Richiami di algebra lineare e geometria di R n

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1 Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5

2 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore y R n si dice combinazione lineare dei vettori x,..., x k se esistono k moltiplicatori reali λ,..., λ k tali che y = k λ i x i i= Se λ i, i =,..., k la combinazione è detta conica Se k i= λ i = la combinazione è detta affine Una combinazione conica ed affine si dice convessa

3 Esempio Dati x = Il punto y = 7/2, = 3/2 ) è combinazione lineare di x,? Equivale a risolvere un sistema di equazioni lineari: { 7/2λ + λ 2 = 7/2 λ + 3/2λ 2 = da cui: λ = /7, λ 2 ) = 8/7 quindi: y = /7 + 8/7 3/2 =

4 Geometricamente x = λ x = 7/2 35/7 /7, = ) 3/2 ), y = ), λ 2 = 8/7 27/ λ 2 x2 y x λ x x

5 Generare punti per combinazione lineare Dati x = ), = ), x 3 = scegliendo λ = /2, λ 2 ) = 5/4, λ 3 ) = otteniamo: z = /2 + 5/4 ) = /2 /4 λ 2 x 3 z λ x x x λ 3 x 3

6 Involucro lineare, sottospazi Sia S R n. Si dice involucro lineare di S o sottospazio generato da S l insieme lins) di tutte le combinazioni lineari di elementi di S Un insieme L R n è uno spazio lineare o sottospazio di R n ) se e solo se qualsiasi combinazione lineare di ogni sottoinsieme finito di L appartiene a L, cioè linl) = L Proprietà Ogni spazio lineare contiene il vettore nullo.

7 Esempi S = {x =, x 2 = } S = {x =, x 2 2 = } 2 x x x x y = λ ) λ + λ 2 = λ 2 y = λ ) 2 λ + 2λ + λ 2 = 2 2 λ + 2λ 2 lins) = R 2 lins) retta per, ), x,

8 Indipendenza lineare Un insieme S = {x,..., x k } di punti di R n si dice linearmente indipendente se non esistono k numeri reali λ,..., λ k non tutti nulli tali che k i= λ ix i = n Un insieme S = {x,..., x k } di punti di R n non linearmente indipendente si dice dipendente Proprietà Se S R n è linearmente indipendente, ogni suo sottoinsieme è linearmente indipendente cioè, S non contiene alcun sottoinsieme linearmente dipendente) L insieme { n } è linearmente dipendente. Quindi, il vettore n non appartiene ad alcun insieme linearmente indipendente

9 Esempi continua) S = {x = ), = } S = {x =, x 2 2 = } 2 x x x x λ ) λ + λ 2 = = λ 2 2 λ + λ 2 2 = λ + 2λ 2 λ + 2λ 2 = λ = λ 2 = λ = 2λ 2 S lin. indipendente S lin. dipendente

10 Basi Dato un sottospazio S R n, si definisce base di S una collezione B di vettori linearmente indipendenti tale che S = linb) Proprietà Tutte le basi di un dato sottospazio S R n hanno lo stesso numero di elementi Il numero di elementi di una base di un sottospazio S R n dimensione del sottospazio dims)) detto Nota dimr n ) = n i sottospazi -dimensionali sono rette per l origine, 2-dimensionali piani per l origine,...

11 Proprietà delle basi ogni sottospazio proprio S R n ha dims) < n Se S è un sottospazio proprio di R n allora a R n ortogonale a tutti gli elementi di S diciamo S) se dims) = m < n allora esistono n m vettori linearmente indipendenti ortogonali a S Teorema Dati i vettori x,..., x K, sia S = lin{x,..., x K }) tale che dims) = m. Allora: i) esiste una base di S composta da m fra i vettori di x,..., x K ii) se k m e x,..., x k sono linearmente indipendenti, possiamo formare una base di S scegliendo m k fra i vettori x k+,..., x K e aggiungendoli a x,..., x k

12 Rappresentazione rispetto ad una base Data una base B = {x,..., x r } di un sottospazio S ed un generico vettore y S si definisce rappresentazione di y rispetto a B il vettore λ,..., λ r ) tale che y = r i= λ ix i

13 Funzioni lineari Dati due spazi lineari S R n e T R m, si dice funzione lineare un funzione f : S T tale che, per ogni coppia x, y S ed un qualunque scalare k R, soddisfi: fx + y) = fx) + fy) fkx) = kfx) Ogni funzione lineare f da R n a R m si può rappresentare con una matrice A dimensioni m n, cioè, y = Ax, x R n, y R m. Nel caso m = : fx) = c T x, con c vettore di R n

14 Involucro conico, affine, convesso Si dice involucro conico [affine, convesso] di S R n l insieme cones) [af fs), convs)] di tutte le combinazioni coniche [affini, convesse] di elementi di S Esempio. x = 7/2, = 3/2. si ha: lins) = R 2 cone{x, }) aff{x, }) x 2 conv{x, }) x x

15 Insiemi convessi Un insieme S R n si dice convesso se, per ogni x, y S ed ogni λ [, ] si ha z = λx + λ)y S Esempi convessi non convesso

16 Intersezione di insiemi convessi Teorema Siano S, T R n insiemi convessi. Allora S T convesso. un insieme Dimostrazione Siano x, y S T. Comunque scelto un λ [, ] si ha che: z = λx + λ)y S, in quanto S convesso z = λx + λ)y T, in quanto T convesso Quindi, z S T, ovvero S T convesso.

17 Funzioni convesse Una funzione f : S R definita su un insieme convesso S R n, si dice convessa in S se per ogni x, y S ed ogni λ [, ] si ha fz) λfx) + λ)fy), con z = λx + λ)y λf x) + λ)f y) f x) f y) f z) x z y

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

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