Il paesaggio matematico

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1 705_Fico_giallo_00:705_Fico_giallo_ :5 agina Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina FI CO A ES IS AG BN. M AT.G I QUESTO VOLUME, SROVVISTO DI TALLONCINO A FRONTE (O OORTUNAMENTE UNZONATO O ALTRIMENTI CONTRASSEGNATO, È DA CONSIDERARSI COIA DI SAGGIO - CAMIONE GRATUITO, FUORI COMMERCIO (VENDITA E ALTRI ATTI DI DISOSIZIONE VIETATI: ART. 7, C. L. 633/94. ESENTE DA IVA (DR , N. 633, ART., LETT D. ESENTE DA DOCUMENTO DI TRASORTO (DR , N. 633, ART Volume B Le equazioni e le disequazioni C Il piano cartesiano: la retta D Il piano cartesiano: le coniche Volume Esponenziali e logaritmi rimi elementi di trigonometria Trigonometria Gli insiemi numerici: i numeri complessi Volume R Statistica descrittiva S Statistica inferenziale Volume I Successioni e progressioni M Funzioni e limiti N Calcolo differenziale O Calcolo integrale Volume Y Approssimazione e analisi numerica Volume L Geometria nello spazio Volume Calcolo combinatorio Q robabilità Volume K Serie numeriche e approssimazione di funzioni Volume X Funzioni di due variabili, equazioni differenziali, trasformata di Laplace QUESTO CORSO È COSTITUITO DA: ISBN A+U+J ISBN B+C+D ISBN E+F+G+H ISBN V+Z ISBN I+M+N+O ISBN L ISBN Q ISBN R+S ISBN Y ISBN K ISBN X ISBN RISORSE ER L'INSEGNANTE E ER LA CLASSE + DVD ESILON TEST 705 FICO, CARIANI, MATTINA IL AESAGGIO MATEMATICO GIALLO +Q CALCOLO COMBINATORIO ROBABILITÀ +Q Il paesaggio matematico Epsilon Test. Il corso è corredato di un pacchetto software finalizzato alla redazione, somministrazione e valutazione di test a risposta chiusa. Con Epsilon Test il docente può: redigere test a risposta chiusa attingere ad un ampio archivio web di domande, periodicamente aggiornato; generare differenti versioni stampabili del test con rimescolamento casuale di domande e/o risposte per la somministrazione in classe; somministrare e valutare immediatamente i test in un laboratorio scolastico dotato di LAN; pubblicare i propri test su portale WEB dedicato, predisposto sul sito Loescher, scegliendo se rendere disponibile allo studente l'autovalutazione e se monitorare o meno le risposte; ottenere un rapporto dettagliato delle risposte fornite ai propri test pubblicati sul portale WEB. Con Epsilon Test lo studente può: svolgere i test personalizzati, pubblicati dal proprio docente sul portale WEB; svolgere i test di recupero, in forma anonima, disponibili sul portale WEB. Il paesaggio matematico +Q E F G H Volume V Algebra lineare Z Le affinità del piano Fico, Cariani, Mattina + Q 9 Volume A Teoria degli insiemi e funzioni U Gli insiemi numerici: da N a R J Elementi di logica In copertina: A Ban Bo Sang, Thailandia, manutenzione degli ombrellini di carta. M. Freeman/Corbis 0 AL LO Il paesaggio matematico

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3 Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina Il paesaggio matematico giallo

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5 Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina Il paesaggio matematico giallo Calcolo combinatorio Q robabilità LOESCHER EDITORE

6 Loescher Editore I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche, i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi. L'acquisto della presente copia dell'opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce. Fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale nei limiti del 5% di ciascun volume possono essere effettuate negli esercizi che aderiscono all accordo tra SIAE - AIE - SNS e CNA - Confartigianato - CASA - Confcommercio del 8 dicembre 000, dietro pagamento del compenso previsto in tale accordo; oppure dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge aprile 94 n er riproduzioni ad uso non personale l editore potrà concedere a pagamento l autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 5% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a: Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle Opere dell ingegno (AIDRO Corso di orta Romana n. 08, 0 Milano segreteria@aidro.org e sito web L editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale. La riproduzione a mezzo fotocopia degli esemplari di tali opere esistenti nelle biblioteche è consentita, non essendo concorrenziale all opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche. Nel contratto di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all art. 7 - per legge diritto d autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: Ristampe N ISBN Nonostante la passione e la competenza delle persone coinvolte nella realizzazione di quest opera, è possibile che in essa siano riscontrabili errori o imprecisioni. Ce ne scusiamo fin d ora con i lettori e ringraziamo coloro che, contribuendo al miglioramento dell opera stessa, vorranno segnalarceli al seguente indirizzo: Loescher Editore s.r.l. Via Vittorio Amedeo II, 8 0 Torino Fax clienti@loescher.it Loescher Editore S.r.l. opera con sistema qualità certificato CERMET n. 679-A secondo la norma UNI EN ISO Realizzazione editoriale: Capoverso S.r.l. - Torino - redazione: aolo Bianco, Irene Cerutti, Marco Zucchelli - indici analitici: Teresa Boggio - schede storiche: Laura Maggi - laboratorio informatico: Teresa Morgante, aola orta - formulari: Salvatore Mattina - progetto grafico e impaginazione: Filippo Cabiddu, Gianluigi Bertin - ricerca iconografica: aolo Bianco, Stefania Bessone - disegni: Stefania Francescutto Contributi: - revisione scientifica del testo: Capoverso: Santina Attisano, Giulio Caiati, Cristina Martin Centro Servizi Archeometria - controllo esercizi: Santina Attisano, Giulio Caiati, Cristina Martin Redattore responsabile: aola Cardano Ricerca iconografica: Emanuela Mazzucchetti Copertina: Visual Grafika - Torino Stampa: La Grafica - Boves (CN IV

7 Indice CALCOLO COMBINATORIO U Calcolo combinatorio Introduzione TEORIA Disposizioni semplici ermutazioni semplici 4 ermutazioni circolari 5 3 Disposizioni con ripetizione ermutazioni con ripetizione Combinazioni semplici 7 3 roprietà dei coefficienti binomiali 8 6 Il binomio di Newton 0 4 Q Questionario 5 V Verifica finale 6 Q ROBABILITÀ U robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà Introduzione Q TEORIA Eventi Q Q 4. Diagrammi Q 4 Q 5 A. Diagramma di Eulero-Venn Q 4 B. Diagramma ad albero Q 4 C. Tabella a doppia entrata Q 4 Operazioni con gli eventi Q 5 Q 6. Evento contrario Q 5 Q 6. Evento intersezione di eventi Q 5 Q 7.3 Eventi incompatibili Q 6 Q 8.4 Evento unione di eventi Q 6 Q 9 Esercizi di riepilogo Q 30 3 Gli assiomi della probabilità Q 7 Q 3 3. roprietà della probabilità Q 8 robabilità dell'unione di eventi incompatibili Q 3 robabilità dell'unione di eventi compatibili Q 33 robabilità dell'evento contrario Q 33 Esercizi di riepilogo Q 34 4 Definizioni di probabilità Q 0 Q Definizione classica (Laplace Q Eventi equiprobabili Q Definizione frequentista Q 4 V

