Figura 1. Prima pagina del New York Times del 16 Aprile 1912.

Transcript

1 Figura 1. Prima pagia del New York Times del 16 Aprile Aalisi cogiuta di più feomei Siora ci siamo occupati dello studio di distribuzioi per sigoli feomei statistici. Ne abbiamo studiato alcui valori caratteristici e le possibili rappresetazioi grafiche. Abbiamo ache visto come i alcui casi sia stato possibile, oché utile, effettuare cofroti tra distribuzioi relative allo stesso carattere su diverse popolazioi di idividui o di diversi caratteri rilevati sulle stesse uità. Il passo successivo e aturale è quello di vedere se esistoo legami tra due (o più) feomei rilevati cogiutamete sugli stessi idividui. Ad esempio, il peso degli idividui dipede dalle loro abitudii alimetari? Oppure, l icideza di tumori al polmoe è prevalete egli idividui fumatori? Acora, due feomei si maifestao i u particolare modo sugli idividui, per effetto del caso oppure perché esiste ua regolarità (di tipo statistico) o direttamete rilevabile? Ebbee, ci occuperemo ora di vedere come costruire u primo idice per misurare il legame tra due feomei statistici qualsiasi. Partiamo co u esempio: il disastro del Titaic! Comiciamo dalla fie, cioè co il rapporto ufficiale di Lord Mersey, il parlametare icaricato dell ichiesta sul disastro del trasatlatico. Ichiesta dalla quale soo tratte 1

2 2 le tabelle e i dati ufficiali riportati qui e i altri testi. Dal testo che segue si capisce quale sia la materia del cotedere: Rapporto di Lord Mersey: Note del Parlameto Britaico, Icideti della Navigazioe (Perdita della Nave a vapore Titaic), 1912, cmd. 6352, Rapporto dell Idagie Ufficiale sulle circostaze dell affodameto del 15 Aprile 1912, della Nave a Vapore Titaic, di Liverpool, a seguito della collisioe co ghiaccio ei pressi di Latitudie N, Logitudie O, Oceao Atlatico del Nord, i cui si ebbero perdite di vite umae (Lodra: Ufficio del Registro di Sua Maestà, 1912) (...) Si era sospettato prima dell iizio dell idagie stessa che i passeggeri di terza classe fossero stati trattati i modo discrimiatorio; che fosse stato loro impedito l accesso ai poti superiori; e che, quado ifie raggiusero i poti, fu data precedeza di accesso, ai mezzi di salvataggio, ai passeggeri di prima e secoda classe. No è apparsa alcua evideza a riguardo di queste illazioi. No vi soo dubbi che la proporzioe di passeggeri di terza classe salvati sia stata be iferiore a quella dei passeggeri di prima e secoda, ma questa sembra essere dovuto alla reclutaza dei passeggeri di terza classe ell abbadoo della ave, a causa della loro ostiazioe el voler portare co loro i bagagli, e da altri simili accadimeti. Gli iteressi dei pareti di alcui dei passeggeri di terza classe che soo morti soo stati curati da Mr. Harbiso, che ha seguito l ichiesta per loro coto. Egli afferma alla fie del suo discorso alla corte quato segue: Vorrei affermare i modo etto che o è emersa alcua evideza, ell ambito di questa ichiesta, a sostego dell ipotesi che o si sia fatto abbastaza per salvare i passeggeri di terza classe... Desidero ioltre dire che o c è alcu elemeto a suffragio del fatto che, o appea giuti ai poti, ci siao state discrimiazioi da parte degli ufficiali o dei mariai ei loro cofroti per ciò che cocere l accesso ai mezzi di salvataggio. Mi ritego soddisfatto della spiegazioe che l elevata proporzioe di perdite o deve essere ricercata ella discrimiazioe dei passeggeri di terza classe. Essi o soo stati discrimiati. Cerchiamo ora di iterpretare attraverso i dati reali cosa è accaduto e se ci possiamo riteere soddisfatti delle coclusioi cui soo arrivate le idagii. La Tabella 1 o è esattamete quello che siamo abituati a vedere, si tratta ifatti di ua tabella a 4 vie, cioè ua tabella i cui soo stati rilevati 4 caratteri: la classe del passeggero, il sesso, l età e lo status (morto/sopravvissuto). La tabella è comuque di facile lettura: ad esempio, i prima e secoda classe o ci soo state vittime tra i bambii, metre i terza ve e soo stati 35. La prima cosa che possiamo chiederci è se l adagio prima le doe e i bambii sia stato rispettato i questa tragica occasioe. Possiamo costruire ua uova tabella i cui riportiamo i morti per sesso raccogliedo i bambii i u uica categoria. Dalla Tabella 2 emerge come il 74% delle doe siao state salvate, metre solo il 20% degli uomii ce l ha fatta. I mezzo ci soo i bambii, co il 52% di sopravvissuti.

