SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO. Contenuti Attività Metodo Strumenti Durata (in ore)

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1 SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO Obiettivi di apprendimento Contenuti Attività Metodo Strumenti Durata (in ore) Valutazione degli obiettivi di apprendimento Valutazione della competenza Conoscere i poligoni regolari e non regolari Saper disegnare i poligoni regolari Costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari; disegno dei poligoni con il software Geogebra Lavoro individuale Riga e compasso; software Geogebra 4 Scheda da consegnare Richiesta di spiegare le costruzioni eseguite Conoscere le proprietà angolari dei poligoni Determinazione della formula per calcolare l ampiezza di un angolo di un poligono regolare di n lati Proposta del problema alla classe Lavoro in piccoli gruppi Carta e penna 1 Scheda da consegnare Richiesta di motivare la formula Fare e verificare congetture per risolvere il problema della tassellazione del piano con poligoni regolari e non regolari Tassellazioni del piano con poligoni regolari e uso delle isometrie per estendere la tassellazione Presentazione del problema: tassellazione con un solo tipo di poligono regolare; con due tipi di poligoni regolari; con tre tipi di poligoni regolari Lavoro in piccoli gruppi Prima con carta e penna, poi con riga e compasso ed infine con l uso di Geogebra 6 Scheda da consegnare Richiesta di motivare perché una certa tassellazione funziona Scheda di verifica Conoscere le isometrie del piano Tassellazioni del piano con poligoni non regolari e uso delle isometrie per estendere la tassellazione Tassellazioni a partire da un triangolo qualunque o da un quadrilatero qualunque Lavoro in piccoli gruppi 4 Schede da consegnare Scheda di verifica

2 Sintesi dell attività Scuola secondaria di secondo grado La sperimentazione relativa alla secondaria di secondo grado è stata effettuata nella classe 1B del liceo delle scienze applicate dell I.S.I.S B. Varchi di Montevarchi (composta da 31 studenti) nel periodo Febbraio-Marzo 2014 dalla prof.ssa Cecilia Magni (insegnante di matematica della classe) lavorando con cadenza settimanale. Inizialmente sono state riprese, insieme all insegnante di disegno e storia dell arte, le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari e si è discusso su come determinare l ampiezza dell angolo di un poligono regolare di n lati. Successivamente nel laboratorio di informatica è stato introdotto l uso del software Geogebra per disegnare i poligoni ed applicare ad essi le principali isometrie. E stato poi posto alla classe, divisa in piccoli gruppi di lavoro, il seguente problema: Con quali poligoni regolari è possibile ricoprire esattamente il piano? Si è lasciato in un primo momento che i gruppi lavorassero come volevano (la maggior parte hanno fatto disegni a mano libera ): dalla discussione collettiva e dalla considerazione del fatto che in ogni vertice la somma degli angoli dovesse essere 360 è emerso che alcune delle tassellazioni trovate erano sicuramente corrette mentre altre erano errate. Per dare un po di ordine al lavoro l insegnante ha chiesto di concentrarsi prima sulle tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare, poi su quelle con due tipi e infine con tre tipi di poligoni regolari, facendo inoltre in modo che tutti i vertici fossero dello stesso tipo cioè che vi convergesse lo stesso numero e tipo di poligoni (vedi attività n 1). Dopo aver provato a mano libera e poi con riga e compasso, gli studenti hanno utilizzato il software Geogebra e pian piano sono state scoperte tutte le tassellazioni (3 con un solo tipo di poligono, 6 con due tipi di poligoni e 2 con tre tipi di poligoni regolari diversi) (vedi lavori allegati). Alcuni studenti hanno anche colorato i poligoni per ottenere un effetto artistico.. Poi è stato posto il problema: Si può tassellare il piano con un triangolo qualunque? E con un quadrilatero qualunque? Per il triangolo la soluzione è stata trovata facilmente da tutti i gruppi mentre nel caso del quadrilatero solo alcuni gruppi sono riusciti a risolvere il problema (per guidare il lavoro, dopo la discussione, sono state proposte le schede di lavoro 2 e 3). Molto importante è stato anche rendersi conto (utilizzando la funzione muovi del software) che le tassellazioni con triangoli equilateri e quadrati si ottenevano come caso particolare. E stata anche asegnata una verifica riguardante la tassellazione con un particolare pentagono. Infine è stato proposta la realizzazione di tassellazioni artistiche (vedi allegati): partendo da un poligono con cui si può tassellare il piano (triangolo equilatero, quadrato, rettangolo ecc.) e su cui è stato aggiunto un piccolo disegno, si è chiesto agli studenti di costruire (utilizzando le isometrie) pavimenti diversi (abbiamo anche fatto una piccola ricerca sulle bellissime decorazioni presenti nell Alhambra di Granada). In conclusione direi che il problema proposto e il metodo di lavoro in piccoli gruppi è stato stimolante per gli studenti che hanno sempre partecipato con entusiasmo alle attività proposte. Inoltre gli obiettivi di apprendimento sono stati raggiunti per la maggior parte degli studenti e l aspetto sicuramente più formativo dell attività è stato senza dubbio quello di poter fare congetture e metterle alla prova con l uso di Geogebra.