8 Indice TEORIA 5 robabilità condizionata Q 5 Q Eventi indipendenti Q 6 Il problema dell'estrazione Q 36 roblemi sull'estrazione con reimmissione Q 37 roblemi sull'estrazione senza reimmissione Q Formula della probabilità totale Q 7 roblemi di riepilogo Q Teorema di Bayes Q 9 Q 39 matematica & storia informatica & LAB S La nascita del calcolo delle probabilità Q Q Questionario Q 43 V Verifica finale Q 45 L Lancio di due dadi: un confronto tra la definizione classica e quella statistica di probabilità Q 46 U TEORIA robabilità: variabili aleatorie discrete Distribuzione di probabilità Q 5 Q 63 Funzione di ripartizione Q 54 Q 67 3 Valor medio Q 57 Q 67 4 Varianza e scarto quadratico medio. Disuguaglianza di Cebicev Q 58 Q 67 5 Variabile casuale standardizzata Q 60 Q 70 6 Operazioni con le variabili casuali Q 6 Q 7 Addizione e sottrazione Q 6 Moltiplicazione Q 6 Esercizi di riepilogo Q 73 Q Questionario Q 75 V Verifica finale Q 77 U 3 TEORIA robabilità: distribuzioni di probabilità Distribuzione geometrica Q 78 Q 9 Distribuzione di Bernoulli Q 80 Q 93 3 Distribuzione multinomiale Q 8 Q 97 4 Distribuzione di oisson Q 83 Q 98 5 Distribuzione ipergeometrica Q 85 Q 00 6 Legge dei grandi numeri Q 87 Q 03 Esercizi di riepilogo Q 04 roblemi sulla probabilità assegnati all'esame di Stato Q 06 matematica & storia informatica & LAB S Una famiglia geniale: i Bernoulli Q 89 Q Questionario Q 08 V Verifica finale Q 0 L La distribuzione di oisson Q La distribuzione di Bernoulli Q 4 L VI

9 U robabilità: variabili aleatorie continue TEORIA 4 Indice Funzione di ripartizione Q 8 Q 36 Densità di probabilità Q 9 Q 36 3 Caratteristiche numeriche delle variabili continue Q Q 36 4 Distribuzione uniforme Q 4 Q 39 5 Distribuzione gaussiana Q 5 Q 40 6 Funzione di Laplace. Regola delle tre sigma Q 7 7 Approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Teorema centrale limite Q 30 Q 4 matematica & storia informatica & LAB S ierre-simon Laplace Q 3 S Johann Carl Friedrich Gauss Q 34 Q Questionario Q 43 V Verifica finale Q 45 L La distribuzione normale di probabilità Q 46 Appendici Formulario rincipali simboli utilizzati nel testo Q 53 Alcune formule già note Q 54 Modulo Q 56 Modulo Q Q 57 Indice analitico Moduli + Q Q 59 VII

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11 Calcolo combinatorio Sommario del modulo UNITÀ Calcolo combinatorio TEORIA Introduzione Disposizioni semplici ermutazioni semplici 4 3 Disposizioni con ripetizione ermutazioni con ripetizione Combinazioni semplici Il binomio di Newton 0 4 Q Questionario 5 V Verifica finale 6

12 unità Teoria - Calcolo combinatorio TEORIA Calcolo combinatorio Introduzione Dato l insieme A = {; ; 3}, quanti sono i numeri di due cifre, tra loro diverse, che possiamo formare con i numeri di A? E quanti numeri di tre cifre, tra loro diverse, possiamo formare con i numeri di A? E ancora, quanti numeri di due cifre, anche tra loro uguali, possiamo formare con i numeri di A? Con insiemi quali A, che contengono un numero limitato di elementi, il problema può essere risolto con un diagramma ad albero. er rispondere alla prima domanda tra quelle sopra poste possiamo scegliere la cifra delle decine indifferentemente tra i tre elementi dell insieme A (FIG.. Scelto il numero che esprime la decina, la cifra delle unità può essere scelta solo tra le due cifre rimanenti. Il diagramma ad albero si completa allora come nella FIGURA. artendo da A e seguendo le frecce, i numeri cercati sono ; 3; ; 3; 3; 3, cioè sono tanti quanti gli elementi del prodotto cartesiano di due insiemi, il primo che contiene i tre elementi della prima scelta, il secondo che contiene i due elementi della seconda scelta: in conclusione, sei elementi. roblemi di questo tipo vengono risolti più agilmente dal calcolo combinatorio. FIG. A FIG. A a scelta a scelta 3 a scelta a scelta Il calcolo combinatorio è quella parte della matematica che si occupa di determinare e di contare quanti sono i raggruppamenti che si possono fare con gli n oggetti di un insieme finito, secondo determinate regole. Esaminiamo ora i vari modi con i quali si possono predisporre i vari raggruppamenti Disposizioni semplici Sia A un insieme che contiene n elementi distinti. Estraiamo k elementi da A e li disponiamo in k caselle numerate (e quindi ordinate. FIG k oiché gli elementi di A sono distinti, ogni casella è occupata da un elemento diverso.

13 Teoria - Calcolo combinatorio unità D e f i n i z i o n e Ogni gruppo ordinato di k elementi estratti da A si chiama disposizione semplice di n oggetti di classe k o disposizione semplice di n oggetti presi a k a k. Due disposizioni possono differire o per gli oggetti contenuti oppure per l ordine degli oggetti stessi. Indichiamo con D n;k il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe k. Le disposizioni semplici di n oggetti di classe k sono D n;k =n (n (n (n k +. T e o r e m a. Il numero delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k è il prodotto di k numeri consecutivi da n a (n k +, cioè D n;k = n (n (n (n k +. Dimostrazione Consideriamo le k celle della FIGURA 3. La prima cella può essere riempita in n modi diversi utilizzando uno degli n oggetti dell insieme; la seconda cella può essere riempita in n modi diversi utilizzando uno degli n oggetti dell insieme rimasti; le prime due celle possono essere allora riempite in n (n modi diversi con gli n (n oggetti. La terza cella può essere riempita in n modi diversi utilizzando uno degli n oggetti dell insieme rimasti. Le prime tre celle possono essere allora riempite in n (n (n modi diversi e così via, fino alla k-esima cella, che può essere riempita in n k + modi diversi utilizzando uno degli n k + oggetti dell insieme rimasti. Le k celle possono essere allora riempite in n (n (n... (n k + modi diversi. Dunque: D n;k = n (n (n... (n k +. c.v.d. In particolare: D n;n = n (n (n... 3 ; D n; = n. E S E M I D 8;4 = = 680 D 35; =35 D ; = 0 = 0 D 6;6 = = 70 E S E M I Utilizzando le disposizioni semplici, possiamo risolvere il primo problema proposto all inizio di questa Unità: dato l insieme A = {; ; 3}, quanti sono i numeri di due cifre, tra loro diverse, che si possono formare con i numeri di A? I numeri di due cifre tra loro diverse che si possono formare con i numeri di A sono tanti quante sono le disposizioni semplici di 3 oggetti di classe, cioè D 3; =3 =6. Esempio Una lotteria consiste nell assegnare tre premi di differente valore ai proprietari di tre biglietti estratti da un bambino bendato. Se sono stati venduti 0 biglietti, quante sono le possibili terne di vincitori? 3

