NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI

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1 NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ALCUNE DEFINIZIONI ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o le occasioni in cui avviene un esperimento sono dette prove. Il numero di prove si indica in genere con N o n. EVENTO: è il risultato, o l esito osservabile di una prova casuale. L evento casuale è uno dei possibili esiti di un esperimento casuale. SPAZIO CAMPIONARIO: è l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento casuale, e si indica con Ω. Un qualsiasi sottoinsieme di Ω si indica con E Ω. ANALOGIE TRA GLI OGGETTI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E QUELLI DELLA STATISTICA: In Calcolo delle Probabilità: l esperimento può essere il lancio di un dado non truccato, ripetuto in n occasioni (prove); la prova è il singolo lancio; l esito (o evento) è il risultato del singolo lancio; il numero di prove è il numero di (n) lanci ripetuti. In Statistica: l esperimento coincide con la rilevazione delle informazioni su una data variabile X, su N unità statistiche (u.s.); la prova è la singola osservazione condotta su ciascuna u.s.; l esito o evento è il risultato dell osservazione, cioè la modalità (intensità o stato) k con cui la variabile X si manifesta sulla singola u.s.; il numero di prove coincide con il numero, N, di u.s. o osservazioni. ESEMPIO 1 Esperimento del lancio di un dado non truccato, una sola volta: E 1, E 2,, E 6 : si hanno sei eventi semplici, o elementari, ed equiprobabili. P(E i ) = Pr( esce la faccia con il numero i ) = 1/6 (probabilità dell evento E i ), per i = 1, 2, 6. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} è lo spazio campionario, che racchiude tutti i possibili esiti della singola prova; 1

2 A = (x < 3) = ( esce 1 o 2 ) = esce 1 oppure 2, nella singola prova : (E 1 E 2 ), evento composto (unione di due eventi semplici). E = 7: evento impossibile ( ), che non può verificarsi perché non appartiene a Ω. E = x < 7: evento certo (Ω), quello che si verifica sempre. Lo spazio campionario Ω è l insieme di tutti gli eventi semplici di un esperimento. Il numero di eventi semplici che compongono Ω è detto cardinalità dello spazio campionario e, in simboli, si indica come segue: Ω = n. Gli eventi si dicono necessari quando, in una singola prova, se ne verifica necessariamente almeno uno di essi. Due eventi si dicono incompatibili quando non si possono verificare simultaneamente. Ad esempio: in un lancio del dado non possono uscire contemporaneamente la faccia 1 e la faccia 2; in una partita di calcio gli eventi di Ω = {vittoria, pareggio, sconfitta} sono incompatibili tra loro, perché se ne può verificare solo uno dei tre. Date le definizioni suddette due eventi semplici di Ω sono tra loro necessariamente incompatibili. Due eventi che si possono verificare simultaneamente si dicono compatibili. Dati: A 1 = {1, 2}: x < 3; A 2 = {1, 3, 5}: x = numero dispari; essi sono eventi composti e compatibili se e solo se esce x = 1. Un evento A si dice intersezione, o prodotto logico, di altri due eventi A 1, A 2 Ω, quando essi si verificano simultaneamente: A = A 1 A 2 = {1} e quindi sono compatibili. Se gli eventi sono incompatibili, allora l evento intersezione è nullo: A = A 1 A 2 = Un evento E si dice unione, o somma logica, di altri due eventi A 1, A 2 Ω, quando si verifica almeno uno di essi, o soltanto uno di essi, o entrambi: A1 = {1, 2} A 2 = {1, 3, 5} E = A 1 A 2 = {1, 2, 3, 5} Un evento composto è dato dall unione di eventi semplici, ad es. E = {x = # dispari} è composto da: {1} {3} {5}. 2

3 L evento Ē si dice complementare di E, perché si verifica se e solo se non si verifica E. Infine: i. P(Ω) = 1; ii. P( ) = 0; iii. P(E i ) = 0 i; nel nostro esempio, P(E i ) = 1/6, i = 1, 2,, 6. 3

