Le deformazioni nelle travi rettilinee inflesse

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1 2 Le deformazioni nelle travi rettilinee inflesse Tema 2.1 Per la struttura riportata in figura 2.1 determinare l espressione analitica delle funzioni di rotazione ed abbassamento, integrando le equazioni della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazione deformata per la linea d asse della struttura. Fig. 2.1: Struttura relativa al tema 2.1. La struttura proposta é isostatica. La figura 2.2 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare della coordinata assiale z. In particolare, risulta: 11

2 12 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Fig. 2.2: Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 2.1). N(z) = 0 z F z (0, l) (su AB) F z (l, 2l) (su BC) T (z) = 0 z (2l, 3l) (su CD) F z (3l, 4l) (su DE) M(z) = F (l z) z (0, l) (su AB) F (l z) z (l, 2l) (su BC) F l z (2l, 3l) (su CD) F (4l z) z (3l, 4l) (su DE) Pertanto, trascurando gli effetti di deformabilità tagliante, l integrazione delle equa-

3 13 zioni indefinite della linea elastica sulle diverse parti della struttura fornisce: w AB (z) = C 1, φ AB (z) = F lz EI + F z2 2EI + C 2 v AB (z) = F lz2 2EI F z3 6EI C 2z + C 3 w BC (z) = C 4, φ BC (z) = F lz EI + F z2 2EI + C 5 v BC (z) = F lz2 2EI F z3 6EI C 5z + C 6 w CD (z) = C 7, φ CD (z) = F lz EI + C 8 v CD (z) = F lz2 2EI C 8z + C 9 w DE (z) = C 10, φ DE (z) = 4F lz EI F z2 2EI + C 11 2F lz2 v DE (z) = + F lz3 EI 6EI C 11z + C 12 dove le quantità del tipo C i rappresentano costanti di integrazione da determinare con opportune condizioni al contorno di tipo cinematico. In particolare, le 12 condizioni al contorno che risolvono il problema risultano: 1) w A = w AB (0) = 0 2) v A = v AB (0) = 0 3) φ A = φ AB (0) = 0 4) w B = w+ B w AB(l) = w BC (l) 5) v B = v+ B v AB(l) = v BC (l) 6) w C = w+ C w BC(2l) = w CD (2l) 7) v C = v+ C v BC(2l) = v CD (2l) 8) φ C = φ+ C φ BC(2l) = φ CD (2l) 9) v C = 0 v BC (2l) = 0 10) w D = w+ D w CD(3l) = w DE (3l) 11) φ D = φ+ D φ CD(3l) = φ DE (3l) 12) v E = 0 v DE (4l) = 0 Si osservi che dall imposizione delle precedenti condizioni si deduce immediatamente l annullarsi dello spostamento orizzontale w su tutta la struttura. Ciò era prevedibile

4 14 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Fig. 2.3: Configurazione deformata per la linea d asse della struttura relativa al tema 2.1. a priori, risultando nullo lo sforzo normale per ogni valore della coordinata z e non essendo presenti distorsioni di tipo assiale. In questo caso, pertanto, l integrazione dell equazione differenziale relativa a w poteva omettersi. Conseguentemente tutte le condizioni al contorno che coinvolgono detto parametro di spostamento non sarebbero risultate necessarie. La figura 2.3 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d asse per la struttura in esame.

5 Tema 2.2 Per la struttura riportata in figura 2.4 determinare l espressione analitica delle funzioni di rotazione ed abbassamento, integrando le equazioni della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazione deformata per la linea d asse della struttura. 15 Fig. 2.4: Struttura relativa al tema 2.2. Fig. 2.5: Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 2.2). La struttura proposta é isostatica. La figura 2.5 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare della coordinata assiale

