E Y Costo specifico (c) [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [ /Kg] A ,00 B ,00 C ,00 D ,00

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1 Esercitazione 1 INDICI DI MERITO Tabella materiali Materiale E Y Costo specifico (c) [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [ /Kg] A ,00 B ,00 C ,00 D ,00 A Sezione [m 2 ] [-] Circolare 0,005 1 Rettangolare 0,005 2,0944 IPE 0,005 15,8191 1

2 Esercizio 1: Progettazione a resistenza di una biella Si determini quale tra i materiali indicati in Tabella permetta alla biella di sezione circolare A e lunghezza l, rappresentata in figura, di resistere ad un carico di trazione F fissato minimizzando: A) la massa (m); B) il costo (C). F F l Fig. 1.1 Svolgimento Esercizio 1.A Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: la biella deve sopportare un carico di trazione dalla definizione stessa di biella. Obbiettivo: minimizzare la massa; (dire che ciò che soddisfa la funzione è efficace mentre ciò che soddisfa anche l obbiettivo è efficiente); Vincoli: lunghezza l; il carico F e la richiesta che il carico sia sopportato dall elemento strutturale è quindi un dimensionamento a resistenza vincolo di resistenza N.B. Si assume come limite di resistenza del materiale lo sforzo limite del campo elastico ovvero lo sforzo di snervamento Punto 2) Impostazione del Problema La biella è un elemento strutturale che lavora ad azione assiale; lo sforzo interno ad essa sulla generica sezione della biella, uniformemente distribuito lungo l apertura, si esprime pertanto : La formalizzazione matematica del vincolo di resistenza (integrità dell elemento strutturale di biella sotto l azione del carico F) si esprime come: 2

3 dove rappresenta lo sforzo limite di snervamento del generico materiale costituente la biella. Obiettivo: La formalizzazione matematica dell obiettivo è: Il problema si imposta a questo punto imponendo il vincolo di resistenza all interno dell espressione della funzione obiettivo da minimizzare: ciò può essere fatto attraverso l incognita geometrica del problema.in questo caso si ottiene: L equazione che si ottiene esprime la prestazione p del componente strutturale in esame. La riorganizzazione di quest ultima equazione permette di distinguere il contributo dei tre aspetti fondamentali da cui dipende la progettazione del componente strutturale in esame: requisiti funzionali, parametri geometrici e proprietà del materiale, secondo la forma: che nel caso specifico sono rappresentati dai seguenti termini: ; ; L obiettivo si raggiunge quindi scegliendo il materiale ( ) caratterizzato dal rapporto: Svolgimento Esercizio 1.B Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: la biella deve sopportare un carico di trazione; Obbiettivo: minimizzare il costo; Vincoli: lunghezza l; il carico F e la richiesta che il carico sia sopportato dalle elemento strutturale in esame (vincolo di resistenza). 3

4 Punto 2) Impostazione del Problema L unica differenza rispetto alla soluzione proposta per il punto A riguarda la formalizzazione della funzione obiettivo, che in questo caso è rappresentata dal costo del materiale impiegato per la realizzazione del componente strutturale, secondo l espressione: dove c rappresenta il costo specifico del materiale, come proposto in Tabella. Anche il questo caso, il problema si risolve imponendo il vincolo all interno dell espressione della funzione obiettivo da minimizzare. Il vincolo richiede la progettazione del componente a resistenza, quindi risulta completamente definito dall equazione: che sostituita all interno dell espressione del costo (C) porta alla forma: Anche in questo caso, possono distinguersi i contributi dei tre fattori fondamentali da cui dipende la progettazione del componente strutturale in esame: requisiti funzionali, parametri geometrici e proprietà del materiale, secondo la forma: Rappresentati dai seguenti termini: ; ; L obiettivo si raggiunge quindi scegliendo il materiale ( ) caratterizzato dal rapporto: Punto 3) Svolgimento del Problema Materiale E Y Costo specifico (c) Y / Y /c [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [ /Kg] [MPa/Kg/ m 3 ] [MPa/ / m 3 ] A ,00 0,1538 0,0769 B ,00 0,1889 0,0111 C ,00 0,1111 0,0222 D ,00 0,1111 0,0139 4

