Liceo Scientifico Nino Cortese Maddaloni. La Matematica dell incerto

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1 Liceo Scientifico Nino Cortese Maddaloni La Matematica dell incerto Docente referente: Prof. Bruno Carbonaro Docente referente della scuola: Prof.ssa Vittoria Sacco INTRODUZIONE Questo percorso riguarda l ambito probabilistico ed è rivolto agli alunni del triennio della scuola secondaria di secondo grado. Per il suo svolgimento non è richiesto alcun prerequisito del calcolo delle probabilità. L attività ha come obiettivo primario proprio quello di introdurre al pensiero probabilistico e va quindi svolta secondo la didattica lunga, tipica del contesto di un laboratorio, dando agli studenti il tempo necessario per appropriarsi dei concetti e delle prime tecniche del calcolo delle probabilità. Il contesto parte dall esperienza diretta ( lancio dei dadi) e attraverso la ricerca storica della genesi e dalla evoluzione del concetto di probabilità, approda al Metodo Monte Carlo e ad alcune sue applicazioni. Questo per evidenziare che, abbandonando la certezza dell algebra e della geometria, dall analisi dei fenomeni aleatori, si giunge al calcolo delle aree (Teorema di Archimede) e al calcolo di π ( Ago di Buffon). In particolare, considerato che questo percorso ha come scopo la promozione di un approccio laboratoriale allo studio della Matematica dell incerto, sarà privilegiata la concezione frequentista di probabilità, perché più adatta al supporto informatico. Il foglio elettronico Excel, con la sua rapidità di calcolo, costituisce l ambiente di lavoro ideale per ogni esperienza che necessita della legge dei grandi numeri. Il nostro percorso si sviluppa proprio all interno di quest applicazione, sebbene si partirà dall analisi dell evento mediante l esperienza diretta,dove possibile, e attraverso lo svolgimento di schede di lavoro, si arriverà al calcolo della probabilità anche dal punto di vista classico. Pertanto, dal confronto dei due risultati ottenuti, si giungerà alla conclusione che la probabilità di un fenomeno aleatorio, calcolato mediante la frequenza relativa, si avvicina sempre di più a quella calcolata secondo la definizione classica all aumentare del numero di prove effettuate. Inoltre, si osserverà

2 che la probabilità empirica si può applicare soltanto agli esperimenti ripetibili nelle stesse condizioni per un numero di volte relativamente elevato, sufficiente a stabilizzare la frequenza relativa. Ciò non sempre accade, come ad esempio nel risultato di una partita di calcio o nelle previsioni del tempo per il giorno dopo. In questi casi, la valutazione della probabilità di un certo evento deve essere fatta con un quadro di riferimento diverso da quello dell idea frequentista. OBIETTIVI TRASVERSALI Sviluppare lo spirito della ricerca e potenziare il sapere scientifico; Ampliare le conoscenze di base; Saper costruire e gestire percorsi che vanno dal particolare verso il generale; Riuscire ad individuare iter alternativi, quando sia possibile, per risolvere una medesima questione; Guardare la matematica da un punto di vista più pratico e meno teorico; Sviluppare lo spirito del lavoro di gruppo; Far approfondire sul campo un metodo di lavoro, da usare anche in altri contesti. OBIETTIVI SPECIFICI Mettere gli studenti nella condizione di acquisire strumenti metodologici per affrontare con competenza le situazioni di incertezza presenti in problemi reali; Evidenziare lo sviluppo storico ed interdisciplinare delle tematiche oggetto del laboratorio; Conoscere e saper applicare il Metodo Montecarlo sia al calcolo di particolari aree che nel calcolo della probabilità di un evento con approccio frequenti sta. METODO DI LAVORO Si procederà a piccoli passi e, stabilito ciò su cui fissare l attenzione, se ne metterà al corrente gli alunni, tentando ogni mezzo per suscitare la curiosità e creare in loro il piacere della scoperta. Per fare ciò agli alunni verrà proposto un test con una serie di problemi reali la cui risoluzione ha un carattere probabilistico; in questo modo, in base alle risposte, si aprirà una discussione e si cercherà di giungere ad una formulazione rigorosa. Se ne solleciterà e indirizzerà la riflessione sulle esperienze ( lancio di dadi) per riuscire ad evidenziare circostanze significative agli effetti dell indagine che si sta effettuando. Di seguito verrà loro richiesto di effettuare una ricerca su internet delle problematiche legate all incerto in matematica ed insieme, dopo aver effettuato una raccolta del materiale, si cercherà di costruire un percorso che legato anche al calcolo delle aree si possa intersecare con l altro laboratorio. Si preciseranno le strategie, si cercherà di condurre a stabilire le opportune relazioni e riconoscere il linguaggio atto a tradurle, con particolare riferimento alle eventuali possibilità di portare avanti il discorso in ambiti matematici diversi. Dopo una discussione collettiva su procedimenti e risultati, su convinzioni ed eventuali remore, si

3 inviteranno gli alunni ad elaborare i dati attraverso la creazione del foglio Excel ed in altri casi a costruire, con materiale povero, una descrizione del problema. Materiale occorrente Carta millimetrata; Cartoncino colorato; Dadi e aghi; Computer; Schede di lavoro. Introduzione FASE 1 Lo scopo di questa fase è quello di avvicinare gli alunni al concetto di incertezza matematica e, quindi, al concetto di probabilità stimolando la loro curiosità e chiedendo la soluzione di problemi, legati alla realtà, il cui esito non può essere previsto in anticipo. Attraverso questa attività gli studenti iniziano a riflettere sul fatto che siamo indotti a ragionare in termini probabilistici ogni qualvolta non possediamo informazioni sufficienti sul verificarsi di un evento, ma riteniamo di poter assegnare una valutazione sull attendibilità dello stesso. Obiettivi e finalità Giungere ad una distinzione, tra le quattro definizioni di probabilità, attraverso l analisi delle risposte fornite dagli alunni stessi e mediante una discussione sulle problematiche emerse; Saper distinguere tra eventi compatibili ed incompatibili e saperne calcolare la probabilità; Saper distinguere tra eventi dipendenti e non e saperne calcolare la probabilità; Mettere gli studenti nella condizione di acquisire strumenti metodologici per affrontare con competenza le situazioni di incertezza presenti in problemi reali; Ampliare le conoscenze di base; Tempo di svolgimento Per questa fase sono previste due ore, una per il questionario e l altra per la discussione sulle risposte fornite e sulle problematiche emerse.