6 16 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE z. Si vuole ricordare che su strutture isostatiche le distorsioni ed i cedimenti vincolari non inducono reazioni vincolari e quindi caratteristiche della sollecitazione. In particolare, risulta: N(z) = 0 z 0 z (0, l) (su AB) m/l z (l, 2l) (su BC) T (z) = m/l z (2l, 3l) (su CD) 0 z (3l, 4l) (su DE) m z (0, l) (su AB) m(2l z) z (l, 2l) (su BC) M(z) = l m(2l z) z (2l, 3l) (su CD) l m z (3l, 4l) (su DE) Trascurando gli effetti di deformabilità tagliante ed evitando di considerare il parametro di spostamento w, identicamente nullo a priori, l integrazione delle equazioni indefinite della linea elastica sulle diverse parti della struttura fornisce: φ AB (z) = mz EI + C 1, φ BC (z) = 2 mz EI mz2 2lEI + C 3, φ CD (z) = 2mz EI mz2 2lEI + µz + C 5, φ DE (z) = mz EI + µz + C 7, v AB (z) = mz2 2EI C 1z + C 2 v BC (z) = mz2 EI + mz3 6lEI C 3z + C 4 v CD (z) = mz2 EI + mz3 6lEI µz2 2 C 5z + C 6 v DE (z) = mz2 2EI µz2 2 C 7z + C 8 dove le quantità del tipo C i rappresentano costanti di integrazione da determinare con opportune condizioni al contorno di tipo cinematico. Si osservi che, nel rispetto della convenzione secondo cui sono positive le distorsioni che fanno compiere lavoro positivo a caratteristiche di sollecitazione positive, la quantità µ = 2α t/h é negativa, avendo assunto positiva la variazione termica t ed essendo α il coefficiente di dilatazione lineare del materiale e h la dimensione trasversale della sezione retta. Tenuto conto dei cedimenti vincolari anelastici assegnati, le 8 condizioni al contorno che risolvono il problema risultano:

7 17 1) φ A = φ AB (0) = φ 2) v B = v+ B v AB(l) = v BC (l) 3) φ B = φ+ B φ AB(l) = φ BC (l) 4) v B = 0 v AB (l) = 0; 5) v C = v+ C v BC(2l) = v CD (2l) 6) v D = v+ D v CD(3l) = v DE (3l) 7) φ D = φ+ D φ CD(3l) = φ DE (3l) 8) v D = δ v DE (3l) = δ La figura 2.6 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d asse per la struttura in esame. Fig. 2.6: Configurazione deformata per la linea d asse della struttura relativa al tema 2.2.

8 18 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Tema 2.3 Per la struttura riportata in figura 2.7 determinare l espressione analitica delle funzioni di rotazione ed abbassamento, integrando le equazioni del quarto ordine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazione deformata per la linea d asse della struttura. Fig. 2.7: Struttura relativa al tema 2.3. La struttura proposta é isostatica. Evitando di considerare il parametro di spostamento w, identicamente nullo a priori, l integrazione delle equazioni della linea elastica del quarto ordine sulle diverse parti della struttura fornisce: v AB (z) = v BC = qz4 24EI + C z 3 1 qz4 24EI + C 5 z C C 6 z 2 z C 3z + C 4 z C 7z + C 8 z 3 v CD = C C C 11z + C 12 z 3 v DE = C C z C 15z + C 16 dove le quantità del tipo C i rappresentano costanti di integrazione da determinare con opportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico. In particolare, le 16 condizioni al contorno che risolvono il problema risultano: 1) φ A = 0 v AB(0) = 0 2) v B = 0 v AB(l) = 0 3) φ + B = φ B v AB(l) = v BC(l) 4) v + C = v C v BC(2l) = v CD (2l) 5)φ + D = φ D v CD(3l) = v DE(3l) 6) v + D = v D v CD(3l) = v DE (3l) 7) v E = 0 v DE (4l) = 0

9 19 Fig. 2.8: Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione (tema 2.3). Fig. 2.9: Configurazione deformata per la linea d asse della struttura relativa al tema 2.3.

