Introduzione e modellistica dei sistemi

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1 Inroduzione e modellisica dei sisemi

2 Modellisica dei sisemi eleromeccanici Principi fisici di funzionameno Moore elerico in correne coninua (DC-moor) DC-moor con comando di armaura DC-moor con comando di ecciazione Esempio di rappresenazione in variabili di sao 2

3 Modellisica dei sisemi eleromeccanici

4 Inroduzione I sisemi eleromeccanici operano una conversione eleromeccanica di energia: Conversione di energia elerica in energia meccanica moori elerici Conversione di energia meccanica in energia elerica generaori elerici o dinamo eleriche Per esigenze di brevià, in queso modulo saranno considerai solano i moori elerici e in paricolare quelli alimenai in correne coninua, noi più semplicemene come DC-moor Saranno ora richiamai i principi fisici che sono alla base del funzionameno dei sisemi eleromeccanici 4

5 Forza di Lorenz Un conduore elerico di lunghezza percorso da una correne i ( ) e immerso in un campo magneico d inensià B ( ) è sooposo alla forza di Lorenz F () = i () B () F B i 5

6 Coppia di Lorenz Una spira condurice di superficie A percorsa da una correne i ( ) e immersa in un campo magneico d inensià B ( ) è sooposa alla coppia di Lorenz T () = i() AB sin θ() θ 6

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9 Legge dell induzione eleromagneica Se un conduore elerico forma un circuio chiuso e concaena un flusso Φ ( ) di un campo magneico, per la legge di Faraday Henry Lenz dell induzione eleromagneica viene a crearsi nel conduore una ensione noa come forza eleromorice indoa (o f.e.m. indoa) dφ() e () = d 7

10 Modellisica dei sisemi eleromeccanici

11 Pari principali di un DC-moor (1/4) Un moore elerico alimenao in correne coninua è cosiuio da Spazzola Magnee dello saore Avvolgimeni del roore θ, ω Magnee dello saore Albero Cuscinei Spazzola Colleore Uno saore : è la pare più eserna e non roane, responsabile della generazione del campo magneico mediane Semplici magnei permaneni e/o Una serie opzionale di avvolgimeni alimenai in correne coninua, cosiueni il circuio di ecciazione 9

12 Pari principali di un DC-moor (2/4) Un moore elerico alimenao in correne coninua è cosiuio da Spazzola Magnee dello saore Avvolgimeni del roore θ, ω Magnee dello saore Albero Cuscinei Spazzola Colleore Un roore : è la pare più inerna e mobile, cosiuia da un cilindro di maeriale ferromagneico lamellao e opporunamene sagomao, su cui sono posi numerosi avvolgimeni che formano il circuio di armaura; ale circuio genera un campo magneico concaenao con quello dello saore 10

13 Pari principali di un DC-moor (3/4) Un moore elerico alimenao in correne coninua è cosiuio da Spazzola Magnee dello saore Avvolgimeni del roore θ, ω Magnee dello saore Albero Cuscinei Spazzola Colleore Un inerruore roane deo colleore a spazzole o anello di Pacinoi : permee al circuio di armaura di enrare in conao elerico con due spazzole, araverso le quali il moore riceve energia elerica soo forma di correne di armaura 11

14 Pari principali di un DC-moor (4/4) Un moore elerico alimenao in correne coninua è cosiuio da Spazzola Magnee dello saore Avvolgimeni del roore θ, ω Magnee dello saore Albero Cuscinei Spazzola Colleore Un albero moore : solidale con il roore e doao di un proprio momeno d inerzia, è di solio collegao meccanicamene alla carcassa del moore mediane uno o più cuscinei a sfera 12

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16 Modello di un DC-moor (1/6) Il modello del DC-moor è di naura ibrida: i a R a L a v a R e L e i e e + v e - Circuio di ecciazione (saore) T m J β θ, ω T r Circuio di armaura (roore) Infai è cosiuio da: Un modello di ipo elerico del roore e dello saore (nel caso in cui siano preseni avvolgimeni saorici) Un modello di ipo meccanico del roore e dell evenuale carico applicao 13