4 Descrizione dell attività svolta ed analisi dei contenuti Agli alunni, suddivisi in tre gruppi, viene chiesto di confrontarsi e di collaborare nello svolgimento di un questionario e di una scheda di lavoro, allo scopo di far emergere la loro intuizione probabilistica. Dopo aver fatto ciò, vengono analizzate le risposte e dalla discussione emergono alcuni concetti fondamentali del calcolo delle probabilità. Pertanto, gli alunni, opportunamente guidati dal docente, cercano di sintetizzare e di schematizzare quanto emerso sotto forma di appunti e di una mappa concettuale. Attraverso l analisi delle risposte fornite al test e sulla base dello svolgimento della scheda di lavoro prevista, vengono introdotti e puntualizzati i seguenti concetti e definizioni del calcolo della probabilità: Casuale, ciò che dipende dal caso, come la faccia di un dado, che in latino si dice alea, da cui l'altro aggettivo aleatorio, con cui sono definiti i fenomeni non deterministici (dei quali non si può predeterminare l'esito). Spazio campione, come insieme che contiene tutti i possibili modi in cui può manifestarsi un certo fenomeno casuale. Evento aleatorio, cioè un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato. Esito è ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori. Probabilità di un evento aleatorio, come misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento. Eventi compatibili o incompatibili Due eventi si dicono compatibili quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro. Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile. Sono incompatibili invece gli eventi in cui il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali" e l'evento "la somma è dispari". Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti. In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né l'altro, come ad esempio "nero e dispari" oppure "pari, con due facce diverse" nei due esempi precedenti.

5 Se si esamina lo spazio campione, gli eventi compatibili ed incompatibili costituiscono rispettivamente due insiemi congiunti e due disgiunti. Nel calcolo della probabilità totale di due eventi A e B, quando si consideri l'evento composto "A B" (si legga "A oppure B"). Se si tratta di due eventi incompatibili si sommeranno le probabilità dei due eventi (principio di addizione): p(a B) = p(a) + p(b) Se si tratta di due eventi compatibili si dovrà, togliere la probabilità dell'evento composto "A B" in cui si verificano entrambi gli eventi (somma logica): ( ) ( ) p A B p A p B p A B EVENTI INDIPENDENTI ED EVENTI DIPENDENTI La distinzione ha chiaramente senso solo quando gli eventi trattati sono tra di loro compatibili. In tal caso, due eventi si diranno indipendenti quando il realizzarsi di uno non altera le probabilità di realizzarsi dell'altro (ad esempio, da un'urna contenente palline bianche e nere si estraggano successivamente due palline; se la prima pallina estratta è bianca, la probabilità che anche la seconda sia bianca non si altera se la prima viene rimessa nell'urna dopo l'estrazione). Viceversa, i due eventi si diranno dipendenti nel caso contrario (la prima pallina bianca non viene rimessa nell'urna; di conseguenza, la probabilità che anche la seconda sia bianca viene alterata). PRINCIPIO DELLA PROBABILITÀ COMPOSTA (prodotto) 1) Eventi compatibili e indipendenti Siano A e B due eventi distinti, tra di loro compatibili e indipendenti; la probabilità che si verifichino contemporaneamente è data da P(A insieme a B) = P(A) x P(B). Ad esempio, in un lancio di due dadi si voglia calcolare quali siano le probabilità che esca un 4 sul primo dado ed un 5 sul secondo. I due eventi compatibili e indipendenti A e B sono "esce 4 sul primo dado" ed "esce 5 sul secondo dado". Si ha P(4)=1/6 e P(5)=1/6; dunque: P(4 insieme a 5)=(1/6)x(1/6)=1/36. Ovviamente, il principio si estende ad un numero qualsiasi n di eventi, purché tutti compatibili. 2) Eventi compatibili e dipendenti Siano A e B due eventi distinti, tra di loro compatibili e dipendenti; la probabilità che si verifichi A ed immediatamente dopo B, dipendente da A, è data da

6 P(A e subito dopo B) = P(A) x P(B dopo A), dove P(B dopo A) è la probabilità che si verifichi B una volta che si è verificato A. Ad esempio, disponendo di un'urna contenente 20 palline bianche e 10 palline nere, si voglia calcolare quali siano le probabilità di estrarre una prima pallina bianca e subito dopo una seconda pallina bianca, senza rimettere la prima nell'urna. I due eventi compatibili e dipendenti A e B sono "estrarre una prima pallina bianca" ed "estrarre una seconda pallina bianca senza rimettere la prima nell'urna". Si ha P(esce una prima pallina bianca)=20/30 e P(esce una seconda pallina bianca senza rimettere nell'urna la prima)=19/29; dunque: P(esce una pallina bianca e subito dopo un'altra pallina bianca)=(20/30)x(19/29)=38/87=44%. DEFINIZIONI DI PROBABILITA DEFINIZIONE CLASSICA Secondo questa definizione la probabilità del verificarsi di un evento è data dal rapporto fra il numero dei casi favorevoli all evento e il numero dei casi possibili. pe ( ) numero di casi favorevoli numero di casi possibili 0 pe ( ) 1 In questa definizione gli esiti debbono essere tutti ugualmente possibili. Questa idea può essere estesa dall'ambito del discreto a quello del continuo. Per esempio la probabilità che una goccia di pioggia cada in una certa area piana che fa parte di una zona più ampia, è data dal rapporto tra l'area "favorevole", cioè quella del bersaglio, e l'area totale, cioè quella di tutta la zona considerata. p(e)=0 evento impossibile p(e)=1 evento certo DEFINIZIONE FREQUENTISTA Questa idea di probabilità è dovuta R.Von Mises, e conduce a una definizione sperimentale (empirica) di probabilità : la probabilità di un evento è il limite cui tende la frequenza relativa del suo verificarsi all'aumentare del numero di esperimenti. numero di prove riuscite f( E) numero di prove effettuate

