COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ INDICE

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1 COMPLEMENTI DI ANALISI: LIMITI E CONTINUITÀ ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE INDICE 1. Principio di induzione e completezza dei numeri reali Il principio di induzione Completezza dell insieme R 2 2. Limiti di successioni Limite di una successione Operazioni con i limiti di successioni 8 3. Sottosuccessioni Sottosuccessione di una successione Teoremi sui limiti e limiti notevoli Disuguaglianze e limiti Alcuni limiti notevoli Ancora sui limiti di successioni Successioni definite per ricorrenza Nozioni di topologia Topologia della retta Alcuni complementi di Topologia Limite di una funzione di variabile reale Limiti di funzioni e limiti laterali Limiti notevoli di funzioni Funzioni continue Continuità di funzioni di variabile reale Continuità delle funzioni elementari Zeri di funzioni continue Alcuni teoremi sulle funzioni continue Complementi sulle funzioni continue Dimostrazione del Teorema di Weierstrass Esistenza di punti di minimo o massimo di funzioni illimitate Asintoti di una funzione 46 Date: Versione del 17 aprile NB. Visita la pagina di R. Giambò sul portale docenti di Unicam per informazioni sull ultima versione disponibile. i

2 LIMITI E CONTINUITÀ 1 1. PRINCIPIO DI INDUZIONE E COMPLETEZZA DEI NUMERI REALI 1.1. Il principio di induzione. Sia N l insieme dei numeri naturali (con la convenzione che 0 N). Consideriamo una proposizione p(n) che dipenda dalla sola variabile n N. Questo significa che p(n) è vera oppure falsa a seconda del valore della variabile n. Esempio 1.1. Prendiamo p(n) : n è un numero primo. Avremo ad esempio che p(3) è vera, mentre p(4) è falsa. Vogliamo studiare proposizioni come sopra allo scopo di stabilire se sono sempre vere (per tutti i valori di n N) o almeno se sono vere da un certo n 0 in poi, trovando anche il valore di un tale n 0. A titolo di esempio si consideri la seguente proposizione: (1.1) p(n) : 2 n n + 6, n N. Osserviamo che p(0), p(1), p(2), p(3) sono false, mentre p(4) : e p(5) : sono vere. Anzi passando da n = 4 ad n = 5 il primo membro della (1.1) cresce piú del secondo membro. Questo suggerisce che p(n) sia vera per ogni n 4, ed è questo che adesso verificheremo applicando il principio di induzione. Dimostreremo infatti che (1.2) p(n) p(n + 1) per ogni n 4. L ipotesi p(n) si chiama ipotesi di induzione. Poichè p(4) e vera, la (1.2) dice che p(5) è vera. Inoltre essendo vera p(5) sempre dalla (1.2) si ottiene che p(6) è vera e così via. Vediamo come si dimostra la (1.2). Supporremo che p(n) sia vera e dimostreremo che allora p(n + 1) è vera. Dunque si deve provare che 2 n+1 (n + 1) + 6 = n + 7. Ma 2 n+1 = 2 2 n 2(n + 6). Pertanto è sufficiente verificare che 2(n + 6) n + 7 che vale addirittura per ogni n 5. In generale il principio di induzione (che può essere dimostrato ad esempio a partire dagli assiomi che descrivono i numeri naturali) può essere enunciato nel seguente modo. Proposizione 1.2. Sia {A(n) : n N} una successione di proposizioni ognuna delle quali dipende dal corrispondente numero naturale n. Esse saranno tutte vere se sono soddisfatte le due seguenti condizioni: sia vera la prima proposizione A(0); se è vera la proposizione A(n) allora è vera anche la proposizione A(n + 1). Si osservi che ciò che conta in realtà è la prima proposizione che risulta vera. Se questa è ad esempio A(n 0 ), e la seconda proprietà vale per ogni n n 0, allora possiamo dire che le suddette proposizione sono tutte vere a partire da n 0.

3 2 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE Esercizi. (1) Dimostrare che n = n(n+1) 2 per ogni n 1. (2) (Disuguaglianza di Bernoulli ) Consideriamo l insieme dei numeri reali R (vedi Paragrafo 1.2), e sia x R, x 1. Dimostrare che (1 + x) n 1 + nx per ogni n N. (3) Sia x R, x 1. Dimostrare usando il principio di induzione che 1 + x + x x n = 1 xn+1 1 x Completezza dell insieme R. Senza entrare nei dettagli di una descrizione assiomatica dei numeri reali vogliamo mettere in evidenza la proprietà di completezza dei numeri reali. Daremo pertanto per scontati gli assiomi che caratterizzano i numeri razionali (di cui comunque abbiamo sicuramente una buona idea intuitiva). Allo scopo di introdurre il cosiddetto assioma di completezza dei numeri reali (noto anche come assioma di Dedekind) introduciamo intanto il concetto di massimo e minimo che possiamo dare in un qualunque insieme dotato di una relazione di ordine. Sia A un sottoinsieme di R. Definizione 1.3. Un elemento a m A si chiama minimo di A se a m a a A. Un elemento a M A si chiama massimo di A se a M a a A. Esempio 1.4. Vediamo adesso semplici esempi di tipiche situazioni per sottoinsiemi di R. Sia A = [0, 1]. L insieme A ammette come minimo 0 e come massimo 1. Se invece A =]0, 1[, l insieme A non ammette né massimo né minimo. L insieme A =]0, 1] ammette come massimo 1, ma non ammette minimo. Infine se prendiamo A = [0, 1[, l insieme A ha come minimo 0, ma non ammette massimo. Gli insiemi che abbiamo utilizzato nell esempio precedente sono intervalli limitati di R. Più in generale un intervallo limitato in R è un insieme del tipo seguente (dove a, b sono numeri reali con a < b): ]a, b[= {x R : a < x < b}, ]a, b] = {x R : a < x b}, [a, b[= {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b}. Gli intervalli illimitati sono invece R e le semirette, ossia gli insiemi del tipo seguente (ove a è un numero reale): ], a[= {x R : x < a}, ], a] = {x R : x a}, ]a, + [= {x R : x > a}, [a, + [= {x R : x a}. Definizione 1.5. Si dice che L R è un maggiorante per A se a L a A. Si dice invece che l R è un minorante per A se l a a A. Esempio 1.6. Sia ancora A = [0, 1]. 1, 10, 1 sono minoranti per A. 100

4 2, 7, 10 10, 1 sono maggioranti per A. non è né un maggiorante né un minorante per A. 1 2 Definizione 1.7. Un sottoinsieme A di R si dice: LIMITI E CONTINUITÀ 3 limitato superiormente se ha un maggiorante, limitato inferiormente se ha un minorante, limitato se è limitato superiormente ed inferiormente. Esempio 1.8. Alcuni semplici esempi: R è illimitato superiormente ed inferiormente. R + = {x R : x 0} è limitato inferiormente e illimitato superiormente. L insieme Z dei numeri interi è illimitato inferiormente e superiormente. {x R : x 3} è limitato superiormente e illimitato inferiormente. Ogni insieme finito è limitato. Sia A. Definizione 1.9. Se A è limitato superiormente si dice che L è estremo superiore per A (e si scrive L = sup A) se: L è un maggiorante per A; L è il minimo dei maggioranti. Se A è limitato inferiormente si dice che l è estremo inferiore per A (e si scrive l = inf A) se: l è un minorante per A; l è il massimo dei minoranti. La seguente proposizione può essere facilmente dimostrata per esercizio. Proposizione Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. Allora Sia A limitato superiormente. L = sup A se e solo se L è un maggiorante di A e vale la seguente proprietà: (1.3) ε > 0 a ε A : a ε > L ε. Sia A limitato inferiormente. l = inf A se e solo se L è un minorante di A e vale la seguente proprietà: (1.4) ε > 0 a ε A : l + ε > ε. Esempio Sia A = {x R : 0 < x < 1}. Allora sup A = 1. Si noti che 1 non appartiene ad A, pertanto 1 non è un massimo per A. Sia invece A = {x R : 0 < x < 1} {2}. Allora 2 è il massimo per A quindi è anche il suo estremo superiore. Osservazione Se A ammette massimo ovviamente questo è il suo estremo superiore. Analogamente per il minimo.

