FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO 18 Luglio 2013

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1 FISICA per SCIENZE BIOLOGICHE A.A. 2012/2013 APPELLO 18 Luglio ) Un corpo di massa m = 500 g scende lungo un piano scabro, inclinato di un angolo θ = 45. Prosegue poi lungo un tratto orizzontale di lunghezza BC = 1m, con il medesimo coefficiente di attrito del piano. Sale quindi lungo un piano liscio, inclinato di un angolo φ = 30 ed urta, in modo completamente anelastico, con un corpo di massa 2m posto in in D, a quota h D = 30 cm rispetto al piano orizzontale (si veda disegno). a) Determinare il coefficiente di attrito µ affinchè il corpo scenda lungo il primo piano inclinato con velocità costante v = 7 m/s. Calcolare la velocità del corpo nel punto C, al termine del tratto orizzontale BC. b) Determinare la velocità del corpo nel punto D, immediatamente prima dell urto anelastico, e la velocità del sistema dei due corpi, immediatamente dopo l urto. Facoltativo: Calcolare l energia dissipata durante l urto completamente anelastico. 2) Una carica positiva Q = 6 µc è posta in O = (0,0), ed una seconda carica positiva 4Q è posta in A = (d,0), con d = 1m. Nel punto P = (d/3,0) è posta una carica positiva q 0 = 2 pc. Si determini : a) Il campo elettrico e l energia potenziale nel punto P; b) Il lavoro fatto dal campo elettrico delle due cariche (Q e 4Q) per spostare la carica q 0 dal punto P al punto P = (5/3d,0), lungo la semicirconferenza di raggio 2/3 d, con centro in A (come indicato in figura). [Nota: ε 0 = C 2 /Nm 2 ] 3) Una zattera di legno (densità 0.5 g/cm 3 ) che ha dimensioni (2m x 3m x 30 cm) viene posta in acqua. Si calcoli: a) lo spessore della zattera senza carico che risulta, all equilibrio, immersa in acqua. b) il massimo volume di alluminio ( densità 2.7 g/cm 3 ) che può essere caricato sulla zattera senza che si bagni (piano superiore della zattera a filo dell acqua). 4) Una massa di 10g di un gas perfetto biatomico ha peso molecolare 2. Nello stato iniziale A, la pressione p A = 2 atmosfere e il volume V A = 2 litri. Compie poi il ciclo costituito dalle seguenti trasformazioni: A- B isobara con V B = 2V A B-C isoterma con p C = (1/2) p B C-D isocora con p D = (1/2) p C D-A isoterma a) Si disegni il ciclo in un diagramma (V, p), si calcolino le coordinate termodinamiche di tutti i punti e la quantità di calore scambiata in ogni trasformazione specificando se è assorbita o ceduta. b) Si determini la variazione di energia interna relativa ad ogni trasformazione e il rendimento del ciclo. [Nota: 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol] SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE I PROCEDIMENTI. SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega,

2 SOLUZIONE ESERCIZIO MECCANICA a) Il corpo scende con velocità costante lungo il piano inclinato se la forza risultante che agisce sul corpo m è nulla: F net = F g + N + f d = 0 ove F g, f d e N sono la forza peso, la forza di attrito e la forza normale. Proiettando l equazione vettoriale sugli assi x e y (x parallelo al piano e y perpendicolare), si ottiene: asse x : f d + mgsinθ = 0 asse y : N mgcosθ = 0 con f d = µ N = µ mg cosθ, da cui segue: µ = tg θ = tg (45 ) = 1.0 Giunto alla base del piano inclinato il corpo procede lungo il tratto BC orizzontale scabro. La velocità alla fine del tratto BC si ottiene applicando il teorema lavoro-energia cinetica, dove l unica forza che compie lavoro è la forza di attrito: ΔK = 1 2 mv 2 C 1 2 mv 2 B = f d BC = µmg BC 1 2 mv 2 C = µmg BC mv 2 B v C = v B 2 2µg BC = (7m / s) m / s 2 1m = 5.4 m / s 2 b) La velocità del corpo m immediatamente prima dell urto si ottiene dal teorema di conservazione dell energia meccanica, tra il punto C ed il punto D: 1 2 mv 2 C = 1 2 mv 2 D + mgh D v D = v C 2 2gh D = (5.4m / s) m / s 2 0.3m = 4.8m / s moto: La velocità immediatamente dopo l urto anelastico si ottiene dalla conservazione della quantità di mv D = (m + 2m)V V = v D 3 =1.6 m / s Facoltativo: L energia dissipata durante l urto completamente anelastico è pari alla differenza di energia cinetica: E diss = 1 2 mv 2 D 1 2 (3m)V 2 = 1 2 m(v 2 D 3V 2 ) = 3.84 J