17 Modello di un DC-moor (2/6) i a R a L a v a i e v e R e L e Circuio di ecciazione (saore) e + - T m J β θ, ω T r Circuio di armaura (roore) Il modello elerico del roore è descrio da di () () () a v a = Raia + La + e() d v a, i a = ensione e correne di armaura R a, L a = resisenza ed induanza equivaleni di armaura (proporzionali al numero di spire del roore) e = forza eleromorice indoa (f.e.m. indoa del roore) 14

18 Modello di un DC-moor (3/6) i a R a L a v a R e L e i e e + v e - Circuio di ecciazione (saore) T m J β θ, ω T r Circuio di armaura (roore) Se sono preseni avvolgimeni sullo saore il modello elerico dello saore è descrio da di () () e () v e = Reie + Le d v e, i e = ensione e correne di ecciazione R e, L e = resisenza ed induanza equivaleni di ecciazione (proporzionali al numero di spire dello saore) 15

19 Modello di un DC-moor (4/6) i a R a L a v a R e L e i e e + v e - Circuio di ecciazione (saore) T m J β θ, ω T r Circuio di armaura (roore) Il modello meccanico del roore è descrio da J θ() = J ω() = T () T () βω() m J = inerzia dell albero moore, avene posizione angolare θ T m = coppia morice del moore T r = coppia resisene (dovua al carico applicao al moore) β = coefficiene d ario equivalene (iene cono dei vari fenomeni d ario, fra cui quelli dovui ai cuscinei) r 16

20 Modello di un DC-moor (5/6) Il fenomeno della conversione eleromeccanica di energia è descrio dalle relazioni: e () = KΦ() ω() T () = K Φ() i () m e = forza eleromorice indoa (f.e.m. indoa), [e ] = V K = cosane caraerisica del moore, [K ] = V T -1 m -2 s/rad Φ = flusso del veore di induzione magneica, [Φ] = T m 2 ω = velocià angolare dell albero moore, [ω ] = rad/s T m = coppia morice del moore, [T m ] = N m i a = correne di armaura, [i a ] = A a 17

21 Modello di un DC-moor (6/6) Se il flusso magneico dello saore è generao da magnei permaneni Φ( ) = Φ = cosane, Se il flusso magneico dello saore è generao da spire percorse dalla correne di ecciazione i e ( ) Φ( ) risula essere una funzione non lineare di i e ( ) del ipo: Φ Φ( ) = Φ(i e ( )) i e 18

22 Modalià di funzionameno di un DC-moor Nel caso di DC-moor con comando di armaura Il flusso magneico dello saore è enuo cosane, uilizzando magnei permaneni e/o alimenando il circuio di ecciazione con una correne cosane Il comando del moore è la ensione variabile v a ( ) applicaa al circuio di armaura del roore Nel caso di DC-moor con comando di ecciazione La correne di armaura nel roore è enua cosane Il comando del moore è la ensione variabile v e ( ) applicaa al circuio di ecciazione dello saore variano sia la correne di ecciazione i e ( ) sia il flusso magneico dello saore Φ( ) = Φ(i e ( )) 19

23 Modellisica dei sisemi eleromeccanici

24 DC-moor con comando di armaura (1/2) Il flusso magneico dello saore è enuo cosane Φ () =Φ, uilizzando magnei permaneni e/o alimenando le spire dello saore con una correne cosane i e l equazione del circuio di ecciazione è di ipo saico: di v () e e = Reie + Le = Reie = ve, d Le equazioni dinamiche si riducono quindi a: di () () () a v a = Raia + La + K Φω() d J θ() = J ω() = K Φi () T () βω() a r 21

25 DC-moor con comando di armaura (2/2) Poiché le equazioni dinamiche sono: di () () () a v a = Raia + La + K Φω() d J θ() = J ω() = K Φia() Tr() βω() le variabili di sao sono, in generale: ia () x () 1 x () = θ() = x() 2 ω() x () 3 menre le variabili di ingresso sono: v () () a u 1 u () = T r () = u () 2 22