3 ANALISI CONGIUNTA DI PIÙ FENOMENI 3 Morti Sopravvissuti Classe Sesso Età 1 a Uomii Bambii 0 5 Adulti Doe Bambii 0 1 Adulti a Uomii Bambii 0 11 Adulti Doe Bambii 0 13 Adulti a Uomii Bambii Adulti Doe Bambii Adulti Equipaggio Uomii Bambii 0 0 Adulti Doe Bambii 0 0 Adulti 3 20 Tabella 1. Dati relativi al disastro del Titaic. Alcue foti riportao u totale di 712 sopravvissuti: 712 soo stati i aufraghi raccolti dalla Carpathia, ma uo di loro morì lugo la rotta verso New York. Nella tabella qui sopra viee coteggiato tra i morti. Sopravvissuti % Totali imbarcati Bambii 52% 109 Doe 74% 425 Uomii 20% % 2201 Tabella 2. Distribuzioe (relativa) dei morti per sesso. Come si vede il motto prima le doe (74%) e i bambii (52%) è stato rispettato. Cosa possiamo dire dell effetto della variabile classe? Osserviamo i dati della Tabella 3. Possiamo otare che le doe di terza classe hao u tasso 1 di sopravviveza che è il 41% più elevato di quello degli uomii di prima classe. Gli uomii di terza classe hao ivece u tasso di sopravviveza che è pari al doppio di quello degli uomii di secoda classe. Come si vede quidi la variabile classe o sembra essere così direttamete legata alla percetuale di sopravvissuti. Sembrao ivece avere molta più iflueza il sesso e l età sul tasso di sopravviveza. Ifatti, la maggior parte della disparità tra i tassi 1 Più correttamete si dovrebbe parlare di percetuale di sopravvissuti e o di tasso di sopravviveza ma, per comodità d espressioe, usiamo il termie tasso ache se i statistica il cocetto di tasso è u cocetto a se state.

4 4 Categoria Sopravvissuti (%) Uomii, 2 Classe 8.33 Uomii, 3 Classe Uomii, Equipaggio Uomii, 1 Classe Bambii, 3 Classe Doe, 3 Classe Doe, Equipaggio Doe, 2 Classe Doe, 1 Classe Bambii, 1 Classe Bambii, 2 Classe Tabella 3. Tassi di sopravviveza (o precetuali di sopravvissuti) per diverse categorie di imbarco. di sopravviveza della prima e della terza classe sembra potersi attribuire al solo sesso. Perché accade questo? È abbastaza semplice capire che il problema è el modo i cui soo distribuite le doe tra le classi: il 44% dei passeggeri di prima classe soo doe metre solo il 23% dei passeggeri di terza lo soo. Quidi, poiché il tasso di sopravviveza delle doe (74%) è più elevato di quello degli uomii (20%) ci si doveva aspettare u maggiore frequeza tra i sopravvissuti i prima classe (dove ci soo più doe) che i terza classe (dove la maggior parte degli imbarcati è di sesso maschile). I coclusioe, quato stiamo dicedo, è che la differeza elle percetuali di sopravviveza ella prima e terza classe soo dovute i realtà al sesso e all età più che alla classe stessa, poiché le due variabili sesso ed età si distribuiscoo diversamete all itero delle tre classi. Vedremo più tardi se le argometazioi fi qui sosteute, che costituiscoo la sitesi di quato coteuto el rapporto Mersey, soo cofermate dall utilizzo di u opportuo idice statistico. Prima però di itrodurre l idice, vediamo di demitizzare alcui luoghi comui sul disastro del Titaic. Quello che più frequetemete viee affermato, a secoda delle tesi che si voglioo sosteere, soo cose (statisticamete false) del tipo: 1) Tra i sopravvissuti, il umero di bambii di terza classe è circa 4 volte quello dei bambii di prima (Certo! Però i terza classe e soo sopravvissuti il 34.17% a frote di u 100% di quelli di prima!) 2) Sopravvissero più uomii che doe (Vero ache questo, ma i totale solo il 20% degli uomii se la cavaroo a frote di u 74% delle doe. Il fatto è che a bordo erao imbarcati più uomii che doe) 3) Gli uomii di secoda classe sopravvissero i umero doppio ai bambii di prima (Sì! Solo che i bambii di prima classe sopravvissero tutti, metre degli uomii di secoda classe e restaroo i vita l 8.33%)