5 4 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE Vale il seguente Teorema di esistenza per sup ed inf. Tale teorema, di cui omettiamo la dimostrazione è una diretta conseguenza dell assioma di completezza di Dedekind (vedi sotto). Teorema Ogni sottoinsieme non vuoto di R limitato superiormente ammette estremo superiore. Analogamente ogni sottoinsieme non vuoto di R limitato inferiormente ammette estremo inferiore. Prima di introdurre formalmente l assioma di Dedekind, indichiamo con Q l insieme dei numeri razionali e consideriamo il seguente insieme: (1.5) A = {x Q : x 0, x 2 < 2}. Nell insieme dei numeri razionali il sottoinsieme A non ammette estremo superiore. Questo fatto può essere rigorosamente dimostrato, ma comunque si intuisce abbstanza facilmente tenendo presente che il candidato estremo superiore è il numero 2 che come è noto non è un numero razionale. La mancata esistenza in Q dell estremo superiore dell insieme A definito in (1.5), dipende dal fatto che Q non è completo. Invece nell insieme dei numeri reali vale tale proprietà di completezza (che caratterizza l insieme dei numeri reali, in particolare rispetto all insieme dei numeri razionali) e che può essere formulata nel seguente modo: Assioma 1.14 (Dedekind). Siano A e B sottoinsiemi non vuoti di R tali che a b a A, b B. Allora x R (detto elemento separatore) tale che a x b a A, b B. Esempio Siano A = {x R : x 0, x 2 < 2} e B = {x R : x 0, x 2 > 2}. In questo caso l elemento separatore è 2. Osservazione Di elementi separatori ce ne possono essere infiniti oppure uno solo a seconda che sup A < inf B oppure sup A = inf B. Nel caso in cui un sottoinsieme A non vuoto di R sia illimitato superiormente scriveremo per semplicità: sup A = +. Questo significa che M > 0 a A : a > M. Analogamente per un sottoinsieme A non vuoto e illimitato inferiomente scriveremo inf A =. Questo significa M > 0 a A : a < M.

6 LIMITI E CONTINUITÀ 5 Un caso particolare ed importantissimo è quello dell insieme dei numeri naturali visto come sottoinsieme dei numeri reali. Esso è illimitato come asserisce il principio di Archimede (di cui omettiamo la dimostrazione che si basa sul fatto che R è completo): Proposizione 1.17 (Principio di Archimede). Per ogni numero reale x esiste un numero naturale n tale che n > x. Esercizi. (1) Usando la proprietà antisimmetrica della usuale relazione d ordine sui numeri reali dimostrare che se un sottoinseme A di R ammette massimo allora esso è unico. (2) Analogo esercizio per l unicità del minimo. (3) Dimostrare la Proposizione (4) Dimostrare che inf e sup se esistono sono unici. (5) Calcolare inf e sup dell insieme A = { n+1 : n N {0}}. n (6) Calcolare inf e sup dell insieme A = {( 1) n ( n+1) : n N {0}}. n (7) Calcolare inf e sup dell insieme A = { 2m : m Z}. m 2 +1 (8) Calcolare inf e sup dell insieme A = { 5 n : n N}. n+3

7 6 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE 2. LIMITI DI SUCCESSIONI 2.1. Limite di una successione. In questo paragrafo vogliamo introdurre il concetto di limite di successione. Ricordiamo che una successione reale è una funzione f : N R, e che l elemento f(n) viene tradizionalmente indicato con a n. La variabile indipendente n viene spesso chiamata termine della successione. Iniziamo con l esprimere con rigore il concetto di successione convergente ad un limite finito l, volendo esprimere che la successione a n si avvicina sempre di più al valore limite l al crescere del termine n. Allo scopo di aiutare il più possibile l intuizione daremo prima di tutto il concetto di successione inifinitesima usando il concetto di proposizione definitivamente vera in N. A questo scopo diamo la seguente Definizione: Definizione 2.1. Sia p(n) una famiglia di proposizioni dipendenti dalla variabile naturale n. Si dice che p(n) è definitivamente vera se n 0 : p(n) è vera n n 0. Utilizzando il concetto precedente possiamo intanto dire quando una successione è infinitesima (ossia il suo limite è 0). Definizione 2.2. Si dice che la successione a n è infinitesima se ε > 0 la proposizione a n < ε è definitivamente vera. Dunque per ogni prefissato ε > 0 piccolo quanto si voglia, la quantità a n risulta definitivamente minore di ε. In tal modo si riesce ad esprimere rigorosamente l idea intuitiva di successione infinitesima. A questo punto è immediato introdurre il concetto di successione convergente ad un limite finito l (che è la definizione tradizionalmente più usata): Definizione 2.3. Si dice che la successione a n converge (al limite finito l) se a n l è infinitesima (e si scrive lim a n = l). Osservazione 2.4. Mettendo insieme le due definizioni precedenti (ed il concetto di proposizione definitivamente vera) si ottiene la consueta definizione di successione a n convergente ad l: la successione a n converge (al limite finito l) se (2.1) ε > 0, n ε : a n l < ε, n n ε. Esempio 2.5. Sia a n = 1. n Diciamo che lim a n = 0. Infatti vale la seguente proprietà: ε > 0, n ε : 1 n 0 = 1 n < ε, n n ε. Tale proprietà è verificata scegliendo un qualunque numero naturale n ε > 1 ε esistenza è assicurata dal principio di Archimede (vedi 1.17) la cui

