Introduzione teoria dei giochi pt. 2. Corso di Scienza Politica 10/11 Luca Pinto

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1 Introduzione teoria dei giochi pt. 2 Corso di Scienza Politica 10/11 Luca Pinto

2 Soluzioni es. 1 (2, 1), (B, A)

3 Soluzioni es. 2 1, (A, A), (sx, dx)

4 Es. 3: ordinamento preferenze Terroristi: violenza 3 negoziazione, negoziazione 2 negoziazione, repressione 1 Governo: negoziazione, negoziazione 3 negoziazione, repressione 2 violenza 1

5 Soluzioni es. 3 Violenza, negoziazione

6 Elementi essenziali di un gioco Giocatori (i Є I) Azioni (a i Є A i / a -i Є A -i ) Payoff/Pagamenti (u i ) Partendo dalle azioni possiamo definire anche: Strategie (S) Storia del gioco (Z / H)

7 Assunzioni minime Conoscenza comune delle regole del gioco. Tutti i giocatori conoscono: quanti sono (I) quali azioni possono scegliere (A i /A -i ) e di conseguenza l elenco di tutte le possibili strategie per ogni giocatore (S) i pagamenti che ciascun giocatore ottiene in corrispondenza di tutte le possibili combinazioni di strategie (u i ) I giocatori agiscono in modo razionale: hanno un sistema coerente di preferenze sugli esiti del gioco: Transitivo Completo agiscono con l intento di massimizzare la propria utilità Capacità computazionale

8 Classificazione giochi non cooperativi STATICI DINAMICI INFORMAZIONE COMPLETA Equilibrio di Nash Equilibrio perfetto nei sottogiochi cap. 4 cap. 3, 8 INFORMAZIONE INCOMPLETA Equilibrio di Bayes - Nash Equilibrio Bayesiano Perfetto

9 Il dilemma del prigioniero: le regole del gioco Gioco statico a informazione completa e imperfetta (simultaneo) I = (criminale1, criminale2) A 1 S 1 = (re, ) A 2 S 2 = (re, ) Pagamenti: Se entrambi i criminali no la giustizia applicherà uno sconto di pena di 5 anni Se solo uno dei due, la giustizia lo premierà con uno sconto di 15 anni, mentre l altro sarà condannato alla pena intera (20 anni per omicidio) Se entrambi non tradiscono il patto di la giustizia potrà condannarli solo per reati minori (10 anni)

10 Il dilemma del prigioniero: l ordinamento di preferenze criminale1, 15, 10, 5, 0 criminale2, 15, 10, 5, 0

11 Dilemma del prigioniero: matrice e albero Criminale 2 Criminale1 10, 10 0, 15 15, 0 5, 5

12 Dilemma del prigioniero: soluzione Non è possibile risolvere il gioco per induzione a ritroso Il criminale2, quando è il suo turno, non sa in che nodo del gioco si trova, dato che il gioco è simultaneo l induzione a ritroso permette di risolvere solo giochi dinamici a informazione completa e perfetta (non simultanei) 2 nuovi strumenti: iterazione delle strategie dominate equilibrio di Nash

13 Strategie dominate Una strategia è dominata per un giocatore quando un altra gli offre di più indipendentemente dalle scelte degli altri Considerati gli assunti di conoscenza comune e razionalità individuale, nessun giocatore razionale sceglierà mai una strategia dominata Ciò consente, in certi casi, di semplificare il gioco o persino di risolverlo per iterazione della dominanza

14 Iterazione delle strategie dominate Criminale 2 Criminale 2 Criminale1 10, 10 15, 0 0, 15 5, 5 Criminale1 vs. 10, 15, 0, 5, Criminale 2 Criminale 2 Criminale1 vs., 0, 5 Criminale1 10, 10 15, 0 0, 15 5, 5

15 Equilibrio di Nash Profilo di strategie stabile tale per cui nessun giocatore ha un incentivo a discostarsi Combinazione di risposte migliori per entrambi i giocatori data la mossa dell altro.

