento a termine in T e scadenza s (cioè la vendita a termine considerata),t ) può essere replicata da un operazione di finanziamento a pronti con scadenza in s (operazione () sopra) e da un operazione di investimento a pronti con scadenza in T (operazione (2)). In modo analogo, effettuando le operazioni opposte, si replica l operazione di acquisto a termine, cioè di investimento a termine. Se ne conclude che, per evitare arbitraggi, si deve avere v(t 0, T, s) = v(t 0, s) v(t 0, T ), cioè la relazione (8.6) del Teorema dei prezzi impliciti in (), 8.5. L argomentazione sopra ne è una ulteriore dimostrazione. Il tasso a termine i(t 0, T, s) per evitare arbitraggi sarà dunque i(t 0, T, s) = v(t 0,T,s) s T = v(t 0, T ) v(t 0, s) v(t 0, s)(s T ). Tale relazione è equivalente alla relazione (2.) della Sezione 2.

6 6 FLAVIO ANGELINI Esercizio 3.. Rifrasare gli argomenti del paragrafo con il linguaggio dei tassi d interesse anziché con quello degli ZCB unitari. Trovare cioè la strategia replicante del finanziamento a termine, t 0 T s 0 -[ + i(t 0, T, s)(s T )] in termini di operazioni di investimento e finanziamento a pronti. Si troverà direttamente la relazione (2.). Esercizio 3.2. Si rilascino una delle ipotesi di mercato perfetto, ovvero che non ci siano costi di transazione: siano i b (t 0, T ) < i a (t 0, T ), i b (t 0, s) < i a (t 0, s) i tassi in t rispettivamente denaro (bid, per investimenti) e lettera (ask, per finanziamenti) con scadenze rispettivamente T e s. Si dimostri che, mantenendo valide le altre ipotesi di mercato perfetto e quella di assenza di arbitraggi, il tasso a termine i(t, T, s) deve soddisfare la seguente relazione: + i b (t, s)(s t) + i a (t, T )(T t) + i(t, T, s)(s T ) + i a(t, s)(s t) + i b (t, T )(T t). Si utilizzi la logica dell esercizio precedente. Riferimenti () G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi, Manuale di finanza, vol I. Tassi d interesse. Mutui e obbligazioni, 2005, il Mulino. Sezione di Finanza Matematica, Dipartimento di Economia, Finanza e Statistica, Università di Perugia address:

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