Analisi Discriminante Strumenti quantitativi per la gestione

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi Discriminante Strumenti quantitativi per la gestione"

Transcript

1 Analisi Discriminante Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Un esempio introduttivo Approccio con Bayes Perchè un altro metodo di classificazione? Classificazione con Bayes Analisi discriminante lineare (LDA): Esempio Stima dei parametri Esempio grafico Analisi discriminante lineare (LDA): Esempio p = 1 p > 1 LDA sul dataset Default Specificità e sensitività Modificare la decisione Trade off sensitività specificità La curva ROC Analisi discriminante quadratica (QDA) LDA QDA: confronto grafico Comparazione dei metodi di classificazione LDA e regressione logistica KNN e QDA Simulazioni: scenari lineari Simulazioni: scenari non lineari Riferimenti bibliografici Un esempio introduttivo file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 1/13

2 Consideriamo il data set Default e supponiamo di usare un solo predittore, student P(default = Y es student = Y es) per determinare Incrociando i dati otteniamo student default No Yes Sum No Yes Sum Si noti che in questo caso, possiamo stimare direttamente Tuttavia nella pratica, volendo prevedere la probabilità di default sulla base di variabili qualitative e quantitative, risulta più semplice passare attraverso l utilizzo dl teorema di Bayes Approccio con Bayes Indichiamo con 127 P^ (default = Y es student = Y es) = = π = P(default = Y es) e corrispondentemente (1 π) = P(default = No) Inoltre, e P(S D) = P(student = Y es default = Y es) P(S D ) = P(student = Y es default = No) Utilizzando il teorema di Bayes otteniamo P(default = Y es student = Y es) = π P(S D) π P(S D) + (1 π) P(S D ) In assenza di qualsiasi informazione ulteriore, selezionata un unità a caso, utilizzando la tabella, possiamo stimare e 333 π^ = = P^ (S D) = P^ (student = Y es default = Y es) = = (S ) = (student = Y es default = No) = = 0.29 P^ D P^ file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 2/13

3 Inserendo i valori ottenuti nella formula di Bayes otteniamo P^ (default = Y es student = Y es) = L analisi discriminante utilizza il teorema di Bayes per produrre delle stime che una variabile risposta Y qualitativa appartenga ad una certa categoria k = 1, 2,, K sulla base di informazioni fornite da predittori qualitativi e quantitativi. Perchè un altro metodo di classificazione? Quando le classi di Y sono ben separate dai predittori, le stime per il modello di regressione logistica sono sorprendentemente instabili. L analisi discriminante lineare non soffre di questo problema. Se n è piccolo e la distribuzione del predittori X è approssimativamente normale in ciascuna delle classi, il modello discriminante lineare è più stabile rispetto al modello di regressione logistica. L analisi discriminante lineare è più semplice da usare quando abbiamo più di due classi per Y. Classificazione con Bayes = Supponiamo che la variabile risposta qualitativa possa assumere possibili valori distinti (non ordinati). π k k = 1, 2, K Y K 2 Indichiamo con, la probabilità che un osservazione scelta a caso appartenga alla classe k; (probabilità a priori) Indichiamo con f k (x) = P r(x = x Y = k) la funzione di densità di X condizionata a Y = k. Il ricorso alle densità è necessario poiché X può essere un carattere continuo. Il teorema di Bayes ottiene P(Y = k X = x) = π k f k (x) K j=1 π jf j (x) Definiamo p k (x) = P(Y = k X = x) la probabilità a posteriori che l unità appartenga alla classe k dato il valore dei predittori X = x. π k Poiché le probabilità a priori possono essere facilmente stimate ricorrendo alle frequenze relative di ciascuna classe di Y. Il problema si riduce alla determinazione di una buona stima di. f k (x) file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 3/13

