Precorso:parte 2 dott.francesca De Mori

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1 Pecoso:pate 2 dott.fancesca De Moi Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 1

2 Come possiamo descivee le gandezze fisiche? VETTORI Es. Velocita Caatteizzato da diezione oientata( diezione+veso), modulo( valoe numeico) e punto di applicazione VETTORE Il vettoe e appesentato da : v SCALARI sono invece specificati da numeo + unita di misua ( es massa, tempo, volume). Puo essee positivo, negativo o nullo. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 2

3 Assi catesiani Sevono a descivee la posizione di un punto nello spazio 1. Un punto di ifeimento fisso O, l-oigine 2. Un insieme di assi o diezioni specificate Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 3

4 COORDINATE POLARI PIANE Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 4

5 SOMMA DI VETTORI y B A C x C = A C A + + B B Un uomo si sposta 6m a est e 4 m a nod. Spostamento netto? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 5

6 PROPRIETA COMMUTATIVA DELLA SOMMA A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 6

7 OPPOSTO DI UN VETTORE A: e definito come il vettoe che sommato (vettoialmente) al vettoe A da zeo pe il vettoe somma. I vettoi A e -A hanno stesso modulo, stessa diezione, ma veso opposto SOTTRAZIONE DI VETTORI: A B = A + ( B ) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 7

8 Moltiplicazione di un vettoe pe uno scalae Moltiplichiamo il vettoe A pe uno scalae c positivo: Otteniamo un vettoe con stessa diezione e veso di A e modulo c volte quello Di A E se c e- negativo? Podotto di due vettoi podotto _ scalae = A B = AB cosϑ θ B A Il podotto vettoiale invece un vettoe di modulo ABsinθ Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 8

9 SOMMA DI VETTORI PER COMPONENTI y V y v V x θ x v x + v y = v v x =v cosθ v y =v sinθ tgθ=v y /v x IDENTITA TRIGONOMETRICA : sin 2 θ + cos 2 θ =1 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 9

10 y D 30 D1 60 D 2 x D D x y = = D D 1x 1y + + D D 2x 2y La scelta degli assi coodinati e abitaia meglio scegliee uno degli assi Con la stessa diezione di uno dei vettoi del poblema. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 10

11 I VERSORI Vettoi adimensionali di modulo unitaio Indicano una diezione oientata ˆ, i ˆ, ˆ j k Sono i vesoi degli assi catesiani x,y,z v = v x ˆ i + v ˆ j + v y z ˆ k Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 11

12 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 12

13 Un pony- expess guida pe 22km veso nod. Posegue in diezione 60.0 a sud ispetto a est pe 48 km veso un alta citta. Qual e il vettoe spostamento ispetto al punto di patenza? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 13

14 PROBLEM SOLVING 1. Tacciae il diagamma 2. Scegliee gli assi coodinati( se non dati nel testo del poblema) 3. Scompoe ogni vettoe nelle sue componenti 4. Calcolate ogni componente 5. Sommate le componenti vettoe isultante 6. Tovate modulo e diezione del vettoe isultante IL METODO DEL PARALLELOGRAMMA UTILE PER CONFERMA Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 14

15 Un viaggio aeeo e composto di 2 tatte( ci sono due scali). La pima e veso est di 600 km, la seconda veso sud-est di 450 km e La teza 50 a sud ispetto a ovest pe 500 km. Vettoe spostamento netto dell aeeo ispetto al punto di patenza. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 15

16 In cinematica abbiamo intodotto 4 diffeenti vettoi: Vettoe posizione Vettoe spostamento Vettoe velocita Vettoe acceleazione Una quaglia e ossevata inizialmente nella posizione 5 secondi piu tadi si tova nella posizione f = i = ( 1m)ˆ i + ( 2m)ˆ i + (4m) ˆ j (2m ) ˆ j Qual e la sua vel.media in questo intevallo di tempo? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 16

17 Pecoso (seconda pate) Cos e la Dinamica? Concetto di foza Pincipi della Dinamica / Leggi di Newton esecizi Esempi di foze Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 17

18 Che meccanismo causa la vaiazione del moto? Dinamica La foza è una gandezza vettoiale cioe caatteizzata da una intensità (il modulo) una diezione un veso Esse modificano lo stato di quiete o di moto ettilineo unifome di un copo. Quindi poducono un acceleazione (effetto dinamico) anche se non sono a contatto del copo su cui agiscono; oppue una defomazione (effetto statico). Esempi: foza gavitazionale (o foza peso), foza elastica(legge di Hooke), foze elettomagnetiche, ecc... Semplificando: foze di contatto: espimono isultato di contatto fisico ta copi foze a distanza: agiscono attaveso lo spazio vuoto (campi di foze) foza gavitazionale foza elettica foza magnetica Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 18