7 La probabilità empirica si può applicare soltanto agli esperimenti ripetibili nelle stesse condizioni per un numero di volte relativamente elevato, sufficiente a stabilizzare la frequenza relativa. Ciò non sempre accade, come ad esempio nel risultato di una partita di calcio o nelle previsioni del tempo per il giorno dopo. In questi casi, la valutazione della probabilità di un certo evento deve essere fatta con un quadro di riferimento diverso da quello dell idea frequentista. DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA Come si è detto sopra, ci sono situazioni in cui l esperimento non può essere ripetuto. Si ricorre allora ad una definizione (dovuta a De Finetti) di probabilità in grado di esprimere numericamente il grado di fiducia che si vuole attribuire al verificarsi di un evento. In questo caso gli elementi dello spazio campione sono semplici ipotesi, cioè asserzioni che sono o false o vere. La probabilità p(a) che l ipotesi A sia vera, è il grado di fiducia che abbiamo circa il suo verificarsi. Ad esempio se Tizio è disposto a scommettere 3 contro 4 sul fatto che si verifichi un certo evento, vuol dire che attribuisce a tale evento una probabilità pari a 3/(3+4) (circa il 43%). La frazione che esprime la probabilità ha il numeratore uguale a quello che Tizio è disposto a puntare e il denominatore pari alla sua puntata sommata a quella di uno sfidante. Tale somma rappresenta anche quanto ciascuno dei due partecipanti alla scommessa vincerebbe a seguito della puntata. DEFINIZIONE ASSIOMATICA Con lo sviluppo degli studi matematici, soprattutto con l'applicazione della logica formale all'analisi dei fondamenti della matematica e della scienza in genere, si è giunti a un'impostazione che dà della probabilità una definizione implicita mediante un sistema di assiomi, analogamente, per esempio, alla definizione implicita di retta data dalla Geometria razionale. L impostazione assiomatica è sorta proprio per l esigenza dei matematici di sistemare in modo rigoroso le conoscenze e le molte applicazioni del calcolo delle probabilità che durante due secoli i ricercatori hanno sviluppato in molteplici campi. L idea di costruire un'impostazione assiomatica si può far risalire, per lo meno, a H. Poincarè (Calcul des probabilités, 1894). Successivamente molti autori hanno proposto varie assiomatiche; citiamo, fra i molti, A. N. Kolmogoroff (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933) e D. Scott-P. Krauss (in Assigning probabilities to logical formula, Aspect of introductive logic, a cura di Hintikka e Suppes, 1966). Tale impostazione è dovuta,principalmente, a Kolmogorov (1933), il quale costruisce una teoria basata su entità astratte che non necessitano di alcuna interpretazione.a ogni esperimento (reale o concettuale ) si può associare un insieme U, detto universo o spazio dei campioni o spazio degli eventi, i cui elementi sono tutti i possibili risultati dell esperimento (o fenomeno). La scelta dell universo U, legato a un certo esperimento, non è fissa, ma può dipendere dal problema. Ad esempio, se lanciamo un dado e vogliamo distinguere i risultati possibili, possiamo considerare come insieme universo l insieme U={ 1,2,3,4,5,6} ; se, invece, ci interessa solo distinguere i numeri pari dai numeri dispari, possiamo assumere come insieme universo l insieme U costituito dagli elementi P e D: U ={ P,D}. Precisiamo alcune caratteristiche del concetto di evento:

8 La nozione di evento è assunta come primitiva; Un evento(passato, o presente, o futuro) è descrivibile con un'espressione linguistica alla quale si può associare un sottoinsieme dell insieme universo U. Si può identificare l evento con il sottoinsieme associato all'espressione linguistica che lo descrive e tradurre le operazioni logiche sugli eventi in operazioni fra sottoinsiemi. I sottoinsiemi costituiti da un solo elemento sono detti eventi elementari. Si dirà che l evento si verifica se il risultato dell esperimento è un elemento appartenente al sottoinsieme associato all evento. Ad esempio, nel lancio di un dado, l evento <<la faccia presentata è un numero pari>>, risulta verificato se si presenta una delle facce 2, 4, 6. Sugli eventi si definiscono operazioni analoghe a quelle definite sugli insiemi.

9 Alunno/a:. Test sull intuizione probabilistica 1) Carlo si trova in una camera da letto al buio, in cui c è un cassetto con 5 calzini bianchi e 5 rossi. Deve prenderne due dello stesso colore: questo evento è certo, impossibile o possibile? Quanti calzini deve prendere Carlo per essere sicuro che tra quelli pescati ce ne siano almeno due dello stesso colore? 2) In un nido di piccioni ci sono due uova. Trova la probabilità che nasca almeno un maschio. 3) Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto Pari. Qual è la probabilità che si verifichi tal evento? 4) Un professore di matematica, in una classe composta da 25 alunni, per interrogare decide di lasciarsi guidare dal caso. Ha a disposizione un sacchetto che contiene 30 palline numerate da 1 a 30. Decide di usarlo così come è ed estrae una pallina; se il numero non supera 25, interroga l alunno che ha quel numero nell elenco; altrimenti fa il prodotto delle cifre e interroga l alunno che ha nell elenco il numero corrispondente. Tutti gli alunni hanno la stessa probabilità di essere interrogati? Il professore interroga in ogni caso qualcuno? Qual è la probabilità che non interroghi nessuno?

10 5) Spiega che cosa significano per te le parole possibile, probabile, e in quale occasione si usano. 6) Considera gli eventi: la squadra A vince la partita di calcio di domenica e la squadra A termina in vantaggio il primo tempo. Tali eventi sono indipendenti o no? Se no, sono correlati positivamente o negativamente? 7) Il padre di Luigi dice: voi giovani non capite ancora l importanza dello studio, pensate solo al divertimento! Beh ti voglio fare questa proposta: domenica andrai allo stadio a vedere la partita del Napoli, a condizioni però che prima superi con voto sufficiente il compito di matematica. Luigi aveva programmato anche di andare al cinema, ma sa bene che per superare il compito di matematica in modo sufficiente, dovrà studiare tutto il pomeriggio, e quasi certamente dovrà rinunciare al cinema. Capisce cioè che se vuole aumentare la probabilità di avere una buon voto nel compito di matematica diminuirà, altrettanto inevitabilmente, la sua probabilità di andare al cinema. Che decisione dovrà (o potrà) prendere? Elenca tutte le possibili soluzioni del problema ed assegna all attendibilità del verificarsi di ognuna una valutazione da 1 a 10. 8) Arcibaldo e Petronilla discutono se, lanciando in aria un dado, è più probabile che esca un numero maggiore di 2 (evento A) o un numero pari (evento B). Petronilla vuole convincere Arcibaldo che è più probabile l evento A e, considerando le sue scarse conoscenze matematiche, invece di dare una spiegazione teorica, decide di