4 DEFINIZIONI DI PROBABILITÀ Esistono diverse definizioni della probabilità. Qui di seguito verranno esposte sinteticamente. DEFINIZIONE CLASSICA O A PRIORI Secondo la definizione classica di probabilità, la probabilità di un evento E, indicata con P(E), è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili. Questa definizione è spesso attribuita a Pierre Simon Laplace e quindi anche identificata definizione classica di Laplace. Se un evento E si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili e se n E di questi sono favorevoli al suo verificarsi, allora: ne P( E) =. N I casi favorevoli n E sono scelti tra quelli ugualmente possibili (equiprobabili). La definizione classica è una definizione operativa e fornisce quindi un metodo per il calcolo. Presenta tuttavia diversi aspetti negativi non irrilevanti: - dal punto di vista formale, è una definizione circolare: richiede che i casi possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò che si vuole definire; - non definisce la probabilità in caso di eventi non equiprobabili; - presuppone un numero finito di risultati possibili e di conseguenza non è utilizzabile nel caso continuo. Nelle Scienze Sociali quasi mai è possibile determinare a priori quali e quanti sono i casi favorevoli e i casi possibili, al verificarsi di un evento. DEFINIZIONE FREQUENTISTA O LEGGE EMPIRICA DEL CASO Per superare i limiti della precedente definizione di probabilità, Richard von Mises ( ) propose di definire la probabilità di un evento E come il limite cui tende la frequenza relativa, f E, dell'evento al crescere del numero delle prove, N, sotto le stesse condizioni ed un numero di volte idealmente infinito. Sotto queste condizioni allora, la frequenza relativa di E è approssimativamente uguale alla probabilità di E: n P( E) = lim E N N n dove E fe N =. In base alla legge empirica del caso, al tendere di N all infinito, l approssimazione di f E a P(E) è sempre più precisa. P(E) è anche detta probabilità empirica, o a posteriori, ed è usata quando non si conoscono a priori né il numero di casi favorevoli, né quello dei casi possibili. 4

5 Critiche all approccio frequentista: è difficilmente applicabile in presenza di eventi rari; nelle Scienze Sociali, le prove non possono essere replicate un numero infinito di volte, né nelle medesime condizioni. Per tali motivi, f E è una stima della quantità incognita P(E). DEFINIZIONE SOGGETTIVISTICA LA PROBABILITÀ DEL VERIFICARSI De Finetti e Savage hanno proposto una definizione di probabilità applicabile agli esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica. In altre parole, la probabilità che un evento si verifichi è un numero non negativo e non maggiore di 1, che esprime il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al verificarsi dell evento, in base alle proprie conoscenze. Questa definizione non si basa sulla ripetibilità di un dato processo. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DELLA PROBABILITÀ La definizione e ancora più, l impostazione assiomatica della probabilità è opera di Andrey N. Kolmogorov (1933). Come già detto, dato un qualsiasi esperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto Ω, detto spazio campionario, in cui ciascun evento è un sottoinsieme di Ω. La probabilità, p, in prima approssimazione, è quindi una misura, ovvero una funzione che associa a ciascun sottoinsieme di Ω un numero reale non negativo, p 0, tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia pari a 1. Da ciò deriva che, dato un processo che genera n risultati mutuamente esclusivi, detti eventi elementari e indicati con (E 1, E 2,, E i,, E n ): 1. la probabilità di un dato evento E i, P(E i ), è sempre un numero non negativo minore di 1, ovvero: 0 P(E i ) 1 i = 1, 2,, i,, n. Gli eventi si dicono mutuamente esclusivi se non si possono verificare contemporaneamente. Questa è la proprietà della esclusività, secondo cui tutti i possibili eventi (E 1, E 2,, E i,, E n ) non si devono sovrapporre; 2. la somma delle probabilità di tutti gli eventi mutuamente esclusivi è pari a 1: P(E 1 ) + P(E 2 ) + + P(E i ) + + P(E n ) = 1 Questa è la proprietà della esaustività, riferita al fatto che si devono considerare tutti gli eventi semplici di Ω, per il quale è noto che P(Ω) = 1. 5