19 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 19

20 Le inteazioni fondamentali : 1) gavitazionale inteazione ta masse (es.: pianeti,stelle, galassie ); foza attattiva; aggio d azione infinito 2) Elettomagnetica inteaz. ta caiche elettiche; epulsiva ed attattiva, aggio d azione infinito; uolo fondamentale nella stuttua atomi e molecole pocessi chimici e biologici 3) inteazione fote inteaz. ta quaks, a coto aggio ( m); Stuttua dei nuclei atomici;pocessi di fissione e fusione nucleae 4) inteazione debole decadimenti adioattivi, dinamica stellae Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 20

21 Leggi della dinamica(1) Pincipio di inezia Ogni copo mantiene il suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome se non e costetto a modificae il suo stato pe effetto di una foza isultante non nulla. Espeienza: un copo in moto dopo un po si fema. Ma sulla Tea nessun copo è isolato: c è sempe attito. Riducendo l attito si polunga il moto. Se non ci fosse attito il moto continueebbe all infinito. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 21

22 Sistemi di ifeimento ineziali La pima legge di Newton non vale in tutti i sistemi di ifeimento qualunque sistema di ifeimento in moto con velocità costante ispetto ad un ifeimento ineziale e anch esso ineziale la tea non è un sistema ineziale: a c = m/s 2 sole) a c = m/s 2 un sistema di ifeimento è inezialesein esso vale la pima legge di Newton acceleazione centipeta veso il Sole (moto attono al acceleazione centipeta veso il cento della tea (moto attono all asse teeste) sono acceleazioni piccole ispetto a g = 9.8 m/s 2 si suppone che un sistema di ifeimento vicino alla supeficie teeste sia un ifeimento ineziale Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 22

23 Leggi della dinamica(2) Seconda legge di Newton L acceleazione di un copo è diettamente popozionale alla foza isultante su di esso e invesamente popozionale alla sua massa F is = ΣF = ma ΣF ΣF ΣF x y z = = = m a m a m a x y z [N.B. si consideano solo le foze che agiscono sul copo non tutte le foze pesenti nel poblema!!] un copo è in equilibio quando la somma di tutte le foze agenti è nulla Questo pincipio intoduce il concetto di massa: una conseguenza del fatto che l effetto dinamico di foze divese sullo stesso copo poduce acceleazioni divese, ma tali da avee un appoto costante ta foza e acceleazione: F1/a1 = F2/a2 =...= costante = m 23 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi

24 Vale il pincipio di sovapposizione delle foze (popieta` additiva); massa ΣF i = m Σa i popietà intinseca di un copo indipendente da ciò che lo ciconda indipendente dal metodo di misua gandezza scalae fondamentale obbedisce alle egole di aitmetica m peso luna luna = m < massa peso tea peso tea Nel S.I. il Kg e` l unita` di massa e il Newton e` l unita` delle foze: 1N = 1kg 1m/s 2 Nel sistema cgs l unita` deivata della foza e` la dina (1 N = 10 5 dine). densità In simboli densità = massa volume ρ= m/v U.D.M. in S.I. kg/m 3 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 24

25 Esecizio di convesione di unità di misua Densità dell acqua: 1 g/cm g/cm 3 3 = (10 ( kg)/( m3) m3) = kg/m3 kg/m3 = (10 ( kg)/( dm dm 3 3 )) = (10 ( kg)/( l) l) = 1 kg/l kg/l = (1 (1 g)/(10 g)/( dm dm 3 3 )) = (1 (1 g)/(10 g)/( l) l) = g/l g/l Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 25

26 Poblema: un disco di massa 1Kg che scoe su una sup.oizzontale piva d attito viene colpito contemp. con due bastoni che esecitano due foze paallele alla supeficie oizz., con diez. e veso in fig..deteminae l acceleazione impessa al disco se i modulo delle foze sono F 1 =6 N; F 2 =10 2 N y F 2 F x Suggeimento: scompoe in componenti Che teza foza bisogna applicae al disco peche la sua acceleazione sia nulla? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 26

27 Leggi della dinamica (3) Pincipio di azione e eazione Se un copo B esecita una foza su un copo C, a sua volta C esecita su B una foza uguale e contaia esempio: libo B appoggiato su cassetta C F BC = foza esecitata dal libo sulla cassetta F CB = foza esecitata dalla cassetta sul libo F BC = - F CB le foze di azione e eazione agiscono sempe su copi divesi: non si combinano in una foza isultante; non si elidono a vicenda. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 27

28 esempio: F = 36 N m astonave = kg m uomo = 92 kg a a astonave uomo = 36 = = 0.39 = m / s 2 m / s 2 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 28

29 F app C C F DC D x x F app =30 N M C =5 kg M D = 10 kg F CD D Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi x 29

