DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA, INFORMAZIONE E BIOINGEGNERIA. INFORMATICA B Ingegneria Elettrica. La ricorsione

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1 INFORMATICA B Ingegneria Elettrica La ricorsione

2 Ricorsione Che cos è la ricorsione? Un sottoprogramma P richiama se stesso (ricorsione diretta) Un sottoprogramma P richiama un altro sottoprogramma Q che comporta un altra chiamata a P (ricorsione indiretta) A cosa serve? È una tecnica di programmazione molto potente Permette di risolvere in maniera elegante problemi complessi La soluzione ad un problema si dice ricorsiva (l algoritmo è ricorsivo) se è definita in termini di chiamata a se stessa 2

3 Ricorsione Per risolvere un problema attraverso la programmazione ricorsiva sono necessari alcuni elementi Caso base: caso elementare del problema che può essere risolto immediatamente Passo ricorsivo: chiamata ricorsiva per risolvere uno o più problemi più semplici (Costruzione della soluzione: costruzione della soluzione sulla base del risultato delle chiamate ricorsive) La ricorsione è strettamente legata all induzione Il metodo induttivo è composto da una base dell induzione ed un ipotesi induttiva L induzione può essere utilizzata per dimostrare la correttezza di una soluzione ricorsiva 3

4 Esempio 1: Fattoriale Definizione: f(n)= n! = n*(n-1)*(n-2)* *3*2*1 se n!=0 f(n)= 1 se n==0 Definizione ricorsiva: Caso base: f(0)=1 Passo ricorsivo: f(n)=n*f(n-1) Soluzione: function [f]=factric(n) if n==0 f=1; f=n*factric (n-1); 4

5 Esempio 1: Fattoriale - esecuzione factric(3) time Ogni chiamata corrisponde ad un ambiente locale time Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out): cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati 5

6 Condizioni di terminazione Le funzioni ricorsive devono soddisfare due condizioni principali: Possono invocare la funzione stessa ma solo con un valore in ingresso diverso (es.: prima n, poi n-1, poi n-2) Devono avere una condizione di terminazione che conclude la ricorsione (es.: se n=0 allora restituisci 1) Se si viola una delle due condizioni si genera una catena infinita di chiamate: il programma non terminerà mai! In realtà raggiunto un certo limite di chiamate ricorsive Matlab termina l esecuzione 6

7 Teorema di Jacopini Bohem Per il teorema di Jacopini Bohem la ricorsione non è necessaria Sequenza, selezione e iterazione sono sufficienti Quindi per ogni algoritmo ricorsivo esiste sempre anche una soluzione iterativa (spesso più complessa da ricavare ma comunque funzionalmente equivalente) Funzione Matlab iterativa: function [f]=factric(n) f=1; for k=1:n f=f*k; Funzione Matlab ricorsiva: function [f]=factric(n) if n==0 f=1; f=n*factric (n-1); 7

8 Esempio 2: Progressione di Fibonacci Sequenza di numeri che gode delle seguenti proprietà: F(1)=1, F(0)=0 F(N) = F(N 2) + F(N 1) per n>=2 La sequenza pre il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di popolazioni (in particolare quella dei conigli) 8

9 Esempio 2: Progressione di Fibonacci Numeri della sequenza: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Scrivere una funzione che calcola l i-esimo numero di Fibonacci: function [f] = fib(n) if n==0 f=0; if n==1 f=1; f=fib(n-2)+fib(n-1); 9

10 Esempio 3: calcolo dell MCD Il metodo di Euclide per il calcolo dello MCD dice che MCD(m,n)=m se m=n MCD(m,n)=MCD(m-n,n) se m>n MCD(m,n)=MCD(n,n-m) se m<n Soluzione: function [mcd] = getmcd(m,n) if m==n mcd=m; if m>n mcd=getmcd(m-n,n); mcd=getmcd(m,n-m); m = n = MCD = 10

11 Esempio 4: Massimo di un array Calcolare ricorsivamente il massimo di un array di interi max(vect(1:n)) = vect(1) se N=1 max(vect(1:n)) = max(vect(1),max(vect(2:n))) se N>1 Soluzione: function [m] = getmax(a) if length(a)==1 m=a(1); m1=getmax(a(2:)); if m1>a(1) m=m1; m=a(1); 11

12 Esempio 5: Ricerca binaria in un array ordinato Cercare un valore v in un array ordinato di interi v=6 è contenuto nel vettore a=[1, 1, 2, 4, 6, 8, 10]? In che posizione? Poiché gli elementi sono ordinati si può procedere come quando si cerca una parola in un dizionario: Si inizia la ricerca dall elemento centrale confrontandolo con il valore cercato: se corrisponde, la ricerca termina indicando che l'elemento è stato trovato se è superiore, la ricerca viene ripetuta sugli elementi precedenti (ovvero sulla prima metà dell array), scartando quelli successivi se invece è inferiore, la ricerca viene ripetuta sugli elementi successivi (ovvero sulla seconda metà dell array), scartando quelli precedenti Se tutti gli elementi sono stati scartati, la ricerca termina con un risultato negativo 12

13 Esempio 5: Ricerca binaria in un array ordinato Cercare un valore v in un array ordinato di interi v=6 è contenuto nel vettore a=[1, 1, 2, 4, 6, 8, 10]? In che posizione? Esempio: Si confronta v=6 con l elemento centrale (4) Poiché 6>4 si procede con la parte dell array contenente valori maggiori di 4 ([6, 8, 10]) Si confronta v=6 con l elemento centrale (8) Poiché 6<8 si procede con la parte dell array contenente valori minori di 8 ([6]) Si confronta v=6 con l elemento centrale (6) L elemento è stato trovato 13

14 Esempio 5: Ricerca binaria in un array ordinato Cercare un valore v in un array ordinato di interi v=7 è contenuto nel vettore a=[1, 1, 2, 4, 6, 8, 10]? In che posizione? Esempio: Si confronta v=7 con l elemento centrale (4) Poiché 7>4 si procede con la parte dell array contenente valori maggiori di 4 ([6, 8, 10]) Si confronta v=7 con l elemento centrale (8) Poiché 7<8 si procede con la parte dell array contenente valori minori di 8 ([6]) Si confronta v=7 con l elemento centrale (6) Poiché 7>6 si procede con la parte dell array contenente valori maggiori di 6, cioè l insieme vuoto ([]) La ricerca si ferma con un insuccesso 14

15 Esempio 5: Ricerca binaria in un array ordinato Soluzione: function [trovato, pos] = binsearch(arr, inizio, fine, valore) pos = -1; if (inizio>fine) trovato = false; m=floor((inizio+fine)/2); if (valore == arr(m)) trovato = true; pos = m; if (valore < arr(m)) [trovato, pos] = binsearch(arr, inizio, m-1, valore); [trovato, pos] = binsearch(arr, m+1, fine, valore); 15