4 Analisi discriminante lineare (LDA): L assunzione di base della LDA, che permette di stimare agevolmente, è quella per cui è normale o gaussiana: dove μ k e σ 2 k sono rispettivamente la media e la varianza della classe k. Nella LDA assumiamo che σ 2 1 σ 2 k σ 2. Le probabilità a posteriori diventano Si ricordi che la regola del classificatore di Bayes assegna l unità alla classe k per la quale p k è massima. Rielaborando l espressione per si ottiene che è massima quando è massimo. Esempio Se K = 2 e π1 = π2 = 0.5 allora il classificatore di Bayes assegna l unità alla classe 1 se ed alla classe 2 altrimenti. f k (x) ) (x) = exp( (x 1 μ k ) 2 2π f k 1 σ k = = = 2σ 2 k exp( (x ) p k (x) = π 1 1 k σ 2π 2σ2 μ ) 2 k exp( (x ) K j=1 π 1 1 j p k (x) δ k σ μ k 2π p k (x) 2σ 2 μ j ) 2 (x) = x + log( ) σ 2 μ2 k 2σ 2 2x ( ) > μ1 μ2 μ 2 1 μ 2 2 π k p = 1 f k (x) Possiamo determinare la frontiera di decisione come μ x = 2 1 μ 2 = 2( ) μ1 μ2 μ1 + 2 μ2 Stima dei parametri Per implementare il metodo in pratica è necessario procedere alla stima dei parametri μ1 μ K, σ 2, π1, π K. Se n k indica la numerosità di osservazioni training nel gruppo k, gli stimatori usati sono molto semplici:, file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 4/13

5 σ^2 μ^k = 1 n k i: =k y i x i 1 = K ( n K k=1 i: =k y i x i μ k ) 2 π^k = n k n I parametri stimati sono sostituiti nelle formule viste sopra per ottenere stime della probabilità di appartenenza ad una certa classe e per la classificazione. Esempio grafico Sinistra: popolazione. Destra: campione Tratteggiato: frontiera di decisione di Bayes Continuo: frontiera di decisione LDA Analisi discriminante lineare (LDA): X = (,,, ) p > 1 Nel caso in cui vi siano più predittori X1 X2 l assunzione tipica nella LDA è che le ossevazioni del gruppo k, ( k = 1, 2,, K) provengano da una distribuzione normale multivariata X N( μ k, Σ). Nota: nella LDA, il vettore μk è specifico per ciascuna classe mentre Σ è comune a tutte le classi K. Effettuata la stima dei parametri,, le probabilità sono stimate ricorrendo al teorema di Bayes. Attraverso queste è poi possibile procedere alla classificazione delle unità. X p ( μ k, Σ) k = 1, 2,, K P(Y = k X = x) file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 5/13

6 Esempio Analogamente a quanto visto nel caso pratica delle frontiere di decisione. Nel grafico seguente vi sono K = 3 p = 1, utilizzando il classificatore di Bayes, la LDA determina in classi e tre frontiere di decisione. Il classificatore di Bayes assegna l unità in base alla regione in cui trova. Sinistra: popolazione. Destra: campione Tratteggiato: frontiera di decisione di Bayes Continuo: frontiera di decisione LDA LDA sul dataset Default La procedura lda() (dettagli nel Laboratorio) utilizzata per il data set Default fornisce la seguente tabella di classificazione previsione.default default No Yes Sum No Yes Sum ( )/10000 = La procedura in totale ha una percentuale di errore pari a (2.76%) Sebbene l errore totale sembri molto basso si noti che la semplice regola che classifica tutte le unità come non Default ha un errore totale del 3,33%. file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 6/13