30 Esecizi 1) Un copo di massa 3.00 kg subisce un acceleazione data da 2 a = ( 2.00ˆ i ˆ) j m / s Deeteminae la foza che la povoca e il suo modulo. 2) Su un copo di massa 2 kg inizialmente femo nel punto P di coodinate (-2.00m,4.00 m) agiscono due foze: F = ( 6ˆ i 4 ˆ) j N 1 F = ( 3ˆ i + 7 ˆ) j N 2 Deteminae dopo t=10s a)le componenti della velocita b) La diezione del moto c) Lo spostamento d) Le coodinate della paticella Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 30

31 3) Ho due foze (F 1 =20 N,F 2 =15N) applicate ad un copo di massa m=5 kg con diezioni e veso indicate in figua: F 2 F 2 m m 60 F 1 Deteminae modulo,diezione e veso della foza isultante e modulo,diezione e veso dell acceleazione F 1 4) Te foze: F = ( 2.00 ˆ i ˆ) j N 1 F = (5.00 ˆ i 3.00 ˆ) j N 2 F = ( ˆ) i N 3 Agiscono su un copo impimendogli un accel. a=3.75 m/s 2 a)qual e la diezione e il veso dell accel.? b)qual e la massa del copo? c)se il copo e inizialmente femo, qual e la velocita dopo 10 s? d) Quali sono le componenti della vel. dopo 10 s? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 31

32 Olte al suo peso un oggetto di 2.8 kg e soggetto ad un alta foza costante. L oggetto pate da femo e in 1.20 s compie uno spostamento: s = ( 4.2ˆ i 3.3 ˆ j ) m Calcolae modulo, diezione e veso della foza costante applicata. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 32

33 Esempi di foze Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 33

34 Foza gavitazionale Ta due copi di massa m 1 e m 2, posti a distanza, si esecita sempe (non solo sulla Tea! ) una foza di attazione: ATTRAZIONE F = Gm m G = N m 2 /kg 2 costante di gavitazione univesale m 1 m2 - dietta lungo la congiungente ta i due copi - popozionale alle due masse - invesamente popozionale al quadato della loo distanza se il secondo copo è la tea: dietta veso il cento della tea F g = m g Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 1 Foza Peso g vaia con la posizione geogafica (~ 9.8 m/s 2 sulla sup. della tea) 34 diminuisce all aumentae dell altezza h dalla supeficie teeste

35 La egione di spazio vicina alla supeficie della Tea è sede di un campo di foza gavitazionale: ogni copo di massa m che si tova in quella egione isente di una foza peso dietta veticalmente veso il cento della tea L intensità del campo gavitazionale si estende fino a infinito (ma vaia come -2 ). Il copo (nel nosto caso la Tea) cea un campo gavitaz. g. in tutto lo spazio intono ad esso. Quanto vale la foza gavitazionale ta la Tea e un copo di massa m= 1 kg posto sulla supeficie della Tea? Dati Tea: M T = kg, R T = m F = = = (massa ( Nm kg ) ( 1 kg ) ( kg ) 6 2 ( m ) N di pova) * (campo g.) = x G mm 2 P = mg j = mg y m F M T R n.b.: g = tea g luna m/ s 2 = 1.7 m/ s p m tea > p = m luna tea luna Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 35

36 Bilancia a bacci uguali Bilancia a molla [dinamometo] Il peso del copo allunga molla taata in unità di massa o peso, muovendo un indice su scala gaduata Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 36

37 Esecizi Moto di caduta di un gave( tascuando l attito dell aia): sempe unifomemente acceleato con acceleazione di modulo(g=9.8 m/s 2). Se m= 2kg in 10 s quanto spazio h pecoe e che velocita Raggiungese patedafemo? m v = g t ; h = ½ g t 2 MOTO UNIF. ACCELERATO P se m=2 Kg quanto tempo ci mette a aggiungee tea se cade da altezza h=100 m? t = 2h/g v = (v 02 +2as)= 2gh E se invece il copo di massa m viene lanciato veso l alto con una velocita iniziale v 0 =5 m/s a che altezza inizia a icadee veso tea? Qual e la foza di gavita all altezza max e quale a meta della stessa? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 37

38 Tensione filo fissato ad un copo soggetto ad una foza il filo è sotto tensione il filo esecita sul copo una foza di tazione T dietta lungo il filo PULEGGIA Assumo: filo pivo di massa(tascuabile ispetto alla massa del copo) e inestensibile. Esso e solo un collegamento ta i copi. La foza esecitata a un capo del filo viene tasmessa inalteata lungo l intea lunghezza. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 38

39 Reazioni vincolai Se un copo peme su una supeficie: la supeficie si defoma (anche se appaentemente igida) Essa spinge il copo con foza nomale N N è sempe pependicolae alla supeficie stessa ΣF = N F = ma y g N mg = ma N = mg + ma y y y = m a = 0 N = mg y ( y g + a ) la foza nomale bilancia il peso e detemina l equilibio La pesenza di vincoli che limitano le possibilità di movimento di un copo detemina lo sviluppo di foze dette eazioni vincolai, dipendenti dalle alte foze agenti sul copo (es., foza peso) e dal moto che il copo è vincolato a compiee: Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 39