16 Come si trova un equilibrio di Nash Criminale 2 Criminale1 10, 10 0, 15 15, 0 5, 5

17 Osservazioni sul gioco Per ogni giocatore la strategia domina la strategia Il gioco ha un solo equilibrio che corrisponde al profilo di strategie (, ) Esiste un profilo di strategie (, ) che offre ad entrambi i giocatori un payoff maggiore, ma non rappresenta un esito del gioco stabile

18 L intervento di un autorità esterna Criminale 2 Criminale 2 Criminale1 10, 10 15, 0 0, 15 5, 5 Criminale1 10, c, 0 0, 15 - c 5 - c, 5 - c Immaginiamo che intervenga un autorità esterna (es. un organizzazione criminale) per far valere il patto di Ciò si traduce in un costo da sottrarre ai benefici connessi all azione di re per entrambi i giocatori

19 Nuovi equilibri Criminale 2 Criminale 2 Criminale1 10, c, 0 0, 15 - c 5 - c, 5 - c Criminale1 10, c, 0 0, 15 - c 5 - c, 5 - c Criminale1 e Criminale2 mantengono il patto di quando c, ovvero quando c 5 Se il costo imposto dall organizzazione criminale è maggiore del beneficio che si ottiene ndo, allora i criminali manterranno il patto di Per c 5 il profilo di strategie (, ) diviene così un equilibrio di Nash

20 Dal dilemma del prigioniero al gioco dello stato di natura Prospettiva contrattualista della nascita dello stato I = (A, B) A 1 S 1 = (rubare, non rubare) A 2 S 2 = (rubare, non rubare) La struttura del gioco è identica al dilemma del prigioniero che abbiamo visto fino ad ora

21 Il gioco dello stato di natura : l ordinamento di preferenze A rubare, non rubare 4 non rubare, non rubare 3 rubare, rubare 2 non rubare, rubare 1 B non rubare, rubare 4 non rubare, non rubare 3 rubare, rubare 2 rubare, non rubare 1

22 Il gioco dello stato di natura : matrice e equilibrio di Nash B non rubare rubare A non rubare rubare 3, 3 4, 1 1, 4 2, 2

23 Osservazioni sul gioco Per ogni giocatore la strategia rubare domina la strategia Il gioco ha un solo equilibrio che corrisponde al profilo di strategie (rubare, rubare) Esiste un profilo di strategie (non rubare, non rubare) che offre ad entrambi i giocatori un payoff maggiore (non rubare, non rubare) non rappresenta un esito del gioco stabile finché non interviene un autorità esterna (lo stato) a punire che ruba (imponendo un costo p)

24 Il gioco della società civile A e B scelgono di non rubare se 3 4 p, ovvero se p 1 B non rubare rubare A non rubare rubare 3, p, 1 1, 4 - p 2 - p, 2 - p

25 Stato di natura vs. Società civile Aggiungiamo un parametro t che rappresenta il costo della protezione che lo stato offre ai cittadini Quando i membri di uno stato di natura optano per una società civile? B B non rubare rubare non rubare rubare A non rubare rubare 3, 3 4, 1 1, 4 2, 2 A non rubare rubare 3 - t, 3 - t 4 - p - t, 1 - t 1 - t, 4 - p - t 2 - p - t, 2 - p - t

26 La scelta della società civile Quando i membri di uno stato di natura optano per una società civile? Bisogna mettere a confronto i due equilibri 3 t 2, ovvero t < 1 Mettendo a confronto i due equilibri di Nash quello che si ottiene nello stato di natura e quello che si ottiene nella società civile emerge che per p 1 e t < 1 i cittadini preferiranno abbandonare lo stato di natura ed entrare nella società civile

27 Altri modelli di gioco: esempi Chicken Game Battaglia dei sessi Stag Hunt

28 Chicken Game Buzz salta dritto Jim salta 3, 3 2, 4 dritto 4, 2 1, 1

29 La battaglia dei sessi Donna Fiera dei fiori boxe Uomo Fiera dei fiori 3, 4 1, 1 boxe 2, 2 4, 3

30 Stag Hunt Cacciatore 2 cervo lepre Cacciatore 1 cervo 4, 4 1, 3 lepre 3, 1 2, 2