6 3. Dati due qualsiasi eventi mutuamente esclusivi appartenenti a Ω, E i ed E j, la probabilità che si verifichi almeno uno dei due, o entrambi è uguale alla somma delle probabilità di verificarsi dei singoli eventi: P(E i E j ) = P(E i ) + P(E j ). 6

7 LE PROBABILITÀ NELLE TABELLE DI CONTINGENZA A 2-VIE Supponiamo di condurre un indagine su 111 soggetti, sui quali osserviamo simultaneamente due variabili qualitative: 1. la frequenza con cui fanno uso di cocaina, indicata con F e con i = 3 modalità mutuamente esclusive: F 1 : bassa; F 2 : media; F 3 : alta; 2. il genere, G, con j = 2 modalità mutuamente esclusive: G 1 : maschio; G 2 : femmina. Distribuire i 111 soggetti congiuntamente secondo i due caratteri, F e G, equivale a costruire la distribuzione di frequenza congiunta della variabile doppia (F, G), o anche F G, che da forma alla seguente tabella di contingenza: Genere M F Tot. Freq. Uso Bassa (A) Cocaina Media (B) Alta (C) Tot Nella fattispecie questa è una tabella a 2-vie del tipo 3 2, perché la variabile doppia ha 3 modalità in riga e 2 in colonna, per un totale di 6 modalità congiunte. Entro ogni cella v sono le (sei) frequenze assolute coniunte, n ij, per i = 1, 2, 3 e j = 1, 2. Ai margini sia di riga che di colonna, si trovano le frequenze marginali, o totali marginali, di ciascuna variabile, rispettivamente n i., per i = 1, 2, 3 e n.j, per j = 1, 2. Il totale delle osservazioni (111), ovvero n, è la somma dei totali marginali per riga e/o per colonna. Abbiamo precedentemente definito la probabilità attraverso un rapporto, tra casi favorevoli al verificarsi di un evento e casi possibili. Pertanto, al variare delle quantità poste a numeratore e a denominatore, variano le probabilità individuate. Infatti, dalle frequenza assolute, congiunte o marginali, quando rapportate agli opportuni totali di riferimento, si ottengono specifiche probabilità, ciascuna idonea a rispondere a precise domande, o quesiti conoscitivi. Ognuna di queste probabilità assume un nome diverso, in corrispondenza del diverso numeratore e denominatore, che devono essere identificati con correttezza. Il denominatore potrebbe essere quello più ostico da determinare. In una tabella di contingenza, per identificarlo correttamente, è necessario comprendere a quali soggetti ci si riferisce, cioè se a tutte le osservazioni della tabella, oppure ad un loro particolare sottoinsieme. LA PROBABILITÀ CONGIUNTA Se siamo interessati alla probabilità che estratto a caso un soggetto qualsiasi dal gruppo originale, questo presenti una certa modalità della prima variabile e congiuntamente una certa modalità della seconda variabile, allora, saremo interessati ad una probabilità congiunta. Facciamo riferimento alla tabella sopra illustrata. Ad esempio, potremmo chiederci: qual è la probabilità che estratto a caso un soggetto, esso sia maschio (M) e contemporaneamente faccia uso di cocaina con un alta frequenza (C)? 7