14 unità Teoria - Calcolo combinatorio L estrazione casuale equivale a scegliere un gruppo ordinato di 3 elementi da un insieme di 0, senza ripetizione. Il numero di terne di possibili vincitori è quindi dato dal numero di disposizioni semplici di 0 elementi di classe 3: D 0;3 =0 9 8 = Esempio Il codice IN del tuo telefono cellulare è composto da 4 cifre. Supponendo che non sia possibile ripetere le cifre, calcoliamo il numero di possibili codici IN. Se le cifre devono essere distinte, ogni codice è un gruppo di 4 cifre scelte fra 0. oiché l ordine con cui si presentano le cifre è importante, il numero di codici IN è pari al numero di disposizioni di 0 oggetti di classe 4: D 0;4 = = Esempio 3 In un torneo di calcio alle 4 squadre più forti (teste di serie vengono assegnate per sorteggio altre 4 squadre più deboli (sulla carta scelte da un gruppo di. In quanti modi diversi si possono incontrare le teste di serie con le squadre più deboli? Il numero di modi in cui si possono scegliere 4 squadre da un gruppo di, tenendo conto dell ordine di estrazione è dato da D ;4 = 0 9 = 880. ermutazioni semplici D e f i n i z i o n e Ogni disposizione semplice di n oggetti di classe n si dice permutazione semplice di n oggetti. Le permutazioni di n oggetti sono n = n! E S E M I Due permutazioni semplici differiscono solo per l ordine degli elementi. Il numero di permutazioni semplici si indica con n. er la definizione, n coincide con D n;n. ertanto: n =D n;n = n (n (n Il prodotto di n numeri naturali consecutivi da a n si indica con n!, che si legge: «enne fattoriale». ertanto: n = n!. D e f i n i z i o n e Dato un numero naturale n >, si dice fattoriale di n il prodotto degli n numeri naturali consecutivi da a n. In simboli: n! =n (n (n 3. er n =, si ha! =. er n =0, si ha 0! = (per convenzione. Utilizzando le permutazioni semplici, possiamo risolvere il secondo problema proposto all inizio di questa Unità: quanti numeri di tre cifre, tra loro diverse, si possono formare con i numeri dell insieme A = {; ; 3}? I numeri di tre cifre non ripetute che si possono formare con gli elementi di A sono tanti quante sono le permutazioni di 3 oggetti, cioè 3 =3!=3 =6. Esempio In quanti modi possiamo disporre nei banchi 8 studenti di una classe? Si tratta di calcolare le disposizioni di 8 elementi di classe 8, cioè il numero di permutazioni di 8 elementi: 8 =

15 Teoria - Calcolo combinatorio unità Esempio Quanti sono i numeri di 4 cifre distinte che possiamo costruire con, 3, 5, 7? Si tratta di calcolare il numero di permutazioni di 4 oggetti: 4 =4!=4. B D C A FIG. 4 A D B C D A C B C A B D k FIG. 3 Le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k sono D n;k = nk. ermutazioni circolari Chiediamoci ora in quanti modi 4 giocatori possono disporsi attorno a un tavolo da gioco. Questa volta le permutazioni di 4 elementi non rispondono al nostro problema; per ogni posizione infatti ne esistono tre equivalenti, cioè tre posizioni nelle quali ogni giocatore ha alla sua destra e alla sua sinistra sempre le stesse persone. Se indichiamo con A; B; C; D i 4 giocatori, sono equivalenti le posizioni ottenute ruotando di un posto ogni giocatore. oiché non possiamo stabilire il punto di partenza, sono equivalenti dunque le quattro posizioni nella FIGURA 4. Il numero dei possibili modi in cui 4 giocatori possono disporsi attorno a un tavolo da gioco è 4 4 = 4 3 =6. 4 Una permutazione circolare di n oggetti è dunque una permutazione di n oggetti nella quale non sono fissate né una prima né un ultima posizione. n Le permutazioni circolari di n oggetti sono n. Disposizioni con ripetizione repariamo k caselle numerate (FIG. 3, con k intero qualsiasi. Da un insieme A contenente n elementi distinti estraiamo un elemento e lo collochiamo nella prima casella. Estraiamo poi un secondo elemento nelle stesse condizioni, cioè dal medesimo insieme A, e lo collochiamo nella seconda casella. Ripetiamo la stessa operazione fino a occupare tutte le k caselle. Osserviamo che, poiché le estrazioni vengono ripetute nelle stesse condizioni, k può assumere qualsiasi valore, anche maggiore di n; uno stesso elemento può essere estratto più volte e quindi può ripetersi nelle caselle, potendo anche occuparle tutte. D e f i n i z i o n e Ogni gruppo ordinato di k elementi estratti da A, in cui ciascun elemento può comparire più volte, si chiama disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k o disposizione con ripetizione di n oggetti presi a k a k. Il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k si indica con D n;k. T e o r e m a. Il numero delle disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è D n;k = nk. Dimostrazione Tutti i k posti si possono scegliere in n modi, perciò si contano D n;k disposizioni con ripetizione. Schematicamente: posto n modi posto 3 posto n modi n modi = } n n {{... n } = n k k volte k-esimo posto n modi { }} { k volte c.v.d. 5

