Codifica di canale. (dalle dispense e dalle fotocopie) Trasmissione dell Informazione

Transcript

1 Codifica di canale (dalle dispense e dalle fotocopie)

2 Codici lineari a blocchi Un codice lineare (n,k) è un codice che assegna una parola lunga n ad ogni blocco lungo k. Si dice che il codice abbia un rate di codifica di k/n, quindi < se il codice aggiunge ridondanza. I bit di ridondanza possono servire a due scopi: rilevare un errore; correggere l errore rilevato. Le parole in uscita si ottengono come combinazione lineare di quelle in ingresso k xi = g ji u j per i =,2,...,n bit informativi " j= u u 2 u k x = ug Matrice generatrice x x 2 x n

3 Codici lineari Un codice lineare è sistematico se le prime k cifre sono quelle della parola originale. G = I P [ ] [ ] x = u x p Per capire quanto due parole sono differenti tra loro, un metodo semplice è calcolare il numero di bit di cui sono differenti (distanza di Hamming). Si parla di distanza minima del codice ad indicare la minima distanza di Hamming tra due parole del codice stesso. d min = min d h x,y ( ) x,y" codice Questo valore corrisponde al numero di nella parola che ne ha meno e che appartiene al codice.

4 Decodifica dei codici lineari Assumendo un canale con rumore AWGN e campioni indipendenti, se il canale ha un probabilità d errore media pari a p, P( y x) = p d xy ( " p) n"d xy = p & % ( " p La scelta va per il valore di d xy minimo, che massimizza questa probabilità. Il ricevitore dunque non si sbaglierà se il numero di errori è pari o inferiore a t = d min "% 2 & d xy ( " p) n Questo valore è dunque il numero di errori che il codice è in grado di correggere.

5 Decodifica hard e soft Una decodifica siffatta si dice hard, in quanto assume che il decisore sia a monte del decodificatore, e che i bit delle parole siano già stati identificati. La decodifica soft prevede invece che si usino i campioni, ma senza decidere prima di decodificare. In questo caso la distanza di Hamming è sostituita da quella Euclidea: d e = n i= ( s ji " r i ) 2 La decodifica soft è molto più utile per i codici convoluzionali che per quelli lineari.

6 Metodo degli array standard (I) Il metodo degli standard array è il metodo di decodifica più semplice ma anche quello più oneroso computazionalmente. Si costruisce una tabella avente nella prima riga tutte le parole di codice e in quelle successive tutte le possibili versioni errate di quelle parole che il codice è in grado di riconoscere. Il decodificatore confronta la parola ricevuta con tutti gli elementi della tabella e produce come risultato della decodifica la parola di codice corrispondente alla colonna in cui si è trovata una parola uguale a quella ricevuta.

7 Metodo degli array standard (II) Esempio di codice a blocchi: Ha una distanza minima di 3 e dunque corregge un errore al massimo. " 0 0 0% G = & input output

8 Metodo delle sindromi La matrice P deriva il suo simbolo dal nome di matrice di controllo di parità (Check Parity Matrix), ed è di dimensioni n per n-k. Definiamo: H = P & % ( I n"k Ciascuna parola di codice x soddisfa la condizione: xh = [ u up] % P I n"k & ( = up + up = 0 La parola demodulata y può essere scritta come x+e, dove e rappresenta la sequenza errore. In questo caso: yh = ( x + e)h = eh = s Il vettore di n-k elementi s è detto sindrome in quanto mette in evidenza, se non nullo, la presenza di errori.

9 Semplificazione degli standard array Tutti i vettori di una stessa riga della matrice degli standard array hanno la stessa sindrome. Infatti: y = x + e y 2 = x 2 + e s = y H = ( x + e)h = ( x 2 + e)h = y 2 H = s 2 " s = s 2 = s Nella decodifica mediante sindromi si costruisce una tabella a due colonne di cui la prima contiene le sequenze errore e la seconda i rispettivi vettori sindrome. Si calcola quindi la sindrome della parola ricevuta; si sceglie il vettore errore e corrispondente nella tabella; si somma il vettore e alla parola ricevuta per ottenere la sequenza corretta.

10 Esempio Si consideri il codice Volendo decodificare [ ] s = yh = [ 0 0] " % G = & & 0 H = 0 % !! 0!! 0! 0!! " x = y + e = [ 0 0 0] sequenze errore sindromi

11 Prestazioni dei codici lineari a blocchi È possibile calcolare per un codice, almeno teoricamente, la generica probabilità di ricevere y avendo trasmesso x. Da qui si calcola la probabilità d errore: P w ( e) = " 2 k P y j x i j= i= j j 0 Normalmente il calcolo è difficile. Si può dare però un limite superiore. Infatti, nel caso di segnali binari su canale simmetrico, la probabilità si sbagliare m bit su parole lunghe n è ( ) = n m P m,n Se il codice è in grado di rilevare t errori, allora P w e " n 2 k 2 n % p m ( p & ( ) " P( m,n) = m=t+ ( ) n(m n m=t+ ( ) n & ) p m * p % m( ( ) n*m