12 L energia e la quantità di moto L impulso

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1 L enegia e la quantità di moto -. L impulso Il momento angolae e il momento d inezia Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in otazione può continuae a giae a lungo attono al popio asse. nche un satellite, in obita cicolae attono a un pianeta, continua a muovesi pe molti anni senza allentae. Il punto Come succede pe il momento di una foza, anche il momento angolae dipende dal punto ispetto al quale lo si calcola. P p = Pe descivee la otazione di un punto mateiale si intoduce una nuova gandezza fisica: il momento angolae L calcolato ispetto a un punto fisso. La consevazione di questa gandezza spiega come mai la uota di una bicicletta e il satellite tendano a non femasi. Consideiamo una paticella di massa m che ha una quantità di moto p mv e che, a un ceto istante, si tova nel punto P; inolte indichiamo con il vettoe che congiunge con P e con il vettoe componente di pependicolae a p. Pe definizione: il momento angolae di una paticella è uguale al podotto ta la lunghezza di e il modulo della quantità di moto p della paticella: L p mv. Negli esempi pecedenti della uota e del satellite è comodo scegliee come punto, ispetto al quale si calcola il momento angolae, il cento del sistema (cioè, ispettivamente, il mozzo della uota o il cento della Tea). In questi casi, come mosta la figua a fianco, il vettoe è uno dei aggi della taiettoia del moto; inolte si ha e la fomula pecedente si semplifica: momento angolae (kg m 2 /s) L mv aggio del moto (m) velocità (m/s) massa (kg) Nel Sistema Intenazionale il momento angolae si misua in (kg m 2 /s). n La consevazione del momento angolae Consideiamo un sistema fisico e calcoliamo il suo momento angolae ispetto a un punto fissato. Si dimosta che Il momento angolae di un sistema di copi si conseva nel tempo se è nullo il momento totale delle foze estene che agiscono su di esso. 1

2 L enegia e la quantità di moto Nei due esempi consideati pima i momenti delle foze estene sono nulli e quindi i momenti angolai si consevano. Sulla uota agisce la sua fozapeso P, applicata nel suo baicento, che è nel cento di otazione. Quindi il baccio del momento della foza-peso è nullo e si ha M 0. Sul satellite agisce la foza di gavità dovuta al pianeta. nche il baccio di ispetto al cento di otazione è uguale a zeo e, quindi, il momento della foza è nullo. distanza nulla ta e etta che contiene p distanza nulla ta e p lcune conseguenze della consevazione del momento angolae si possono ossevae facilmente. Una agazza che egge due manubi da palesta con le baccia apete siede su uno sgabello, gievole attono a un asse, e uota con una ceta velocità angolae. Se stinge le baccia, il suo momento angolae mv si conseva (se gli attiti sono tascuabili). Visto che diminuisce, la velocità v delle vaie pati aumenta. In questo esempio, il momento angolae si conseva peché il momento totale delle foze estene ispetto a qualsiasi punto è nullo. In assenza di attiti, una volta messo in otazione lo sgabello, le uniche foze estene che agiscono sulla agazza sono la sua foza-peso e la eazione vincolae dello sgabello, che si annullano. 2

3 L enegia e la quantità di moto -. L impulso Questo fenomeno è molto sfuttato negli spot: i pattinatoi aumentano la popia velocità di otazione attono a un asse veticale avvicinando le baccia al copo. I tuffatoi iescono a uotae velocemente attono a un asse oizzontale agguppando il copo il più possibile. n La vaiazione del momento angolae Se sul sistema agisce un momento della foza M pe un intevallo di tempo t, si dimosta che la vaiazione L del suo momento angolae è data dalla fomula: vaiazione del momento angolae (kg m 2 /s) momento della foza (N m) L M t intevallo di tempo (s) Pe esempio, consideiamo una povetta all'inteno di una centifuga da laboatoio: a un ceto istante, il suo momento angolae (ispetto al cento di otazione) vale L. Se il motoe della centifuga si accende pe un tempo t, sulla povetta agisce una foza (che, come mosta la figua, è pependicolae al vettoe ) e questa genea un momento della foza M. P v Di conseguenza il momento angolae mv della povetta aumenta della quantità L M t; visto che le quantità e m sono fisse, il isultato finale è che il valoe v della velocità della povetta aumenta. l contaio, sulla pallina da oulette agisce la foza di attito, che si oppone al suo moto. In questo caso il momento della foza è negativo e, di conseguenza, anche L è negativo: la pallina allenta fino a femasi. 3

