T 1 =1. n 6 n. T n =3 T. Esercizio 1 (6 punti)

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1 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Esercizio (6 punti) Risolvere con almeno due metodi diversi la seguente relazione di ricorrenza T = T n =3 T n 6 n

2 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Esercizio (6 punti) La funzione per il quicksort è la seguente: public static void qs(int[] a, int l, int r ) { if (l < r){ int p = partition(a,l,r); qs(a,l,p); qs(a,p,r); } } Supponendo che il vettore da ordinare sia { 5, 5, 9, 7, 3, 8, 63} e che la scelta del pivot sia effettuata in modo casuale, determinare la sequenza di numeri casuali più fortunata (ovvero quella che porta all'esecuzione del caso migliore). Scrivere in forma di albero di ricorsione, la sequenza delle chiamate ricorsive con l'evidenziazione del pivot. Illustrare brevemente il vantaggio della randomizzazione. Sol. Il caso migliore si ha quando la scelta casuale individua ogni volta il mediano della porzione di array su cui si lavora. Durante la prima chiamata ricorsiva qs(a,,6) dovrà essere scelto come pivot il numero 8 (in posizione 5); dopo il lo scambio con la prima posizione: { 8, 5, 9, 7, 3, 5, 63} e dopo l'esecuzione di partition: { 3, 5, 9, 8, 7, 5, 63} con 8 in posizione mediana. La prima chiamata ricorsiva sarà qs(a,,) sulla porzione di array { 3, 5, 9...} la scelta casuale dovrà fornire il mediano (3) che si trova in posizione. L'array dopo l'esecuzione di partition sarà: { 9, 3, 5...} Le due successive chiamate qs(a,,) e qs(a,,) sono casi base della ricorsione e non richiedono scelte casuali. La seconda chiamata ricorsiva di primo livello qs(a,4,6) verrà applicata alla porzione di array {... 7, 5, 63} e come negli altri casi la scelta casuale del pivot dovrà individuare il mediano (63) in posizione 6; dopo l'esecuzione di partition si avrà: {... 5, 63, 7} e le due chiamate successive qs(a,4,4) e qs(a,6,6) sono casi base della ricorsione e non richiedono scelte casuali. In definitiva l'albero delle chiamate ricorsive sarà: qs(a,,6) piv = 5 qs(a,,) piv = qs(a,4,6) piv = 6 qs(a,,) qs(a,,) qs(a,4,4) qs(a,6,6) e la sequenza casuale fortunata dovrà essere 5,,6.

3 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Esercizio 3 (6 punti) Descrivere l'evoluzione di un AVL quando, partendo da un albero vuoto, la successione di inserimento delle chiavi è la seguente: 5, 3, 4,,,, 7,,,, 9,, 7,. Successivamente eseguire le seguenti cancellazioni:, 9,4. Evidenziare nelle varie fasi gli sbilanciamenti dei nodi interessati alle rotazioni e le rotazioni stesse. Sol. Ins 5; Ins Ins SD Ins ; Ins DS 3 5 Ins DS 3

4 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Ins 7; Ins ; Ins SS Ins ; Ins 9; Ins ; Ins 7; Ins Del

5 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Del SS Del SS DD 7 3 Notare che in seguito all'ultima cancellazione è stato necessario effettuare rotazioni.

6 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Esercizio 4 (6 punti) Descrivere l'evoluzione di un Heap Binomiale quando, partendo dalla struttura vuota, la successione di inserimento delle chiavi è la seguente: 5, 3, 4,,,, 7,,,, 9,, 7,. Successivamente eseguire 3 cancellazioni del minimo successive. Evidenziare nelle varie fasi la struttura del'heap. Riassumere i tempi di esecuzione delle varie operazioni sugli Heap Binomiali. Sol. Ins 5 5 Ins Ins Ins Ins 3 5 4

7 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Ins Ins Ins Le successive 6 operazioni di inserimento provocheranno altre 4 fusioni.