11 compiere una verifica sperimentale: lancia 12 volte il dado, sperando che l evento A si verifichi più spesso dell evento B. E prudente questo comportamento? Scegliere fra le seguenti risposte quella o quelle che sembrano corrette: a) Si, sicuramente l evento A si verificherà 8 volte e l evento B 6 volte; b) Si, perché in un dado ci sono più numeri maggiori di due che numeri pari; c) No, è possibile che l evento B si verifichi più spesso di A; d) No, se però facesse un numero molto elevato di lanci, ad esempio 6000, potrebbe essere praticamente certo che A si verifichi più spesso di B. Motiva la risposta. 9) Giulio, lanciando un dado, spera che esca il 5; anche Ivan, giocando a tombola, spera che esca il 5; Iole giocando a carte (napoletane) spera che esca il 5 di denari. a) Secondo te i nostri amici hanno la stessa probabilità di successo? Spiega il tuo ragionamento. b) Se non è così, ordina i tre eventi dal più al meno probabile. c) Puoi esprimere la probabilità di ognuno dei tre eventi con una frazione appropriata? 10) Nel gioco del lotto, da due anni non esce il numero 26 sulla ruota di Napoli, a) conviene giocarlo; b) conviene escluderlo; c) è indifferente. Motiva la risposta.

12 11) Si estraggono tre numeri dalla tombola. Quale delle tre affermazioni è corretta? a) È più probabile che esca la terna 1, 2, 3; b) È più probabile che esca la terna 4, 34, 86; c) è indifferente. Motiva la risposta. 12) Se si estrae una carta da un mazzo di carte napoletane, è più probabile che esca a) un asso; b) una figura; c) è indifferente. Motiva la risposta. 13) Se lanci un dado qual è la probabilità che esca la faccia con il numero quattro? Perché? ) Se lanci un dado qual è la probabilità che non esca la faccia con il numero quattro? Perché?....

13 15) In entrambi i casi appena descritti, se si sceglie la faccia con un numero diverso dal quattro, la probabilità è la stessa o cambia?....

14 Alunno/a:. Fase 1 SCHEDA DI LAVORO 1) Nel lancio di un dado un gruppo di ragazzi ha diverse aspettative: Anna spera che esca il numero 1 Bruno aspetta un numero dispari Clelia scommette sulla comparsa di un numero minore di 3 Dario punta sull uscita del numero 6 Elvira desidera l uscita dell 1 o del 6 Fabio aspetta un numero minore di 10 Secondo te chi ha più probabilità di vedere realizzato il proprio desiderio? Chi ha meno probabilità di successo? Ci sono ragazzi che hanno la stessa probabilità di riuscita? Scrivi i tuoi ragionamenti. Saresti capace di mettere i sei eventi in ordine di probabilità crescente? Assegna un punteggio da 1 a 6 alla diversa possibilità di verificarsi degli eventi attesi dai 6 ragazzi. Compila la seguente tabella EVENTO Anna spera che esca il numero 1 Probabilità Bruno aspetta un numero dispari Clelia scommette sulla comparsa di un numero minore di 3 Dario punta sull uscita del numero 6 Elvira desidera l uscita dell 1 o del 6 Fabio aspetta un numero minore di 10

15 Rappresenta questo ordinamento in forma schematica su un segmento i cui estremi corrispondono ai casi dell impossibilità e della certezza. Un evento può essere collocato su questo segmento in posizione diversa secondo la sua maggiore o minore probabilità. 2) Compila la seguente tabella attribuendo un valore razionale compreso tra zero e uno alla probabilità EVENTO E' impossibile che, non è vero che Probabilità E' quasi impossibile che, non credo che E' molto difficile che, è improbabile che E' difficile che, dubito E' alquanto difficile che E' un po' improbabile che Non saprei decidere tra il sì e il no, forse Ho una certa speranza che Ho buone speranze che E' probabile che E' molto probabile che Sono quasi certo che, quasi certamente E' certo che, è vero che 3) In riferimento alle tue idee ti sembra che il significato di probabilità sia in qualche modo diverso quando chiediamo: - qual è la probabilità che esca 4 nel lancio di un dado? - qual è la probabilità di un evento sismico? Scrivi i tuoi ragionamenti.

16 Riporta sotto forma di appunti sintetici i concetti messi a fuoco nella discussione emersa dall analisi delle risposte fornite al questionario e alla scheda di lavoro. Significato della probabilità e sue valutazioni Frequenza Esito Spazio campione Eventi dipendenti ed indipendenti (riporta un esempio)

17 Eventi compatibili ed incompatibili (riporta un esempio) Costruisci una mappa concettuale che metta in relazione tutti i concetti emersi in questa fase

18 Fase 2 Lancio di dadi Introduzione Lo scopo di questa fase è quello di avvicinare gli alunni al concetto di incertezza matematica e, quindi, al concetto di probabilità stimolando la loro curiosità attraverso l esperienza diretta di un evento e l analisi dei dati ottenuti. Si giunge, quindi all individuazione corretta dello spazio degli eventi e alla valutazione della probabilità in diversi contesti problematici. Obiettivi e finalità Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione classica; Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione frequentista; Acquisire competenze nel campo informatico attraverso l utilizzo di alcuni strumenti quali GeoGebra ed Excel; Saper costruire con il foglio elettronico modelli per situazioni regolate da eventi aleatori; Far individuare lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità; Valutare la probabilità in diversi contesti problematici; Giungere alla distinzione tra eventi indipendenti e non. Tempo di svolgimento Questa fase viene realizzata in due lezioni: nella prima ( 2 ore) si realizza l esperienza e si compilano le relative schede di lavoro, e nella seconda ( 2 ore) vengono implementati i fogli Excel. Descrizione delle attività svolte ed analisi dei contenuti Durante la fase 1 gli alunni hanno già incominciato a riflettere sul concetto di probabilità e si è giunti anche ad una definizione( classica, frequentista,soggettiva, assiomatica). In questa fase gli alunni imparano ad individuare lo spazio campione di un evento, in modo da saper fare la distinzione tra evento (uscita di un certo risultato nei dadi) ed evento elementare. Inoltre, gli studenti vengono condotti alla scoperta che non tutti gli eventi hanno la stessa probabilità e che quest ultima dipende dal modo in cui l esperimento è definito. Attraverso l analisi dei casi possibili