7 Se gli errori sono calcolati per sottogruppi si ha che 22/9667 = sono stati scorrettamente classificati come defaulter 254/333 = sono stati scorrettamente classificati come non defaulter Dal punto di vista della società creditizia un percentuale così elevata di classificazioni sbagliate tra i defaulter può essere inaccettabile. Il classificatore di Bayes, assegnando l unità alla classe con probabilità prevista più elevata garantisce il più basso errore totale. Non è detto che questa sia la strategia ottimale per tutte le situazioni. Specificità e sensitività Prendendo a prestito una terminologia tipica dei test clinici definiamo: La Sensitività del classificatore come la sua capacità di individuare correttamente i defaulter. In questo caso 79 su 333 pari al 23, 7%, definiti anche veri positivi La Specificità del classificatore come la sua capacità di individuare correttamente i non defaulter. In questo caso 9645 su 9667 pari al 99.77%, definiti anche veri negativi Le unità classificate scorrettamente sono definite falsi negativi: defaulters classficati come non defaulters falsi positivi: non defaulters classificati come defaulters In un contesto di verifica delle ipotesi dove H0 : non default contro H a : default i falsi positivi sono associati all errore di prima specie mentre i falsi negativi sono associati all errore di seconda specie. Modificare la decisione Tornando all esempio, se la classificazione in base alla regola produce bassa sensitività, si potrebbe provare, ad esempio, con I risultati sono nella tavola seguente: P(default = Y es X = x) > 0.2 P(default = Y es X = x) > 0.5 previsione.default.2 default No Yes Sum No Yes Sum file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 7/13

8 In questo caso l errore tra i defaulters è pari al %, rispetto al % precedente La sensitività ci fornisce un altro modo per leggere il miglioramento: ora è pari a % rispetto al % precedente. 23, 7 140/ Si noti che la specificità è ora diminuita passando da % a % ( ) Trade off sensitività specificità / /333 ossia il Nero: errore totale Arancio (puntutato): falsi positivi Blu (tratteggiato): falsi negativi La curva ROC file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 8/13

9 La curva ROC visualizza simultaneamente i due tipi di errore per tutte le soglie possibili. Il rendimento globale di un classificatore, in base a tutte le soglie possibili, è dato dall area sotto la curva (AUC). Tanto più elevata è l area tanto migliore è il classificatore Una curva ROC ideale dovrebbe arrivare fino all angolo in alto a sinistra, Per i dati Default l AUC è, molto vicino al massimo ( ). Ci si aspetta che un classificatore totalmente casuale (ossia senza capacità predittiva), abbia valoredi AUC non superiore a (valutati su un training set) Le curve ROC sono utili per confrontare diversi classificatori. Analisi discriminante quadratica (QDA) Nella LDA l assunzione di base è che per ogni classe, decisione lineari k X N(, Σ) μ k, ottenendo frontiere di file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 9/13

10 Nella QDA l assunzione di base è che per ogni classe, che ogni gruppo abbia variabilità diversa. In quest ultimo caso si ottengono frontiere di decisione non lineari. LDA QDA: confronto grafico k X N(, ) μ k Σ k, ossia si prevede la possibilità Viola (tratteggiato): classificatore di Bayes Nero (punteggiato): LDA Verde (continuo): QDA LDA è meno flessibile di QDA ed ha quindi minore varianza Ma c è un trade off: se l assunto di LDA che le K totalmente errato, ci può essere bias elevato classi condividano la stessa matrice di covarianza è LDA tende ad essere la scelta migliore se ci sono relativamente poche osservazioni training e ridurre la variabilità è cruciale. Al contrario, QDA è consigliata se il training set è molto grande, o se l assunzione di una matrice di covarianza comune per le K classi è chiaramente insostenibile. Comparazione dei metodi di classificazione Compariamo alcune caratteristiche e performance dei 4 metodi visti finora: 1. Regressione logistica 2. Analisi discriminante lineare (LDA) 3. Analisi discriminante quadratica (QDA) file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 10/13