5 1. LA CONNESSIONE 5 Avedo già comiciato a pesare i termii statistici ci può apparire come superfluo discutere frasi come quelle appea viste. Dovrebbe essere chiaro a tutti, che i molti cotesti, i umeri soo presetati per sosteere tesi spesso ifodate (i buoa o cattiva fede). La sesibilità (o l ituizioe) statistica dovrebbe permettere di discrimiare se i dati presetati siao la sitesi di quato è realmete accaduto oppure se siao solo l esposizioe di ua tesi precocetta. Si oti, che tutte le affermazioi di sopra soo cofutabili perché si riferiscoo al fatto che vegoo valutati i umeri assoluti e o quelli relativi e, soprattutto, perché avviee ua sistematica quato errata trasposizioe dei risultati relativi ad u gruppo co quelli di altri. Alla fie della lezioe precedete abbiamo appreso quali siao le relazioi tra le medie (e variaze) dei gruppi co la media (e variaza) geerale. Ifatti, le formule viste si basao sull idea di pesare le iformazioi dei sigoli gruppi co le umerosità dei gruppi stessi. Per cocludere la viceda del Titaic 2 ricordiamo che a bordo erao imbarcate 2201 persoe, ma i mezzi di salvataggio a disposizioe, potevao salvare solo 1184 persoe, cioè poco più della metà (54%)! Il Titaic era la secoda delle tre avi che sarebbero state varate dalla White Star Liers. La prima, varata el 1910 si chiamava Olympic. A seguito del disastro vee ricovertita e furoo aggiorati i sistemi di sicurezza provvededo ad istallare scialuppe di salvataggio per tutte le persoe imbarcate. Requisita dalla Maria Brittaica el 1915, vee impiegata i guerra mascherata (dipita di biaco co ua grossa croce rossa sul fiaco) come ave ospedale. Famoso è l affodameto da parte dell Olympic del sommergibile tedesco U103. Nel 1935, a seguito di ua collisioe co u altra imbarcazioe, fece il suo ultimo viaggio verso Southampto i attesa della demolizioe avveuta el La coessioe Itroduciamo ora delle otazioi che ci servirao per leggere correttamete i dati relativi a più variabili e a costruire u idice statistico per misurare il grado di legame tra due feomei. La Tabella 4 è ua rappresetazioe simbolica di ua tabella a doppia etrata o tabella di cotigeza per due geerici feomei X ed Y. Vedremo subito u esempio di come si costruisce ua tale tabella, ma la lettura dovrebbe essere chiara a tutti. L idea di ua tabella di questo tipo è quella di cotare quate volte ua particolare coppia di valori (x i, y j ) si preseta sugli idividui, questo umero è la frequeza cogiuta e viee idicata, i modo ovvio, co il simbolo ij. 2 Quado si dice il caso. Nel 1898, Morga Robertso scrisse u raccoto breve dal titolo Futilità. Il raccoto riguardava il Tita, ua ave, affodata a seguito della collisioe di u iceberg co ua grossa perdita di vita umae. Ache Tita era ua ave Britaica salpata i Aprile, velocità massima di crociera odi co capacità di imbarco di 3000 passeggeri (come il Titaic) ma co a bordo solo 2000 persoe. Ache il Tita, come il Titaic, aveva ua lughezza di piedi ed ua propulsioe a tre motori. I tecici dell ichiesta imputaroo all eccessiva velocità di crociera del Titaic le cause reali della tragedia. Ache Robertso el suo raccoto adduceva questa come causa dell affodameto del Tita.