8 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Ins ; Ins ; Ins 9; Ins ; Ins 7; Ins DelMin ->

9 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 DelMin -> DelMin ->

10 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Esercizio 5 (6 punti) Illustrare l'algoritmo di Prim (in pseudocodice) e la sua complessità in funzione della rappresentazione del grafo. Dato il grafo pesato rappresentato nella figura mostrare l'evoluzione dell'algoritmo di Prim evidenziando le strutture dati associate, la marcatura dei nodi e l'albero ricoprente Sol. Partendo dal nodo, si elencano le operazioni effettuate dall'algoritmo, lo stato delle strutture dati (P: array dei predecessori rappresentante l'albero T della visita, d: array di marcatura dei nodi con le distanze dei nodi dall'albero, e la coda di priorità Q (implementabile con heap, binomial heap o Fibonacci heap). L'inserimento del nodo v in seguito alla visita dell'arco (u,v) sarà rappresentato da: Q.ins(v,w(u,v)) dove w(u,v) è il peso dell'arco e rappresenta la priorità; Q.delMin() -> u, w restituisce il nodo e il peso dell'arco che lo collega a T; Q.decK(v,w) decrementa il valore della priorità del nodo v al valore w. Inizializzazione di P,Q e d Q.ins(,); P[]=; d[]=; P={,,,,,,,, } d={,,,,,,,, } Q={(,)} Iterazione Iterazione Iterazione 3 Q.delMin()->(,) u= Q.ins(,); P[]=; d[]=; Q.ins(5,); P[5]=; d[5]=; Q={} P={,,,,,,,, } Q={(,), (5,)} d={,,,,,,,, } Q.delMin() ->(,) u= Q.ins(3,); P[3]=; d[3]=; Q.ins(4,4); P[4]=; d[4]=4; Q={(5,)} P={,,,,,,,, } Q={(5,), (3,), (4,4)} d={,,, 4,,,,, } Q.delMin() ->(5,) Q={(3,), (4,4)} u=5 Il nodo 3 è già in Q e il peso associato (d[3]=) è inferiore al peso dell'arco (5, 3) Q.ins(9,4); P[9]=5; d[9]=4; P={,,,,,,,, 5} Q={(3,), (4,4), (9,4)} d={,,, 4,,,,, 4}

11 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Iterazione 4 Iterazione 5 Iterazione 6 Iterazione 7 Q.delMin() ->(3,) u=3 Q.decK(4,); P[4]=3; d[4]=; Q.ins(7,); P[7]=3; d[7]=; Q={(4,4), (9,4)} P={,,, 3,,, 3,, 5} Q={(4,), (9,4), (7,)} d={,,,,,,,, 4} Q.delMin() ->(4,) Q={(9,4), (7,)} u=4 Il nodo 7 è già in Q con un arco di peso () inferiore al peso di (4,7) Q.ins(6,); P[6]=4; d[6]=; P={,,, 3,, 4, 3,, 5} Q={(9,4), (7,), (6,)} d={,,,,,,,, 4} Q.delMin() ->(6,) u=6 Q.ins(8,); P[8]=6; d[8]=; Q.decK(9,3); P[9]=6; d[9]=3; Q={(9,4), (7,)} P={,,, 3,, 4, 3, 6, 6} Q={(9,3), (7,), (8,)} d={,,,,,,,, 3} Q.delMin() -> (8,) u=8 Q.decK(9,); P[9]=8; d[9]=; Q={(9,3), (7,)} P={,,, 3,, 4, 3, 6, 8} Q={(9,), (7,)} d={,,,,,,,, } Iterazione 8 Q.delMin() -> (7,) u=7 nessuna operazione Q={(9,)} Iterazione 9 Q.delMin() -> (9,) u=9 nessuna operazione Q={}

12 A.A. 7 8 Esame di Algoritmi e strutture dati 9 luglio 8 Le stesse informazioni possono essere riassunte nella seguente tabella: Iniz. Iter. Iter. Iter. 3 Iter. 4 Iter. 5 Iter. 6 Iter. 7 Iter. 8 Iter. 9 u= u= u=5 u=3 u=4 u=6 u=8 u=7 u=9 P d P d P d P d P d P d P d P d P d P d Ogni coppia di colonne rappresenta lo stato delle variabili dopo l'iterazione indicata nell'intestazione di colonna. In grassetto blu è indicato il nodo scelto dall'estrazione del minimo e che entra a far parte dell'albero (quello per cui d è minimo). In rosso sono indicati i decrementi del valore delle distanze. Quando un nodo viene estratto dalla coda Q la riga corrispondente non viene proseguita (i valori replicherebbero quelli indicati in grassetto), per cui la coda Q di priorità è rappresentata dai nodi per cui d è diverso da ; tali nodi sono comunque cerchiati; ad esempio dopo l'iterazione 4 i nodi in Q sono il 4, il 7 e il 9 rispettivamente con pesi, e 4. La successione dei tagli e degli archi blu è evidenziata in figura: l'albero cresce inglobando un nodo alla volta (dal taglio più interno verso l'esterno)