26 Modellisica dei sisemi eleromeccanici

27 DC-moor con comando di ecciazione (1/4) La correne di armaura del roore è enua cosane ia() = ia, uilizzando un generaore ideale di correne i a l equazione del circuio di armaura è di ipo saico: di v () a a = Raia + La + K Φ () ω() = Raia + K Φ() ω(), d Le equazioni dinamiche si riducono quindi a: di () () e () v e = Reie + Le d J θ() = J ω() = K Φ() i T () βω() a r 24

28 DC-moor con comando di ecciazione (2/4) La correne di ecciazione dello saore i e ( )varia nell inorno del puno di funzionameno i e il flusso magneico dello saore varia a sua vola nell inorno del valore Φ ( ie( )) =Φ ( ie) =Φ= Keie si può approssimare la caraerisica non lineare di Φ con la legge lineare Φ() K i () e e Φ K e i e Φ Φ( ) = Φ(i e ( )) i e i e 25

29 DC-moor con comando di ecciazione (3/4) Grazie all approssimazione lineare Φ( ) K e i e ( ), l equazione dinamica della pare meccanica divena: J θ() = J ω() = K Φ() i T () βω() a KK i () i T() βω() * K * = K ie() Tr() βω() la si può rienere in prima approssimazione lineare: * J θ() = J ω() K i () T () βω() r e e a r e r 26

30 DC-moor con comando di ecciazione (4/4) Poiché le equazioni dinamiche sono: di () () e () v e = Reie + Le d * J θ() = J ω() K ie() Tr() βω() le variabili di sao sono, in generale: ie () x () 1 x () = θ() = x() 2 ω() x () 3 menre le variabili di ingresso sono: v () u () e 1 u () = = Tr () u () 2 27

31 Modellisica dei sisemi eleromeccanici

32 Esempio di rappresenazione (1/12) Ricavare la rappresenazione di sao del seguene sisema eleromeccanico, in cui y = θ 2 i a R a L a giunzione elasica smorzaa v a DC-moor comandao in armaura, con saore a magnei permaneni β 1 K 12 e + J 1 J 2 T m θ 1,ω 1 θ 2,ω 2 cuscineo a sfera Equazione dinamica della maglia di armaura: di 1) v a a = Raia + La + K Φω d 1 e β 12 albero moore T d carico (pannello solare) 29

33 Esempio di rappresenazione (2/12) Ricavare la rappresenazione di sao del seguene sisema eleromeccanico, in cui y = θ 2 i a R a L a giunzione elasica smorzaa v a DC-moor comandao in armaura, con saore a magnei permaneni Equazione del moo dell albero moore d inerzia J 1 : 2) J θ = K Φi ( ) ( ) 1 1 a βω K θ θ β ω ω T m β 12 β 1 K 12 e + J 1 J 2 T m θ 1,ω 1 θ 2,ω 2 cuscineo a sfera albero moore T d carico (pannello solare) 30

34 Esempio di rappresenazione (3/12) Ricavare la rappresenazione di sao del seguene sisema eleromeccanico, in cui y = θ 2 i a R a L a giunzione elasica smorzaa v a DC-moor comandao in armaura, con saore a magnei permaneni β 1 K 12 e + J 1 J 2 T m θ 1,ω 1 θ 2,ω 2 cuscineo a sfera Equazione del moo del pannello solare d inerzia J 2 : 3) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d β 12 albero moore T d carico (pannello solare) 31

35 Esempio di rappresenazione (4/12) Ricavare la rappresenazione di sao del seguene sisema eleromeccanico, in cui y = θ 2 i a R a L a giunzione elasica smorzaa v a DC-moor comandao in armaura, con saore a magnei permaneni Variabili di sao: x () β 1 K 12 e + J 1 J 2 T m θ 1,ω 1 θ 2,ω 2 cuscineo a sfera i () () a x 1 θ () x () 1 2 = θ () x () 2 = 3 ω () x () 1 4 ω2 () x5 () β 12 albero moore T d carico (pannello solare) 32

36 Esempio di rappresenazione (5/12) Ricavare la rappresenazione di sao del seguene sisema eleromeccanico, in cui y = θ 2 i a R a L a giunzione elasica smorzaa v a DC-moor comandao in armaura, con saore a magnei permaneni β 1 K 12 e + J 1 J 2 T m θ 1,ω 1 θ 2,ω 2 cuscineo a sfera Variabili di ingresso: va () u () 1 u () = T () = d u () 2 β 12 albero moore T d carico (pannello solare) 33