6 6 Y y 1 y 2 y j y k X x j 1k 1. x j 2k 2... x i i1 i2 ij ik i... x h h1 h2 hj hk h..1.2.j.k Tabella 4. Distribuzioe di frequeza doppia o tabella di cotigeza (a doppia etrata). Y S B O X S B O Tabella 5 Prediamo il seguete esempio: su u gruppo di 15 idividui è stato effettuato u test per rilevare l attitudie musicale (X) e quella pittorica (Y ) secodo la seguete scala di modalità: sufficiete (S), buoa (B) e ottima (O). I risultati soo riportati di seguito: X O O S B S O B B S B O B B O S Y O B B B S S O O B B O S B S B Il primo passo da fare è costruire la tabella a doppia etrata. Per prima cosa dobbiamo idetificare quali soo le modalità di X e quali soo quelle di Y. Nel caso specifico si tratta, per etrambi i feomei, di x 1 = y 1 = S, x 2 = y 2 = B e x 3 = y 3 = O. La tabella avrà quidi tre righe per X e tre coloe per Y. Per costruire la tabella comiciamo a cotare quate volte compaioo le coppie di valori. Partiamo dalla coppia (X = S, Y = S): solo il 5 idividuo preseta la coppia (S,S). Iseriamo il valore all icrocio della prima riga e prima coloa, cioè 11 = 1. Facciamo acora u coteggio: scegliamo la coppia (X = S, Y = B). Gli idividui che presetao la coppia di valori soo il terzo, il oo e l ultimo. Quidi 12 = 3. E così via. La tabella defiitiva è la 5. Ua volta completata la tabella a doppia etrata è sempre bee verificare che il totale geerale sia pari al totale delle osservazioi, cioè, che el ostro caso è 15. La prima riga della tabella (y 1, y 2,..., y k ) e l ultima riga (.1,.2,...,.k ) di ua tabella di cotigeza è chiamata distribuzioe di frequeza margiale di Y, che altro o è se o la distribuzioe di frequeza di Y. Aalogamete, la prima coloa della tabella (x 1, x 2,, x h ) e l ultima

7 1. LA CONNESSIONE 7 coloa ( 1., 2.,, h. ) formao la distribuzioe di frequeza margiale di X che, ache i questo caso, è semplicemete la distribuzioe di frequeza di X. Si oti che le frequeze di X soo state idicate co i. dove il. viee usato come otazioe per idicare che si è eseguita la sommatoria dei valori rispetto al secodo idice j, cioè Distribuzioe margiale di X (x i, i. ) Ad ogi valore x i di X associamo la frequeza margiale i. otteuta come somma per riga k i. = i1 + i2 + + ik = e aalogamete per il feomeo Y j=1 ij Distribuzioe margiale di Y (y j,.j ) Ad ogi valore y j di Y associamo la frequeza margiale.j otteuta come somma per coloa h.j = 1j + 2j + + hj = Abbiamo quidi idetificato 2 distribuzioi margiali ed ua distribuzioe di frequeza cogiuta, quella composta dalle coppie di valori (x i, y j ) co frequeza ij. Rimembrado i rudimeti di probabilità possiamo idetificare le frequeze cogiute i termii del itersezioe di due eveti, cioè ij cota quate volte si verifica la codizioe (X = x i ) (Y = y j ) ovvero (X = x i ) e cotemporaeamete (Y = y j ). Per avere u iterpretazioe più diretta, si può pesare di dividere tutte le frequeze ella tabella per, i modo tale che il totale sia 1, cioè possiamo ragioare i termii di frequeze relative cogiute come siamo abituati a fare el caso di u solo feomeo statistico. Tutte le righe e coloe itere alla tabella soo le frequeze che competoo a quelle che soo chiamate distribuzioi codizioate. Ache i questo caso il legame co il codizioameto i ambito probabilistico è immediato. Cosideriamo la prima riga itera della Tabella 5 Y S B O X = S Quella che abbiamo scritto qui sopra è la distribuzioe di Y limitatamete (cioè, codizioatamete) al sottogruppo di idividui che presetao il valore X = S. Cioè abbiamo evideziato la distribuzioe codizioata di Y ad X = S che si può idicare come Y X = S. Costruiamo di seguito le segueti due distribuzioi Y X = O e X Y = S. La frequeze della distribuzioe di Y codizioata ad X = O si trovao ella terza riga della tabella metre quelle di X codizioata ad Y = S soo ella prima coloa. Quidi i=1 ij