19 e dal grafico delle frequenze, vengono notate eventuali simmetrie nella modalità di presentazione degli eventi elementari e si deducono i casi più frequenti. Si giunge, quindi, alla conclusione che su un gran numero di prove ci si può attendere frequenze di uscita sempre più vicina alla valutazione di probabilità: è, per gli alunni, un primo approccio alla legge dei grandi numeri. Agli alunni,quindi,suddivisi in due gruppi, vengono fornite delle schede di lavoro e viene loro chiesto di realizzare le seguenti esperienze : 1) I GRUPPO Qual è la probabilità che esca almeno un sei lanciando due dadi contemporaneamente? 2) II GRUPPO Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente su entrambe le facce non compaia il numero sei? Viene chiesto a ciascun gruppo di effettuare l esperienza lanciando trenta volte i due dadi contemporaneamente e valutando i risultati ottenuti attraverso la compilazione di una tabella ed effettuando un grafico delle frequenze registrate. L uso del software Dopo l esecuzione dell esperienza e la rivelazione dei dati ottenuti, gli alunni costruiscono un foglio elettronico per la simulazione del problema, in modo ottenere un risultato più attendibile, attraverso un numero di lanci superiore. Il foglio elettronico viene realizzato riportando in due colonne distinte le uscite del primo e del secondo dado, ottenute mediante la funzione casuale() e la funzione INT() (parte intera). In un altra colonna si utilizza la funzione Se() e poi la funzione conta.se(), per calcolare le frequenze assolute e successivamente quelle relative con i rispettivi grafici. Il tasto F9 fa variare i valori casuali e l sperimento si ripete. In un secondo momento viene proposto ai due gruppi il seguente problema e la compilazione di altre schede di lavoro: 1) I GRUPPO Qual è la probabilità che nel lancio dei due dadi la somma dei numeri sia 6? 2) II GRUPPO Qual è la probabilità che nel lancio di tre dadi la somma dei numeri sia 6? Ad ogni lancio viene suggerito di eliminare il dado con il punteggio maggiore annotando la somma dei due dadi rimasti ( se quelli con punteggio maggiore sono due, eliminarne uno qualsiasi) Gli alunni sono invitati a svolgere l esperimento per un numero elevato di volte ( almeno trenta) e a compilare la relativa tabella ed il relativo grafico delle frequenze.

20 L uso del software Dopo l esecuzione dell esperienza e la rivelazione dei dati ottenuti, gli alunni costruiscono un foglio elettronico per la simulazione del problema. Il foglio elettronico viene costruito riportando in due colonne distinte le uscite del primo e del secondo dado, ottenute mediante la funzione casuale() e la funzione INT() (parte intera). In un altra colonna è calcolata la somma e mediante la funzione conta.se() sono calcolate le frequenze assolute e successivamente quelle relative con i rispettivi grafici. Nel caso del lancio dei tre dadi, prima di calcolare la somma, viene utilizzata la funzione Max() per scartare il valore più alto tra i tre lanci effettuati. Il tasto F9 fa variare i valori casuali e l sperimento si ripete. Fogli Excel n 1-n 2

21 Alunno/a:. Fase 2 SCHEDA DI LAVORO I GRUPPO 1) Qual è la probabilità che esca almeno un sei lanciando due dadi contemporaneamente? Si svolga l esperimento per un numero elevato di volte ( almeno trenta) e si compilino le relative tabelle. NUMERO DI LANCI ESITO DADO 1 ESITO DADO 2 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=11 N=12 N=13 N=14 N=15 N=16 N=17 N=18 N=19 N=20 N=21 N=22 N=23 N=24 N=25 N=26 N=27 N=28 N=29 N=30

22 Compilare la seguente tabella a doppia entrata in cui si devono riportare tutti i casi possibili che si verificano nel lancio dei due dadi Quanti sono i casi possibili?.. Quanti sono i casi favorevoli?.. Qual è la probabilità dell evento?. Se avessimo scelto un altro numero, la probabilità sarebbe cambiata?.

23 Utilizzando la carta millimetrata si costruisca il grafico delle frequenze assolute riportando sull asse delle ascisse i numeri che compaiono sulle facce di un dado e sull asse delle ordinate il numero di uscite di ognuno. Analogamente, utilizzando la carta millimetrata si costruisca un grafico riportando sull asse delle ascisse i numeri delle facce di un dado e sull asse delle ordinate la frequenza relativa che dalla fase precedente abbiamo scoperto essere il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato l evento ed il numero di prove effettuate. Si osservi tale grafico, la frequenza relativa all uscita del numero sei su almeno una delle facce si avvicina alla probabilità calcolata precedentemente? Quale numero ha una frequenza maggiore di uscita? Si costruisca un foglio Excel che simuli tale esperienza, in tal modo il numero di lanci sarà elevato e scopriremo che

24 Alunno/a:. Fase 2 SCHEDA DI LAVORO II GRUPPO Qual è la probabilità che lanciando due dadi contemporaneamente su entrambe le facce non compaia il numero sei? Si svolga l esperimento per un numero elevato di volte ( almeno trenta) e si compilino le relative tabelle. NUMERO DI LANCI ESITO DADO 1 ESITO DADO 2 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=11 N=12 N=13 N=14 N=15 N=16 N=17 N=18 N=19 N=20 N=21 N=22 N=23 N=24 N=25 N=26 N=27 N=28 N=29 N=30

25 Compilare la seguente tabella a doppia entrata in cui si devono riportare tutti i casi possibili che si verificano nel lancio dei due dadi Quanti sono i casi possibili?.. Quanti sono i casi favorevoli?.. Qual è la probabilità dell evento?. Se avessimo scelto un altro numero, la probabilità sarebbe cambiata?.