16 unità Teoria - Calcolo combinatorio Utilizzando le disposizioni con ripetizione, possiamo risolvere il terzo problema proposto all inizio di questa Unità: quanti numeri di due cifre, anche tra loro uguali, possiamo formare con i numeri dell insieme A = {; ; 3}? I numeri di due cifre anche ripetute che si possono formare con gli elementi di A sono tanti quanti le disposizioni con ripetizione di 3 oggetti di classe, cioè D 3; =3 =9. E S E M I 3 E S E M I 4 Le permutazioni di n oggetti di cui uno è ripetuto α volte sono n = n! α!. Esempio In quanti modi possiamo disporre i simboli, X, in una colonna della schedina del Totocalcio? Il numero dei modi è il numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 4: D 3;4 =34 = Dunque concludiamo che in una colonna della schedina del Totocalcio i simboli, X, possono essere disposti in modi diversi. Esempio Lanciamo un dado per 0 volte. Determiniamo quanti sono i possibili risultati. Ogni risultato è costituito da una successione ordinata di 0 numeri compresi tra e 6. Ogni numero si può ripetere, pertanto il numero di successioni che possiamo generare è dato dal numero di disposizioni con ripetizione di 6 oggetti di classe 0: D 6;0 =60 = ermutazioni con ripetizione In quanti modi possiamo anagrammare la parola «aia»? I possibili anagrammi sono: aia; iaa; aai. In altre parole, possiamo anagrammare la parola in 3 modi distinti e non in 6 come per le permutazioni semplici, perché la lettera «a» è ripetuta volte all interno della parola. Si può dimostrare che le permutazioni di n oggetti, nel caso in cui un oggetto viene ripetuto α volte, sono n = n!. α! In quanti modi possiamo invece anagrammare la parola «mamma»? rovando in tutti i modi possibili, troviamo non più di 0 anagrammi distinti. In questo caso, nella parola prescelta la «m» è ripetuta 3 volte e la «a» è ripetuta volte. Le permutazioni sono 5 = 5! 3!! =0. In generale, il numero delle permutazioni di n elementi di un insieme in cui alcuni oggetti si ripetono α, β, volte è il rapporto tra n! e il prodotto dei fattoriali che esprimono il numero di volte in cui i vari oggetti sono ripetuti, cioè Esempio n = n! α! β! Quanti sono gli anagrammi della parola «rosso»? Nella parola «rosso» la lettera «o» si ripete due volte; la lettera «s» si ripete due volte. Gli anagrammi della parola «rosso» sono tanti quante le permutazioni con ripetizione di 5 elementi, di cui due ripetuti due volte: 5 = 5!!! =30. Esempio In quanti modi possiamo distribuire 0 palline in tre scatole in modo che esse contengano rispettivamente 3, 5 e palline?. 6

17 Teoria - Calcolo combinatorio unità In ciascuna scatola ogni pallina viene ripetuta 3, 5 e volte. Il numero di permutazioni con ripetizione è quindi 0 = 0! 3! 5!! = 50. Esempio 3 Quanti numeri di 6 cifre possiamo scrivere con i tre elementi dell insieme A = {; ; 3}, ripetendo ciascun numero due volte? I numeri che si possono scrivere sono 6 = 6!!!! = Combinazioni semplici Sia D l insieme di tutte le disposizioni semplici di n oggetti di classe k. rese due disposizioni d e d di D, diciamo che d è in relazione con d, e scriviamo d d, se d e d contengono gli stessi elementi. In altre parole, d d se d e d differiscono solo per l ordine in cui si presentano i k elementi. Si dimostra facilmente che la relazione gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, pertanto è una relazione di equivalenza. ossiamo quindi ripartire l insieme D in classi di equivalenza, ciascuna delle quali contiene tutte le disposizioni che si possono costruire con un dato gruppo di k elementi, senza tener conto dell ordine. D e f i n i z i o n e Chiamiamo combinazione semplice di n elementi di classe k ogni classe di equivalenza in cui l insieme D viene ripartito dalla relazione. Dato l insieme A = {; ; 3; 4} che contiene n =4elementi, troviamo tutte le disposizioni che si possono costruire estraendo elementi da A. Sappiamo che esse sono in numero di 4 3=. Ecco l elenco completo degli elementi di D: (;, (; 3, (; 4, (;, (; 3, (; 4, (3;, (3;, (3; 4, (4;, (4;, (4; 3. Le disposizioni che differiscono solo per l ordine degli elementi appartengono alla stessa classe di equivalenza. In questo caso ciascuna classe di equivalenza contiene solo due elementi. ertanto le 6 classi di equivalenza sono: {(; ; (; }, {(; 3; (3; }, {(; 4; (4; }, {(; 3; (3; }, {(; 4; (4; }, {(3; 4; (4; 3}. Ciascuna di queste classi di equivalenza è una combinazione semplice di 4 oggetti di classe. Indichiamo con C n;k il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k. Le combinazioni di n oggetti di classe k sono C n;k = D n;k k!. T e o r e m a. 3 Il numero delle combinazioni semplici di n oggetti di classe k è il rapporto tra i numeri delle disposizioni semplici di n oggetti di classe k e delle permutazioni dei k oggetti, cioè C n;k = D n;k k!. Dimostrazione Ogni combinazione semplice di n oggetti di classe k contiene le disposizioni semplici che differiscono fra loro solo per l ordine, e non per gli elementi. Il numero di disposizioni che appartengono a ciascuna combinazione è quindi pari al numero di permutazioni di k oggetti, cioè k!. 7

18 unità Teoria - Calcolo combinatorio Ne consegue che il numero di combinazioni è C n;k = D n;k,dove D n;k è il numero totale k! di disposizioni e k! il numero di disposizioni contenute in ciascuna combinazione. c.v.d. er il TEOREMA., che stabilisce il numero delle D n;k, possiamo scrivere: n (n (n... (n k + C n;k =. k (k (k... Le combinazioni semplici di n oggetti di classe k si indicano anche con, che si ( k n legge: «n su k»; si chiama coefficiente binomiale. ossiamo scrivere C n;k =. k k D e f i n i z i o n e Dati un numero naturale n e un numero naturale k n, si chiama coefficiente binomiale il rapporto n (n (n (n k + =. er k =0, si ha =. k k! 0 roprietà dei coefficienti binomiali r o p r i e t à n! = k k! (n k!. Verifichiamo l uguaglianza. n (n (n... (n k + er la definizione di coefficiente binomiale: =. k k! Moltiplichiamo numeratore e denominatore del secondo membro per (n k!: n (n (n... (n k + (n k! n! = k! (n k! k! (n k!. r o p r i e t à =. k n k n! Verifichiamo l uguaglianza. Il primo membro è = per la proprietà. k k! (n k! n! Il secondo membro è, sempre per la, = n k (n k! (n n + k! = n! k!(n k!. Dalla proprietà, per k = n, possiamo scrivere: r o p r i e t à 3 = =. n 0 E S E M I Esempio Calcoliamo C 7;3 e C 5;4. Si ha C 7;3 = ( 7 7! 3 = 3! 4! = =35 e C 5;4 = ( 5 5! 4 =! 4! =5. Esempio Quanti colori ottieniamo mescolando in parti uguali due vernici di colori nero, blu, giallo e rosso? Il numero delle combinazioni semplici è C 4; = 4 3 =6.! 8