37 Esempio di rappresenazione (6/12) Equazioni dinamiche: 1) v = R i + L di / d + KΦω a a a a a 1 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) 1 1 a ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Variabili di sao e di ingresso: i () () a x 1 θ () () 1 x 2 x () θ () x (), u () 2 3 ω () x () 1 4 ω 2() x5 () Equazioni di sao: d 2 v () a u () = = = = 1 T () u () v R KΦ R KΦ u a a a 1 x = di 1 a d = i = x x + = f (,, xu) a L L L ω L L L a a a a a a 34

38 Esempio di rappresenazione (7/12) Equazioni dinamiche: 1) v = R i + L di / d + KΦω a a a a a 1 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) 1 1 a ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Variabili di sao e di ingresso: i () () a x 1 θ () 1 x () 2 x () θ () (), () 2 x 3 u ω () x () 1 4 ω 2() x5 () Equazioni di sao: x = dθ d = ω = x = f ( xu) v () a u () = = = = 1 T () u () ( ) x = dθ d = ω = x = f xu ,, 5 3,, d 2 35

39 Esempio di rappresenazione (8/12) Equazioni dinamiche: 1) v = R i + L di / d + KΦω a a a a a 1 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) 1 1 a ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Variabili di sao e di ingresso: i () () a x 1 θ () () 1 x 2 x () θ () x (), u () 2 3 ω () x () 1 4 ω 2() x5 () Equazioni di sao: d 2 v () a u () = = = = 1 T () u () x = dω 4 1 d = θ = 1 KΦia βω 1 1 K12( θ1 θ2) β12( ω1 ω2) J1= KΦ K K β + β β = x x + x x + x = f (,, xu) J J J J J

40 Esempio di rappresenazione (9/12) Equazioni dinamiche: 1) v = R i + L di / d + KΦω a a a a a 1 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) 1 1 a ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Variabili di sao e di ingresso: i () () a x 1 θ () () 1 x 2 x () θ () x (), u () 2 3 ω () x () 1 4 ω 2() x5 () Equazioni di sao: d 2 v () a u () = = = = 1 T () u () x = dω 5 2 d = θ = 2 Td K12 ( θ2 θ1 ) β12 ( ω2 ω1 ) J2 = K K β β u = x x + x x = f (, x, u) J J J J J

41 Esempio di rappresenazione (10/12) Equazioni dinamiche: 1) v = R i + L di / d + KΦω a a a a a 1 2) J θ = KΦi βω K ( θ θ ) β ( ω ω ) 1 1 a ) J θ = T K ( θ θ ) β ( ω ω ) 2 2 d Variabili di sao e di ingresso: i () () a x 1 θ () () 1 x 2 x () θ () x (), u () 2 3 ω () x () 1 4 ω 2() x5 () Equazione di uscia: = = x = g ( x u) y θ 2 d 2 v () a u () = = = = 1 T () u () 3,, 38

42 Esempio di rappresenazione (11/12) Equaz. di sao: Equaz. di uscia: a 1 L a La La R x = x x + x x + x x = 5 J x 2 J x + 3 J x 4 J x 5 J u y = x 3 K Φ x = x x + u x x = x = x Se J 1,J 2,K 12,β 1,β 12,R a,l a,k e Φ sono cosani il sisema è LTI ha come rappresenazione di sao 1 K Φ K K β + β β J J J J J K K ( x) = Ax () + Bu () y () = C x() + Du() β β 1 39

43 Esempio di rappresenazione (12/12) Se J 1,J 2,K 12,β 1,β 12,R a,l a,k e Φ sono cosani il sisema è LTI ha come rappresenazione di sao ( x) = Ax () + Bu () y () = C x() + Du() K Φ La K β + β β K β β Ra La L a A =, B = 0 0, K K Φ J 1 J 1 J 1 J 1 J 1 K J J J J J [ ], D [ 0 0] C = = 40