11 4. Classificazione K nearest neighbor (KNN) LDA e regressione logistica Consideriamo per semplicità il caso e ; indichiamo con p1 ; è possibile verificare che 1. Nella LDA, per c0, c1 delle funzioni di μ1, μ2, σ 2. Nella regressione logistica abbiamo visto che Nella LDA la stima di c0 e c1 avviene sulla base di un assunzione di normalità nei gruppi, nella regressione logistica quest assunzione non viene fatta. La performance dei due metodi è spesso comparabile tuttavia la LDA tende a superare la regressione logistica se l assunzione di normalità è soddisfatta mentre accade il contrario se la situazione è lontana dal caso normale. Ricordiamo inoltre che nel caso la LDA è più agevole da usare rispetto alla regressione logistica che richiede di formare equazioni logistiche. KNN e QDA K 1 K > 2 Se le regioni ottimali di separazione dei gruppi hanno frontiere non lineari, l uso di KNN oppure LDA può essere più appropriato. La KNN è un approccio non parametrico che può accomodare agevolmente non linearità di qualsiasi tipo, può richiedere tuttavia un elevato numero di unità training La QDA può performare meglio nel caso di un numero limitato di osservazioni poichè fa delle assunzioni sulla forma delle frontiere (di tipo quadratico) Si noti che, analogamente a quanto visto nel caso della regressione lineare, non linearità possono essere introdotte anche attraverso l uso di interazioni e termini polinomiali Simulazioni: scenari lineari p = 1 K = 2 (x) = P(Y = 1 X = x) p1(x) log = c0 + c1x 1 (x) Nel grafico seguente si mettono in evidenza le performance dei diversi metodi di classificazione (attraverso la misurazione dell errore test) p1 p1(x) log = β0 + β1x 1 (x) p1 1. I gruppi (con stessa variabilità) sono generati da variabili casuali normali indipendenti. Caso che si adatta perfettamente alla LDA file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 11/13

12 2. I gruppi sono generati da variabili casuali normali correlate fra loro. Caso che ancora si adatta bene alla LDA. 3. I gruppi sono generati da variabili casuali non normali (distribuzione t). Caso che si allontana da quanto postulato dalla LDA. Simulazioni: scenari non lineari 4. I gruppi (con variabilità differenti) sono generati da variabili casuali normali indipendenti. Caso che si adatta perfettamente alla QDA 5. Situazione simile al caso 4, con non linearità più marcata. 6. Situazione altamente non lineare Riferimenti bibliografici file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 12/13

13 An Introduction to Statistical Learning, with applications in R. (Springer, 2013) Alcune delle figure in questa presentazione sono tratte dal testo con il permesso degli autori: G. James, D. Witten, T. Hastie e R. Tibshirani file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4d_ad.html 13/13

Regressione logistica. Strumenti quantitativi per la gestione

Regressione logistica. Strumenti quantitativi per la gestione Regressione logistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/4a_rlg.html#(1) 1/25 Metodi di classificazione I metodi usati per analizzare

Dettagli

Regressione logistica

Regressione logistica Regressione logistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Metodi di classificazione Tecniche principali Alcuni esempi Data set Default I dati La regressione logistica Esempio Il modello

Dettagli

Luigi Santoro. Hyperphar Group S.p.A., MIlano

Luigi Santoro. Hyperphar Group S.p.A., MIlano Come modellare il rischio Luigi Santoro Hyperphar Group S.p.A., MIlano Gli argomenti discussi Le definizioni del termine rischio L utilità di un modello predittivo di rischio Come costruire modelli predittivi

Dettagli

Metodi per la riduzione della dimensionalità. Strumenti quantitativi per la gestione

Metodi per la riduzione della dimensionalità. Strumenti quantitativi per la gestione Metodi per la riduzione della dimensionalità Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer file:///c:/users/emanuele.taufer/dropbox/3%20sqg/classes/6c_pca.html#(1) 1/25 Introduzione Gli approcci

Dettagli

Esercitazione: La distribuzione NORMALE

Esercitazione: La distribuzione NORMALE Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle

Dettagli

Capitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica

Capitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 8 Intervalli di confidenza Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università

Dettagli

1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate

1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate Il modello lineare-gaussiano e il filtro di Kalman Prof. P.Dai Pra 1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate In questo paragrafo verranno enunciate e dimostrate alcune proprietà del valor

Dettagli

METODI DI CLASSIFICAZIONE. Federico Marini

METODI DI CLASSIFICAZIONE. Federico Marini METODI DI CLASSIFICAZIONE Federico Marini Introduzione Nella parte introduttiva dell analisi multivariata abbiamo descritto la possibilità di riconoscere l origine di alcuni campioni come uno dei campi