5 Esercizio 2: Progettazione a resistenza di una trave caricata a flessione Esercizio 2.A: vincolo di resistenza Si consideri una trave appoggiata agli estremi di sezione A con larghezza b nota ed altezza a incognita. Sia l la lunghezza della trave soggetta ad un carico F applicato nella sua mezzeria come presentato in Fig.2.1. Si determini quale tra i materiali proposti in Tabella permetta alla trave di resistere al carico F minimizzando la massa m. F A l Fig. 2.1 Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: la trave deve sopportare l azione flettente Obbiettivo: minimizzare la massa; (dire che ciò che soddisfa la funzione è efficace mentre ciò che soddisfa anche l obbiettivo è efficiente); Vincoli: lunghezza l; la larghezza b della sezione il carico F e la richiesta che il carico sia sopportato dall elemento strutturale è quindi un dimensionamento a resistenza (vincolo di resistenza). N.B. Anche in questo caso si sceglie come limite di resistenza del generico materiale lo sforzo limite del campo elastico, ovvero lo sforzo di snervamento. Punto 2) Impostazione del Problema La trave è soggetta ad una azione flessionale che sollecita in modo diverso le sezioni lungo la sua apertura. L azione flettente massima si ha nella sezione di mezzeria. In questa sezione lo sforzo massimo si manifesta alla massima distanza dall asse neutro appartenete al piano di simmetria della sezione stessa. Espressione dello sforzo assiale massimo nella sezione di mezzeria della trave σ: 5

6 La formalizzazione matematica del vincolo (integrità della trave sotto l azione del carico F) si esprime come: dove rappresenta lo sforzo assiale limite di snervamento del generico materiale costituente la trave. Obiettivo: L espressione da minimizzare è ancora una volta quella della massa della trave, quindi: Si procede quindi con l imposizione del vincolo di resistenza all interno della funzione obiettivo da minimizzare, ottenendo: ( ) In questo caso, la riorganizzazione dell equazione appena presentata permette di identificare i termini rappresentativi dei tre principali contributi alla progettazione del componente strutturale, secondo la forma: Termini che nel caso specifico assumo le seguenti espressioni: Da cui, ancora una volta, il termine rappresentativo delle caratteristiche del materiale permette di definire l indice di merito per la sua scelta, nel rispetto dei vincoli e della funzione obiettivo da minimizzare: ( ) ( ) Esercizio 2.B: vincolo di resistenza + vincolo geometrico Si ipotizzi di aggiungere un vincolo geometrico alla definizione del problema; in particolare si assuma: Imponendo il nuovo vincolo all interno dell espressione dello sforzo si ottiene: Mentre la sua imposizione all interno della funzione massa porta alla forma seguente: 6

7 L imposizione del nuovo vincolo geometrico si ripercuote anche sull espressione dei tre contributi alla progettazione del componente strutturale, con particolare riferimento all espressione del contributo associato al materiale da cui discende l espressione dell indice di merito: In fatti, il materiale che permetterà, nel rispetto di tutti i vincoli, di minimizzare la massa del componente strutturale dovrà essere caratterizzato da: ( ) ( ) A parità di obiettivo i vincoli condizionano le espressioni degli indici di merito. Punto 3) Svolgimento del Problema Materiale E Y Y ) 1/2 / Y ) 2/3 / [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [MPa 1/2 /Kg/m 3 ] [MPa 2/3 /Kg/m 3 ] A ,0044 0,0145 B ,0065 0,0199 C ,0064 0,0166 D ,0079 0,0190 7