8 8 Y X = O S B O j i= X Y = S S 1 B 1 O 2 4 i j=1 Per leggere le distribuzioi codizioate i termii statistici coviee passare alle frequeze codizioate relative. Idichiamo co f ij = ij / le frequeze cogiute relative e co f.j =.j / e f i. = i. / rispettivamete le frequeze relative margiali di Y e di X. Le frequeze codizioate relative si ottegoo dividedo ogi frequeza codizioata per il totale (di riga o coloa). Nel caso delle due distribuzioi più sopra otteiamo X Y = S f i j=1 = i j=1 Y X = O S B O f j i=3 =.1 j i=3 S 1/4 2/5 1/5 2/5 3. B 1/4 O 2/4 1 Costruiamo ora tutte le distribuzioi codizioate di X e di Y separatamete i due tabelle Codizioate di Y ad X Codizioate di X ad Y Y S B O X = S 1/4 3/4 0 1 X = B 1/6 3/6 2/6 1 X = O 2/5 1/5 2/5 1 X Y = S Y = B Y = O S 1/4 3/7 0 B 1/4 3/7 2/4 O 2/4 1/7 2/ Osserviamo le distribuzioi codizioate di Y. Si ota che le tre distribuzioi soo tutte diverse. Se, viceversa, fossero tutte uguali vorrebbe dire che il risultato della prova Y o dipede da quato otteuto ella prova X. Al cotrario ua certa forma di dipedeza deve esistere. Si oti che predere S ella prova X implica che ella prova Y o si possa otteere u puteggio O. Possiamo quidi ora itrodurre il cocetto di idipedeza. L idea è la seguete: se tutte le distribuzioi codizioate soo uguali (per riga e coseguetemete per coloa) allora il presetarsi di ua particolare modalità di u feomeo, o è ifluezata dal presetarsi dell altro. Se tutte le distribuzioi codizioate di X soo uguali, allora soo ecessariamete uguali alla distribuzioe margiale di X. Viceversa, se tutte le distribuzioi codizioate di Y soo uguali tra loro, allora esse soo ecessariamete uguali alla distribuzioe margiale di Y. I simboli ciò vuol dire che, per le distribuzioi codizioate di X si ha ( freq. rel. cod. di X ad Y = y j ) ovvero ij = i..j ij = i..j ( ) freq. marg. X

9 e per le distribuzioi codizioate di Y si ha ( freq. rel. cod. di Y ad X = x i ) 1. LA CONNESSIONE 9 ij =.j i. ( ) freq. marg. Y ovvero, acora ua volta, ij = i..j I sitesi, se i feomei X ed Y soo idipedeti tra loro, la frequeza cogiuta ij deve essere pari al prodotto delle frequeze margiali ( i..j ) fratto il totale delle osservazioi. Codizioe di idipedeza tra X ed Y Se X ed Y soo idipedeti, si deve verificare che ij = ij = i..j per ogi i = 1,..., h j = 1,..., k A questo puto viee aturale costruire u idice per misurare quato le frequeze cogiute di ua tabella di cotigeza ij siao vicie (o lotae) a quelle (che ora chiameremo teoriche) di idipedeza ij. Si chiamao cotigeze le distaze c ij = ij ij. L idice che viee poposto i letteratura si chiama χ 2 (Chi-quadro) ed è costruito come segue χ 2 = h i=1 ( k ij ij) 2 ( h = j=1 ij i=1 k j=1 2 ij i..j 1 come si vede l idice è costruito per valere 0 quado le frequeze osservate ij e quelle teoriche ij coicidoo, cioè X ed Y soo idipedeti. Viceversa sarà u umero positivo. Per risolvere il problema di capire quado u valore positivo sia realmete dovuto ad u effettiva forma di dipedeza tra X ed Y si divide l idice per il suo massimo che è legato al umero di righe e di coloe della tabella. Ifatti, χ 2 max = max χ 2 = mi(h 1, k 1) L idice da impiegare sarà quidi dato dalla formula 0 χ 2 = χ2 1 χ 2 max Per il calcolo dell idice χ 2 si può ricorrere ad ua formula veloce che è quella che useremo egli esercizi Idice χ 2 (relativo) di coessioe h k 2 ij i..j 1 χ 2 i=1 j=1 = mi(h 1, k 1) )

10 10 Calcoliamo l idice relativo di coessioe per il ostro esempio: 1 2 χ = = = Essedo u valore vicio a 0 possiamo riteere che, se vi è u legame, esso è debole e siamo prossimi ad ua codizioe di idipedeza. Riprediamo il dati del Titaic e verifichiamo se il umero di morti è legato più al sesso, all èta o alla classe di imbarco costruedo 3 tabelle e i tre relativi idici χ 2. χ 2 = χ 2 = Età Morti Sopravvissuti Totale Bambii Adulti = Sesso Morti Sopravvissuti Totale Uomii Doe = Classe Morti Sopravvissuti Totale Prima Secoda Terza Equipaggio χ = = Tabella 6. Come si vede la variabile Sopravviveza (o morte) sembra essere ifluezata più dal sesso ( χ 2 = 0.21) che o dalla classe ( χ 2 = 0.09) o dall età ( χ 2 = 0.009).