4 L enegia e la quantità di moto DMND Una giostina dei giadinetti sta uotando e i suoi sedili hanno una ceta velocità. Se spingi un sedile con la mano, fai in modo che la giostina vada più veloce. Utilizzando i concetti di momento angolae e momento tocente, spiega peché, dopo la spinta, la giostina uota più velocemente attono al suo asse. Giochipak Sud 2004 Il momento d inezia Vogliamo oa calcolae il momento angolae di un copo igido. Iniziamo a studiae un caso paticolae, cioè: un copo igido molto semplice, composto da te paticelle di masse m 1, m 2,e m 3 collegate al cento di otazione mediante te sbaette di massa tascuabile. Le lunghezze delle aste sono 1, 2, 3 e indichiamo con v 1, v 2, v 3 i vettoi velocità delle te paticelle. Il copo igido uota attono a con fequenza f. v 1 m 2 m 1 v ω 3 m 3 v 3 Il momento angolae totale L del copo igido ispetto a è la somma dei momenti delle te paticelle: L L 1 L 2 L 3. Questi sono tutti dati dalla fomula L m v : L L 1 L 2 L 3 m 1 v 1 1 m 2 v 2 2 m 3 v 3 3. Utilizzando la fomula v 2 /T 2 f del moto cicolae unifome calcoliamo, pe esempio, L 1 m 1 v 1 1 m 1 (2 1 f) 1 m 1 2 1(2 f). Nei moti cicolai la quantità 2 f 2 è detta velocità angolae e si indica T con il simbolo geco (omega minuscolo); con questa definizione la fomula pecedente si scive come L 1 m ; così il movimento angolae totale L diventa L m m m (m m 2 2 m 3 2 3). La quantità che compae ta paentesi nell ultima espessione viene chiamata momento d inezia I del copo igido. In questo modo il modulo del momento angolae può essee scitto come L I. Unità di misua L unità di misua della velocità angolae è adianti/secondo (ad/s). Il adiante (che è un numeo puo) è l unità di misua degli angoli nel Sistema Intenazionale; esso è definito in modo tale che l angolo gio (di solito indicato come 360 ) ha un ampiezza di 2 ad. 4

5 L enegia e la quantità di moto -. L impulso nalogia fomale La fomula L l, valida pe la otazione di un copo igido, è analoga alla fomula p mv, che iguada il moto taslatoio di un punto mateiale. L analogia si ottiene scambiando contempoaneamente p con L, m con l e v con. Dalla definizione, l unità di misua del momento d inezia è (kg m 2 ). Il momento d inezia di un copo igido fomato da n masse puntifomi è definito come I m m m m m n 2 n. In geneale, pe calcolae il momento d inezia di un solido è necessaio fae cescee n all infinito; in questo caso le masse m 1, m 2 diventano infinitamente piccole. Inolte, quando il copo igido è tidimensionale (e non planae come quello fomato da te sole masse) i valoi 1, 2 sono le distanze delle singole masse dall asse di otazione. La tabella seguente mosta i valoi dei momenti d inezia calcolati, sulla base della definizione pecedente, pe divesi copi igidi di foma comune. MMENTI DI INERZI DI LCUNI CRPI RIGIDI Guscio cilindico, ispetto all asse Guscio cilindico, ispetto a un diameto passante pe il cento 1 1 I m 2 I m 2 ml 2 2 l Cilindo pieno, ispetto all asse Cilindo pieno, ispetto a un diameto passante pe il cento I m 2 I m 2 ml l Sfea piena, ispetto a un diameto sta sottile, ispetto a una etta pependicolae passante pe il suo cento 2 1 I m 2 I ml 2 5 l paità di massa totale il momento d inezia aumenta al cescee delle dimensioni del copo e diminuisce se esso diventa più piccolo. n L enegia cinetica di un copo igido in otazione L intoduzione del momento d inezia pemette di espimee in maniea semplice l enegia cinetica di un copo igido in otazione. Toniamo di nuovo al copo igido composto di te paticelle: se esso uota con velocità angolae, la sua enegia cinetica è K 1 2 m 1v m 2v m 3v (m m m ) 1 2 (m m m 3 2 3) 2. Taslazione e otazione La fomula a fianco pe l enegia cinetica di otazione ha la stessa foma matematica dell enegia cinetica di taslazione K 1 2 mv2 se si scambia, come visto in pecedenza, m con l e v con. Nell ultimo passaggio, la quantità che si tova ta paentesi è il momento d inezia del copo igido. Il calcolo può essee ipetuto nella stessa maniea qualunque sia il numeo di punti che fomano il copo, ottenendo sempe il isultato K 1 2 I 2. 5