40 che diffeenza c è ta foza nomale e foza peso?sono sempe uguali? N y In componenti: N P y = ma y =0 P x = ma x In cui : P x =mg sin q x Dunque : P y =mg cos q N = P y =mg cos q e a x =g sin q Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 40

41 La eazione vincolae e la eazione alla azione foza peso? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 41

42 a Esecizio M P M N T T a m Calcolae la tensione T e l acceleazione del blocco di massa m e quella del blocco di massa M appeso: se m=6 kg e M=2 kg se m=20kg e M=2 kg se m=2 kg e M=20kg [puleggia piva di massa e senza attito, coda insestensibile] M y N T a x P m a x T P m m y DIAGRAMMI DELLE FORZE P M Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 42

43 Quali sono modulo diezione e veso della foza T applicata al blocco dalla coda e della foza nomale N applicata al blocco dal piano? [m1=10 kg] Se la coda viene tagliata il blocco scivola giu. Con che acceleazione? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 43

44 Pe che valoe di m 2 i blocchi imangono femi(equilibio)? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 44

45 T T F m app B m A F app =50N m B =15 kg m a =10 kg P B N B T T N A F app -T =m A a T =m B a P A F app F app =(m A + m B )a Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 45

46 F d F d =300N θ=5º F FM θ θ F FA M y A F d θ x F MF F AF Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 46

47 Foza elastica legge di Hooke esempio: molla F = k( x x0) ossevabile x indica l attuale estensione della molla, x 0 la sua lunghezza a iposo COSTANTE ELASTICA STATO DI RIPOSO Pincipio di azione e eazione: la foza esecitata dalla molla ha modulo e diezione uguali, veso opposto a quelladanoiapplicatape compimela o estendela Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 47

48 Foza centipeta [moto cic. unif.] Non e un nuovo tipo di foza Moto cic.unif.: copo con velocità v costante in modulo lungo taiettoia cicolae subisce acceleazione centipeta: esempio: disco su taiettoia cicolae T = F = ma c v R = R R 2 a c c v R m R R 2 F c = = 2 v m inezia del disco: moto su linea etta tensione del filo: mantiene taiettoia cicolae R se ompo il filo il disco si muove lungo linea etta tangente alla ciconfeenza sempio: satellite attono alla tea (F = mg) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 48

49 Se ho una palla di 70 g legata all estemita di una coda che uota di moto cic. unifome su R=0.5 m compiendo 2 gii al secondo, qual e l acceleazione centipeta?qual e la foza centipeta? Quali sono diezione e veso delle stesse? Qual e la velocita della palla? Cosa cambia se R addoppia? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 49

50 Foza di Attito Si oppone al moto f d N v N f d v f f s d µ N µ s coefficiente attito statico s = µ d N µ d coefficiente attito dinamico µ s, µ d dipendono dai mateiali a contatto [0.05 < µ < 1.5] µ d < µ s µ s, µ d non dipendono dall aea di contatto f s, f d paallele alla supeficie e opposte al moto Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 50

51 1)Ho un blocco di 10 kg sul pavimento oizzontale pe cui µ s =0.3. Deteminae la foza di attito(modulo diezione e veso) e l eventuale acc. se lo spingo con una foza paallela al pavimento di: a) 0N b) 10 N c) 20 N d) 30 N e) 40 N Se vogliamo tenee femo un blocco pemendolo con una foza F pependicolae alla paete senza che esso scivoli sotto l effetto della fozapeso. Qualedeveesseeilappototala massae la foza applicata F a F app N N F a P P Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi F app 51

52 Se µ s =0.4 fino a quale angolo α il blocco imane femo? F as y F s,max =µ s N h P F as + N + P = 0 d α x F as + 0 mg sinα = N mg cosα = 0 N = mg cosα Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi F as = mg sinα Fas tgα = µ s N 52

53 La slitta(m=100 kg) viene tiata su una sup.oizzontale (coeff. d attito din ta pattini e neve µ κ = 0.1 e φ=40 ) a velocita cost. Qual è il modulo della tensione della fune di taino? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 53

54 Ammettendo che il coeff. d attito sia cost. A che vel. stava andando l auto Al momento del bloccaggio delle uote se lo spazio di fenata è stato di 290 m? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 54

55 Un automobile di 1200 kg fa una cuva di aggio 45 m. Se il coefficiente di attito statico ta i pneumatici e la stada e µ s =0.82 qual e il valoe max pe il modulo della velocita peche l auto possa Cuvae senza slittae? N F a P Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 55