8 LIMITI E CONTINUITÀ 7 Osservazione 2.6. Per fare pratica con la definizione di successione convergente può essere utile applicare qualche volta la definizione per verificare se una data successione converge ad un certo limite (vedi Esercizio 1). Non è però questo in generale il metodo adatto per calcolare i limiti. Ad esempio non sarebbe per niente agevole usare la definizione per verificare che lim n n 5 + 7n 2n 10 + n 2 + n + 6 = 1 2. Esistono infatti teoremi (che tra breve elencheremo) per il calcolo dei limiti che permettono di trattare agevolmente una situazione come quella precedente. A questo punto possiamo dare la definizione di successione divergente (a + oppure a ). Una volta chiarito il concetto di successione convergente con l uso del concetto di proposizione definitivamente vera, si può dare subito la definizione usuale: Definizione 2.7. Si dice che a n diverge a + (e si scrive lim = + ) se: M > 0, n M N : a n M n n M. Si dice invece che a n diverge a (e si scrive lim = ) se: M > 0, n M N : a n M n n M. Esempio 2.8. Dal principio di Archimede segue subito che se a n = n allora lim = +. Concludiamo questa sezione dando il concetto di successione limitata. Definizione 2.9. Si dice che la successione a n è limitata se M > 0 tale che a n M n N. Si osservi che questo equivale a dire che l insieme {a n : n N} è limitato secondo la definizione 1.7. Proposizione 2.10 (Unicità del limite). Se a n ammette limite esso è unico. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti a < b per la successione a n. Consideriamo solo il caso in cui a e b sono finiti. Gli altri casi si trattano infatti in modo del tutto analogo. Sia ɛ > 0 tale che a + ɛ < b ɛ, in modo tale che i due intervalli aperti ]a ɛ, a + ɛ[ e ]b ɛ, b + ɛ[ siano disgiunti, Si ottiene subito una contraddizione perchè dalla definizione di limite si ha che i suddetti intervalli dovrebbero contenere entrambi definitivamente la successione a n. Esercizi. (1) Verificare che la successione costante a n = l, n N, è tale che lim a n = l. (2) Verificare, utilizzando la definizione, che lim n 1 n = 1. (3) Verificare che non esiste lim ( 1) n. (4) Dimostrare che se una successione ammette limite finito allora è limitata.

9 8 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE 2.2. Operazioni con i limiti di successioni. In questa sezione daremo alcuni risultati che consentono di calcolare diversi tipi di limiti: quelli che coinvolgono operazioni algebriche tra successioni i cui limiti sono già noti. Iniziamo con la seguente Proposizione Siano a n, b n due successioni convergenti rispettivamente ai numeri reali a, b. Allora: lim a n + b n = a + b, (regola della somma) lim a n b n = ab, (regola del prodotto) a se b 0, lim n bn. (regola del quoziente) = a b Omettiamo la dimostrazione della proposizione precedente. Essa può comunque essere ottenuta applicando direttamente la definizione di successione convergente. Nella dimostrazione della regola del prodotto e del quoziente si usa il risultato dell esercizio 4 del paragrafo precedente. Osservazione Si noti che nella proposizione precedente non è necessario enunciare la regola del limite della differenza lim a n b n = a b, anzi sarebbe ridondante. Infatti scelto come b n la successione costante (di valore il valore del limite b, dalla regola del prodotto segue che lim ba n = ba. Dunque basta scegliere b = 1 ed applicare la regola della somma per ottenere la regola della differenza. Nel caso in cui uno oppure entrambi i limiti a, b siano infiniti si presentano situazioni in cui possiamo dire a priori quanto valgono il limite della somma (differenza), prodotto oppure quoziente, ed altre in cui questo non avviene (e sono le cosiddette forme indeterminate). Le situazioni in cui conosciamo a priori il risultato sono quelle elencate nella seguente Proposizione Si hanno le seguenti situazioni: a R, b = ± lim a n + b n = ±. a = b = ± lim a n + b n = ±. a R \ {0}, b = ± lim a n b n = +. a = ±, b = ±, lim a n b n = +. a a R, b = ± lim n bn = 0. a R, b = ± lim bn a n = +. a R \ {0}, b = 0 lim an b n = +. Forme indeterminate si hanno quando invece lim a n = +, lim b n = e si voglia calcolare lim a n + b n ; lim a n = ±, lim b n = 0 e si voglia calcolare lim a n b n. Si osservi poi che tutte le forme indeterminate derivate da operazioni algebriche sono riconducibili alle suddette forme indeterminate. Infatti se a n e b n sono infinitesime, la successione c n = 1 b n tende, in valore assoluto, a +, mentre an b n = a n c n che pertanto si

10 LIMITI E CONTINUITÀ 9 riconduce alla forma indeterninata 0. Analogamente riguardo al quoziente di due successioni che tendono entrambe all infinito. Osservazione Il concetto di forma indeterminata si chiarisce attraverso esempi. A questo proposito si consideri ad esempio la prima forma indeterminata +. 1) Sia a n = n, b n = n, allora a n + b n ha come limite 0. 2) Sia a n = n 2, b n = n, allora a n + b n ha come limite +. 3) Sia a n = n, b n = n 2, allora a n + b n ha come limite. 4) Sia a n = n, b n = n + ( 1) n, allora a n + b n = ( 1) n non ha limite. Esercizi. 1) utilizzando la Proposizione 2.11 verificare che n n 5 + 7n lim 2n 10 + n 2 + n + 6 = ) verificare con esempi che la forma 0 è indeterminata.

11 10 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE 3. SOTTOSUCCESSIONI 3.1. Sottosuccessione di una successione. In questa sezione vogliamo introdurre il concetto di sottosuccessione di una successione. In termini un po imprecisi, una sottosuccessione di {a 0, a 1,...} è una successione che si ottiene cancellando alcuni degli a i, e rinumerando i rimanenti con indici che vanno da 0 a. L interesse nello studio del concetto di sottosuccessione è sopratutto il seguente: per studiare il comportamento asintotico di una successione a volte è necessario separare in varie classi gli elementi di una successione, e argomentare in forma diversa per ciascuna classe. Per esempio, se consideriamo la successione (1, 1/2, 1/2, 1/4, 1/3, 1/8,..., 1/n, 1/2 n,...), questa tende ovviamente a 0 quando n tende all infinito. Una maniera per mostrare questo fatto è dividere la successione in due classi, la prima si ottiene prendendo i termini con indice dispari: (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..., 1/n,...) e la seconda prendendo i termini con indice pari (1/2, 1/4,..., 1/2 n,...). Le due successioni estratte da (a n ) sono ben note, e convergono a 0, e da questo fatto ne concludiamo che tutta la successione (a n ) tende a 0. Un altro esempio molto semplice che possiamo menzionare per motivare l introduzione del concetto di sottosuccessione, è il caso della successione: {1, 1, 1, 1,..., ( 1) n,...}, (vedi esercizio 2 del paragrafo 3). Se consideriamo solo i termini con indice dispari otteniamo una successione costante uguale ad 1, mentre i termini con indice pari formano un altra successione costante, ma uguale a 1. Queste due successioni estratte non hanno lo stesso limite, e da questo fatto è facile concludere che la successione originale non ammette limite. In entrambi i casi, la conclusione sulla successione originale è stata tratta dallo studio di alcune sue sottosuccessioni. Formalizziamo la nozione di sottosuccessione con la seguente Definizione 3.1. Sia (a n ) una successione in R. Una sottosuccessione di (a n ), o una successione estratta da (a n ), è una successione (b n ) della forma: b n = a σ(n), dove σ : N N è una funzione strettamente crescente. Ricordiamo che σ è strettamente crescente se σ(n) > σ(m) quando n > m. Per esempio, la successione b n = 1/n 2 é una sottosuccessione di a n = 1/n, dato che b n = a σ(n), dove σ(n) = n 2. É comune nella letteratura matematica indicare la funzione σ con la notazione n k n, e le sottosuccessioni di (a n ) vengono anche denotate con (a kn ).