3 ATTIVITA 1 Tassellazioni con poligoni regolari Con quali poligoni regolari possiamo ricoprire perfettamente il piano facendo coincidere lato con lato e vertice con vertice? Tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare Se usiamo solo un tipo di poligono regolare quali sono quelli con cui posso tassellare il piano? Fai le tue congetture e verificale con Geogebra. Suggerimento: l angolo interno di un triangolo equilatero misura 60, l angolo interno di un quadrato misura 90. Stampa le tue tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare. Nota Una volta capito quali poligoni regolari puoi usare, per ricoprire il piano puoi utilizzare traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali. Indica quali isometrie hai utilizzato per estendere la tua tassellazione. Tassellazioni con due tipi di poligoni regolari Se possiamo usare come mattonelle della nostra pavimentazione due tipi di poligoni regolari quali sono le combinazioni che funzionano? Scrivi una tabella con il valore degli angoli interni dei vari poligoni regolari Suggerimento: quadrato con triangolo equilatero dovrebbe funzionare e forse ci sono anche più modi di sistemare le mattonelle intorno ad un vertice Ci sono altre combinazioni? Stampa le tassellazioni che sei riuscito a trovare con due tipi di poligoni regolari. Tassellazioni con tre tipi di poligoni regolari E se possiamo usare tre tipi diversi di poligoni regolari? Stampa le tassellazioni che sei riuscito a costruire.

4 ATTIVITA 2 Tassellazione con un triangolo qualunque Possiamo tassellare il piano partendo da un triangolo qualunque? Prova a fare così: disegna un triangolo qualunque con il comando poligono, costruisci il punto medio M di un suo lato e applica la simmetria centrale rispetto a M del triangolo. Hai ottenuto così un parallelogramma con cui puoi tassellare il piano (basta traslare secondo i lati del parallelogramma). Stampa la tua tassellazione. Per evitare che vengano messe tutte le etichette ai vertici puoi selezionare Opzioni etichettatura nessun nuovo oggetto. E interessante provare a muovere i vertici del triangolo per modificarlo: si può ritrovare in questo modo anche la tassellazione con i triangoli equilateri che avevamo già individuato. Possiamo anche divertirci a colorare i vari triangoli (tasto destro proprietà colore scelta del colore aumentare l opacità ) per avere un effetto artistico : possiamo per esempio colorare i primi due e oi applicare le traslazioni.

5 ATTIVITA 3 Tassellazione con un quadrilatero qualunque Possiamo tassellare il piano con un quadrilatero qualunque? Prova a fare così: disegna un quadrilatero qualunque con il comando poligono, costruisci il punto medio M di un lato, effettua la simmetria di centro M del quadrilatero. Hai ottenuto un esagono che tassella il piano con traslazioni corrispondenti alle diagonali del quadrilatero iniziale! Osservazione E interessante notare che in ogni vertice della tassellazione si ritrovano i quattro angoli del quadrilatero iniziale e che perciò la loro somma è proprio 360. Inoltre non è importante quale lato si sceglie per costruire il punto medio e fare la prima simmetria centrale: partendo da un altro lato si sarebbe ottenuto lo stesso risultato (i quadrilateri accostati risultano sempre simmetrici rispetto al punto medio del loro lato in comune).

6 ATTIVITA 4 Partendo da una mattonella pavimenti diversi! Partendo da un poligono che tassella il piano, per esempio un quadrato, e disegnandovi sopra un fregio (vedi figura) possiamo utilizzare le isometrie per ottenere pavimenti diversi! Per esempio se semplicemente trasliamo la mattonella otteniamo il primo pavimento, se facciamo una simmetria rispetto ad un lato e poi trasliamo otteniamo il secondo pavimento, se ruotiamo la mattonella intorno ad un vertice per 4 volte di 90 e poi trasliamo otteniamo il terzo pavimento. Prova a partire da una mattonella triangolo-equilatero e costruisci pavimenti diversi!

7 Scheda di verifica Abbiamo visto che non è possibile ricoprire il piano con pentagoni regolari poiché l angolo interno di un pentagono regolare misura 108 che non è divisore di 360. Ma ci sono pentagoni con cui è possibile ricoprire il piano? Prova a tassellare il piano con un pentagono irregolare con due lati uguali che formano un angolo di 60 e due lati uguali che formano un angolo di 120. Per prima cosa disegnalo: costruisci un segmento AB, costruisci un angolo di 60 di vertice A (il comando angolo di data misura costruisce automaticamente un punto B tale che AB=AB ); costruisci un segmento BC e fai un angolo BCB 1' =120 : attenzione poiché il comando angolo di data ampiezza costruisce l angolo in senso antiorario dobbiamo digitare 240 ; con il comando poligono riprendi i vari punti e chiudi il pentagono. A questo punto prova a tassellare il piano! Stampa la tua tassellazione.magari puoi anche colorarla... Quali isometrie hai usato per creare la tua tassellazione?

8 Esempi di elaborati degli studenti Attivita 1 Tassellazioni con un solo tipo di poligono regolare

9 Tassellazioni con due tipi di poligoni regolari

10 Tassellazioni con tre tipi di poligoni regolari

11 Tassellazioni in cui i vertici non sono tutti dello stesso tipo

12 Attivita 2

13 Attivita 3

14 Attivita 4

15 Scheda di verifica