10 20 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE 8) T A = 0 v AB(0) = 0 9) T + B = 0 v BC(l) = 0 10) M + B = M B ; v AB(l) = v BC(l) 11) M C = 0 v BC(2l) = 0 12) M + C = 0 v CD(2l) = 0 13) T + C = T C ; v BC(2l) = v CD(2l) 14) M + D = M D ; v CD(3l) = v DE(3l) 15) M E = 0 v DE(4l) = 0, 16) T + D T D = R D T + D T D = k vv D EI[v CD(3l) v DE(3l)] = k v v DE (3l) Le prime 7 condizioni al contorno sono di natura strettamente cinematica, quelle dalla 8 alla 15 sono di natura statica, mentre l ultima condizione, tenuto conto del cedimento vincolare elastico per il carrello in D, rappresenta una condizione al contorno di tipo accoppiato, nel senso che lega grandezze di natura statica (il salto di taglio in D) con parametri cinematici (lo spostamento v D ). La figura 2.8 mostra le reazioni vincolari ed i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione al variare della coordinata assiale z, mentre la figura 2.9 mostra qualitativamente la configurazione deformata della linea d asse per la struttura in esame.

11 Tema 2.4 Per la struttura riportata in figura 2.10 determinare l espressione analitica delle funzioni di spostamento e rotazione, integrando le equazioni del quarto ordine della linea elastica. Si disegnino i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione e si fornisca una rappresentazione qualitativa della configurazione deformata per la linea d asse della struttura. 21 Fig. 2.10: Struttura relativa al tema 2.4. La struttura proposta é isostatica. Nell ipotesi di deformabilità assiale della struttura, risultando presenti forze (reattive in questo caso) con componente orizzontale non nulla, é necessario considerare il parametro di spostamento w. L integrazione delle equazioni della linea elastica del quarto ordine sulle diverse parti della struttura fornisce: w AB (z) = C 1 z + C 2 z 3 v AB (z) = C C z C 5z + C 6 w BC (z) = C 7 z + C 8 z 3 v BC = C C z C 11z + C 12 w CD (z) = C 13 z + C 14 z 3 v CD = C C z C 17z + C 18 dove le quantità del tipo C i rappresentano costanti di integrazione da determinare con opportune condizioni al contorno sia di tipo cinematico che statico. In particolare, osservando che i versori e ed e indicati in figura risultano rispettivamente pari a e = 2 ( j + k), 2 e = 2(j + k), le 18 condizioni al contorno che 2 risolvono il problema sono:

12 22 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Fig. 2.11: Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola forza F (tema 2.4). 2 1) s A e = 2 (v Aj + w A k) ( j + k) = 0 v AB (0) = w AB (0) 2) w + B = w B w AB(l) = w BC (l) 3) v + B = v B v AB(l) = v BC (l) 4) v B = 0 v AB (l) = 0

13 23 Fig. 2.12: Reazioni vincolari e caratteristiche della sollecitazione dovute alla sola coppia m (tema 2.4). 5) φ + B = φ B φ AB(l) = φ BC (l) 6) φ + C = φ C φ BC(2l) = φ CD (2l) 7) (s + C s C ) e = 0 w BC(2l) w CD (2l) = v BC (2l) v CD (2l) 8) w D = 0 w CD (3l) = 0 9)v D = 0 v CD (3l) = 0

14 24 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Fig. 2.13: Configurazione deformata per la linea d asse della struttura relativa al tema ) M A = m EIv AB(0) = m 2 11) R A e = 2 ( T Aj N A k) (j + k) = 0 EIv AB(0) = EAw AB(0) 12) N + B = N B w AB(l) = w BC(l) 13) M + B = M B v AB(l) = v BC(l) 14) N + C = N C w BC(2l) = w CD(2l) 15) M + C = M C v BC(2l) = v CD(2l) 16) T + C T C = F EI[v CD(2l) v BC(2l)] = F 2 17) R C e = 2 (T C j + N C k) (j + k) = 0 EIv BC(2l) = EAw BC(2l) 18) M D = 0 v CD(3l) = 0 Le caratteristiche della sollecitazione possono ricavarsi, operando per sovrapposizione degli effetti, attraverso semplici considerazioni di statica grafica. Le figure 2.11 e 2.12 riportano rispettivamente le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione nel caso in cui agiscano separatamente la forza F e la coppia m. Infine, in figura 2.13 é illustrata qualitativamente la configurazione deformata per la linea d asse della struttura, considerando sempre ciascun ente di carico agente singolarmente.