8 Esercizio 3: Progettazione a resistenza di una barra circolare soggetta ad azione torcente Si consideri una barra circolare di raggio R incognito e lunghezza l, soggetta ad una azione torcente per effetto dell applicazione di un momento torcente M t secondo lo schema riportato in Fig.3.1. Si determini quale tra i materiali proposti in Tabella permetta alla trave di sopportare senza cedimento il momento torcente M t minimizzando la massa m. M t l M t Fig.3.1 Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: la barra deve sopportare l azione torcente; Obbiettivo: minimizzare la massa; Vincoli: lunghezza l; il momento torcente M t e la richiesta di integrità del componente strutturale soggetto all azione torcente (vincolo di resistenza). Punto 2) Impostazione del Problema La barra è sottoposta all azione di un momento torcente per effetto dell azione di due coppie uguali ed opposte agenti nel piano delle sezioni di estremità. Il momento torcente è costante lungo tutta l apertura. Le sezioni della barra, essendo circolari, risultano sollecitate da sforzi tangenziali disposti simmetricamente rispetto all asse longitudinale, con valore nullo in corrispondenza della mezzeria e valore massimo sulla periferia. Lo sforzo tangenziale massimo agente sulla generica sezione della trave si esprime come: In cui R rappresenta il raggio della generica sezione della barra, mentre rappresenta il momento d inerzia torsionale, che nel caso specifico di sezione circolare coincide con il momento d inerzia polare secondo la seguente espressione: 8

9 La formalizzazione matematica del vincolo di integrità della barra sotto l azione torcente si esprime attraverso la seguente equazione: In cui rappresenta lo sforzo tangenziale al limite di snervamento del generico materiale. Obiettivo: Ancora una volta l obiettivo è quello di operare una scelta atta alla minimizzazione la massa del componente, quindi la funzione obiettivo risulta essere: Il problema si imposta a questo punto imponendo il vincolo all interno dell espressione della funzione obiettivo da minimizzare, ottenendo: ( ) In questo caso, le espressioni dei tre contributi da cui dipende la progettazione del componente strutturale assumono la seguente forma: Ne consegue, che la scelta ricadrà sul materiale caratterizzato da: ( ) ( ) ( ) Punto 3) Svolgimento del Problema Materiale E Y Y ) 2/3 / [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [MPa 2/3 /Kg/m 3 ] A ,0145 B ,0199 C ,0166 D ,0190 9

10 Esercizio 4: Progettazione a rigidezza di un pannello Sia il pannello rappresentato in Fig.3.1 (di dimensioni b ed l assegnate) un elemento strutturale progettato a rigidezza. Si determini quale tra i materiali indicati in Tabella permetta di ottenere, per effetto di un carico F fissato applicato al pannello, un allungamento inferiore ad un limite opportunamente fissato minimizzando la massa m. F a l/2 b F l/2 l Fig.4.1 Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: il pannello soggetto ad un carico di trazione non deve allungarsi oltre un limite fissato. a differenza dei casi precedenti si sta effettuando una progettazione a rigidezza. Obbiettivo: minimizzare la massa; Vincoli: larghezza b; carico F, lunghezza l e la richiesta che il pannello non si allunghi sotto l azione del carico F oltre un limite fissato l (vincolo di rigidezza). Punto 2) Impostazione del Problema La formalizzazione matematica del vincolo di rigidezza è: L allungamento che subisce il pannello nella direzione di applicazione del carico F per effetto del carico stesso può essere riscritto in funzione della deformazione del materiale: 10

11 Inserendo poi il legame elastico (legge di Hooke) nell espressione appena ottenuta e esprimendo lo sforzo in funzione del carico F e della sezione del pannello si ottiene infine: La formulazione del vincolo risulta quindi essere: Obiettivo: L obbiettivo è ancora una volta la minimizzazione della massa. Procedendo allo stesso modo degli esercizi precedenti il problema si imposta imponendo il vincolo all interno dell espressione della funzione obiettivo da minimizzare, ottenendo: ( ( ) ) Ovvero, secondo la consueta notazione: Il materiale che permetterà, nel rispetto di tutti i vincoli, di minimizzare la massa del componente strutturale dovrà essere caratterizzato quindi da: Osservazioni: L indice di merito in questo caso dipende dal modulo elastico E del materiale ovvero dipende dalla grandezza che descrive la rigidezza del materiale. E un risultato atteso perché imporre un allungamento limite per un carico fissato equivale ad imporre una certa rigidezza che, a parità di geometria, implica la scelta del materiale in funzione della sua E (oltre ovviamente alla sua densità). 11