19 Teoria - Calcolo combinatorio unità Esempio 3 Dimostriamo che = +. k k k Il secondo membro si scrive: (n! k! (n k! + (n! (n k (n! + k (n! = = (k! (n k! k! (n k! Esempio 4 Dimostriamo che Il secondo membro si scrive: = = n k k + k k +. (n k + k (n! k! (n k! = n! k! (n k! =. k n! k! (n k! n k k + = n! (k +! (n k! = k + Esempio 5 n(n 3 Dato un poligono convesso di n lati, il numero di diagonali del poligono è. Infatti un poligono di n lati ha n vertici e segmenti che uniscono a due a due i vertici; ma, tra questi segmenti, n sono lati del poligono. Quindi il numero di diagonali è n = n(n n = n(n 3. Verifichiamo tale formula per il rombo. In questo caso n =4e le diagonali sono 4(4 3 =, come sappiamo dalla geometria.. E S E M I O Finora abbiamo considerato il caso in cui gli n elementi dell insieme A siano distinti. Il concetto di combinazione di n oggetti di classe k ha importanti applicazioni anche nel caso in cui gli elementi di A siano tutti uguali. Dato un insieme A contenente n oggetti identici, è ovvio che da esso si può estrarre un solo gruppo di k oggetti. L esempio che segue mostra che l estrazione può avvenire con differenti modalità. Supponiamo che A contenga 4 palline identiche, che possiamo idealmente chiamare,, 3, 4. Un gruppo di palline estratto da A può essere composto dalle palline e, oppure 3 e 4, oppure e 4, ecc. A ciascuna di queste possibilità corrisponde una differente modalità di estrazione, anche se, essendo le palline identiche, il prodotto dell estrazione è sempre il medesimo. In quanti modi diversi possiamo estrarre una coppia da un insieme di 4 oggetti identici? Se immaginiamo di numerare le 4 palline, è evidente che a ogni coppia di palline (;, (; 3, (; 4, (; 3, (; 4, (3; 4 corrisponde un differente modo di estrazione. Alle coppie elencate dovremmo aggiungere le loro simmetriche (;, (3;, (4;, (3;, (4;, (4; 3. Siamo però interessati all estrazione in blocco, nella quale i due elementi vengono presi insieme, senza distinguere quale dei due sia preso per primo. In altre parole, l ordine di estrazione delle palline non conta. ossiamo quindi concludere che una coppia di oggetti può essere estratta in 6 modi diversi da un insieme di 4 elementi identici. Calcoliamo il numero di modi in cui si può estrarre un gruppo di k oggetti da un insieme di n oggetti identici. Ogni modo di estrazione corrisponde a scegliere un preciso gruppo di k oggetti tra gli n, senza tenere conto dell ordine. ertanto il numero di modi di estrazione è uguale a C n;k, numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k. E S E M I O Un urna contiene 0 palline identiche. In quanti modi diversi possiamo estrarre 4 palline? La risposta è semplicemente C 0;4 = 0. 9

20 unità Teoria - Calcolo combinatorio 4 6 Il binomio di Newton Studiando i prodotti notevoli abbiamo imparato a determinare le potenze di un binomio con le formule: (a + b = a + b; (a + b = a +ab + b ; (a + b 3 = a 3 +3a b +3ab + b 3 e per n >3 abbiamo utilizzato il triangolo di Tartaglia. Il triangolo di Tartaglia trova la sua giustificazione nella formula del binomio di Newton, espressa dal teorema seguente. T e o r e m a. 4 er ogni n 0 e per ogni a b, si ha che: (a + b n = a n + a n b + 0 a n b + + ab n + b n. n n Dimostrazione La potenza n-esima (a + b n è il prodotto di (a + b per se stesso, ripetuto n volte. Dobbiamo quindi calcolare (a + b n =(a + b (a + b... (a + b. rocediamo così: } {{ } n volte a. in ogni fattore (a + b scegliamo uno degli addendi, a o b, e moltiplichiamoli fra loro: (a + b (a + b (a + b... (a + b a b b... a = a n k b k. In questo modo avremo generato un monomio del tipo a n k b k, dove k è il numero di volte che abbiamo scelto b; b. ripetiamo l operazione a per tutte le possibili scelte di a e b; c. sommiamo tutti i monomi generati in b. In questo modo avremo calcolato (a + b n. Il monomio a n k b k viene generato ogni volta che il numero b viene scelto in k degli n fattori (a + b (la scelta di a risulta poi obbligata. ertanto il numero di monomi a n k b k che vengono generati è pari al numero di modi in cui possiamo scegliere k oggetti identici b in un gruppo di n. Abbiamo visto al termine del paragrafo precedente che questo numero è k. Scriviamo quindi (a + b n = k=0 n a n k b k. c.v.d. k E S E M I Esempio (x +y 4 = ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 x x 3 (y+ x (y + x(y (y 4 4 = = x 4 +8x 3 y +4x y +3xy 3 +6y 4. Esempio ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 (a by 5 = a 0 5 a 4 by + a 3 (by a 3 (by 3 + a(by 4 4 (by 5 5 = = a 5 5a 4 by +0a 3 b y 0a b 3 y 3 +5ab 4 y 4 b 5 y 5. Esempio 3 Determiniamo nello sviluppo di (3x 5y 5 il coefficiente del monomio x 6 y 9. er lo sviluppo del binomio possiamo scrivere: ( 5 ( 5 ( 5 (3x 5y 5 = (3x 5 + (3x 4 ( 5y+...+ (3x 6 ( 5y Il coefficiente di x 6 y 9 è quindi ( ( 5 9 =

21 Esercizi - Calcolo combinatorio UNITÀ Calcolo combinatorio Disposizioni semplici O GUIDA In previsione dell esame scritto di fisica, 5 studenti si precipitano in aula per occupare i 5 posti dell ultima fila. Tenendo conto dell ordine, in quanti modi possono essere occupati i posti dell ultima fila?. La composizione dell ultima fila dipende dalle persone che la occupano e dall ordine con cui esse si siedono. Inoltre ogni persona si siede in un solo posto, non sono cioè possibili ripetizioni. ertanto il calcolo va effettuato facendo uso delle disposizioni semplici D n;k.. Il numero di persone tra cui scegliere è n = Il numero di elementi del gruppo è k = Applichiamo la formula e otteniamo D... = =... In una gara con 6 concorrenti in quanti modi diversi può essere costituito il podio? [0] Quanti numeri di non più di due cifre si possono ottenere con le cifre,, 3 senza ripeterle? [9] 3 Quante password di 5 caratteri, e senza ripetizioni, si possono formare con le prime 0 lettere minuscole dell alfabeto inglese? [30 40] 4 Si deve formare una commissione con insegnante di italiano, di lingua straniera, di matematica, di storia. Gli insegnanti devono essere scelti tra 4 di italiano, di lingua straniera, 3 di matematica e di storia. In quanti modi può essere formata la commissione? [48] 5 Quanti numeri diversi di 3 cifre puoi ottenere lanciando un dado 3 volte? [6] 6 Un urna contiene sei palline numerate dall al 6. Componi un numero di tre cifre estraendo una dopo l altra tre palline, senza rimetterle nell urna. Quanti numeri diversi puoi ottenere? Se la prima pallina estratta porta il numero 6, quanti numeri diversi di tre cifre che iniziano per 6 puoi ottenere? [0; 0] 7 Quanti numeri di tre cifre tutte differenti si possono formare con le cifre, 4, 6, 8? E con 0,, 4, 6, 8? [4; 48] 8 Un astuccio contiene 5 gettoni con le vocali. Estraendo uno dopo l altro 3 gettoni, quante sequenze si possono formare? [60] 9 Calcola il valore delle espressioni. a. (D 4;3 3D 3; :3 [] b. (5D ; +D 5;3 :7 [0] 0 Determina per tentativi il numero da sostituire a x N 0 in modo che le seguenti uguaglianze siano vere. a. D 3;x =6 [] b. D 5;x =60 [3] c. D 6;x = 360 [4] d. D 0;x =90 [] Risolvi le seguenti equazioni nell incognita x N 0. a. D x;3 +D x; =80 [5] b. 3D x; D x;3 =0 [5] c. D x; +3D x;3 +D x;4 =0 [ ]