56 Esempio :cuva di una stada Una cuva sopaelevata di aggio 190m è inclinata di un angolo tale da pemette di pecoela senz'attito alla velocità di 50km/h. Calcolae l angolo F c F a N P N cosθ = P = N sinθ = F = c mg 2 mv tan θ = v 2 g Θ = 5.92 ο Se un'automobile pecoe questa cuva a 100km/h, qual è il minimo coefficiente di attito ta pneumatici e stada pechè l'auto non slitti? N cosθ f sinθ = mg 2 mv N sinθ + f cosθ = N cosθ µ N sinθ = mg 2 mv N sinθ + µ N cosθ = Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi Risolvee ispetto a µ 56

57 Centifuga Utilizza una fote acc.centipeta pe svolgee compiti come la sepaazione dei globuli bianchi e ossi del sangue dal sieo,sepaae mateiali con caatteistiche divese etc..etc. Essa puo podue una acc.centipeta molte migliaia di volte quella di gavita. Le ultacentifughe olte 10 6 g. Nel nosto esempio il otoe della centifuga uota a pm(ivoluzioni al minuto).il bodo supeioe di una povetta lunga 4 cm si tova a 6 cm dall asse di otazione ispetto a cui la povetta e disposta pependicolamente. Il fondo della povetta si tova a 10 cm dall asse di ot. Calcolae in unita di g l acc.cent. all estemita supeioe e a quella infeioe della povetta. v 2 a c = R ROTORE A R Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 57

58 Quantità di moto Talvolta, anzichè la velocità, si pefeisce usae una gandezza ad essa collegata, l'impulso (o quantità di moto), definito come p = mv. Da questa definizione segue che, se la massa si può itenee costante, p è costante nel tempo se F è nulla, in quanto: F = ma = mdv/dt = dp/dt. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 58

59 Poblem Solving Pensate! Tacciate un disegno del sistema Isolate il copo di cui volete analizzae il moto e disegnatene un diagamma di copo libeo con tutte le fose estene agenti su di esso. Se il sistema compende piu copi Un diagamma pe ogni copo Scegliee il sistema di coodinate oppotuno pe ciascun copo. Deteminae le componenti delle foze lungo gli assi Elencae dati noti e incogniti. Decidete cosa vi seve pe deteminae le incognite. ( fino ad oa abbiamo usato le leggi di Newton e equazioni di cienmatica piu in geneale e utile capie se una o piu equazioni mettono in elazione le incognite con i dati noti. Tali equazioni devono essee applicabili al caso *ATTENTI AI FORMULARI*)( pe avee soluzione equazioni indipendenti = numeo incognite) Risolvee il poblema utilizzando pe quanto possibile I simboli algebici solo alla fine sostituite i valoi numeici Usate le UDM vi sevono anche pe contollae la coettezza delle equazioni. Domandatevi se il isultato ottenuto e agionevole. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 59

60 Pecoso 2: pate seconda Lavoo Enegia Consevazione dell enegia totale Enegia cinetica e potenziale Consevazione dell enegia meccanica Foze consevative e dissipative Potenza esempio: copo soggetto a foza vaiabile con la posizione [foza di gavità, foza della molla] oppue taiettoia complicata utilizzando le leggi di Newton non posso calcolae la velocità del copo in fondo alla pista, pu conoscendo la velocità iniziale: devo conoscee nel dettaglio la taiettoia: molto complicato!!! Scociatoia: concetto di enegia/lavoo Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 60

61 Lavoo (foza cost.) Il lavoo L è una gandezza scalae, podotto scalae dei due vettoi foza F e spostamento s, ossia L = Fs cosθ, il cui segno è dato dal segno di cosθ. Si ha L = 0 pe θ = π/2: il lavoo è nullo quando F e s sono otogonali. L unità di misua del lavoo è il joule 1J = 1N 1m = 10 5 dine 100 cm = 10 7 eg L AB = F s i i lavoo: enegia tasfeita a un copo o da un copo pe mezzo di una foza lavoo > 0 cedo enegia lavoo < 0 pelevo enegia Camminando con una valigia in mano: in piano L=0 in salita L<0 in discesa L>0 F(s) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi F S α F s s 61

62 Lavoo compiuto da una foza : v(t 1 ) A lavoo infinitesimo : lavoo da A a B : ds m v(t 2 ) ϑ F dl F d s = L AB Esempio: lavoo della foza d attito dinamico: u x A v s B A L dl Fds v(t 3 ) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi D B att AB = B A B A F AB F att cos = µ mg ˆ i s = µ x d D ϑ s d s 62 B = mg s AB

63 F = kx el F app = kx F(x) L = 1 kx 2 2 aea = L kx E il lavoo fatto pe allungae una molla di x. Si puo dimostae che pe compimee una molla di x il lavoo e lo stesso Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi x 63