12 E da notare come in questo caso l espressione di contiene l informazione sull allungamento limite che è un requisito funzionale. Punto 3) Svolgimento del Problema Materiale E Y / Y / [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [GPa /Kg/m 3 ] [MPa/Kg/m 3 ] A ,0269 0,1538 B ,0233 0,1889 C ,0259 0,1111 D ,0250 0,1111 Osservazioni: Nella progettazione a rigidezza i materiali non c è una netta prevalenza di un materiale rispetto agli altri. Mentre a resistenza il materiale B (lega di titanio) è quello che consente di ottenere il peso inferiore (ma si può notare dall esercizio 1 come esso sia uno fra i più costosi), nella progettazione a rigidezza il materiale più efficiente per la minimizzazione del peso è il materiale A (lega Fe-C). 12

13 Esercizio 5: Indici di merito per elementi esili soggetti a compressione Elementi strutturali esili (aventi una dimensione molto superiore alle altre due quali possono essere correnti e pannelli di strutture aeronautiche) soggetti a carichi di compressione si instabilizzano elasticamente quando il carico raggiunge il valore euleriano. Tale valore dipende esclusivamente dal materiale, dalla geometria dell elemento, dalle condizioni di vincolo e di carico applicate, ma non dall entità del carico stesso. Lo stato di sforzo interno al materiale corrispondente è inferiore al limite di resistenza (di snervamento) del materiale stesso pertanto questa condizione di carico è vincolante. É possibile definire degli indici di merito associati a tale particolare condizione di carico seguendo un dimensionamento a instabilità (progettazione a instabilità buckling). Esercizio 5.A Sia dato un corrente di lunghezza l e sezione circolare di raggio R assegnati. Si determini quale tra i materiali indicati in Tabella permetta la minimizzazione della massa del corrente a cui è applicato un carico di compressione F noto come mostrato in Fig F F l Fig. 5.1 Punto 1) Formalizzazione del Problema Funzione: il corrente soggetto ad un carico di compressione non deve instabilizzarsi. si effettua quindi una progettazione a instabilità. Obbiettivo: minimizzare la massa; Vincoli: lunghezza l, carico F e la richiesta che il corrente non si instabilizzi sotto l azione del carico F. 13

14 Punto 2) Impostazione del Problema Il valore euleriano del carico in corrispondenza del quale un elemento qualsiasi si instabilizza dipende dal momento d inerzia minore J min della sezione dell elemento e dalle condizioni di vincolo. Nel caso del corrente in esame si ha: con k parametro che dipende dal tipo di vincolo. Ad esempio: asta incastrata ad un estremo e libera dall altro k=1/4; asta incastrata ad ambedue gli estremi k=4; asta incernierata ad ambedue le estremità k=1. Dalla definizione di carico critico è poi possibile nel caso in esame giungere all espressione dello sforzo critico agente sulla sezione del corrente che sarà: La progettazione a instabilità porta quindi alla formulazione di un vincolo a instabilità secondo cui lo sforzo interno al materiale dovuto al carico F sia inferiore o uguale allo sforzo critico: Sostituendo: A questo punto procedendo come di consueto, essendo l obbiettivo da minimizzare la massa m, si inserisce nella funzione obbiettivo il vincolo esplicitando l incognita R: ( ) Ovvero, secondo la consueta notazione: 14

15 Il materiale che permetterà di minimizzare la massa di un corrente dimensionato ad instabilità sarà pertanto: ( ) ( ) Esercizio 5.B Sia dato un pannello di lunghezza l e larghezza b assegnati. Si determini quale tra i materiali indicati in Tabella permetta la minimizzazione della massa del pannello a cui è applicato un carico di compressione F noto come mostrato in Fig Fig.5.1 F a b F l Fig.5.2 Analogamente al caso precedente si può impostare il problema imponendo che lo sforzo agente nella sezione del pannello sia inferiore allo sforzo critico: dove per semplificazione tutti i termini costanti sono stati raccolti in un unico parametro K (ad esclusione di b che descrive la geometria; da notare inoltre che includo anche il coefficiente di Poisson perché assunto costante per i materiali in considerazione). L imposizione del vincolo viene eseguita come al solito esplicitando l incognita a e sostituendola nella funzione obbiettivo: 15