22 UNITÀ Esercizi - Calcolo combinatorio ermutazioni semplici O GUIDA In quanti modi è possibile disporre in uno scaffale 7 libri differenti? Le possibili situazioni differiscono solo per l ordine in cui sono disposti i 7 libri. Il numero cercato è quindi il numero di permutazioni di 7 oggetti, n = 7! = Scrivi tutte le permutazioni degli elementi dell insieme X = {A; B; C}. 3 Scrivi tutte le permutazioni degli elementi dell insieme Y = {verde; rosso; giallo}. 4 In quanti modi diversi si possono disporre 5 studenti in un aula con 5 banchi? [5!] 5 Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola rosa che incominciano con r? [6] 6 In quanti modi diversi si possono allineare 7 persone in una fila allo sportello della posta? [7!] 7 In quanti modi si possono permutare le lettere della parola belgio? [70] 8 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono ottenere con le lettere della parola tuo? [6] 9 In quanti modi si possono allineare i 7 giocatori di una squadra di calcio se il portiere è sempre al primo posto? [70] 0 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola gelsomina? [9!] Considera le lettere della parola aiuole. Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono ottenere con le sue sei lettere? Quanti di questi anagrammi iniziano con una consonante? Quanti iniziano con una vocale? [6!; 5!; 600] Quanti numeri con cifre diverse si possono formare con le cifre, 5, 6, 8? Quanti di questi sono dispari? [4; 6] 3 In quanti modi si possono disporre intorno a un tavolo rotondo 8 invitati a una festa? [7!] 4 In quanti modi diversi si possono disporre le 0 carte di fiori di un mazzo? [0!] 5 In quanti modi si possono mettere in fila 5 ragazzi se tra di loro ci sono fratelli che vogliono stare sempre vicini? [48] 6 In quanti modi diversi si possono allineare i colori di un semaforo? [6] 7 In quanti modi diversi si possono disporre 6 camicie e 4 jeans in un armadio, mantenendoli separati? [7 80] 8 Calcola il valore delle seguenti espressioni. a. 3! 5! e. 5! 4! 5 b. f. 0! c. 8! 5!! 3! 60 3! 5! + 4! d. 3! 5! 4! [ 0 ; 90; 0 ; 0 ;;3!] 9 Risolvi in N le seguenti equazioni. n! a. (n +! = (n + (n +3n! [0] b. n(n! = n(n +4 [ ] c. n n! =n!(n (n + [] d. (n +! 3n! 3(n! = 0 n [3]

23 3 Disposizioni con ripetizione 4 ermutazioni con ripetizione O GUIDA Esercizi - Calcolo combinatorio Quanti numeri di 8 cifre si possono costruire con le cifre, 3, 4, 5, 5, 7, 7, 7? oiché la cifra 5 si ripete due volte e la 7 tre volte, si devono usare le permutazioni con ripetizione, 8 = 8!! 3! = 3360, in cui si è diviso per! e 3! per tener conto del fatto che scambiando tra loro la coppia di 5 o permutando la terna di 7 non cambia il numero che viene generato. UNITÀ 30 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola coro? [] 3 Quante password di 6 caratteri si possono formare con le cifre da 0 a 9? [ ] 3 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola matematica? [5 00] 33 Lanciando 3 volte un dado di 6 facce, quante terne di numeri si possono ottenere? [6] 5 Combinazioni semplici O GUIDA 34 er fare un puzzle su un foglio di quadretti si hanno a disposizione 3 quadretti colorati per ognuno dei 4 diversi colori. In quanti modi si possono dipingere i quadretti del puzzle? [! 3! 3! 3! 3! 35 Quante parole diverse, anche prive di significato, si possono formare con le lettere della parola metabolismo? Quante di queste iniziano con meta? [ ; 50] 36 In quanti modi si possono porre 6 palline in scatole, in modo che ce ne siano 4 nella prima e nella seconda? [5] Determina il numero di possibili cinquine che si possono costruire estraendo 5 numeri tra i primi 90 numeri naturali. Due cinquine sono distinte solo se differiscono per almeno un numero. ertanto l ordine di estrazione è ininfluente e il numero di cinquine va calcolato utilizzando le combinazioni semplici, ( 90 C 90;5 = = 90! = = ! 5! ] 37 In quanti modi si può formare una commissione di 4 uomini e 3 donne, scelti tra 0 uomini e 5 donne? [00] 38 In quanti modi possono essere scelti 4 studenti che parteciperanno a una partita tra i 5 studenti della 3 a C? [ 650] 39 In una prova di matematica agli studenti della a A è stato proposto di rispondere a 8 domande su 0. Quante scelte avevano gli studenti? Dopo mezz ora dall inizio, Giovanni aveva già risposto alle prime quattro domande. Quante erano a quel punto le sue possibili scelte? [45; 5] 40 Quante cinquine si possono ottenere con i 90 numeri del lotto? [ ] 4 Quante sono le cinquine che contengono il terno,, 3? [374] 3

24 UNITÀ Esercizi - Calcolo combinatorio 4 Quante sono le cinquine che contengono i numeri 0 e? [09 736] 43 Un professore interroga i 0 alunni della 4 a A a due a due. Quante possibili coppie si possono formare? [90] 44 Quante terne differenti di interrogati si possono formare in una classe di 8 studenti? [86] 45 Sei amici decidono di fare una gita al mare, ma solo quattro di loro possono ottenere un passaggio in auto. In quanti modi si possono dividere in gruppi di quattro, o, il che è lo stesso, in gruppi di due? [5] 46 Cinque ragazzi stanno percorrendo un sentiero. A un bivio due decidono di andare a sinistra e tre a destra. In quanti modi diversi i cinque ragazzi si possono avviare lungo il sentiero a destra? [0] 47 Vogliamo colorare quattro fogli ciascuno con un colore diverso. Se abbiamo a disposizione sei colori, quante possibilità abbiamo di colorare i quattro fogli? [5] 48 Sapendo che una verifica contiene 0 esercizi e avendo a disposizione 8 esercizi, quante verifiche diverse, a meno dell ordine, si possono costruire? [43 758] 49 Sei automobili arrivano contemporaneamente ai caselli di uscita dell autostrada. Sono aperti sette caselli. In quanti modi si possono disporre le automobili? [7] 50 Se da un mazzo di 40 carte estraiamo tre carte, quante sono le possibili terne che il giocatore può avere? [9880] 5 Se giochiamo alla roulette (37 numeri dallo 0 al 36 quante terne che contengono il numero 0 possono uscire? [630] 5 Un urna contiene sei palline numerate dall al 6. Si estraggono contemporaneamente tre palline. In quanti modi diversi possono essere estratte? [0] 53 er l elezione dei due rappresentanti del consiglio di classe in 3 a B (5 studenti si mettono nell urna 5 biglietti sui quali sono scritti i nomi degli studenti. Se si estraggono due nomi a caso, quante coppie diverse si potrebbero ottenere? Se si estraggono quattro nomi a caso (per eleggere anche due supplenti, quante quaterne diverse si possono estrarre? [300; 650] 54 Calcola il valore delle seguenti espressioni. ( ( ( ( [( ] a. b. c. + 3 [3; ; ] 55 Verifica le seguenti uguaglianze. ( ( ( a =3 3 3 ( ( 4 5 b = ( ( ( ( ( c = Il binomio di Newton 56 Determina il primo termine dello sviluppo di (a +b 4. [a 4 ] 57 Determina il terzo termine dello sviluppo di (a b 5. [80a 3 b ] 58 Determina il quarto termine dello sviluppo di ( x 6. [ 0x 3 ] 59 Sviluppa le seguenti potenze. a. (x 4 b. (y +3x 5 c. ( 6 3 x 3y 4