15 Tema 2.5 Per la struttura riportata in figura 2.14 determinare il valore dello spostamento verticale e della rotazione per la sezione S indicata, utilizzando il metodo dei corollari di Mohr. 25 Fig. 2.14: Struttura relativa al tema 2.5. La struttura proposta é isostatica. In virtù delle posizioni alla base del metodo dei corollari di Mohr, trascurando gli effetti di deformabilità tagliante e tenuto conto del diagramma del momento flettente riportato in figura 2.15, la struttura reale in esame si trasforma nella struttura fittizia di figura Fig. 2.15: Diagramma del momento flettente sulla struttura reale (tema 2.5). In particolare, il carico fittizio distribuito verticale é pari a: F L/EI z (0, l) q (z) = F (2l z)/ei z (l, 2l) µ z (3l, 4l)

16 26 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Fig. 2.16: Struttura fittizia relativa al tema 2.5. Fig. 2.17: Catene cinematiche utilizzate per la determinazione, attraverso il metodo di Lagrange, delle caratteristiche di sollecitazione fittizie in S (tema 2.5). essendo µ la distorsione termica distribuita angolare, associata alla distribuzione termica a gradiente costante assegnata sul tratto CE. La determinazione del taglio e del momento flettente fittizi nella sezione S, necessari

17 alla determinazione dei parametri di spostamento richiesti, é effettuata attraverso il metodo di Lagrange. In particolare, riferendosi alle catene cinematiche ed alla notazione riportate in figura 2.17, si ottiene: 27 TSδ + µl 2 δ = 0 δ T S = φ S = µl 2 MSθ F l2 EI θl F EI θ [ +µθ 3l 2l 2l l (z 2l)dz + M S = v S = 3 8 µl2 + (2l z) 2 dz 7l/2 ( ) ] 7 2 l z dz 3l 4F l3 3EI = 0 θ

18 28 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE Tema 2.6 Per la struttura riportata in figura 2.18 determinare il valore dello spostamento verticale e della rotazione per la sezione S indicata, utilizzando il metodo dei corollari di Mohr. Fig. 2.18: Struttura relativa al tema 2.6. Fig. 2.19: Diagramma del momento flettente sulla struttura reale (tema 2.6). La struttura proposta é isostatica. In virtù delle posizioni alla base del metodo dei corollari di Mohr, trascurando gli effetti di deformabilità tagliante e tenuto conto del diagramma del momento flettente riportato in figura 2.19, la struttura reale in esame si trasforma nella struttura fittizia di figura Si osservi come il cedimento vincolare e la distorsione impressa nello schema reale divengano, nello schema fittizio, dei carichi concentrati. Il carico fittizio distribuito verticale risulta: q (z) = { 0 z (0, 2l) q(z 2l) 2 /(2EI) z (2l, 3l)

19 29 Fig. 2.20: Struttura fittizia relativa al tema 2.6. Fig. 2.21: Catene cinematiche utilizzate per la determinazione, attraverso il metodo di Lagrange, delle caratteristiche della sollecitazione fittizie in S (tema 2.6). La determinazione del taglio e del momento flettente fittizi nella sezione S, necessari alla determinazione dei parametri di spostamento richiesti, é effettuata attraverso il metodo di Lagrange.

20 30 2. LE DEFORMAZIONI NELLE TRAVI RETTILINEE INFLESSE In particolare, riferendosi alle catene cinematiche ed alla notazione riportate in figura 2.21, si ottiene: TSδ + φδ δ q 2EI 3l M Sθ + δ A θ + φθ l 2 θ ql 2EI 2l M S = v S = δ A + φl 2 (z 2l) 2 dz = 0 δ TS = φ S = φ ql3 6EI 3l 2l ql4 12EI (z 2l) 2 dz = 0 θ