3 SOLUZIONE ESERCIZIO ELETTROSTATICA a) Il campo elettrico nel punto P è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici prodotti dalle cariche Q e 4Q, entrambi diretti lungo l asse x e con versi opposti: E(P) = E Q (P) E 4Q (P) = k Q ( d k 4Q # 3 )2 ( 2 = kq 9 d 4 9 & % ( = 0 $ 2 4d 2 ' 3 d)2 Il campo elettrico in P è quindi nullo. Analogamente, l energia potenziale è data dalla somma delle energie potenziali: b) Il lavoro fatto dal campo elettrico delle due cariche è dato dalla differenza di energia potenziale tra i punti P e P, indipendentemente dal percorso. In particolare, la variazione di energia potenziale associata al campo prodotto dalla carica 4Q è nulla, in quanto i punti P e P sono equidistanti dalla carica: = (k Qq 0 5d 3 = k 12Qq 0 5d k Qq 0 ) = k 3Qq 0 d d (1 1 5 ) 3 = J = J 5 1

4 SOLUZIONE ESERCIZIO FLUIDI a) All equilibrio la spinta Archimedea uguaglia la forza peso agente sulla zattera senza carico. Indicata con d z la densità della zattera e con d H2O quella dell acqua, data la condizione di equilibrio delle forze agenti si ha : d z V z g = d H2O V imm g dove V imm è il volume immerso in acqua della zattera. Risulta pertanto : V imm / V z = d z / d H2O = 0.5. Pertanto lo spessore della zattera immerso in acqua è 15 cm. b) Il massimo carico di alluminio che non si bagna si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio per il peso totale ( zattera + alluminio) e la spinta Archimedea relativa alla zattera con l intero volume immerso nell acqua. Indicata con d Al, la densità dell alluminio si ha: (d z V z g + d Al V Al g ) = d H2O V z g da cui si ricava V Al / V z = e pertanto V Al = m 3

5 SOLUZIONE ESERCIZIO TERMODINAMICA a) Il numero di moli del gas è n= 10/2 = 5 Coordinate termodinamiche di A, B, C, D. p A = 2 atmo = N/ m 2 ; V A = m 3 ; TA = pa VA / n R = 9.75 K p B = p A = 2 atmo = N/ m 2 ; V B = 2V A = m 3 ; T B = p A 2V A / nr = 2 T A = 19.5 K p C = (1/2) p B = N/ m 2 ; V C = 2 V B = m 3 ; T C = T B = 19.5 K p D = (1/2) p C = N/ m 2 ; V D =V C = m 3 ; T D = T A = 9.75 K Inoltre Q AB = n cp ( T B -T A ) = 5 (7/2) R T A = 1418 J assorbita Q BC = n R T B ln ( V C /V B )= ln ( 2) = 562 J assorbita Q CD = n cv ( T D -T C ) = 5 (5/2) R (- T A ) = J ceduta Q DA = n R T A ln ( V A /V D )= ln (1/4) = -562 J ceduta b) ΔE AB = n cv ( T B -T A ) = 1013 J ΔE BC = 0 J ΔE CD = n cv ( T D -T C ) = J ΔE DA = 0 J Il rendimento del ciclo è η = L ciclo / Q assorb = Q ciclo / Q assorb = 405 J / 1980 J = 0.2

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