Dettagli

Distribuzioni e inferenza statistica

Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione

Dettagli

e applicazioni al dominio del Contact Management Andrea Brunello Università degli Studi di Udine

e applicazioni al dominio del Contact Management Andrea Brunello Università degli Studi di Udine e applicazioni al dominio del Contact Management Parte V: combinazione di Università degli Studi di Udine In collaborazione con dott. Enrico Marzano, CIO Gap srl progetto Active Contact System 1/10 Contenuti

Dettagli

IL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA

IL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Metodi per l Analisi dei Dati Sperimentali AA009/010 IL CRITERIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIANZA Sommario Massima Verosimiglianza Introduzione La Massima Verosimiglianza Esempio 1: una sola misura sperimentale

Dettagli

Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura

Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura INDICE GENERALE Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura XI XIV XV XVII XVIII 1 LA RILEVAZIONE DEI FENOMENI

Dettagli

Riconoscimento e recupero dell informazione per bioinformatica

Riconoscimento e recupero dell informazione per bioinformatica Riconoscimento e recupero dell informazione per bioinformatica Teoria della decisione di Bayes Manuele Bicego Corso di Laurea in Bioinformatica Dipartimento di Informatica - Università di Verona Sommario

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia: il modello di regressione

Statistica Applicata all edilizia: il modello di regressione Statistica Applicata all edilizia: il modello di regressione E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 27 aprile 2009 Indice Il modello di Regressione Lineare 1 Il modello di Regressione Lineare Analisi di regressione

Dettagli

Esame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016

Esame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016 Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione

Dettagli

L indagine campionaria Lezione 3

L indagine campionaria Lezione 3 Anno accademico 2007/08 L indagine campionaria Lezione 3 Docente: prof. Maurizio Pisati Variabile casuale Una variabile casuale è una quantità discreta o continua il cui valore è determinato dal risultato

Dettagli

Statistica di base per l analisi socio-economica

Statistica di base per l analisi socio-economica Laurea Magistrale in Management e comunicazione d impresa Statistica di base per l analisi socio-economica Giovanni Di Bartolomeo gdibartolomeo@unite.it Definizioni di base Una popolazione è l insieme

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in medicina e chirurgia. Corso di Statistica Medica. La distribuzione t - student

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in medicina e chirurgia. Corso di Statistica Medica. La distribuzione t - student Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica La distribuzione t - student 1 Abbiamo visto nelle lezioni precedenti come il calcolo del valore Z,

Dettagli

Il modello di regressione lineare multipla. Il modello di regressione lineare multipla

Il modello di regressione lineare multipla. Il modello di regressione lineare multipla Introduzione E la generalizzazione del modello di regressione lineare semplice: per spiegare il fenomeno d interesse Y vengono introdotte p, con p > 1, variabili esplicative. Tale generalizzazione diventa

Dettagli

Distribuzioni campionarie

Distribuzioni campionarie 1 Inferenza Statistica Descrittiva Distribuzioni campionarie Statistica Inferenziale: affronta problemi di decisione in condizioni di incertezza basandosi sia su informazioni a priori sia sui dati campionari

Dettagli

LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE LE DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE Argomenti Principi e metodi dell inferenza statistica Metodi di campionamento Campioni casuali Le distribuzioni campionarie notevoli: La distribuzione della media campionaria

Dettagli

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base Teoria e tecniche dei test Lezione 2 2013/14 ALCUNE NOZIONI STATITICHE DI BASE Concetti di base Campione e popolazione (1) La popolazione è l insieme di individui o oggetti che si vogliono studiare. Questi

Dettagli

si tratta del test del chi-quadro di adattamento e di quello di indipendenza. 1 l ipotesi che la popolazione segua una legge fissata;

si tratta del test del chi-quadro di adattamento e di quello di indipendenza. 1 l ipotesi che la popolazione segua una legge fissata; di : dado : normale Finora abbiamo visto test d ipotesi per testare ipotesi differenti, ma tutte concernenti il valore atteso di una o due popolazioni. In questo capitolo vediamo come testare 1 l ipotesi

Dettagli

Esercitazione del

Esercitazione del Esercizi sulla regressione lineare. Esercitazione del 21.05.2013 Esercizio dal tema d esame del 13.06.2011. Si consideri il seguente campione di n = 9 osservazioni relative ai caratteri ed Y: 7 17 8 36

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 2015-16 P.Baldi Lista di esercizi 4, 11 febbraio 2016. Esercizio 1 Una v.a.