6 L enegia e la quantità di moto n La dinamica otazionale di un copo igido Consideiamo un copo igido che uota attono a un asse con velocità angolae e che, quindi, ha un momento angolae L I. Esso viene poi acceleato fino alla velocità angolae 1, pe cui il suo momento angolae diventa L 1 I 1. La vaiazione L del momento angolae del copo vale: L L 1 L I 1 I I( 1 ) I. Dalla fomula L M t possiamo alloa scivee: L I M t. Dividendo pe t gli ultimi due temini della fomula pecedente otteniamo, infine: M I. t Il appoto / t espime la apidità con cui vaia la velocità angolae del copo ed è chiamato acceleazione angolae : acceleazione angolae (ad/s 2 ) t vaiazione della velocità angolae (ad/s) intevallo di tempo (s) vendo intodotto questa gandezza, la penultima fomula può essee iscitta come M I. Questa fomula, che descive la otazione di un copo igido, è analoga alla legge ma che vale pe un moto di taslazione. DMND Un cilindo pieno ha un aggio di 3,2 cm e una massa di 760 g. Quanto vale il suo momento d inezia ispetto all asse di simmetia? 6

7 L enegia e la quantità di moto -. L impulso ESERCIZI 1 Veo o falso? a. Il momento angolae è una gandezza fisica utile pe descivee i moti c. Pe un oggetto che si muove di moto cicolae unifome il valoe del momento angolae, calcolato di otazione. V ispetto al cento della taiettoia, b. Il momento angolae di un copo non cambia mai. non dipende dal punto ispetto 3 al quale lo si calcola. Veo o falso? V a. Il momento d inezia è una gandezza 2 Veo o falso? scalae che caatteizza i copi otanti. a. La velocità di otazione di una pattinatice b. Il momento angolae di un copo igido atistica che fa una pioetta può cambiae in otazione è diettamente senza l applicazione di un momento popozionale al suo momento di una foza estena. V d inezia. b. La vaiazione del momento angolae c. L enegia cinetica di un copo di un copo igido è uguale al appoto in otazione non dipende dal suo fa il momento della foza applicata momento d inezia. a esso e l intevallo di tempo duante il quale tale momento agisce. V V V V V 4 Completa la tabella. CRP MSS (kg) E DIMENSINI (m) SSE DI RTZINE MMENT D INERZI (kg m 2 ) Sfea piena m 5... Diameto della sfea Guscio cilindico m 3 0,04 sse del cilindo Cilindo pieno m... 0,15 sse del cilindo m l 2 Retta pependicolae e passante pe il suo cento 4 5 La pallina di una oulette di aggio 30 cm ha massa 2,0 g. Il coupie lancia la pallina facendola uotae alla velocità di 25 cm/s. 8 Un guscio cilindico, che ha un aggio di 7,2 cm e una massa di 54 g, sta uotando attono al suo asse di simmetia alla fequenza di 1,4 Hz. Quanto vale il modulo del suo momento angolae Calcola il momento d inezia del guscio cilindico. calcolato ispetto al cento della oulette? Calcola la sua velocità angolae e la sua enegia [1, kg m 2 /s, diezione pependicolae al tavolo, veso l alto] cinetica di otazione. [2, kg m 2 ; 8,8 ad/s, 1, J] 6 7 Duante l obita intono al Sole, la cometa di Halley passa da una distanza massima dal Sole di 5,2 10 m a una distanza minima di 8, m. La sua velocità nel punto più lontano dal Sole vale 9, m/s. Quanto vale la velocità della cometa nel punto più vicino al Sole, se il momento angolae della cometa si conseva? (Calcola il momento angolae ispetto al cento del Sole.) [5, m/s] Una pattinatice fema in mezzo alla pista sta fa cendo una pioetta con le baccia distese e con velocità angolae di valoe 3,50 ad/s. un ceto punto accoglie le baccia intono al copo: così facendo, il suo momento d inezia si dimezza. Quanto vale oa il modulo della sua velocità angolae? 9 10 Una sfea piena ha un aggio di 5,7 cm ed è fatta di bonzo (la densità del bonzo è 8, kg/m 3 ). Quanto vale il suo momento d inezia ispetto a un diameto? [9, kg m 2 ] Le caatteistiche del moto della Tea intono al Sole sono: all afelio, la sua velocità di ivoluzione è v 2, m/s, la distanza dal Sole è 1, m; al peielio la velocità di ivoluzione è v P 3, m/s, la distanza dal Sole è P 1, m. La massa della Tea è 5, kg. Veifica che il moto di ivoluzione della Tea soddisfa la legge di consevazione del momento angolae, calcolato ispetto al cento del Sole. 7

8 L enegia e la quantità di moto 11 Una catapulta giocattolo lancia in aia una pallina solida di plastica di massa 50 g. Il baccio della catapulta è lungo 25 cm. La pallina al momento del lancio ha un acceleazione angolae di 100 ad/s 2. Quanto vale il momento tocente sulla pallina? (Tascua il momento d inezia del baccio della catapulta.) [0,31 N m] 8

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