16 ( ) Ovvero, secondo la consueta notazione: Il materiale che permetterà di minimizzare la massa di un corrente dimensionato ad instabilità sarà pertanto: ( ) ( ) Punto 3) Svolgimento del Problema E Y / Materiale [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [GPa/Kg/m 3 ] [GPa 1/2 /Kg/m 3 ] [GPa 1/3 /Kg/m 3 ] A ,0269 0,0019 0,0008 B ,0233 0,0023 0,0010 C ,0259 0,0031 0,0015 D ,0250 0,0037 0,0020 Osservazioni: Il caso dell asta caricata a compressione può essere applicato anche alla biella vista nel primo esercizio. Effettivamente una biella lavora assialmente ed è sottoposta a cicli di trazionecompressione. Il dimensionamento può essere fatto a rigidezza nel caso di sollecitazione a trazione e a instabilità nel caso di sollecitazione a compressione. Si può verificare che il dimensionamento più vincolante è quello a instabilità. 16

17 Esercizio 6 Vincoli Multipli Si consideri lo stesso elemento strutturale proposto nell Esercizio 2, cioè una trave appoggiata agli estremi di sezione A con larghezza b nota ed altezza a incognita. La trave è soggetta anche in questo caso ad un carico F applicato nella sua mezzeria come presentato in Fig.2.1. In questo caso si richiede di operare la scelta del materiale in grado di minimizzare la massa m della trave con uno spostamento massimo (freccia massima ) inferiore ad un limite fissato (vincolo di rigidezza) senza manifestare cedimenti (vincolo di resistenza). Punto 1) Formalizzazione del Problema secondo il Metodo dei Vincoli Attivi Essendo richiesto all elemento strutturale in esame di soddisfare contemporaneamente 2 vincoli ed avendo l obbiettivo di minimizzare la massa dell elemento stesso ciò significa che si dovrà dimensionare il pannello (ovvero determinare lo spessore incognito, essendo le dimensioni in pianta già assegnate) determinando il minimo spessore che soddisfi entrambi i vincoli. Il problema può dunque essere risolto attivando separatamente i vincoli, determinando lo spessore minimo che deve avere il pannello affinché sia garantito il soddisfacimento del vincolo attivo in esame, e scegliendo infine lo spessore maggiore dei due valori ottenuti. E infatti ovvio che il pannello a spessore maggiore soddisferà sia il vincolo utilizzato per il suo dimensionamento sia quello per il cui soddisfacimento sarebbe bastato lo spessore inferiore. Ragionando sulle masse (invece che sugli spessori), si può determinare, secondo il Metodo dei Vincoli Attivi, il valore prendendo il valore massimo e (essendo questi i 2 valori ottenuti rispettivamente con il vincolo attivo 1 (mentre il 2 è disattivato) e con il vincolo attivo 2 (mentre l 1 è disattivato): Ripetendo questo processo per tutti i 4 materiali assegnati in tabella si troveranno 4 valori di ; il materiale ottimo, che soddisfa entrambi i vincoli contemporaneamente e che minimizza la funzione obbiettivo massa, sarà infine quello corrispondente al valore minimo tra i 4 valori di : Punto 2) Impostazione del Problema Punto 2.1) Vincolo attivo: vincolo di rigidezza (il vincolo sulla resistenza è disattivato) Punto 2.1.1) Formalizzazione del Problema secondo il Metodo dei Vincoli Attivi Funzione: la trave deve sopportare l azione flettente Obbiettivo: minimizzare la massa; 17

18 Vincoli: lunghezza l; la larghezza b della sezione il carico F che deve essere sopportato dalla trave manifestando uno spostamento limitato ( ) (vincolo di rigidezza), senza presentare cedimenti (vincolo di resistenza). Punto 2.1.2) Impostazione del Problema Il primo vincolo sulla rigidezza flessionale dell elemento strutturale in esame, può essere formalizzato attraverso l espressione della freccia massima, rappresentata dallo spostamento massimo verticale manifestato dalla trave. In particolare, rispettando le condizioni al contorno di carico e vincolo, lo spostamento massimo che si manifesta nella sezione di mezzeria della trave sotto l azione del carico F può esprimersi come: Ricordando l espressione del momento d inerzia per una sezione rettangolare di base b ed altezza a : L equazione di vincolo assume la seguente forma: Obiettivo: L espressione da minimizzare è ancora una volta quella della massa della trave, quindi: Imponendo il vincolo di rigidezza nell espressione della massa attraverso la variabile incognita l espressione seguente: si ottiene ( ( ) ) Nella quale si possono identificare i contributi dei tre parametri che condizionano la prestazione del componente strutturale da progettare (requisiti funzionali, parametri geometrici e proprietà del materiale ), in particolare: ( ) Punto 2.2) Vincolo attivo: vincolo di resistenza (il vincolo sulla rigidezza è disattivato) 18