Dettagli

Analisi della varianza

Analisi della varianza Analisi della varianza Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona ANALISI DELLA VARIANZA - 1 Abbiamo k gruppi, con un numero variabile di unità statistiche.

Dettagli

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.

Dettagli

ESERCITAZIONE IV - Soluzioni

ESERCITAZIONE IV - Soluzioni umero di omicidi ESERCITAZIOE IV - Soluzioni Esercizio I. a),00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0 5 10 15 20 25 Popolazione povera (%) b) Poiché i due caratteri in analisi sono quantitativi per calcolare

Dettagli

0 altimenti 1 soggetto trova lavoroentro 6 mesi}

0 altimenti 1 soggetto trova lavoroentro 6 mesi} Lezione n. 16 (a cura di Peluso Filomena Francesca) Oltre alle normali variabili risposta che presentano una continuità almeno all'interno di un certo intervallo di valori, esistono variabili risposta

Dettagli

DISTRIBUZIONE NORMALE (1)

DISTRIBUZIONE NORMALE (1) DISTRIBUZIONE NORMALE (1) Nella popolazione generale molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da un punto di vista matematico, chiamata distribuzione normale

Dettagli

CHEMIOMETRIA. CONFRONTO CON VALORE ATTESO (test d ipotesi) CONFRONTO DI VALORI MISURATI (test d ipotesi) CONFRONTO DI RIPRODUCIBILITA (test d ipotesi)

CHEMIOMETRIA. CONFRONTO CON VALORE ATTESO (test d ipotesi) CONFRONTO DI VALORI MISURATI (test d ipotesi) CONFRONTO DI RIPRODUCIBILITA (test d ipotesi) CHEMIOMETRIA Applicazione di metodi matematici e statistici per estrarre (massima) informazione chimica (affidabile) da dati chimici INCERTEZZA DI MISURA (intervallo di confidenza/fiducia) CONFRONTO CON

Dettagli

Note sulla probabilità

Note sulla probabilità Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15

Dettagli

Analisi descrittiva: calcolando medie campionarie, varianze campionarie e deviazioni standard campionarie otteniamo i dati:

Analisi descrittiva: calcolando medie campionarie, varianze campionarie e deviazioni standard campionarie otteniamo i dati: Obiettivi: Esplicitare la correlazione esistente tra l altezza di un individuo adulto e la lunghezza del suo piede e del suo avambraccio. Idea del progetto: Il progetto nasce dall idea di acquistare scarpe

Dettagli

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 2010-11 P.Baldi Lista di esercizi 3. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio 1 Una v.a. X segue una legge N(2, ). Calcolare a1) P(X 1) a2) P(2

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto

Dettagli

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento

Dettagli

Variabili aleatorie gaussiane

Variabili aleatorie gaussiane Variabili aleatorie gaussiane La distribuzione normale (riconoscibile dalla curva a forma di campana) è la più usata tra tutte le distribuzioni, perché molte distribuzioni che ricorrono naturalmente sono

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 1 A. I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono

Dettagli

LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell

LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano Strumenti statistici in Excell Pacchetto Analisi di dati Strumenti di analisi: Analisi varianza: ad un fattore Analisi

Dettagli

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica

Strumenti di indagine per la valutazione psicologica Strumenti di indagine per la valutazione psicologica.3 - La distribuzione normale Tempi di reazione Registrati i tempi di reazione (in millisecondi) a uno stimolo (n = 30). Classe Freq Freq relative Densità

Dettagli

Intervalli di confidenza

Intervalli di confidenza Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione

Dettagli

L elasticità e le sue applicazioni in economia Introduzione

L elasticità e le sue applicazioni in economia Introduzione L elasticità e le sue applicazioni in economia Introduzione Fino ad ora l analisi su domanda, offerta ed equilibrio di mercato è stata di tipo qualitativo. Se vogliamo avere una misura quantitativa degli

Dettagli

Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione. Paola Giacomello Dip. Scienze Sociali ed Economiche Uniroma1

Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione. Paola Giacomello Dip. Scienze Sociali ed Economiche Uniroma1 Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione 1 Definisco il problema da studiare: es. tempo di percorrenza tra abitazione e università Carattere: tempo ossia v.s. continua Popolazione:

Dettagli

Variabili aleatorie continue

Variabili aleatorie continue Variabili aleatorie continue Per descrivere la distribuzione di una variabile aleatoria continua, non si può più assegnare una probabilità positiva ad ogni valore possibile. Si assume allora di poter specificare

Dettagli

Test d Ipotesi Introduzione

Test d Ipotesi Introduzione Test d Ipotesi Introduzione Uno degli scopi più importanti di un analisi statistica è quello di utilizzare i dati provenienti da un campione per fare inferenza sulla popolazione da cui è stato estratto

Dettagli

3.1 Classificazione dei fenomeni statistici Questionari e scale di modalità Classificazione delle scale di modalità 17

3.1 Classificazione dei fenomeni statistici Questionari e scale di modalità Classificazione delle scale di modalità 17 C L Autore Ringraziamenti dell Editore Elenco dei simboli e delle abbreviazioni in ordine di apparizione XI XI XIII 1 Introduzione 1 FAQ e qualcos altro, da leggere prima 1.1 Questo è un libro di Statistica

Dettagli

Modelli con predittori qualitativi e modelli con interazioni

Modelli con predittori qualitativi e modelli con interazioni Modelli con predittori qualitativi e modelli con interazioni Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Utilizzare variabili indipendenti qualitative (VIQ) Codifica binaria 0,1 Esempio: salari

Dettagli

Variabile casuale Normale

Variabile casuale Normale Variabile casuale Normale La var. casuale Normale (o Gaussiana) è considerata la più importante distribuzione Statistica per le innumerevoli Applicazioni e per le rilevanti proprietà di cui gode L'importanza

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE

STATISTICA ESERCITAZIONE STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 1 Giugno 2015 Esercizio 1 Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in

Dettagli

Calcolo delle Probabilità 2

Calcolo delle Probabilità 2 Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 2 Maggio 2006 Sia X una variabile aleatoria distribuita secondo la densità seguente ke x 1 x < 0 f X (x) = 1/2 0 x 1. 1. Determinare il valore del parametro reale

Dettagli

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto -

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Nell ipotesi che i dati si distribuiscano seguendo una curva Gaussiana è possibile dare un carattere predittivo alla deviazione standard La prossima misura

Dettagli

Casa dello Studente. Casa dello Studente

Casa dello Studente. Casa dello Studente Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino

Dettagli

GENETICA QUANTITATIVA

GENETICA QUANTITATIVA GENETICA QUANTITATIVA Caratteri quantitativi e qualitativi I caratteri discontinui o qualitativi esibiscono un numero ridotto di fenotipi e mostrano una relazione genotipo-fenotipo semplice I caratteri

Dettagli

Esercizi di preparazione all esame di Statistica Dr Alessia Mammone alessia STATISTICA DESCRITTIVA

Esercizi di preparazione all esame di Statistica Dr Alessia Mammone alessia STATISTICA DESCRITTIVA Esercizi di preparazione all esame di Statistica Dr Alessia Mammone alessia mammone@gmail.com STATISTICA DESCRITTIVA Esercizio 1. Calcolare media, varianza, deviazione standard, mediana e moda delle seguenti

Dettagli

Distribuzione Normale

Distribuzione Normale Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di

Dettagli

Tecniche di riconoscimento statistico

Tecniche di riconoscimento statistico On AIR s.r.l. Tecniche di riconoscimento statistico Applicazioni alla lettura automatica di testi (OCR) Parte 2 Teoria della decisione Ennio Ottaviani On AIR srl ennio.ottaviani@onairweb.com http://www.onairweb.com/corsopr

Dettagli

Ringraziamenti dell Editore

Ringraziamenti dell Editore Indice Elenco dei simboli e delle abbreviazioni in ordine di apparizione Ringraziamenti dell Editore XI XVII 1 Introduzione FAQ e qualcos altro, da leggere prima 1 1.1 QuestoèunlibrodiStatistica....................