11 1. LA CONNESSIONE 11 Prima di lasciarci co degli esercizi aggiutivi, riprediamo acora ua volta la formula delle frequeze cogiute el caso di idipedeza che possiamo riscrivere così ij = i..j ij = i..j f ij = f i. f.j F requeza(x = x i Y = y j ) = F req(x = x i ) F req(y = y j ) che è esattamete la defiizioe di idipedeza vista el calcolo delle probabilità co la frequeza relativa sostituita alla probabilità di eveti. Vedremo ella secoda parte del corso, i cui applicheremo le teciche statistiche solo i preseza di campioameto, che quelle frequeze sarao effettivamete sostituite co delle probabilità Perfetta coessioe. Ci soo alcui casi particolari che è bee mettere i evideza, i particolare per ciò che riguarda la codizioe di massima coessioe. Metre l idipedeza è u cocetto simmetrico (se X è idipedete da Y allora è vero ache il viceversa), possoo esistere differeti forme di dipedeza che o godoo di simmetria. Quello che abbiamo cercato di aalizzare ella viceda del Titaic è proprio verificare se la variabile sopravviveza fosse o meo ifluezata dalle altre variabili. Sicuramete, o avrebbe avuto seso studiare la relazioe iversa. Questo è vero i molti cotesti. Si osservi la tabella seguete Y y 1 y 2 y 3 X x x x dove co abbiamo idicato ua frequeza positiva. Ua tabella del geere è idice di ua forma di dipedeza massima. Ifatti X si preseta co il valore x 1 se e solo se Y assume il valore y 1, metre si preseta co valore x 2 solo quado Y assume il valore y 3 e ifie, co valore x 3 per Y = y 2. Quella è quidi ua tabella di massima coessioe. Ma possoo presetarsi casi più isidiosi come quelli che mostriamo di seguito: Y y Y y 1 y 2 y 1 y 2 3 X X x x x x x 3 0 (a) (b) Sia la tabella (a) che la (b) soo tabelle di massima coessioe ma soo strutturalmete differeti da quella vista i precedeza. La prima cosa evidete è che si tratta di tabelle rettagolari, cioè co u umero di righe e coloe differete. Aalizziamo la tabella (a): quado X = x 1 allora Y assume solo il valore y 1 ma quado X = x 2, Y può assumere

12 12 sia il valore y 2 che y 3. Questo escluderebbe ua relazioe diretta. Ma leggiamo la tabella al cotrario: quado Y = y 1 otiamo che X assume solo il valore x 1, quado Y = y 2 allora X = x 2 e ifie per Y = y 3 si ha X = x 2. Quidi, metre X = x 2 lo trovo i corrispodeza di due valori di Y, il viceversa o è vero: per ogi valore di Y io trovo u solo valore di X diverso da 0. Questo ci dice che X dipede dai valori assuti da Y ma o è vero il viceversa, si dice quidi che X è massimamete coessa ad Y. I altre parole, se so quato vale Y posso dire subito quato vale X, metre se so quato vale X o posso dire quato vale Y. Discorso aalogo per la tabella (b): Y è massimamete coessa ad X. Per idetificare ua tabella di coessioe bastao quidi queste semplici regole i) Se la tabella è quadrata e ad ogi icrocio di riga e coloa c è u solo valore diverso da 0, allora si tratta di ua tabella di massima coessioe; ii) Se la tabella è rettagolare e accade che tutte le distribuzioi codizioate di X ad Y soo degeeri (cioè hao u solo valore diverso da 0) allora X è massimamete coessa ad Y (caso (a)); iii) Se la tabella è rettagolare e accade che tutte le distribuzioi codizioate di Y ad X soo degeeri (cioè hao u solo valore diverso da 0) allora Y è massimamete coessa ad X (caso (b)). I ogi caso, i preseza di massima coessioe l idice χ 2 vale sempre 1. I geerale sappiamo cocludere qualche cosa se osserviamo l idice χ 2 = 0 (idipedeza) e χ 2 = 1 (massima coessioe) ma qualsiasi altro valore dell idice è piuttosto difficile da valutare o sapedo bee come si muova l idice all itero dell itervallo (0,1). Alla fie del corso utilizzeremo u metodo oggettivo per valutare quato vicii a 0 (o lotai) ci troviamo co il valore dell idice Esercizi riepilogativi. Esercizio 1. Si cosiderio i feomei X ed Y, dove X assume le itesità 0 ed 1 co frequeza pari a, rispettivamete, 0.4 e 0.6. Le distribuzioi relative di Y X = x soo: Y X = f j i= Y X = f j i= Determiare la tabella a doppia etrata delle frequeze relative cogiute di X ed Y. Il testo ci dice che la margiale relativa di X assume la seguete forma X f i. = i ricordado che la margiale relativa f i. di X si ottiee tramite l operazioe f i. = i.. Al cotempo dispoiamo ache delle due distribuzioi di frequeza relative codizioate di