25 Esercizi - Calcolo combinatorio UNITÀ Questionario Scrivi la definizione di disposizioni semplici di n elementi di classe k e la formula che permette di determinare D m;k. Il numero delle disposizioni di 6 oggetti di classe k è 360. Quanto vale k? a. 3 b. 4 c. d. 5 Che cosa si intende per n! (fattoriale di n? Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola lance? a. 60 b. 4 c. 0 d Scrivi la definizione di combinazioni semplici di n elementi di classe k. Quante sono le combinazioni semplici di 7 elementi di classe 4? a. 44 b. 40 c. 35 d. 6 4 Data l espressione 5D 4; C 6;3, indica, tra quelli proposti, il suo risultato. a. 5 b. 0 c. 40 d Data l espressione 3 6 +D 5;3 5C 4;3, indica, tra quelli proposti, il suo risultato. a. 40 b. 37 c. 5 d. 4 6 Indica l insieme delle sue soluzioni dell equazione C n ; +C n ; = n. a. n =4 b. n = n =4 c. n = d. n = n =4 7 Che cosa si intende per coefficiente binomiale? ( 5 Il valore di è 455. Quanto vale n? n a. n = b. n =3 c. n =5 d. n =7 8 Qual è l insieme delle soluzioni della seguente equazione? ( ( ( n n n + + = n n n a. b. N{0; } c. 5 d. 7 9 Quanto vale (? 0 a. 0 b. c. d. 0 0 Quante sono le cinquine che contengono un determinato terno? a. C 87;3 b. C 87; c. D 87;3 d. D 87; Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola giocattolo? a. c. 0! 5! 8! 3!! b. d. 8! 3!! 3! 0!! 3! Quante quaterne si possono formare lanciando quattro volte una moneta? a. D 4; b. 4 c. D ;4 d. C 4; 3 Quante sono le parole di 4 lettere, anche non di senso compiuto, che si possono formare con le lettere a, b, c, o, r? a. D 5;4 b. C 5;4 c. 4 d. D 5;4 4 Se giochiamo a tombola (90 numeri da a 90, quante terne che contengono il numero possono uscire? a. 396 b. 783 c d

26 UNITÀ Esercizi - Calcolo combinatorio Verifica finale rima parte Calcola il valore delle seguenti espressioni. a. D 6; b. 4 c. C 8;3 d. D 7; e. 7 D 7;3 3 C 6; Calcola il valore delle seguenti espressioni. ( ( ( a. + b Verifica la seguente identità. ( ( 5 4 =6 4 Calcola il valore delle seguenti espressioni. a. D 5;3 D 5; b Seconda parte Risolvi i seguenti problemi. + ( 5 + ( 5 ( Venti concorrenti partecipano a un concorso per 5 posti. In quanti modi possono essere compilate le graduatorie dei primi cinque posti, tenuto conto che due graduatorie sono distinte solo se differiscono per almeno un concorrente? 6 Un urna contiene palline contrassegnate con le lettere dell alfabeto. Si estraggono una dopo l altra 5 lettere dell alfabeto, senza riporle nell urna. Quante parole diverse possiamo formare? Quante di queste cominciano con la lettera b? Quante di queste cominciano con le lettere bil? 7 Due palline bianche e due palline rosse sono numerate con i numeri e. In quanti modi possono essere messe ai vertici A, B, C, D di un quadrato, se vogliamo che i colori siano alternati? 8 Quanti anagrammi, anche privi di significato, si possono formare con le lettere della parola bolla? 9 Quanti ambi si possono fare, nel gioco del lotto, con i cinque numeri di una stessa ruota? 0 Assegnati sei punti, tre dei quali non sono mai allineati, quante rette si possono disegnare congiungendo due di essi? 6

27 Q robabilità Sommario del modulo Q UNITÀ robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà Introduzione Q Eventi Q Q 4 Operazioni con gli eventi Q 5 Q 6 3 Gli assiomi della probabilità Q 7 Q 3 4 Definizioni di probabilità Q 0 Q 36 5 robabilità condizionata Q 5 Q 36 S La nascita del calcolo delle probabilità Q Q Questionario Q 43 V Verifica finale Q 45 L Lancio dei dadi: un confronto tra la definizione classica e quella statistica di probabilità Q 46 UNITÀ robabilità: variabili aleatorie discrete TEORIA TEORIA Distribuzione di probabilità Q 5 Q 63 Funzione di ripartizione Q 54 Q 63 3 Valor medio Q 57 Q 67 4 Varianza e scarto quadratico medio. Disuguaglianza di Cebicev Q 58 Q 67 5 Variabile casuale standardizzata Q 60 Q 70 6 Operazioni con le variabili casuali Q 6 Q 7 Q Questionario Q 75 V Verifica finale Q 77 UNITÀ 3 robabilità: distribuzioni di probabilità Distribuzione geometrica Q 78 Q 89 Distribuzione di Bernoulli Q 80 Q 9 3 Distribuzione multinomiale Q 8 Q 95 4 Distribuzione di oisson Q 83 Q 96 5 Distribuzione ipergeometrica Q 85 Q 98 6 Legge dei grandi numeri Q 87 Q 0 S Una famiglia geniale: i Bernoulli Q 89 Q Questionario Q 06 V Verifica finale Q 08 L La distribuzione di oisson Q L La distribuzione di Bernoulli Q 4 UNITÀ 4 robabilità: variabili aleatorie continue TEORIA TEORIA Funzione di ripartizione Q 8 Q 36 Densità di probabilità Q 9 Q 36 3 Caratteristiche numeriche delle variabili continue Q Q 36 4 Distribuzione uniforme Q 4 Q 39 5 Distribuzione gaussiana Q 5 Q 40 6 Funzione di Laplace. Regola delle tre sigma Q 7 7 Approssimazione della distribuzione binomiale con la gaussiana. Teorema centrale limite Q 30 Q 4 S ierre-simon Laplace Q 3 S Johann Carl Friedrich Gauss Q 34 Q Questionario Q 43 V Verifica finale Q 45 L La distribuzione normale di probabilità Q 46