12 Esempio 3.2. Esempi di sottosuccessioni di (a n ) sono: LIMITI E CONTINUITÀ 11 a 2n, la sottosuccessione corrispondente agli indici pari; a 2n+1, la sottosuccessione corrispondente agli indici dispari. Sia (a n ) una successione che ammette limite, diciamo finito, l R, e (b n ) una sottosuccessione di (a n ), b n = a σ(n). Siccome σ è strettamente crescente, per ogni n 0 N esiste n 1 tale che σ(n) n 0 per ogni n n 1. Dato ε > 0 arbitrario, esiste n 0 tale che a n l < ε per ogni n n 0, e dunque sarà a σ(n) l < ε per ogni n n 1. Ne segue che anche la sottosuccessione b n ha lo stesso limite di a n. Si può ragionare in maniera simile anche quando a n è una successione che ammette limite infinito, ed abbiamo perciò provato la seguente: Proposizione 3.3. Se (a n ) è una successione che ammette limite l R {± }, allora ogni sottosuccessione di (a n ) ha lo stesso limite l. Un immediato corollario della proposizione 3.3 è il seguente: Corollario 3.4. Se una successione (a n ) ammette due sottosuccessioni che hanno limiti diversi, allora (a n ) non ha limite. Il viceversa della proposizione 3.3 si può formulare come segue: Proposizione 3.5. Se (a n ) è una successione tale che esiste un l R {± } per cui ogni sottosuccessione di (a n ) ammette limite uguale ad l, allora anche (a n ) tende allo stesso limite l. Dimostrazione. Per semplicità dimostriamo la proposizione nel caso l R. Per assurdo, supponiamo che (a n ) non tenda ad l. Quindi esiste ɛ, tale che k N, c è un n > k per cui a n l ɛ. Usando questa ipotesi, costruiamo una sottosuccessione a σ(n) nel seguente modo. Preso k = 1 allora esiste un numero maggiore di 1 (che chiameremo σ(1)) tale che a σ(1) l ɛ. Preso k = σ(1), allora c è un numero maggiore di σ(1) (che chiameremo σ(2)) per cui a σ(2) l ɛ. Si procede induttivamente, per cui, arrivati a definire σ(n), si prende k = σ(n), e l ipotesi per contraddizione determina l esistenza di un numero maggiore di σ(n) (che chiameremo σ(n + 1)) tale che a σ(n+1) l ɛ. È facile mostrare che la sottosuccessione così costruita non può convergere ad l, ottenendo dunque una contraddizione. Osservazione 3.6. Ovviamente, data una successione (a n ), l esistenza di due sue sottosuccessioni convergenti allo stesso limite l non è sufficiente per concludere che esiste lim a n : si pensi ad esempio alla successione a n = sin(nπ/2), che non ammette limite (perché?), e si prendano le successioni (a 4k ) e (a 2(1+2k) ), entrambe costanti uguali a zero e dunque convergenti a zero. Però, è possibile dimostrare che, se (a σ(n) ) e (a τ(n) ) sono due sottosuccessioni tali che { } { } σ(n) τ(n) = N, n n

13 12 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE cioè ogni elemento della successione di partenza sta in (almeno) una delle due sottosuccessioni, ed entrambe le successioni tendono ad l R {± }, allora anche a n l. Si veda l esercizio (4) a pag. 24 per un applicazione di questa proprietà. Osservazione 3.7. Per introdurre le sottosuccessioni in modo parallelo a quanto fatto già con le successioni è possibile anche partire dal concetto di proposizione frequentemente vera. Sia p(n) una famiglia di proposizioni dipendenti da un parametro n N. Abbiamo già definito il concetto di p(n) definitivamente vera. Diremo che p(n) è frequentemente vera se esistono infiniti n per cui p(n) è vera. Ovviamente, una famiglia di proposizioni definitivamente vere è anche una famiglia di proposizioni frequentemente vere, ma i due concetti sono piuttosto differenti tra loro. Per esempio: (a) l affermazione: ( 1) n = 1 è frequentemente vera (ma si noti che anche la sua negazione lo è!). (b) n < 2 n è definitivamente vera. Esercizi (1) Date due proposizioni p e q, si denoti con p q l unione di p e q, ossia l affermazione che si ottiene unendo con la congiunzione e le affermazioni in p e q. Per esempio, se p è la proposizione Oggi fa caldo e q è la proposizione 5 è maggiore di 3, allora p q é l affermazione oggi fa caldo e 5 è maggiore di 3. Si osservi che la proposizione p q è vera se e solo se entrambe le proposizioni p e q sono vere. Provare che se p(n) e q(n) sono definitivamente vere, allora p(n) q(n) è definitivamente vera.

14 LIMITI E CONTINUITÀ 13 (2) Vero o falso? (a) Se p(n) e q(n) sono frequentemente vere, allora anche p(n) q(n) è frequentemente vera. (b) Se p(n) è definitivamente vera e q(n) è frequentemente vera, allora anche p(n) q(n) è frequentemente vera. (3) Provare che la successione (a n ) definita da: a 1 = 128; a n = n 2 se n > 1 è una potenza di 2; a n = 2n in tutti gli altri casi, ammette limite per n. (4) Vero o falso? Se (a n ) è limitata allora ogni sottosuccessione di (a n ) è limitata. Se (a n ) non è limitata, allora ogni sottosuccessione di (a n ) non è limitata. Se (a n ) ha una sottosuccessione illimitata, allora (a n ) è illimitata.

15 14 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE 4. TEOREMI SUI LIMITI E LIMITI NOTEVOLI 4.1. Disuguaglianze e limiti. I seguenti teoremi possono essere facilmente dimostrati a partire dalle definizioni. Proposizione 4.1. Siano (a n ) e (b n ) due successioni in R tali che lim a n lim b n = b, con a, b R. Se a n b n è definitivamente vera, allora a b; Se a > b, allora a n > b n è definitivamente vera. = a e Osservazione 4.2. Risultati analoghi valgono anche nel caso che a e/o b siano infiniti. Più precisamente, se a n b n definitivamente e lim b n = +, allora anche lim a n = +. Oppure, se se a n b n e lim a n =, allora anche lim b n = definitivamente. Proposizione 4.3 (Teorema dei due carabinieri). Siano (a n ), (b n ) e (c n ) tre successioni tali che: a n b n c n definitivamente. Se esistono i limiti lim a n = lim c n = l, allora anche (b n ) ammette limite e lim b n = l. Proposizione 4.4. Sia (a n ) una successione infinitesima, cioè tale che lim a n = 0. Allora: (1) a n è infinitesima; (2) se (b n ) è una successione limitata, allora il prodotto a n b n è una successione infinitesima. sin n Esempio 4.5. lim n Esercizi = 0, dato che sin n è limitata e 1 n è infinitesima. (1) (Permanenza del segno) Dimostrare il seguente risultato: Se lim a n = l > 0, allora a n > 0 è definitivamente vera (Suggerimento: usare la Proposizione 4.1 e l Esercizio (1) a pag. 7). (2) Calcolare il lim (arctan(e n sin n)) 1 (Suggerimento: usare la Proposizione 4.4, n ed il fatto che arctan x ] π, [ π 2 2 per ogni x R) Alcuni limiti notevoli. Vediamo il comportamento asintotico di alcune successione notevoli. +, se a > 1; 1 se a = 1; (1) lim a n = 0, se a ] 1, 1[; non esiste se a 1.