26 Utilizzando la carta millimetrata si costruisca il grafico delle frequenze assolute riportando sull asse delle ascisse i numeri che compaiono sulle facce di un dado e sull asse delle ordinate il numero di uscita di ognuno. Analogamente, utilizzando la carta millimetrata si costruisca un grafico riportando sull asse delle ascisse i numeri delle facce di un dado e sull asse delle ordinate la frequenza relativa che dalla fase precedente abbiamo scoperto essere il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato l evento ed il numero di prove effettuate. Si osservi tale grafico, la frequenza relativa all uscita di un numero diverso dal sei sulle facce si avvicina alla probabilità calcolata precedentemente? Si costruisca un foglio Excel che simuli tale esperienza, in tal modo il numero di lanci sarà elevato e scopriremo che

27 Alunno/a:. Fase 2 SCHEDA DI LAVORO I GRUPPO Qual è la probabilità che nel lancio dei due dadi la somma dei numeri sia 6? Si svolga l esperimento per un numero elevato di volte ( almeno trenta) e si compilino le relative tabelle. NUMERO DI LANCI ESITO DADO 1 ESITO DADO 2 SOMMA N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=11 N=12 N=13 N=14 N=15 N=16 N=17 N=18 N=19 N=20 N=21 N=22 N=23 N=24 N=25 N=26 N=27 N=28 N=29 N=30

28 ANALISI DEI CASI POSSIBILI ATTRAVERSO LA COMPILAZIONE DELLA SEGUENTE TABELLA Evento Modalità di presentazione Numero di casi possibili Probabilità Uscita del 2 Uscita del 3 Uscita del 4 Uscita del 5 Uscita del 6 Uscita del 7 Uscita del 8 Uscita del 9 Uscita del 10 Uscita del 11 Uscita del 12 Totale Utilizzando la carta millimetrata si costruisca un grafico riportando sull asse delle ascisse tutte le somme possibili e sull asse delle ordinate la frequenza relativa che dalla fase precedente abbiamo scoperto essere il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato l evento ed il numero di prove effettuate. Poniamoci le seguenti domande: Il grafico effettuato presenta un andamento simmetrico? Nella compilazione della tabella relativa ai casi possibili e alla probabilità, cosa notiamo?. Si nota una discordanza tra il grafico delle frequenze relative e la probabilità? Se sì, a cosa è dovuta?

29 Fissato lo stesso numero di lanci, se ripetiamo l esperimento, il risultato cambia?. Per scoprire se ciò che hai intuito dall esperienza è vero, costruisci un foglio Excel che simuli tale esperienza.

30 Alunno/a:. Fase 2 SCHEDA DI LAVORO II GRUPPO Qual è la probabilità che nel lancio di tre dadi la somma dei numeri sia 6? Ad ogni lancio viene suggerito di eliminare il dado con il punteggio maggiore annotando la somma dei due dadi rimasti ( se quelli con punteggio maggiore sono due, eliminarne uno qualsiasi). Si svolga l esperimento per un numero elevato di volte ( almeno trenta) e si compilino le relative tabelle. NUMERO DI LANCI ESITO DADO 1 ESITO DADO 2 ESITO DADO 3 SOMMA N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=6 N=7 N=8 N=9 N=10 N=11 N=12 N=13 N=14 N=15 N=16 N=17 N=18 N=19 N=20 N=21 N=22 N=23 N=24 N=25 N=26 N=27 N=28 N=29 N=30

31 ANALISI DEI CASI POSSIBILI ATTRAVERSO LA COMPILAZIONE DELLA SEGUENTE TABELLA Evento Modalità di presentazione Numero di casi possibili Probabilità Uscita del 2 Uscita del 3 Uscita del 4 Uscita del 5 Uscita del 6 Uscita del 7 Uscita del 8 Uscita del 9 Uscita del 10 Uscita del 11 Uscita del 12 Totale

32 Utilizzando la carta millimetrata si costruisca un grafico riportando sull asse delle ascisse le somme uscite nel lancio dei tre dadi secondo la modalità stabilita e sull asse delle ordinate la frequenza relativa che dalla fase precedente abbiamo scoperto essere il rapporto tra il numero di volte in cui si è verificato l evento ed il numero di prove effettuate. Poniamoci le seguenti domande: Si confronti il grafico delle frequenze relative nell esperienza del lancio di due dadi con quello effettuato. Si notano delle differenze? Quali ad esempio? Cosa influisce maggiormente su tali differenze?. Si osservi il grafico delle frequenze relative ed il calcolo della probabilità? Sono discordanti? Se sì, a cosa è dovuto? Fissato lo stesso numero di lanci, se ripetiamo l esperimento, il risultato cambia?. Per scoprire se ciò che hai intuito dall esperienza è vero, costruisci un foglio excel che simuli tale esperienza. L ultimo momento è dedicato al confronto e all analisi dei risultati ottenuti in entrambe le esperienze e alla lettura dei dati del foglio elettronico. Si può concludere che:

33 FASE 3 Ricerca storica Obiettivi e finalità Sviluppare lo spirito della ricerca e potenziare il sapere scientifico; Sviluppare lo spirito del lavoro di gruppo; Ampliare le conoscenze di base; Essere in grado di sintetizzare le informazioni raccolte per realizzare una presentazione in PowerPoint; Evidenziare lo sviluppo storico ed interdisciplinare delle tematiche oggetto del laboratorio. Tempo di svolgimento Per questa fase sono previste tre ore, distribuite in due lezioni. Descrizione delle attività svolte In questa fase viene realizzata una ricerca storica sulle origine del calcolo delle probabilità, sulle scoperte e sugli studi effettuati in tale campo da alcuni famosi matematici. Si cerca,attraverso questo percorso, di portare gli alunni a fissare la loro attenzione sul Metodo Monte Carlo, sul quale essi dovranno lavorare nelle fasi successive del progetto. Tale attività si svolge nel laboratorio multimediale, in modo che gli alunni possano ricercare il materiale necessario attraverso internet e poi realizzare, sintetizzandolo ed analizzandolo, una presentazione in PowerPoint in grado di cogliere gli aspetti fondamentali della Matematica dell incerto e di evidenziare lo sviluppo storico ed interdisciplinare delle tematiche oggetto del laboratorio. Obiettivi e finalità FASE 4 Verifica del Teorema di Archimede Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione classica; Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione frequentista; Saper calcolare l area sottesa da una curva con il metodo Monte Carlo; Acquisire competenze nel campo informatico attraverso l utilizzo di alcuni strumenti quali GeoGebra ed Excel; Saper costruire con il foglio elettronico modelli per situazioni regolate da eventi aleatori;