28 unità Teoria - robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà TEORIA robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà Introduzione Le eclissi di Sole e di Luna sono l esempio classico di fenomeni che sappiamo prevedere con un elevato grado di certezza. Gli astronomi sono perfettamente a conoscenza del numero di eclissi che si verificheranno in questo secolo, del giorno, dell ora e del minuto in cui ciascuna di esse avrà luogo. Questa possibilità di previsione così accurata deriva loro dalla conoscenza della legge di gravitazione universale di Newton, che regola il moto dei corpi celesti. Al contrario, purtroppo nessuno è oggi in grado di prevedere quando e in che luogo accadrà il prossimo terremoto, o che tempo farà fra quindici giorni. Ciò è forse dovuto alla nostra ignoranza delle leggi fisiche che regolano questi fenomeni o forse dipende dal fatto che i sistemi fisici in questione sono sistemi caotici, cioè sistemi per i quali è strutturalmente impossibile qualunque tipo di previsione certa. In situazioni di questo tipo diciamo di trovarci di fronte a fenomeni aleatori. Sono fenomeni aleatori il lancio di una moneta, il lancio di un dado, l estrazione dei numeri del lotto, ma anche il decadimento di un nucleo, la caduta di un meteorite, ecc. er gli eventi aleatori possiamo solo stimare la loro tendenza ad accadere. Lo scopo del calcolo delle probabilità è di valutare quantitativamente la frequenza (relativa con cui si realizza un evento aleatorio. Q Eventi Q 4 Lanciare un dado, estrarre una carta da un mazzo di carte da gioco, estrarre 5 numeri nel gioco del lotto, lanciare una moneta e così via sono tutti esperimenti aleatori, cioè esperimenti nei quali l esito è incerto. D e f i n i z i o n e Lo spazio campionario relativo a un esperimento aleatorio è l insieme di tutti i possibili risultati dell esperimento. Lo spazio campionario è anche chiamato spazio delle probabilità o universo delle possibilità ed è indicato con la lettera greca (omega. E S E M I O Nel lancio di due dadi lo spazio campionario è = {; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; }. D e f i n i z i o n e Si chiama evento ogni sottoinsieme proprio o improprio dello spazio campionario. Q

29 Teoria - robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà unità Se = {A; B; C} è uno spazio campionario, è un evento ognuno degli elementi dell insieme delle parti di : ( ={ ; {A}; {B}; {C}; {A; B}; {A; C}; {B; C}; {A; B; C}}. E S E M I O Nel lancio di due dadi l evento «esce 6» è il sottoinsieme {6} dello spazio campionario ; l evento «esce un numero primo» è il sottoinsieme {; 3; 5; 7; } dello spazio campionario. In particolare: ogni sottoinsieme di che contiene un solo elemento si dice evento elementare (nel lancio di un dado, ad esempio, {} è un evento elementare; lo spazio campionario è l evento certo; l insieme vuoto è l evento impossibile. E S E M I Esempio Estraiamo due palline da un urna che ne contiene 8 numerate. Senza tenere conto dell ordine di estrazione, lo spazio campionario è: = {(; ; (; 3; (; 4;...; (6; 8; (7; 8}. L evento «la somma dei numeri delle palline estratte è 5» è rappresentato dal sottoinsieme E di che contiene le coppie di numeri la cui somma è 5, E = {(; 4; (; 3}. L evento «il valore assoluto della differenza dei numeri delle palline estratte è 4» è il sottoinsieme E = {(; 5; (; 6; (3; 7; (4; 8}. Esempio In una classe di scuola superiore gli alunni A, B, C, D non sono ancora stati interrogati in Latino. Il professore estrae a sorte due dei 4 alunni. Senza tenere conto dell ordine di estrazione, lo spazio campionario è: = {(A; B; (A; C; (A; D; (B; C; (B; D; (C; D}. Se A e B sono maschi e C e D sono femmine, l evento «vengono sorteggiati un maschio e una femmina» è il sottoinsieme E = {(A; C; (A; D; (B; C; (B; D}. L evento «A viene interrogato» è il sottoinsieme che contiene tutte le coppie cui appartiene A, E = {(A; C; (A; D; (A; B}. Esempio 3 Lanciamo una moneta tre volte. Indicando con T e C rispettivamente l esito «testa» e «croce». Lo spazio campionario è = {TTT; TTC; TCT; CTT; CCT; CTC; TCC; CCC}. L evento «esce due volte testa e una volta croce» è E = {TTC; TCT; CTT}. L evento «esce almeno una volta testa» è E = {TTT; TTC; TCT; CTT; CCT; CTC; TCC}. L evento «esce almeno due volte croce» è E = {CCT; CTC; TCC; CCC}. L evento certo è, l evento impossibile è l insieme vuoto. Q Esempio 4 A un torneo di calcio partecipano 4 squadre A, B, C e D, che si sfidano a turno. Ogni squadra gioca in tutto tre partite. Indicando con, X, rispettivamente il successo, il pareggio e la sconfitta in una singola gara da parte della squadra A. Lo spazio campionario è = { ; X; ; ; X; XX; XXX; ; X; XX}. Osserviamo che non si tiene conto dell ordine con cui i risultati vengono ottenuti, altrimenti lo spazio campionario sarebbe costituito da 7 elementi. Q 3

30 unità Teoria - robabilità: i concetti fondamentali e le proprietà Se al successo vengono attribuiti 3 punti, al pareggio un punto e alla sconfitta 0 punti, l evento «la squadra A finisce il torneo con 4 punti» è rappresentato dall insieme E = { X}. L evento «la squadra A finisce il torneo con 3 punti» è rappresentato dall insieme E = { ; XXX}.. Q 5 Diagrammi er risolvere problemi di probabilità, a volte è utile rappresentare graficamente l insieme universo e i possibili eventi nei modi seguenti. A. Diagramma di Eulero-Venn E S E M I O Abbiamo visto che, nel lancio di un dado, lo spazio campionario è = {; ; 3; 4; 5; 6}. L evento A: «esce un multiplo di» è A = {; 4; 6}. Lo spazio campionario e l evento A sono rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn nel seguente modo (FIG.. A FIG. B. Diagramma ad albero E S E M I O Lanciamo tre volte una moneta che presenta T (testa e C (croce. lancio lancio 3 lancio Q Lo spazio campionario è = {TTT; TTC; TCT; TCC; CTT; CTC; CCT; CCC}. Il diagramma ad albero che rappresenta la situazione è il seguente (FIG.. Gli elementi dello spazio campionario sono tutte le terne che si possono leggere partendo dal nodo O e seguendo tutti i possibili rami. O FIG. T C T C T C T C T C T C T C C. Tabella a doppia entrata E S E M I O Lanciamo due volte una moneta; lo spazio campionario è = {TT; TC; CT; CC}. La tabella a doppia entrata che rappresenta tutti gli elementi dello spazio campionario è riportata qui a lato (TAB.. TAB. T C T TT CT C TC CC Q 4