16 LIMITI E CONTINUITÀ 15 Se a > 1, scriviamo a = 1 + x, con x > 0. Per la disuguaglianza di Bernoulli (vedi Esercizio 2 del paragrafo 1.1), si ha (1+x) n 1+nx, e siccome 1+nx + quando n, per il teorema del confronto anche a n +. Il caso a = 1 è ovvio. Se a < 1, allora b = 1 > 1 e a bn +. Segue che a n 0, e dunque a n 0. Il caso a = 1 lo abbiamo già visto in precedenza: non esiste il limite lim ( 1) n. Se a < 1, allora a 2n = (a 2 ) n tende a + quando n, mentre a 2n+1 = a(a 2 ) n tende a quando n. Ne segue che non esiste il lim a n. (2) Se a > 0, lim a 1 n = 1. Ricordiamo che a 1 n, denotato anche con n a, è la radice n-esima di a, che è l unico reale positivo b tale che b n = a (una dimostrazione formale dell esistenza della radice n-esima di un numero reale non negativo sarà data più avanti, nella Proposizione 8.2 a pagina 40). Per provare l uguaglianza lim a 1 n = 1, dato ε > 0 dobbiamo determinare n ε N tale che a 1 n 1 < ε per ogni n n ε. Ovviamente possiamo considerare solo il caso ε < 1; consideriamo allora la disuguaglianza: (4.1) (1 ε) n < a < (1 + ε) n, che è equivalente alla a 1 n 1 < ε. Siccome 1 ε ]0, 1[, si ha lim (1 ε) n = 0; d altro lato, 1 + ε > 0, e perciò lim (1 + ε) n = +. Ne segue che (4.1) è definitivamente vera, ed abbiamo concluso. (3) Se a n tende a 0, allora sin(a n ) tende a 0. Infatti, se a n 0, allora a n 0, e dunque (vedere Figura 1): 0 sin( a n ) a n. Per il teorema dei due carabinieri (Proposizione 4.3 a pagina 14), si ha lim sin( a n ) = 0. Ora, se a n [ π 2, π 2 ], sin( an ) = sin(a n ), e dunque anche lim sin(a n ) = 0. (4) Se a n 0, allora cos(a n ) 1. Per mostrare ciò, ragioniamo come segue. Innanzitutto, se a n 0, allora cos(a n ) è definitivamente positivo, possiamo dunque assumere cos(a n ) > 0. Dalla relazione fondamentale tra seno e coseno, abbiamo: cos(a n ) = 1 sin 2 (a n ). Dall esempio precedente sappiamo che sin(a n ) 0, e dunque 1 sin 2 (a n ) 1; poniamo b n = 1 sin 2 (a n ). Mostriamo che, in generale, se b n 0 è una

17 16 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE C P x 0 x B A FIGURA 1. La circonferenza trigonometrica. Dato x [0, 2π[ esiste un unico punto P x sulla circonferenza unitaria tale che l arco di circonferenza AP x (percorsa in senso anti-orario da A a P x ) ha lunghezza x. L ascissa di P x è il coseno di x e l ordinata di P x è il seno di x. Quando x [ [ 0, π 2, il confronto tra le aree dei triangoli ÔAPx, ÔAC e del settore circolare OAP x ci dà facilmente la disuguaglianza: sin x x tan x. successione di numeri non negativi con lim b n = b (osservare: b 0), allora bn b. Se b > 0, calcoliamo: bn b = ( b n b)( b n + b) bn + b = b n b bn + b = (b 1 n b) bn + b. Ora, la successione c n = 1 bn+ b è limitata: 0 c n 1 b, mentre b n b tende a 0. Usando la Proposizione 4.4 concludiamo che il prodotto (b n b)c n tende a 0, e dunque b n b. Studiamo ora il caso b = 0 ed utilizziamo la definizione di limite per mostrare che lim bn = 0. Siccome b n 0, per ogni ε > 0 esiste n ε N tale che 0 b n < ε 2 per ogni n n ε. Ma allora si avrà anche: 0 b n < ε, n n ε. Questo significa precisamente che b n 0 se b n 0.

18 LIMITI E CONTINUITÀ 17 (5) Se a n 0 e a n 0 (definitivamente), allora sin(an) a n 1. Questa è una forma indeterminata del tipo 0/0. Poniamo b n = a n e osserviamo che b n 0; ragionando come nell esempio (3) a pagina 15 si vede che basta mostrare che sin(b n) b n 1. Usando nuovamente la disuguaglianza sin x x tan x (vedere Figura 1 a pagina 16), abbiamo: 0 < sin(b n ) b n sin(b n) cos(b n ) = 1 b n sin(b n ) 1 cos(b n ). 1 Abbiamo già mostrato che cos(b n ) 1, dunque anche cos(b n) 1, e usando il teorema dei due carabinieri, dalla disuguaglianza sopra otteniamo: sin(b n ) lim = 1. b n (6) Calcoliamo il limite di una successione del tipo: a n = α(n) β(n), dove α e β sono polinomi nella variabile n. Scriviamo: α(n) = a 0 + a 1 n + a 2 n a k n k, β(n) = b 0 + b 1 n + b 2 n b m n m, dove k è il grado di p e m è il grado di q (e dunque a m e b k sono non nulli). Se m > k, scriviamo: α(n) β(n) = a0 n k + a 1 n k b 0 + b n k b k 1 n k 1 n a k n m k + b k 0 se n, perchè il numeratore tende a 0 mentre il numeratore tende a b k 0. Se m = k, con lo stesso ragionamento otteniamo: a0 α(n) β(n) = + a n k a k 1 + a n k 1 n k b 0 + b n k b k 1 + b n k 1 n k a k b k se n. Quando invece m < k, passando all inverso si vede facilmente che il limite di α(n) β(n) non è finito, ma uguale a + se a k/b m > 0 e a se a k /b m < 0. a n (7) Se a > 1, allora per ogni p N si ha lim = +. Per mostrare questa n p uguaglianza, poniamo a = 1 + δ, con δ > 0, ed usando la formula binomiale calcoliamo: a n = (1 + δ) n = n k=0 ( ) n δ k. k Per n > p, si ha dunque: ( ) n a n δ p+1. = δ p+1( ) n p+1 + α p n p + α p 1 n p α 1 n + α 0, p + 1

19 18 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE y y 1 a > 1 y = exp a x =a x 1 a > 1 y = log a x x 0 x FIGURA 2. Il grafico delle funzioni logaritmo ed esponenziale con base a > 1 y y 0<a<1 y = exp a x =a x 0<a<1 y = log a x 1 1 x x FIGURA 3. Il grafico delle funzioni logaritmo ed esponenziale con base a ]0, 1[ dove gli α i sono coefficienti 1 che non dipendono da n. Ne segue, ricordandosi dell esempio (6) a pagina 17: a n n p np+1 + α p n p + α p 1 n p α 1 n + α 0 n p + se n, e dunque: a n lim n = +. p Diamo ora un importante criterio per stabilire l esistenza del limite di una successione. Una successione (a n ) di numeri reali si dirà crescente se a n > a m quando n > m; diremo invece che (a n ) è debolmente crescente se a n a m quando n m. Analogamente, una successione è (debolmente) decrescente se a n < a m (a n a m ) quando n > m. Più in generale, una successione si dirà monotòna se è (debolmente) crescente o se è (debolmente) decrescente. 1 I coefficienti α i si possono calcolare esplicitamente usando l uguaglianza: ( n p+1) = n(n 1)(n 2)... (n p).