13 Y. Ricordiamo che f j i = ij i. relative, cioè le quatità A questo puto basta otare che 3 1. LA CONNESSIONE 13 Quello che vogliamo ricavare soo le frequeze cogiute f ij = ij f j i f i. = ij i. i. = ij = f ij che è proprio ciò che cerchiamo. Quidi per otteere f 12 basta moltiplicare la frequeza relativa codizioata f j=2 1 per la margiale relativa di X corrispodete f 1.. La tabella fiale assumerà quidi l aspetto seguete: Y X Esercizio 2. U gruppo di 20 studeti ha effettuato due gare sportive riportado le segueti classifiche: Gara Gara Gara Gara Sia X il risultato della prima gara ed Y quello della secoda. Dopo aver determiato per etrambe le gare la mediaa Me(x) ed Me(y) completare la seguete tabella: X 1 x Me(x) x > Me(x) Y 1 y Me(y) y > Me(y) Calcolare l idice di coessioe χ 2 commetado il risultato. Comiciamo co il calcolo della mediaa. Sappiamo che = 20 quidi cerchiamo le x e le y che occupao le posizioi /2 = 10 e /2 + 1 = 11. I dati del feomeo X soo già ordiati e si vede subito che Me(x) = Per il calcolo della mediaa di Y dobbiamo prima ricordarci di ordiare i dati. Quidi Y : y (10) y (11) e duque y (10) = 10 metre y (11) = 11, quidi la mediaa è acora pari a La tabella defiitiva assumerà le sembiaze: 3 L espressioe è aaloga al caso probabilistico P (A B) P (B) = P (A B) solo riscritta i termii di frequeze relative F req.(y = y j X = x i ) F req.(x = x i ) = F req.(y = y j e X = x i ).

14 14 Y X 1 x 10.5 x > y y > Calcoliamo quidi χ 2 come visto i precedeza. χ 2 = = (1 + 81) = = = 0.64 che idica ua moderata coessioe tra le prestazioi elle due gare. Esercizio 3. Di 20 uclei familiari è stato registrato lo stato civile del capofamiglia ( Y ) e il umero di bambii (X). I dati soo riportati i tabella: Nucleo Y C C C C C C C Ce C D X Nucleo Y Ce C C C Ce C C C D C X a) Costruire la tabella a doppia etrata di X ed Y cosiderado come valori di X : 0. 1 e più di 1; b) costruire la tabella di idipedeza; c) costruire ua tabella di massima coessioe, teedo fissa la distribuzioe margiale di X, e verificare che χ 2 max = mi{h 1, k 1}. Qui si devoo semplicemete cotare i valori co cui compaioo le coppie di dati per i due feomei e raccogliere il tutto i ua tabella doppia etrata che assumerà il seguete aspetto: a) tabella a doppia etrata X 0 1 > 1 Y C Ce D b) Questa o è sicuramete ua tabella di idipedeza poiché alcue frequeze cogiute soo ulle. Per costruire la tabella di idipedeza si cosiderao le frequeze cogiute ij = i..j

15 cioè Ad esempio 1. LA CONNESSIONE 15 totale di riga per totale di coloa fratto umerosità totale. 11 = 1..1 Otteiamo la seguete tabella Y = = 1, 5 X 0 1 > 1 C Ce D Già che ci siamo, calcoliamo ache la tabella delle cotigeze c ij = ij ij. Y X 0 1 > 1 C Ce D Ricordiamo che il valore di χ 2 si otterrebbe sommado i valori c 2 ij ij u operazioe luga e oiosa che abbiamo visto può essere sostituita da u calcolo più rapido che svolgeremo el puto c). c) La tabella di massima coessioe si ottiee sistemado i valori all itero della tabella i modo tale che ad ogi icrocio di riga e coloa vi sia u solo valore diverso da zero teedo fissa la distribuzioe margiale di X. Nel ostro caso si ottiee X 0 1 > 1 Y C Ce D Il massimo valore dell idice è pari a: mi( righe 1, coloe 1) = 20 mi(2, 2) = 40