64 foza F(x) vaia con la posizione x si ha spostamento da x i a x f suddivido il pecoso in x piccoli, così che F(x) = costante in x = valoe medio di F(x) in x L = F x j j espessione appossimata del lavoo: L = L = F x j j [ ] j isultato esatto: xf L = lim F x = F ( x ) dx x 0 lavoo Coso popedeutico = aea sottesa di Fisica (Pate dalla 2) cuva Fancesca F(x) De ta Moi x i e x f x i 64

65 lavoo fatto dalla foza peso [ in salita ]: 0 L = F s = mg s cos( 180 ) g g dopo avee aggiunto la massima elevazione il copo cade: = mg s lavoo fatto dalla foza peso [ in discesa ]: L = F s = mg s cos( 0 0 ) = + mg s g g Il lavoo svolto da una fozasu un copo si puo calcolae anche se non c e elazione causale con lo spostamento dello stesso Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 65

66 Enegia L Enegia non si puo ne ceae ne distuggee. L enegia si conseva. Essa puo essee essee tasfeita e Tasfomata(Lavoo,onde meccaniche, onde elettomagnetiche, caloe etc..) - cinetica - potenziale gavità - potenziale elastica stessa unità di misua del lavoo: joule - potenziale elettica - temica (caloe) -chimica - nucleae -... Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 66

67 Enegia cinetica Ogni punto mateiale in movimento è dotato di enegia in base alla sua massa e alla sua velocita Enegia cinetica: T = ½ mv 2 [N.B. più un copo è veloce, maggioe è la sua enegia copo a iposo ha enegia cinetica nulla ] Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 67

68 Da L = F s = ma s si icava(foza cost., moto unif.accel.) L ma( v 2 2 f i 2 2 = = m( v v ) f i 2a v ) 1 2 = T f T i Teoema dell enegia cinetica( o delle foze vive) L = T = T f -T i = ½ mv 2 f ½ mv2 i Un lavoo svolto da una foza nello spostae un copo puntifome è pai alla vaiazione di enegia cinetica del copo(sia pe foza costate che vaiabile) N.B. il teoema dell enegia cinetica è coelato ad una vaiazione del modulo della velocità non ad una vaiazione del vettoe velocità isolvo molti poblemi maneggiando solo gandezze scalai Abbiamo un sistema non isolato il lavoo tasfeisce enegia ta sistema e ambiente. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 68

69 Pe acceleae un auto da fema ad una velocita v e necessaio un lavoo L 1. Il lavoo necessaio pe acceleae l auto da v a 2v e L 2. Quale delle affemazioni e giusta? L 2 = L 1 L 2 =2L 1 L 2 =3L 1 Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 69

70 Esempio: moto lungo un piano inclinato pivo d attito 0 l condizioni iniziali: x =, v 0 Integando l equazione del moto: Ν = v ( t ) x ( t ) = = a ϑ g sin ϑt g sin ϑt, x ( t ) dalla legge di Newton: 2 d x( t ) a = = 2 dt l t = Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi f f x g sinϑ 2l g sin ϑ Utilizzando il teoema dell enegia cinetica, si giunge allo stesso isultato: = 0 T v f v ( t ) = g sin ϑt = 2lg sin ϑ f 1 i = T f T = mv 2 = L sin 2 = mg f i f v f mg = 2 l g sin la eazione vincolae non compie lavoo ϑ f ϑl lavoo della foza peso 70

71 Richiamo : Si compie piu lavoo sollevando un pacco da tea veticalmente e posandolo sul pianale di un camion o spingendolo lungo una ampa piva di attito? RAMPA s F as y h i = mg sin ϑl = mg ( ) l = l L f mgh h l P SOLLEVAMENTO VERTICALE θ L i f = mgh d Chegiovamentonetaggo? Peche le stade di montagna vengono fatte con i tonanti? Il lavoo svolto da una foza su un copo si puo calcolae anche se non c e elazione causale Coso con lo popedeutico spostamento di Fisica dello (Pate stesso 2) Fancesca De Moi 71

72 Foze consevative Si tatta di foze pe le quali il lavoo compiuto pe spostae un copo da un punto A ad un punto B (o vicevesa) non dipende dal pecoso effettuato. Equivalentemente si puo die che il lavoo di una foza consevativa su un copo che si muove lungo un pecoso chiuso e nullo. Cio implica l esistenza di un enegia potenziale U. (1) A (3) (2) Sono consevative, pe esempio le foze elastiche (F = - kx, U = - ½kx 2 ), le foze gavitazionali (F = mg, U = mgh), e alte. B Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 72

73 Enegia potenziale Pe un campo di foza consevativo, si definisce l enegia potenziale una funzione dei punti dello spazio tale che su un qualunque pecoso L AB = - U AB l enegia potenziale è definita a meno di una costante abitaia (= al valoe ad essa convenzionalmente assegnato in un punto abitaio) F( ) A ),, ( A A A A z y x W W o ĵ kˆ B A iˆ B B A A B AB L U U U ) ( ) ( ) ( Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 73 = B A A B A A B s d F U U U U ) ( ) ( ) ( ) ( ossia:

74 Enegia potenziale Pe un campo di foza consevativo, si definisce enegia potenziale quella funzione dei punti dello spazio tale che la sua diffeenza ta due qualsiasi punti A, B sia uguale a meno il lavoo compiuto dalla foza del campo pe andae da A a B (lungo un qualsiasi pecoso): = B A B A A B AB s d F L W W W ) ( ) ( ) ( ) ( ossia: = B A A B A A B s d F W L W W ) ( ) ( ) ( ) ( Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 74 l enegia potenziale è definita a meno di una costante abitaia (= al valoe ad essa convenzionalmente assegnato in un punto abitaio) F( ) A ),, ( A A A A z y x W W o ĵ kˆ B A iˆ L=-DU

75 Enegia potenziale gavitazionale Lavoo compiuto da/conto la foza peso nellacadutadaa a B nel sollevamento da B a A F = mg s=h=h A -h B L = mg (h A -h B ) z x y suolo linee di foza A p = mg B h A h = h A h B h B Enegia potenziale gavitazionale: U = mgh = mgh A -mgh B Dipende solo dall altezza h ispetto al suolo (cood.z), non dalle cood. oizzontali x e y L enegia potenziale è elativa a un punto di ifeimento abitaio (dipende dal dislivello ta due punti, non dall altezza assoluta) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 75

76 Lavoo ed enegia potenziale di una foza elastica Foza elastica: F ( x ) = kx ˆ i costante elastica : [k] = N / m 0. x Lavoo: 2 2 x L = F ( x ) ds = kxdx = kx = k ( x x ) Enegia potenziale: U U U ( x ) U ( x ) L = k ( x x ) x ) = U ( x ) + k ( x x ) U ( x ) = kx W ( x = 0.) 0 2 ( 2 Scelto x 1 = 0. e posto. iˆ Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi x 1 76

77 lavoo fatto dalla molla ta le posizioni x i ed x f : F app L m = xf 2 2 ( k x ) dx = kx kx i f x 2 2 i 1 [se x i = x f L m = 0 ] 1 lavoo fatto da foza applicata F app ta le posizioni 0 ed x a : F = F = ( kx ) = kx app m L app = 1 xa 2 ( k x ) dx = kxa 0 2 lavoo uguale e contaio alla molla!!! Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 77

78 CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA PER UN SISTEMA ISOLATO( pe foze consev.) l enegia meccanica di un sistema e la somma dell enegia cinetica e di quella potenziale Consideiamo un sistema isolato. Poichè il lavoo compiuto da foze consevative è L = U 1 U 2, dal teoema delle foze vive si icava U + K = 0pe cui: U + T U + T = 0 ( U + T ) = E E = 0 E M M = = 0 costante Nella patica, sono peò anche pesenti sempe foze non consevative (pe es. attito, lavoo fisiologico, caloe, ecc...).sono chiamate foze dissipative. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 78

79 ESEMPIO Tascuando gli attiti, l enegia totale (meccanica) è costante: E tot = T in + U in = T fin + U fin all inizio: T in =0, U in =mgh alla fine: T fin = ½mv 2, U fin =0 h m E tot = mgh = ½mv 2 altezza iniziale velocita finale h = v 2 /2g v = 2gh (indipendenti dalla massa) Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 79

80 Potenza istantanea: lavoo compiuto pe unità di tempo ad un dato istante: Unità di misua (S.I.) : P ( t ) dl( t ) dt [P] = [W] / [t] = J / s = W ( Watt ) Se F è una foza applicata ad un punto mateiale in moto con velocità v, la potenza sviluppata dalla foza F è: F ( t ) d s P ( t ) = F ( t ) v ( t ) dt Potenza media: < L P > t lavoo compiuto in un dato tempo diviso il tempo impiegato. Alte unità di misua di uso patico: Lavoo: 6 KWh 1KW 3600 s = J chilowattoa Potenza: h. p. 746 W cavallo vapoe Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 80

81 esempio: potenza eogata da motoe ascensoe La massa dell ascensoe e di 1 t e quella del max caico di 800 kg. Si ha una foza itadante costante di 4kN. Quale deve essee la minima potenza eogata dal motoe pe fa salie l ascensoe con vel. cost di 3.00 m/s? Quale potenza deve fonie il motoe in ogni istante se e pogettato pe fonie un acceleazione veso l alto di 1 m/s 2? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 81

82 E mecc K + U = costante Es.: ciclo completo di oscill.del pendolo Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 82

83 θ l P P x = mg sinϑ mgϑ = 2 d x 2 = ω x 2 dt x = A cos( ωt + ϕ) x mg l 2 = mω x = ma = 2 d x m 2 dt ossia un moto amonico di peiodo: T = 2π g Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi l 83

