Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario

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1 Dpartmeto d Meccaca, Strutture, Ambete e Terrtoro UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO Laurea Specalstca Igegera Meccaca: Modulo d Fsca Tecca Lezoe d: Dffereze fte per problem d coduzoe regme stazoaro /20

2 Sommaro Dscretzzazoe dell equazoe geerale della coduzoe regme stazoaro; Metod d dscretzzazoe del terme temporale ell equazoe geerale della coduzoe: Metodo esplcto; Metodo mplcto; Metodo sem-mplcto; Stabltà della soluzoe umerca; Eserctazoe aula. 2/20

3 Problema stazoaro Il problema è quello d trovare u campo d temperatura al varare del tempo, T=T(P,θ): Cosderado u problema modmesoale: a T = θ 2 T 2 x + u 0 x L; θ > 0 Cod. Izale T(x,0) = Tb 0 x L T 0 q = 0 Cod. Cotoro del tpo T(0, θ) = T0 θ > 0 Cod. Cotoro del 2 tpo A questo puto possamo dscretzzare l terme temporale L 3/20

4 Dffereze fte stazoare Co ua dervata avat approssmata al prmo orde: T T(θ) ( Q + V u ) T ( Q + V u ) θ θ Δθ θ Dscretzzado l domo spazale co u certo umero M d od, per oguo d ess l equazoe dscretzzata ello spazo e el tempo è: ( ρcv ) = ( Q + V u ) T T Δθ?? 4/20

5 Dffereze fte stazoare Il problema della dscretzzazoe temporale rsede el modo cu s calcola l secodo membro dell equazoe, partcolare fluss ett etrat el volumetto d cotrollo relatvo al geerco odo ; Se quest vegoo calcolat all state d tempo θ, s ottee la dscretzzazoe co metodo esplcto : ( ρcv ) = ( Q + V u ) T T Δθ Se vece vegoo calcolat all state d tempo θ, s ottee la dscretzzazoe co metodo mplcto : Aalzzeremo le dffereze tra quest due metod e vedremo che o soo gl uc a dsposzoe! 5/20

6 Metodo esplcto Aalzzamo prma l metodo esplcto. Per semplfcare queste ote cosderamo l caso d asseza d geerazoe: T 0 T T q = 0 ( ρcv ) = Q = Q, + Q, + Δθ I due fluss approssmat al secodo orde ello spazo soo: - + M ρcaδx ka ka ( T T ) = ( T T) + ( T+ T) Δθ Δx Δx Δx I cu A è l area della superfce attraversata dal flusso, e l secodo o è altro che la formulazoe del dscreta del caso stazoaro: 6/20

7 Metodo esplcto Portado tutt term ot al secodo membro e semplfcado s ottee: 2aΔθ aδθ T = T ( T + T+ ) =,..., M Δx Δx Ovvero defedo u umero d Fourer d magla Fo, s può scrvere: Avedo dsctretzzato l domo co ua grgla spazale uforme, umer d Fourer d magla rsultao tutt ugual Fo 2 Δx = a Δ θ 7/20

8 Metodo esplcto Per l odo sul cotoro M, co metodo esplcto l equazoe dscretzzata è: T 0 q = 0 L uco flusso è quello etrate dal odo M- : 0 M- M ρcaδx Δθ 2 ka + ( TM TM ) = ( TM TM ) Δx Δx/2 Portado term ot al secodo membro e semplfcado: 2aΔθ 2aΔθ T = T + T = ( 2 Fo ) T + 2 Fo T Δx Δx M 2 M 2 M M M M M 8/20

9 Stabltà soluzoe umerca Il metodo esplcto ha tuttava delle restrzo per la scelta degl cremet scelt, fatt: Ipotzzado che all state le temperature de od - e + sao ugual e quella del odo sa maggore, se l coeffcete Fo è maggore d 0.5 la temperatura del odo all state rsulterà more d quella de od adacet, cotro l 2 Prcpo della Termodamca!! ( 2 ) ( + ) T = Fo T + Fo T + T Duque l coeffcete prcpale al secodo membro deve ecessaramete essere 0 perché la soluzoe dell equazoe co l metodo esplcto rsult stable: T T - + T + Dopo Δθ Che lmta la scelta del Δθ ua volta dscretzzato l domo spazale (fssato l Δx). T + T + T /20

10 Codzoe d stabltà Le restrzo su pass spazal e temporal del metodo esplcto devoo sempre essere teut coto quado s rsolve u problema co questo metodo. c 0 =,..., M T = c T +... T2 =... + c2 T T =... + c T +... TM =... + cm TM I partcolare, l crtero d stabltà afferma che è ecessaro che tutt coeffcet prmar delle equazo sao maggor d zero. Ovvamete, rspettado la codzoe d stabltà per questa equazoe la s rspetta ache per tutte le altre! 0/20

