RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Fondamenti di Segnali e Trasmissione Risposta in requenza e banda passante La risposta in requenza di un sistema LTI e la trasormata di Fourier della risposta all impulso h(: ( τ exp{ j π τ} dτ H( = h 2 e ci dice come vengono modiicate ampiezza e ase iniziale di un esponenziale complesso di requenza applicato all ingresso del sistema: La risposta in requenza ci consente d introdurre il concetto di banda passante di un sistema LTI (tipicamente un canale di trasmissione. Il modulo della risposta in requenza avra valori piu elevati in una banda di requenze (detta banda passante e relativamente piu bassi alle altre requenze. All uscita del sistema LTI, gli esponenziali complessi con requenza compresa nella banda passante del sistema avranno ampiezza molto maggiore di quelli con requenza esterna a tale banda. Per cui si dice che i primi passano attraverso il sistema, mentre i secondi no. 2 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

2 Legame ra TDF di ingresso e uscita Ricordando la proprieta della TDF secondo la quale la TDF della convoluzione di due segnali e uguale al prodotto delle trasormate, si ottiene il seguente semplice legame tra: - X(: TDF dell ingresso x( 2 - Y(: TDF dell uscita y( 3 - : TDF della risposta all impulso h( del sistema LTI Y ( = H( X ( Attenzione: non e sempre vero che la risposta in requenza si puo ottenere come rapporto tra le TDF dell uscita e dell ingresso. Inatti, in corrispondenza delle requenze per cui X(=0, anche Y(=0 qualsiasi sia il valore di. 3 Fondamenti di Segnali e Trasmissione Risposta in requenza del iltro reale passa-basso Quando la risposta in requenza ha ampiezza diversa da zero solo in una banda di requenze simmetrica rispetto all origine, il sistema LTI viene detto iltro passa-basso. Un iltro passa-basso ideale con requenza di taglio c ha come risposta in requenza un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2 c. sin2π ct h( = π t - c c La risposta all impulso e quindi un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di / 2 c 4 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

3 Risposta in requenza del iltro reale passa-alto Quando la risposta in requenza ha ampiezza diversa da zero solo a requenze superiori a c (requenza di taglio e, simmetricamente, ineriori a - c, il sistema LTI viene detto iltro passa-alto. Un iltro passa-alto ideale con requenza di taglio c ha come risposta in requenza una costante unitaria meno un rettangolo di ampiezza unitaria e base 2 c. - c c La risposta all impulso e quindi data da un impulso di area unitaria δ( meno un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di / 2 c 5 Fondamenti di Segnali e Trasmissione Risposta in requenza del iltro reale passa-banda Quando la risposta in requenza ha ampiezza diversa da zero solo in due bande di requenza centrate intorno alla requenza o (requenza centrale e, simmetricamente, intorno alla requenza - o, il sistema LTI viene detto iltro passa-banda. Un iltro passa-banda ideale con requenza centrale o e banda passante 2 c, ha come risposta in requenza due rattangoli di ampiezza unitaria e base 2 c centrati intorno alle requenze + o e - o,. - o - c - o - o + c o - c o o + c La risposta all impulso e quindi data da un seno cardinale con gli zeri posizionati a tempi multipli interi di / 2 c moltiplicato per 2cos2π o t 6 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

4 Filtro passa-basso x( Y ( = H ( X ( Le componenti del segnale rapidamente varianti nel tempo (ad alta requenza vengono eliminate dalla risposta in requenza del iltro passa-basso H ( y( 7 Fondamenti di Segnali e Trasmissione Filtro passa-alto x( Y ( = H ( X ( Le componenti del segnale lentamente varianti nel tempo (a bassa requenza vengono eliminate dalla risposta in requenza del iltro passa-alto H ( y( 8 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

5 Densita spettrale di energia attraverso sistemi LTI Riassumendo quanto visto in precedenza, un sistema Lineare Tempo-Invariante e descritto nei tempi dalla sua risposta all impulso e nelle requenze dalla sua risposta in requenza. Il legame ingresso uscita e il seguente: TEMPO x ( y( h( FREQUENZA X ( ( X ( H( Y = Come viene modiicata la densita spettrale di energia di un segnale quando passa attraverso un sistema Lineare Tempo-Invariante? X( 2 ( 2 X( 2 H( 2 Y = 9 Fondamenti di Segnali e Trasmissione