8 Per rispondere alla domanda dobbiamo individuare il numeratore e il denominatore del rapporto, cominciando, per convenienza dal denominatore. Poiché nella domanda ci si riferisce genericamente ad un soggetto, il denominatore non può che essere l intero ammontare dei soggetti osservati, ovvero n = 111. Per individuare il numeratore, invece, è necessario selezionare solo quei soggetti che soddisfano congiuntamente entrambe le condizioni indicate, ovvero che siano maschi e consumino cocaina con alta frequenza, ovvero (incrocio terza riga e prima colonna): che è nota come probabilità congiunta. P(Alta M) = n n = 111 = LA PROBABILITÀ CONDIZIONATA È frequente il caso in cui l insieme dei possibili casi di interesse (il denominatore) non sia il totale generale, ma un suo opportuno sottoinsieme, individuato in funzione di alcune specifiche e specificate caratteristiche possedute da un gruppo ristretto di casi. Per individuare, invece, il numero dei casi favorevoli (il numeratore) si procede come sopra. Le probabilità così calcolate sono dette probabilità condizionate. Sempre riferendoci alla tabella, potremmo essere interessati a conoscere: qual è la probabilità che un soggetto consumi cocaina con un alta frequenza, dato che questo è un maschio? O in altre parole: estratto a caso un soggetto tra i maschi, qual è la probabilità che consumi cocaina con un alta frequenza? P(Alta M) = n n = 75 = LA PROBABILITÀ MARGINALE La probabilità marginale attiene alla probabilità di estrarre soggetti che presentino una modalità di una soltanto delle due variabili, singolarmente presa. Pertanto, per identificare il denominatore si procede esattamente come nel caso di una probabilità congiunta, mentre il numeratore deve essere opportunamente identificato tra i totali marginali, prendendo quello che si riferisce alla modalità della variabile considerata. Se la domanda che ci si pone è, ad esempio: qual è la probabilità che estratto a caso un soggetto, questo sia maschio? P(M) = n 75.1 n = 111 = Inoltre, questa probabilità, come ogni altra probabilità marginale, è data dalla somma di tutte le probabilità congiunte della specificata modalità della variabile in oggetto con tutte le modalità dell altra variabile, ovvero per la modalità j = 1, maschio, della variabile genere congiuntamente a ogni modalità della variabile frequenza uso di cocaina, i = 1, 2, 3: 8

9 P(M) = 3 i= P( G1 Fi ) = P( G1 F1 ) + P( G1 F2 ) + P( G1 F3 ) = + + =

10 ALTRE PROPRIETÀ DELLE PROBABILITÀ LEGGE DEL PRODOTTO O PRINCIPIO DELLE PROBABILITÀ COMPOSTE Sia A un evento la cui probabilità di verificarsi è P(A) > 0. Si definiscono prove condizionate da A quelle che si verificano soltanto dopo che A si è verificato. Allora, la probabilità condizionata dell evento B dato A è: P( B A) = P( A B) P( A) posto P(A) 0. Analogamente, la probabilità condizionata dell evento A dato B è: P( A B) = P( A B) P( B) posto P(B) 0. La legge del prodotto permette di calcolare una probabilità da altre probabilità. Ad esempio, la probabilità congiunta può essere determinata come: P(A B) = P(B A) P(A) per P(A) 0, oppure come: P(A B) = P(A B) P(B) per P(B) 0. Se i due eventi sono indipendenti, allora il verificarsi del primo lascia inalterata la probabilità di verificarsi del secondo. In tal caso, le probabilità condizionate diventano, rispettivamente: e quindi: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) = P(A) P(B) per P(A) 0 e P(B) 0. Ovvero, se i due eventi considerati sono indipendenti, allora, la probabilità congiunta è uguale al prodotto delle due probabilità marginali. Verificare se P(M C) = P(M) P(C). 10

11 LEGGE DELLA SOMMA O PRINCIPIO RISTRETTO DELLE PROBABILITÀ TOTALI Attiene alla probabilità che si verifichi uno di due eventi, A e B, oppure entrambi. Tale probabilità è quella dell unione di due eventi: P(E) = P(A B). Sappiamo già, che quando gli eventi sono mutuamente esclusivi o incompatibili, allora: Quando invece non lo sono: P(E) = P(A B) = P(A)+P(B). P(E) = P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). ES: se estraiamo a caso un soggetto dai 111, qual è la probabilità che esso sia maschio (M) o abbia usato cocaina con frequenza elevata (C), o entrambe le cose? P(E) = P(M C) = P(M)+P(C) P(M C). 11