16 16 Verichiamo che per la tabella di massima coessioe vale χ 2 = 40. Ifatti si ha ( h ) k 2 ( ) χ 2 ij 15 2 = 1 = 20 i..j i=1 j=1 = 20 (3 1) = Verifica di ipotesi di idipedeza. Se abbiamo ua tabella di cotigeza abbiamo visto che è sempre possibile calcolare il valore di χ 2 per studiare la preseza di coessioe o, viceversa, l idipedeza tra i feomei statistici coivolti. Abbiamo già discusso il fatto che se χ 2 = 0 siamo sicuri di essere i preseza di idipedeza, così come el caso χ 2 = 1 abbiamo la certezza che vi sia massima coessioe. Se però il valore di χ 2 cade all itero dell itervallo (0,1) abbiamo visto che o esistoo risposte defiitive riguardo alla preseza o meo di coessioe tra i due feomei. Esiste allora u test statistico che ci permette di valutare se vi sia idipedeza oppure o. Ovviamete dobbiamo assumere che i dati di cui dispoiamo siao u campioe estratto i modo casuale. L idea è quella di calcolare il valore di χ 2 e sottoporlo alla verifica dell ipotesi ulla H 0 : χ 2 = 0 cotro l alterativa H 1 : χ 2 > 0. Si oti che il test è ad ua coda e il valore che si sottopoe a test è χ 2 e o χ 2. La regola del test è la seguete: se χ 2 > χ g si deve rifiutare l ipotesi di idipedeza. Il valore χ g è il quatile della distribuzioe Chi-quadro che si ricava dalla tavola i Tabella??. Come la t di Studet ache il Chi-quadro dipede dai gradi di libertà che per ua tabella di h righe e k coloe soo pari a (h 1) (k 1). Test di idipedeza Se X ed Y soo due feomei statistici rilevati cogiutamete e χ 2 è l idice di coessioe calcolato sulla relativa tabella di cotigeza di h righe e k coloe, si può sottoporre a test l ipotesi ulla di idipedeza H 0 : χ 2 = 0 cotro l alterativa H 1 : χ 2 > 0 tramite il test di livello α caratterizzato dalla seguete regola di decisioe Rifiutare H 0 se χ 2 > χ g 1 α dove χ g 1 α è il quatile 1 α della distribuzioe Chi-quadro co g = (h 1) (k 1) gradi di libertà. Esercizio 4. Su u gruppo di 15 idividui è stato effettuato u test per rilevare l attitudie musicale (X) e quella pittorica (Y ) secodo la seguete scala di modalità: sufficiete (S), buoa (B) e ottima (O). I risultati soo riportati ella tabella di seguito: Y S B O X S B O

17 1. LA CONNESSIONE 17 Valutare se esiste dipedeza tra le variabili X ed Y co u opportuo test statistico. Per verificare se esiste idipedeza tra X ed Y sulla base di questa realizzazioe campioaria possiamo usare u test di tipo χ 2, cioè eseguire il calcolo dell idice di χ 2 di coessioe e poi cofrotare il risultato co il quatile 1 α della distribuzioe χ 2 g, dove g = (k 1)(h 1) soo i gradi di libertà e h e k soo il umero di righe e coloe della tabella a doppia etrata. Cioè la regola è del tipo Rifiutare H 0 se χ 2 > χ g 1 α Nel ostro caso si ha ( ) 1 χ 2 2 = = 15 ( ) = Sulla tavola del χ 2, per α = 0.05, troviamo χ 4 1 α = e quidi siamo be al di detro della zoa di accettazioe del test, cioè o rifiutiamo l ipotesi ulla di idipedeza tra le variabili casuali X ed Y. Esercizio 5. Si cosideri l esempio dell impiego di aspria ella prevezioe degli ifarti cardiaci. Si verifichi se vi sia idipedeza tra il trattameto X e l esito Y. Per comodità riprediamo la tabella co i risultati delle aalisi ed effettuiamo il calcolo dell idice χ 2. Esito Ifartuati No Ifartuati Totali Farmaco Placebo Aspiria ( χ = ) = Sulla tavola del χ 2, per α = 0.05, troviamo χ 1 1 α = 6.63 e quidi siamo be al di detro della zoa di rifuito del test. Si deve quidi rifiutare l ipotesi ulla di idipedeza tra il trattameto X e l esito della terapia Y. Come si vede questo secodo modo di valutare la sigificatività delle differeze è del tutto aalogo al test sulle proporzioi visto sopra.