19 Punto 2.2.2) Impostazione del Problema Il secondo vincolo sulla resistenza, sempre con l obiettivo di minimizzare la massa della trave, come presentato nell Esercizio n. 2, nel caso di sezione rettangolare, porta a definire una funzione obiettivo nella forma: ( ( )) In cui sono stati separati i tre contributi già precedentemente evidenziati: Punto 3) Svolgimento del Problema Si calcolino ora mediante le formule della massa i valori di massa per ciascun materiale e per ciascun vincolo. Nell ipotesi di considerare un carico pari a N, una lunghezza della trave pari a 1 m, ed una sezione di base pari a 50 mm, richiedendo una deflessione massima pari a = 0.5 mm, si ottengono, per i materiali oggetto dell indagine, i seguenti valori: Materiale E Y [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [Kg] [Kg] A ,455 6,166 B ,137 4,227 C ,204 4,269 D ,745 3,486 Da cui risulta che la scelta ricadrà sul materiale D. Esercizio 6bis Vincoli Multipli Sia assegnato un pannello aeronautico di dimensioni bxl=250x1000mm2 soggetto ad un carico di compressione F=37kN come rappresentato in figura

20 F a b F l Fig.6.1 Individuare il materiale (fra quelli indicati in tabella) che permette di minimizzare la massa del pannello limitandone la deformazione assiale in direzione di applicazione del carico entro il 0,06% senza la manifestazione di fenomeni di instabilità. Punto 1) Formalizzazione del Problema secondo il Metodo dei Vincoli Attivi (vincolo attivo RIGIDEZZA) Funzione: il pannello soggetto ad un carico di compressione non deve accorciarsi oltre un limite fissato. si sta effettuando una progettazione a rigidezza. Obbiettivo: minimizzare la massa; Vincoli: larghezza b; carico F, lunghezza l e la richiesta che il pannello non si accorci sotto l azione del carico F oltre un limite fissato (vincolo di rigidezza). Punto 2) Impostazione del Problema La formalizzazione matematica del vincolo di rigidezza è: La formulazione del vincolo risulta quindi essere: Obiettivo: 20

21 L obbiettivo è ancora una volta la minimizzazione della massa. Procedendo allo stesso modo degli esercizi precedenti il problema si imposta imponendo il vincolo all interno dell espressione della funzione obiettivo da minimizzare, ottenendo: ( ( ) ) Ovvero, secondo la consueta notazione: Il materiale che permetterà, nel rispetto di tutti i vincoli, di minimizzare la massa del componente strutturale dovrà essere caratterizzato quindi da: Punto 2) INSTABILITA ) Formalizzazione del Problema secondo il Metodo dei Vincoli Attivi (vincolo attivo Si può impostare il problema imponendo che lo sforzo agente nella sezione del pannello sia inferiore allo sforzo critico: dove per semplificazione tutti i termini costanti sono stati raccolti in un unico parametro K (ad esclusione di b che descrive la geometria; da notare inoltre che includo anche il coefficiente di Poisson perché assunto costante per i materiali in considerazione; per il calcolo di K si consideri il valore di k = 4). L imposizione del vincolo viene eseguita come al solito esplicitando l incognita a e sostituendola nella funzione obbiettivo: ( ) 21