11 Metodo Implcto Il metodo mplcto è codzoatamete stable, ovvero o c soo lmt sulla scelta del Δθ, trae l accuratezza della soluzoe, fatt: T T ρcv = Q = Q + Q Δθ ( ),, + T 0 =0 q = 0 I due fluss approssmat al secodo orde ello spazo soo: ρcaδx ka ka ( T T ) = ( T T) + ( T+ T) Δθ Δx Δx M Δx Portado term ot al secodo membro e semplfcado: Aalogamete s trova l equazoe per l odo d estremtà. /20

12 Metodo mplcto Il metodo mplcto comporta duque la soluzoe cotemporaea del sstema d equazo algebrche: ( 2 ) + Fo T Fo2 T2 = T + Fo0 T0 Fo + T + ( + 2 Fo2) + + T2 Fo3 T3 = T2 Fo T + ( + 2 Fo ) T Fo T = T + + ( ) 2 Fo T Fo T = T M M M M M Che forma matrcale può essere rscrtto: 2/20

13 Metodo mplcto La soluzoe co l metodo mplcto comporta l versoe della seguete matrce: ( Fo ) + 2 Fo2 0 0 Fo ( + 2 Fo2) Fo Fo ( + 2 Fo) Fo FoM 2 ad og tervallo d tempo Δθ cosderato! ( + Fo ) M Il metodo mplcto è codzoatamete stable, ovvero o c soo lmt sulla scelta del Δθ, trae l accuratezza della soluzoe (errore d trocameto) 3/20

14 Metodo Sem-Implcto ρcδx Δθ Tra due metod trodott esstoo dverse ve d mezzo, che rappresetao metod sem-mplct : T T cv = Q + Q Δθ ( ρ ) ξ + ( ξ) Che può essere rscrtta come: k Δx ( T T ) = ξ ( T 2T + T+ ) + ( ξ) ( T 2T + T+ ) o acora rorgazzado var term dell equazoe: ( + 2 ξ Fo) T ξ Fo ( T + T+ ) = ( ξ) ( ξ) ( ) 2 Fo T + Fo T + T+ =,..., M co 0<ξ< che co ξ=/2 forsce l classco metodo sem-mplcto, co ξ= l metodo mplcto e co ξ=0 quello esplcto 4/20

15 Esempo La soluzoe del problema moodmesoale stazoaro co tre metod può duque essere otteuta dalla soluzoe del sstema d equazo algebrche: ( ξ ) + 2 Fo ξ Fo2 0 0 T ξ Fo ( + 2 ξ Fo2) ξ Fo3 0 T ξ Fo ( + 2 ξ Fo) ξ Fo+ T ξ FoM ( + 2 ξ FoM ) T M = ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) ( ξ) 2 Fo Fo2 0 0 T Fo 2 Fo2 Fo3 0 T ( ξ) Fo 2 ( ξ) Fo ( ξ) Fo+ T ( ξ) FoM 2 ( ξ) FoM T M Co dovut term a secodo membro 5/20

16 Aals della stabltà de tre metod Per aalzzare tre metod cosderamo la dscretzzazoe come quella d fgura, co u solo odo a temperatura cogta: ( ) 2 ξ 2 ξ 2 ( ξ) ( ξ) + Fo T Fo T = Fo T + Fo T 0 0 mpoedo le codzo al cotoro: T ovvero: ( ξ ) ( + 2 ξ Fo) 2 Fo + = T T 0 =0 q = 0 0 co: λ = 2 Fo ξ = 0 Metodo Esplcto Fo λ = ξ = 2 Metodo Sem mplcto + Fo λ = ξ = Metodo Implcto + 2 Fo Δx 6/20

17 Aals della stabltà de tre metod A secoda del valore d l s possoo avere dvers cas: T + = λ T co: λ = 2 Fo ξ = 0 Metodo Esplcto Fo λ = ξ = 2 Metodo Sem mplcto + Fo λ = ξ = Metodo Implcto + 2 Fo che vara secodo seguet adamet: 7/20

18 Cocluso La dscretzzazoe temperale dell equazoe geerale può essere otteuta co dvers metod: Esplcto; Implcto; Sem-Implcto; Etc Il metodo esplcto può dvetare stable; Quello mplcto è codzoatamete; Il metodo sem-mplcto può dar luogo a oscllazo che rmagoo comuque stabl; La scelta del tpo d dscretzzazoe dpede dal problema che s deve rsolvere e o può essere prestablta. 8/20

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