34 Conoscere e saper applicare il metodo Monte Carlo per verificare attraverso la matematica dell incerto quanto già noto dalle conoscenze scolastiche acquisite; Tempo di svolgimento Per questa fase sono previste due ore da svolgere in un unica lezione. Descrizione dell attività svolte Dopo aver già discusso nella fase precedente del Metodo Monte Carlo, si cerca di avvicinare gli alunni al calcolo di aree di figure non regolari attraverso l applicazione di tale metodo probabilistico. Le attività vengono svolte nel laboratorio multimediale; l insegnante introduce il Teorema di Archimede, enunciandolo e spiegando la sua costruzione geometrica attraverso il concetto di parabola nel piano cartesiano, di retta tangente e parallela ad una data, di segmento parabolico. Di seguito viene schematizzato il lavoro da svolgere, soffermandosi sulla descrizione del funzionamento del software matematico GeoGebra, con il quale gli studenti devono lavorare per il calcolo dell area del segmento parabolico e per la verifica del teorema. Per la realizzazione di tutto ciò viene predisposta una scheda di lavoro strutturata in modo da far utilizzare gli strumenti informatici (GeoGebra, Excel). L utilizzo del GeoGebra consente agli alunni di risolvere il problema sia attraverso alcune nozioni di geometria analitica ( sebbene ad alcuni già note), sia attraverso l analisi matematica ( il calcolo dell integrale). Viene,poi, implementato un algoritmo per la realizzazione del foglio Excel in modo da applicare il Metodo Montecarlo, per giungere con il calcolo delle probabilità, allo stesso risultato ottenuto con gli strumenti matematici. Contenuti Teorema di Archimede L area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante parallela all asse x è uguale a 4/3 l area del triangolo ABC (dove A e B i punti di intersezione e C il vertice).

35 In generale: L area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante è uguale a 4/3 l area del triangolo ABC (dove A e B i punti di intersezione e C il punto della parabola la cui tangente è parallela ad AB ). Area parabola = 4 Area (ABC) 3 In definitiva: L area racchiusa da una parabola e da una retta ad essa secante è uguale a 2/3 dell area del rettangolo ABDE (dove A e B i punti di intersezione, C e E le loro proiezioni sulla retta tangente alla parabola e parallela alla secante) Area parabola = 2 Area (ABCE) 3

36 L uso del software Dopo la verifica del Teorema attraverso il software GeoGebra e la rivelazione dei dati ottenuti, gli alunni costruiscono un foglio elettronico per la simulazione del problema. Viene considerata una prima parabola con il vertice nell origine degli assi ( in ogni caso è sempre possibile eseguire una traslazione per portarla in questa posizione) ed una seconda passante per l origine. In entrambi i casi si considera una retta parallela all asse delle ascisse. Per questioni di simmetria per la parabola, nel primo caso, si è considerato solo la parte delle curva nel primo quadrante. Il foglio elettronico (n 1-n 2) viene costruito riportando in due colonne distinte i limiti ( si ottengono dall intersezione della parabola con la retta) entro cui varia il rettangolo circoscritto alla parabola, ottenuti mediante la funzione casuale(). In un altra colonna si calcolano i punti della parabola, le cui ascisse variano tra zero e l ascissa del punto d intersezione con la retta, e mediante la funzione Se() per il confronto con i punti interni al rettangolo e la funzione conta.se(), si giunge alla frequenza assoluta e successivamente a quella relativa( rapporto tra due aree).

37 SCHEDA DI LAVORO Alunno/a: Fase 4 1) Delle parabole di seguito riportate, utilizzando il software matematico GeoGebra, disegna il loro grafico ed individua l opportuna traslazione che fa coincidere il vertice con l origine degli assi cartesiani: : y = -x 2 3x 4 1 Grafico Equazione della traslazione

38 : y = x x 2 2 Grafico Equazione della traslazione : y = 3x 2 2x 1 3 Grafico Equazione della traslazione

39 2 4 : y = -2x 15 x 7 Grafico Equazione della traslazione 2) Utilizzando il software GeoGebra disegnare ciascuna coppia retta-parabola, come di seguito riportate, evidenziare la parte di piano da esse individuate ( segmento parabolico) e calcolare la sua area. P: y = x 2 4x r: y = 2x Grafico Area(segmento parabolico)=

40 P: y = 1 2 x2 2x + 3 r: y=x+ 1 2 Grafico Area(segmento parabolico)= y = x 2 + 4x 1 r: y=3x+1 Grafico Area(segmento parabolico)=

41 3) Effettua le seguenti verifiche con GeoGebra: a) Considera una coppia retta-parabola tra quelle del punto precedente ed effettua la traslazione che fa coincidere il vertice della parabola con l origine degli assi: Vettore traslazione:. Equazione della parabola traslata:.. Equazione della retta traslata:. Disegna il tutto e calcola con GeoGebra : I punti d intersezione tra retta e parabola e scrivi a fianco le loro coordinate:. L area del segmento parabolico A (segmento parabolico) =. La retta tangente alla parabola e parallela a quella data t: La distanza tra uno dei punti d intersezione e la retta tangente L area del rettangolo individuato dai punti di intersezione e dalle loro proiezioni sulla retta tangente : A (rettangolo) = Area (segmento parabolico) Area (rettangolo)... Riporta di seguito il grafico costruito con GeoGebra:

42 b) Considera l equazione traslata di cui sopra ed una retta parallela all asse x, osserva il segmento parabolico e calcola: L area del segmento parabolico A (segmento parabolico) =. L area del rettangolo in cui il segmento parabolico è inscritto A (rettangolo) = Area (segmento parabolico) Area (rettangolo)... Riporta di seguito il grafico costruito con GeoGebra: c) Considera la seguente parabola e retta L area del segmento parabolico 2 y 2x 8 x, calcola: A (segmento parabolico) =. L area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione con l asse x ed il vertice della parabola A (triangolo) = Area (segmento parabolico) Area (triangolo)... Riporta di seguito il grafico costruito con GeoGebra:

43 4) Cosa puoi concludere in base ai risultati ottenuti? : TEOREMA DI ARCHIMEDE 5) Costruire un foglio Excel che realizzi la verifica del Teorema di Archimede attraverso il Metodo Monte Carlo.