20 LIMITI E CONTINUITÀ 19 Teorema 4.6. Se (a n ) è una successione monotona, allora esiste il limite lim a n. Se (a n ) è (debolmente) crescente, allora: se (a n ) è (debolmente) decrescente, allora: lim a n = sup { a n : n N } ; lim a n = inf { a n : n N }. Dimostrazione. Studiamo il caso che (a n ) sia debolmente crescente; il caso di (a n ) debolmente decrescente è analogo. Analizziamo prima il caso di una successione (a n ) debolmente crescente ed illimitata superiormente, cioè tale che: sup a n = +. n Dalla definizione di estremo superiore, sappiamo che per ogni M > 0 esiste un indice n 0 tale che a n0 > M. Ma siccome a n è debolmente crescente, la stessa disuguaglianza varrà per ogni indice n n 0 : e quindi: a n M, n n 0, lim a n = +, come dovevamo dimostrare. Vediamo ora il caso di una successione (a n ) debolmente crescente e limitata superiormente; sia l = sup n a n R e mostriamo che lim a n = l. Dalla definizione di estremo superiore, sappiamo che per ogni ε > 0 esiste un n ε N tale che a nε > l ε; siccome (a n ) è debolmente crescente, la stessa disuguaglianza varrà per ogni n n ε : a n > l ε, n n ε. D altro lato, siccome l è l estremo superiore di (a n ), allora: Dalle due disuguaglianze otteniamo: a n l, n N. l ε < a n l, n n ε, e dunque: Questo conclude la dimostrazione. lim a n = l. Esempio. Se a > 1 e x n +, allora a xn +. Per mostrare questo, si osservi innanzitutto che, se a > 1, la funzione a x è crescente, cioè a x 1 a x 2 se x 1 x 2 (vedi Figura 2 a pagina 18), e illimitata superiormente, cioè sup{a x } = +. Se M è un arbitrario numero positivo e n M è tale che x n log a (M) per ogni n n M, allora si ha a xn a log a (M) = M per ogni n n M, e dunque lim a xn = +. Analogamente, dato

21 20 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE che per a > 1 la funzione log a (x) è cresecente e illimitata superiormente, se x n allora lim log a (x n ) = +. Esercizi. (1) Sia (a n ) una successioni a termini positivi tale che b n := a n+1 a n b < 1 per n +. Provare che a n è infinitesima. (Sugg.: provare che a n è monotona decrescente, e dunque ammette limite finito. Se per assurdo tale limite fosse diverso da zero...) (2) Sfruttare l esercizio precedente per dimostrare alternativamente il limite dell esempio (7) a pagina Il numero e. Il Teorema 4.6 si applica in particolare allo studio della successione notevole: ( a n = 1 + n) 1 n; che è una forma indeterminata del tipo 1. Si mostra infatti che la successione (a n ) così definita soddisfa le seguente proprietà: è crescente; 2 a n < 3 per ogni n. Usando il Teorema 4.6 si ottiene pertanto l esistenza del limite lim a n, che è un numero nell intervallo ]2, 3[. Questo numero, chiamato il numero di Nepero, è un numero irrazionale 2 ha un importanza fondamentale nella matematica, ed è universalmente denotato con il simbolo e. Tra le altre cose, il numero e è preso come base del cosiddetto logaritmo naturale, denotato a volte con il simbolo ln invece di log e, e la funzione esponenziale e x, denotata a volte più semplicemente con exp x, gode di proprietà speciali. Dato che e > 1, l andamento delle funzioni y = ln(x) e y = e x è come in Figura 2 a pagina Ancora sui limiti di successioni. Continuiamo il nostro studio di limiti di successioni. Definiamo la parte intera di un numero reale x, denotata con [x], il numero intero: [x] = max{n Z : n x}. Osserviamo che per ogni x R, l insieme {n Z : n x} è non vuoto e limitato superiormente, e perciò ammette massimo. Per esempio: [ 2] = 1, [ π] = 4, [e] = 2; osserviamo che [x] x < [x] + 1 per ogni x R. Mostriamo ora che se a n è una successione che tende a +, allora: ( (4.2) lim ) an = e. a n Ci sarà utile la seguente: 2 Di fatto è un numero trascendente, cioè è un numero che non può essere ottenuto come radice di un polinomio con ceofficienti interi.

22 LIMITI E CONTINUITÀ 21 Proposizione 4.7. Sia f : [0 + [ R una funzione tale che esiste il limite: lim f(n) = l R {± }, e sia (a n ) una successione di reali (positivi) tali che lim a n = +. Allora: lim f([a n]) = l. Dimostrazione. Supponiamo l R. Dalla definizione di limite, per ogni ε > 0 esiste n ε tale che f(n) l < ε per ogni n > n ε. D altro lato, se a n +, esiste m ε tale che a n n ε per ogni n m ε. Dunque, [a n ] n ε per ogni n m ε, e da questo segue che f([a n ]) l < ε per ogni n m ε, cioè, lim f([a n ]) = l. Il caso l = ± si dimostra analogamente. Torniamo ora alla dimostrazione di (4.2); a tal fine, usiamo la disuguaglianza [a n ] a n < [a n ] + 1, che ci dà la seguente: ( 1 ) [an] (4.3) 1 + (1 + 1 ) an ( ) [an]+1. [a n ] + 1 a n [a n ] Per la conclusione, basta mostrare che le due successioni: ( ) [an] 1 + e 1 [a n ] + 1 ( [a n ] ) [an]+1 hanno limite uguale ad e per n. Utilizziamo ora la Proposizione 4.7, che ci dice che basta dimostrare l esistenza dei limiti: ( lim ) n = lim (1 + 1 ) n+1 = e. n + 1 n Osserviamo che: ( ) n ( = n + 1 e dunque Analogamente, lim ( lim n + 1 ) n+1 ( n + 1 ) 1 = 1, n + 1 ) 1, ( lim ) n ( = lim ) n+1 = e. n + 1 n + 1 ( n) n+1 = lim (1 + 1 n ) n lim (1 + 1 ) = lim (1 + 1 ) n = e. n n log n Esercizio. Dimostrare che lim = 0. (Sugg.: porre a n n = log n e sfruttare il limite notevole dell esempio (7) a pag. 17, assieme alla Proposizione 4.7, analogamente a quanto fatto per provare la (4.2)). Il criterio di Cesàro. Sia a n una successione infinitesima allora a 1 + a a n (4.4) lim n + n = 0.