84 Poblem solving Definie il sistema Se un oggetto che cambia quota scegliee una posizione di ifeimento(zeo) dell enegia potenziale. Pe ogni foza consevativa deteminae l enegia potenziale nello stato iniziale e quella nello stato finale Deteminae eventuali foze non consevative pesenti Deteminae l enegia cinetica del sistema(pe noi saa di solito un oggetto) nello stato iniziale e nello stato finale Se le foze agenti sul sistema sono solo consevative utilizzate la consevazione dell enegia meccanica dopo avela calcolata Se ci sono foze non consevative La diffeenza ta l enegia meccanica iniziale e quella finale e uguale all enegia tasfomata in o da enegia intena dalle foze non consevative Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 84

85 Un copo puntifome di massa m=300 g e attaccato ad un estemita ad un filo inestensibile di lunghezza l=50 cm e massa tascuabile, la cui alta estemita e fissa. Il filo foma un angolo α =30 con la veticale. Il copo e Tenuto femo in questa posizione da una foza oizzontale F. Calcolae il modulo di F se il copo viene lasciato andae, calcolae la tensione del filo nel momento in cui il copo passa pe la quota piu bassa della sua taiettoia. Un blocco di 2 kg scivola su una sup. oizz. piva di attito finche inconta una molla con K=955 N/m. Il blocco si fema dopo ave compesso la molla di 4 cm. Tovae la vel. iniziale del copo e tovae la compessione max se la vel. iniziale fosse stata 0.5 m/s Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 85

86 Un agazzo taina una slitta di m=6.4 kg con un inclinazione della coda di Φ=40 e il modulo della foza con cui taina la slitta e 10 N. Non c e attito. Qual e il lavoo fatto dal agazzo e la velocita finale della slitta dopo che ha pecoso 2m se la vel. Iniziale ea 0.5 m/s? Cosa succede se vi e attito con coeff. d attito dinamico 0.1? e se la foza d attito e costante e uguale a 50 N con quale foza bisogna tainae la slitta pe avee la stessa vel.finale ottenuta senza attito? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 86

87 Due foze F1 ed F2 agiscono su una cassa che scivola veso desta su un pavimento pivo di attito. La foza F1 è oizzontale e ha intensità 2.0 N. La foza F2 foma un angolo di 60 ispetto al piano oizzontale e ha intensità 4.0 N. La velocità v della scatola in un ceto istante è 3.0 m/s. a) quale è la potenza dovuta a ciascuna delle due foze in quell istante e quanto vale la potenza complessiva? La potenza complessiva è costante? b) Se il modulo di F2 fosse invece 6.0 N, quale saebbe la potenza dovuta a ciascuna foza e quale la potenza complessiva? La potenza complessiva è costante? Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 87

88 Calcolate la potenza necessaia ad un automobile di 1.4 t nelle Seguenti cicostanze: a) L automobile sale una collina di 10 di pendenza a vel. cost. di 80 Km/h b) L auto accelea in un sopasso su una stada pianeggiante da 90 a 110 km/h in 6 s. Assumete che le foze itadanti agenti sull auto assommino a F=700 N in entambe le situazioni Il cavo di un ascensoe si spezza quando la cabina di 920 kg si tova 28 m sopa una gande molla(k=2.2*10 5 N/m)posizionata al fondo della tomba dell ascensoe. Calcolate: a) Il lavoo compiuto dalla gavita sull ascensoe pima che colpisca la molla b) La velocita dell ascensoe appena pima di colpie la molla c) Di quanto la molla si compime. Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 88

89 Esecizi supplementai Ho un copo di massa 3 kg attaccato ad una molla fissata ad un muo, che ha costante elastica k=640 N/m.Esso viene spinto via dalla molla e si distacca da essa quando essa ha aggiunto la sua posizione di iposo. A questo punto il copo viaggia su un piano con coeff. d attito 0.2 fino a femasi dopo ave pecoso 700 cm. a) Quanta enegia mecc. e stata dissipata in enegia temica e qual e la massima en. cin. del blocco? b)di quanto ea compessa la molla inizialmente? NO ATTRITO Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 89

90 Un copo di massa 2 kg si muove su una sup. Oizzontale e va a sbattee su una molla oizzontale (k=300 N/m) compimendola fino a 7 cm..il coeff. d attito ta blocco e sup. di scoimento e 0.3. a) Quanto lavoo svolge la molla pe aestae il blocco? b) Quanta en. meccanica e dissipata in en temica? c) Qual ea la vel. del blocco quando ha utato la molla? Quanto vale il lavoo fatto da una foza : Applicata ad un copo che si muove da: a f = ( 4ˆ i 3 ˆ j ) m F = (( 2x )ˆ i + 3 ˆ j ) N i = ( 2ˆ i + 3 ˆ j ) m Coso popedeutico di Fisica (Pate 2) Fancesca De Moi 90