44 Obiettivi e finalità FASE 5 Ago di Buffon Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione classica; Conoscere e saper calcolare la probabilità secondo la definizione frequentista; Saper calcolare l area sottesa da una curva con il metodo Monte Carlo; Acquisire competenze nel campo informatico attraverso l utilizzo di alcuni strumenti quali GeoGebra ed Excel; Saper costruire con il foglio elettronico modelli per situazioni regolate da eventi aleatori; Tempo di svolgimento Per questa fase è prevista un unica lezione della durata di tre ore. Descrizione delle attività svolte In questa fase viene analizzata una delle applicazioni più importanti del metodo Montecarlo, detta Ago di Buffon, una questione posta nel XVIII secolo da Georges-Louis Leclerc conte di Buffon. L insegnante introduce e descrive l Ago di Buffon ( a loro già noto, perché emerso dalla ricerca svolta nella fase III) per calcolare la probabilità dell evento E: Lasciando cadere un ago di lunghezza L su un foglio con rette parallele equidistanti, qual è la probabilità che esso intersechi una delle rette?. Gli alunni, quindi, guidati dall insegnante e suddivisi in tre gruppi, sono invitati a compilare una scheda di lavoro e realizzano l esperienza con un ago,un cartoncino colorato e carta millimetrata, considerando ciascuno un piano con rette parallele ( ogni gruppo cambia solo la distanza tra esse). Attraverso l analisi dei casi favorevoli e la guida della scheda di lavoro, vengono poste le basi per implementare il foglio Excel e per calcolare la frequenza relativa dell evento. Per la parte formale, dallo svolgimento della scheda, vengono ricavati i limiti entro i quali si verifica l evento e utilizzando il GeoGebra, si calcola la probabilità come rapporto tra due aree. Con il Metodo Montecarlo, mediante la realizzazione di un foglio Excel, viene calcolata la frequenza relativa per un numero elevato di prove; dal confronto di quest ultima con l espressione della P(E), si ricava. Contenuti AGO DI BUFFON Lasciando cadere un ago di lunghezza L su un foglio con rette parallele equidistanti, qual è la probabilità che esso intersechi una delle rette? Prima di passare a considerare l uso del foglio elettronico, occorre analizzare il problema allo scopo di scoprire su quali basi costruire l algoritmo risolutivo. Assumiamo che l ago abbia una lunghezza L e che le rette parallele abbiano una distanza pari a d (vedi figura). Supponiamo, inoltre, che risulti L < d.

45 Poniamo AMC=x e HM=y con M punto medio di AB. L ago interseca una delle rette solo se risulta soddisfatta la condizione y<ac, cioè se y L sin x 2 d I limiti geometrici per y e x, sono i seguenti 0 x 0 y 2 Quindi l evento E: l ago interseca una delle rette, ammette come casi favorevoli quelli dati dalla L relazione y sin x, mentre l insieme dei casi possibili è definito dalle condizioni 2 d 0 x 0 y. Per cui il problema sarà risolto se si riuscirà a determinare la probabilità 2 L P( y sin x) 2. A tal fine si può tentare un approccio geometrico, trasformando la definizione classica di probabilità, rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di quelli possibili,in un rapporto tra aree opportunamente individuate. Interpretando geometricamente in un piano (x,y) le precedenti considerazioni, la probabilità L dell evento E, risulta il rapporto fra l area sottesa dalla curva di equazione y sin x e l area del 2 rettangolo di dimensioni π, 2 d. Nella figura seguente si vede un esempio con L=3, d=5

46 Detto questo, risulta evidente che: ovvero: L sin x dx L casi favorevoli area sottesa dalla curva 2 0 Py sin x 2 casi possibili area del rettangolo d 2 o meglio:,. Immaginando di trattare il problema senza l uso dell analisi matematica, si pone la questione del calcolo dell area sottesa dalla curva. Ecco quindi che torna comodo far riferimento al metodo Monte Carlo. In ambiente Excel si generano N punti casuali all interno del rettangolo e si contano quelli, F, che cadono al di sotto della curva. Il rapporto fra F ed N si chiama frequenza relativa (Fr) e per N crescente, tende al rapporto fra le aree delle due figure (legge dei grandi numeri ). Quindi: Fr(E) = F/N L uso del software Dopo aver realizzato l esperienza diretta attraverso il software GeoGebra e la rivelazione dei dati ottenuti, gli alunni costruiscono un foglio elettronico per la simulazione del problema. Il foglio elettronico viene costruito riportando in due colonne distinte i limiti entro cui varia il rettangolo e L la curva y senx, ciò si realizza mediante la funzione casuale(). In un altra colonna vengono 2 calcolati i punti della curva e mediante la funzione Se() per il confronto con i punti interni al rettangolo e la funzione conta. se(),si calcolano la frequenza assoluta e successivamente quella 2L relativa( rapporto tra due aree PE ( ) ). Dal confronto di quest ultima con l espressione d della frequenza relativa ottenuta per un numero elevato di prove, si ricava.

47 SCHEDA DI LAVORO Alunno/a: Fase 5 1) Utilizzando un foglio di carta millimetrata, un foglio da disegno colorato ed un ago, realizza il seguente evento E: Lasciando cadere un ago di lunghezza L su un foglio con rette parallele equidistanti, qual è la probabilità che esso intersechi una delle rette?. Ripeti l esperienza per un numero n=30 volte e calcola il rapporto numero di volte in cui si è verificato l evento Fr(E)= numero di prove effettuate Durante l esperimento,nei casi favorevoli, misura la distanza del punto medio di AB ( AB = lunghezza dell ago) dalla retta parallela intersecata (MH) e quella della punta dell ago dalla retta passante per il punto medio M e parallela alla precedente (AC). Come deve essere questa distanza e quali sono i limiti geometrici affinchè si verifichi l evento? (vedi figura, indica MH=y e con x l angolo AMC ). Compila la seguente tabella, fissata con d la distanza tra le rette parallele e con L la lunghezza dell ago.