23 22 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE Per dimostrare la (4.4) ragioniamo come segue: preso ɛ > 0, sia n 1 N tale che a n < ɛ, n n 1, e sia n 2 N tale che a 1 + a a n1 1 < n 2 ɛ. Dunque, detto n 0 = max{n 1, n 2 }, per n n 0 si ha a n1 + a n a n n a n 1 + a n a n (n n 1)ɛ ɛ, n n e a 1 + a a n1 1 n n 2ɛ n n 0ɛ n ɛ, da cui, sempre per n n 0, a 1 + a a n n a 1 + a a n1 1 n + a n1 + a n a n n 2ɛ, e quindi la (4.4) resta dimostrata. Esercizio. Sia b n una successione tale che b n b R {± }. Mostrare che b 1 + b b n (4.5) lim n + n (suggerimento: se b R, applicare la (4.4) alla successione a n = b n b. Se b n +, dato M R, allora n 0 N tale che b n > M + 1 per n n 0. Usare questo fatto per dimostrare che b b n > Mn è definitivamente vera. Analogamente se b n.) = b. Altre conseguenze della (4.5) verranno mostrate nell esercizio (7) a pag Successioni definite per ricorrenza. Una successione definita per ricorrenza é una successione data nella forma: a n+1 = f(a n ), n 0, dove f : I R R è una funzione assegnata ed il valore di a 0 è dato. Consideriamo il seguente esempio. Sia a 0 = 1 e: (4.6) a n+1 = 1 + a n. I primi termini della successioni sono: a 0 = 1, a 1 = = 2, a 2 = 1 + 2, a 3 = ,... La (4.6) è una successione definita per ricorrenza dalla funzione f(x) = 1 + x. Si osservi che stiamo di fatto usando il principio di induzione per definire a n. È facile dimostrare per induzione che a n 0 per ogni n, e pertanto (4.6) è ben definita infatti per ogni n. Ci chiediamo se questa successione ammette limite; se sapessimo che esiste lim a n = l R, allora si avrebbe: (4.7) l = 1 + l,

24 LIMITI E CONTINUITÀ 23 perchè, come abbiamo visto nell esempio (4) a pagina 15, dato che 1 + a n 1 + l, allora 1 + a n 1 + l. L equazione (4.7) ammette esattamente due soluzioni: l = 1 ± 5 ; 2 osserviamo però che 1 5 < 0, mentre a 2 n 0, dunque non può essere lim a n = Ne concludiamo che, se a n ha limite finito, allora deve essere lim a n = Cerchiamo dunque di dimostrare l esistenza del limite di a n e la sua finitezza con qualche 2 criterio. Mostreremo che a n è crescente e limitata superiormente, e la conclusione sarà ottenuta applicando il Teorema 4.6. Per dimostrare che a n è crescente usiamo il principio di induzione. Innanzitutto osserviamo che a 1 = 2 > a 0 = 1. Ora, assumiamo che per qualche n si ha a n+1 > a n ; ne segue facilmente: a n+2 = 1 + a n+1 > 1 + a n = a n+1, e questo prova che a n è crescente. Mostriamo ora che a n è limitata superiormente; più precisamente, mostriamo che a n Di nuovo, usiamo un argomento di induzione. 2 Osserviamo innanzitutto che a 0 = 1 < 1+ 5; ora, se a 2 n < 1+ 5, allora: 2 (4.8) a n+1 = 1 + a n La disuguaglianza: 1 + x x é soddisfatta da tutti gli x 1+ 5, e quindi dalla (4.8) otteniamo: 2 a n , 2 2 la quale mostra che a n è limitata superiormente. Ne segue che lim a n = 1+ 5 Esercizi riepilogativi sui limiti di successioni. (1) Sia (a n ) una successione che tende a quando n. Mostrare che ( 1 ) an lim 1 + = e. a n 2. (2) Verificare che la successione definita per ricorrenza da: a 0 = 1, a n+1 = a 2 n + 2a n 1, è ben definita, crescente e illimitata superiormente, e dunque lim a n = +. (3) Siano a, b, c R + tre numeri positivi. Mostrare che: lim ( n a + n b + n c ) n 3 = abc. 3

25 24 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE (4) Sia (a n ) la successione definita per ricorrenza da: a 0 = 4, a n+1 = 1 an. Dopo aver verificato che la successione è ben definita, e che le due sottosuccessioni (a 2k ) e (a 2k+1 ) sono entrambe monotone, rispettivamente decrescente e crescente, sfruttare l osservazione 3.6 per determinarne il limite.

26 LIMITI E CONTINUITÀ NOZIONI DI TOPOLOGIA 5.1. Topologia della retta. Tra gli scopi principali di questo corso vi è il problema dello studio di funzioni f : A R R definite su qualche sottoinsieme A di R. Sarà importante studiare i valori di f assunti sui punti di A, ma anche stabilire il comportamento di f(x) quando x tende ad uscire da A. Ad esempio, data la funzione f(x) = 1, definita in A = R \ {0}, ci si può chiedere cosa succede ad f(x) quando x x tende a 0, che è giustamente un punto fuori dal dominio di f. Per formalizzare questo concetto bisogna stabilire alcune nozioni matematiche che riguardano i concetti di vicinanza di punti, o di frontiera di insiemi; la branca della matematica che studia queste proprietà si chiama topologia. La prima nozione chiave della topologia è quella di punto di accumulazione per un insieme A R. Un punto di accumulazione per A è un punto x 0 R a cui ci si può avvicinare con punti di A distinti da x 0 ; più precisamente: Definizione 5.1. Sia A R un sottoinsieme (non vuoto) di R. Un punto x 0 R si dice di accumulazione per A se esiste una successione (a n ) contenuta in A tale che a n x 0 per ogni n e tale che lim a n = x 0. Un punto x 0 R si dice di aderenza per A se esiste una successione (a n ) in A (di elementi non necessariamente distinti da x 0 ) con lim a n = x 0. Dato un insieme A, dalla definizione segue facilmente che tutti i punti di A sono di aderenza per A; infatti, dato x 0 A, si può considerare la successione costante a n x 0, che è contenuta in A e ovviamente tende a x 0. Osserviamo anche che, se A non è vuoto e limitato, allora sia sup A che inf A sono punti di aderenza di A. Il punto x 0 = 0 è un punto di accumulazione di A = R \ {0}; per esempio, la successione a n = 1 tende a 0 ed è contenuta in A. Dato l insieme A = [0, 1] {2}, il punto 2 è di n aderenza per A, visto che appartiene ad A, ma non è di accumulazione per A. Infatti se (a n ) è una successione in A di elementi distinti da 2, allora necessariamente (a n ) è contenuta in [0, 1], e pertanto non può convergere a 2. Un punto di aderenza di A che non è un punto di accumulazione di A è un punto isolato di A (vedere esercizio (1) alla fine del paragrafo). Definizione 5.2. Dato un sottoinsieme A R, la chiusura di A, denotato con A, è l insieme di tutti i punti di aderenza di A. Un sottoinsieme A di R si dice chiuso se A coincide con la sua chiusura A, cioè se A contiene tutti i suoi punti di aderenza (per convenzione, anche il sottoinsieme vuoto è definito chiuso). Si osservi che A A, visto che ogni punto di A è di aderenza per A. Per esempio, la chiusra di ]0, 1[ é l intervallo chiuso [0, 1]. O ancora, la chiusura di Q in R è tutto R, infatti ogni numero reale è limite di una successione di numeri razionali. Segue facilmente dalla definizione che un intervallo chiuso [a, b] è anche un insieme chiuso, e questa affermazione non è così banale come potrebbe apparire a prima vista. Si noti