22 Ovvero, secondo la consueta notazione: Il materiale che permetterà di minimizzare la massa di un corrente dimensionato ad instabilità sarà pertanto: ( ) ( ) Richiedendo all elemento strutturale in esame di soddisfare contemporaneamente entrambi i vincoli, la sua massa risulterà definita per ciascun materiale dal maggiore dei valori e. Si definisce pertanto, secondo il Metodo dei Vincoli Attivi il valore operando la scelta del valore minimo tra i massimi selezionati per ciascun materiale (tra e ): ( ) F b m1 b E 1 F b m2 K E 3 b MAX b l MAX * m min m, m 1 2 max E Y m 1 m 2 m* E/ E 1/3 / th Materiale [GPa [GPa] [MPa] [Kg/m 3 ] [Kg] [Kg] [Kg] /Kg/m 3 ] [GPa 1/3 /Kg/m 3 ] [mm] Fe-C ,29 4,49 4,49 0,0269 0,0008 2,30 Lega Ti ,64 3,26 3,26 0,0233 0,0010 2,90 Lega Al ,38 2,24 2,38 0,0259 0,0015 3,52 Lega Mg ,47 1,73 2,47 0,0250 0,0020 5,48 Nota: Si osservi che, a differenza di quanto emerso nell esercizio precedente in cui il materiale D era sempre la scelta ottimale, sia qualora fossero attivi i vincoli separatamente, sia con entrambi i vincoli attivi, in questo caso il materiale cambia. 22

23 Esercizio 7: Indici di forma Si consideri una trave appoggiata agli estremi di sezione A e lunghezza l fissate e sia essa caricata in mezzeria con un carico verticale F. Si determinino il materiale e la forma della sezione fra quelli proposti in tabella che permettono di minimizzare la massa m della trave imponendo un vincolo di rigidezza sulla freccia massima ( ). Punto 1) Formalizzazione del Problema La rigidezza flessionale di una trave di sezione generica appoggiata agli estremi è definita come: dove; è una costante dipendente dalle condizioni di vincolo; è il momento d inerzia della sezione della trave (da scegliere in funzione del piano in cui agisce la flessione); l è la lunghezza della trave. E possibile ora definire dei fattori di forma adimensionali da associare alle forme della sezione della trave indipendenti dalle dimensioni ma dipendenti dalla modalità di sollecitazione della trave stessa. Tali fattori di forma sono adimensionali perché espressi dal rapporto fra la rigidezza flessionale dell elemento in esame e la rigidezza flessionale di un elemento a sezione circolare di uguale area A (dello stesso materiale, lunghezza e condizioni di vincolo): Essendo quindi la rigidezza flessionale di una trave a sezione circolare: il fattore di forma è pertanto: L apice e indica che si tratta del fattore di forma da utilizzarsi per i progetti a rigidezza in campo elastico; il pedice F indica che ci si riferisce ad una sollecitazione di flessione. Analogamente possono essere definiti i fattori di forma da utilizzarsi per una progettazione a resistenza e per sollecitazioni a torsione. Il vincolo di rigidezza si può esprimere, come già visto nell esercizio 6, attraverso l espressione della freccia massima: 23

24 Inserendo questo vincolo ed il fattore di forma nella funzione obbiettivo da minimizzare si può giungere, come di consueto, all espressione degli indici di merito. Per compiere tale operazione è possibile inserire innanzitutto il vincolo di rigidezza nell espressione del fattore di forma scritto in precedenza: Tale espressione del fattore di forma può infine essere inserita nella funzione obbiettivo esplicitando l area A: ( ) ( ( ) ) L indice di merito da massimizzare ha dunque la seguente espressione: ( ) ( ) Per travi con il medesimo fattore di forma la scelta ottima si effettua massimizzando il termine: come visto in precedenza. Calcolando i valori degli indici di merito per le varie combinazioni di materiale/forma si può determinare la combinazione migliore. 24

25 A Sezione [m 2 ] [-] Circolare 0,005 1 Rettangolare 0,005 2,0944 IPE 0,005 15,8191 E Materiale [GPa] [Kg/m 3 ] [GPa 1/2 /Kg/m 3 ] [GPa 1/2 /Kg/m 3 ] Circolare Rettangolare IPE A ,0019 0,0019 0,0027 0,0074 B ,0023 0,0033 0,0091 C ,0031 0,0045 0,0123 D ,0037 0,0054 0,