27 26 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE infatti che la definizione di intervallo chiuso non ha nulla a che fare con la nozione di punti di aderenza, su cui invece si basa la nozione di insieme chiuso. Dato un sottoinsieme non vuoto A R ed una funzione f : A R, e dato un punto x 0 di accumulazione per A, ci possiamo chiedere cosa succede a f(x) quando x tende a x 0. Questo significa, possiamo considerare una successione (a n ) di punti di A, su cui ha senso calcolare f, e chiederci cosa succede alla successione f(a n ). In quest ordine di idee, se A è illimitato superiormente, cioè se sup A = +, possiamo pensare a + come un punto di accumulazione 3 di A, e studieremo il limite di f(x) quando x tende a +. Analoghe considerazioni valgono per insiemi illimitati inferiormente. Sia dunque A R un insieme non vuoto, f : A R e x 0 R {± } un punto di accumulazione di A. Definizione 5.3. Si dice che il limite di f(x) quando x tende a x 0 è uguale a l R {± }, e si scrive: lim f(x) = l, x x 0 se data una qualsiasi successione (a n ) in A \ {x 0 } : lim a n = x 0, si ha lim f(a n ) = l. È importante osservare che nella definizione di lim x x0 f(x) si richiede che il limite lim f(a n) non dipenda dalla successione (a n ) che si sceglie per approssimare x 0. Concludiamo questo paragrafo introducendo la nozione di insieme compatto, che ha una importanza notevole in Analisi. Definizione 5.4. Un sottoinsieme A R non vuoto si dice limitato se esiste un intervallo [a, b], con a, b R, tale che A sia interamente contenuto in [a, b]. Un sottoinsieme A R non vuoto si dirà compatto se A è chiuso e limitato. Gli intervalli [a, b], con a, b R sono esempi di sottoinsiemi compatti di R. Esercizi (1) Sia A R un insieme non vuoto. Un punto x 0 di A si dice un punto isolato di A se non ci sono altri punti di A vicino a x 0, cioè se esiste δ > 0 tale che ]x 0 δ, x 0 [ ]x 0, x 0 + δ[ ha intersezione vuota con A. Mostrare che x 0 A è un punto isolato di A se e solo se x 0 è un punto di aderenza di A che non è di accumulazione per A. (2) Mostrare che l insieme A = {0, 1, 1, 1,..., 1,...} è compatto. 2 3 n (3) Mostrare che l intersezione di sottoinsiemi chiusi di R è ancora un sottoinsieme chiuso di R. 3 Si osservi che se sup A = +, allora esiste una successione (a n ) di punti di A tale che lim a n = +.

28 5.2. Alcuni complementi di Topologia. LIMITI E CONTINUITÀ Il Teorema di Bolzano Weierstrass. Molte delle costruzioni dell analisi, soprattutto quelle che riguardano l esistenza di soluzioni di qualche equazione, sono basate sulla costruzione di successioni il cui limite soddisferà le proprietà cercate. Un esempio di questo tipo di costruzioni si può vedere nel Teorema di Esistenza degli Zeri di una funzione continua (Teorema 8.1 a pagina 39) che sarà discusso più avanti. Uno dei problemi principali che si incontrano in questo tipo di costruzioni è la dimostrazione della convergenza della successione (a n ), che in generale sarà costruita con argomenti astratti e non sarà disponibile una espressione esplicita degli a n. Si cercano dunque criteri che permettano di stabilire la convergenza di una successione, o di una sua sottosuccessione, basati su qualche proprietà della successione che sia facile da stabilire anche senza disporre di un espressione analitica dei suoi termini. Il Teorema di Bolzano Weierstrass è uno dei risultati principali in questa direzione: Teorema 5.5 (Bolzano Weierstrass). Sia (a n ) una successione limitata, cioè tale che a n M per qualche costante M e per ogni n N. Allora (a n ) ammette una sottosuccessione convergente. Dimostrazione. Cominciamo con il caso che la successione (a n ) assuma appena un numero finito di valori, cioè il caso in cui l insieme: (5.1) A = { a n : n N } R sia finito. In questo caso il risultato è ovvio; basta infatti osservare che deve esistere almeno un valore di A, diciamo α, che è assunto infinite volte dalla successione a n : a n1 = a n2 =... = a nk =... = α, dove n 1 < n 2 <... < n k <... è la successione degli indici per cui a n assume il valore α. Chiaramente, la sottosuccessione (a nk ) è costante, ed ammette limite. Supponiamo ora che l insieme A della formula (5.1) sia infinito. Usando l ipotesi di limitatezza della (a n ), siano a < b numeri reali tali che: a a n b, n N. Sia c = a+b 2 il punto medio dell intervallo [a, b]; dato che A è infinito, almeno uno dei due insiemi: A [a, c], o A [c, b] è ancora infinito (può anche succedere che entrambi siano infiniti, ovviamente). Se A [a, c] è un insieme infinito, poniamo α 1 = a e β 1 = c; altrimenti, poniamo α 1 = c e β 1 = b. In entrambi i casi, si hanno i seguenti fatti: A [α 1, β 1 ] è infinito, β 1 α 1 = 1 2 (b a), α 1 a, β 1 b.

29 28 ROBERTO GIAMBÒ, FABIO GIANNONI, PAOLO PICCIONE Procediamo analogamente e poniamo c 1 = α 1+β 1 2. Uno dei due insiemi: A [α 1, c 1 ] o A [c 1, β 1 ] è infinito. Se A [α 1, c 1 ] è infinito, poniamo α 2 = α 1 e β 2 = c 1 ; in caso contrario, poniamo α 2 = c 1 e β 2 = β 1. Quello che otteniamo è un intervallo [α 2, β 2 ] con le seguenti caratteristiche: A [α 2, β 2 ] è infinito; β 2 α 2 = 1 2 (β 1 α 1 ) = (b a); α 2 α 1, β 2 β 1. Procediamo ora in maniera analoga e ripetiamo successivamente le operazioni di suddivisione, costruendo in tale maniera due successioni (α n ) e (β n ) con le seguenti proprietà: l intervallo [α n, β n ] contiene infiniti punti della successione (a n ); 0 < β n α n = 1 (b a) 0 quando n ; 2 n b > α n α n 1... α 1 a, e a < β n β n 1... β 1 b, per ogni n N. Dunque, le successioni (α n ) e (β n ) sono monotone e limitate, quindi segue dal Teorema 4.6 a pagina 18 che esistono i limiti: lim α n = α [a, b], Inoltre, siccome α n β n tende a 0, si ha anche: α = β. lim β n = β [a, b]. Affermiamo che (a n ) ammette una sottosuccessione che converge a quasto valore. Infatti, dalle proprietà di (α n ) e (β n ), abbiamo che per ogni n N esiste almeno un indice k = k(n) tale che: α n a k(n) β n. Di fatto, visto che esistono infiniti elementi della successione (a n ) contenuti nell intervallo [α n, β n ], possiamo scegliere gli indici k(n) in maniera tale che risulti: k(1) < k(2) <... < k(n) <.... Dunque, ( a k(n) ) è una sottosuccessione di (an ), e : α n a k(n) β n, n N. Siccome lim α n = lim β n, dal Teorema dei due Carabinieri (Proposizione 4.3 a pagina 14), abbiamo dunque: ed il teorema è dimostrato. lim a k(n) = lim α n = lim β n [a, b],