Dettagli

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo TOPOGRAFIA 2013/2014 L operazione di misura di una grandezza produce un numero reale che esprime il rapporto della grandezza stessa rispetto a un altra, a essa omogenea, assunta come unità di misura. L

Dettagli

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni La statistica inferenziale Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni E necessario però anche aggiungere con

Dettagli

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Es.. Soluzione degli esercizi del capitolo 4 4. Il sistema d ipotesi è: μ 7, H : μ 7, Essendo 0 : t,

Dettagli

Statistical learning Strumenti quantitativi per la gestione

Statistical learning Strumenti quantitativi per la gestione Statistical learning Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Vendite Simbologia Reddito Statistical learning A cosa ci serve f? 1 Previsione 2 Inferenza Previsione Errore riducibile e errore

Dettagli

Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica. 7 Dicembre 2012

Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica. 7 Dicembre 2012 Prova scritta di Complementi di Probabilità e Statistica 7 Dicembre. Un ingegnere vuole investigare se le caratteristiche di una superficie metallica sono influenzate dal tipo di pittura usata e dal tempo

Dettagli

Esercizi su distribuzioni doppie, dipendenza, correlazione e regressione (Statistica I, IV Canale)

Esercizi su distribuzioni doppie, dipendenza, correlazione e regressione (Statistica I, IV Canale) Esercizi su distribuzioni doppie, dipendenza, correlazione e regressione (Statistica I, IV Canale) Esercizio 1: Un indagine su 10.000 famiglie ha dato luogo, fra le altre, alle osservazioni riportate nella

Dettagli

Proprietà della varianza

Proprietà della varianza Proprietà della varianza Proprietà della varianza Proprietà della varianza Proprietà della varianza Intermezzo: ma perché dovremmo darci la pena di studiare come calcolare la varianza nel caso di somme,

Dettagli

Il modello lineare misto

Il modello lineare misto Il modello lineare misto (capitolo 9) A M D Marcello Gallucci Univerisità Milano-Bicocca Lezione: 15 GLM Modello Lineare Generale vantaggi Consente di stimare le relazioni fra due o più variabili Si applica

Dettagli

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 n k 6 5 n=0 =. 9.4-.6 5 4.6-3.8 3 Numero di misure nell intervallo 0 0 4 6 8 0 4 6 8 30 ISTOGRAMMI

Dettagli

Il confronto fra medie

Il confronto fra medie L. Boni Obiettivo Verificare l'ipotesi che regimi alimentari differenti non producano mediamente lo stesso effetto sulla gittata cardiaca Ipotesi nulla IPOTESI NULLA La dieta non dovrebbe modificare in

Dettagli

MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013

MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013 MATEMATICA CORSO A II COMPITINO (Tema 1) 5 Aprile 2013 Soluzioni 1. Due sperimentatori hanno rilevato rispettivamente 25 e 5 misure di una certa grandezza lineare e calcolato le medie che sono risultate

Dettagli

Approssimazione normale alla distribuzione binomiale

Approssimazione normale alla distribuzione binomiale Approssimazione normale alla distribuzione binomiale P b (X r) costoso P b (X r) P(X r) per N grande Teorema: Se la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri N e p, allora, per N

Dettagli

Andrea Manganaro. Tecniche di campionamento a confronto per i sistemi di audit regionali

Andrea Manganaro. Tecniche di campionamento a confronto per i sistemi di audit regionali Andrea Manganaro Tecniche di campionamento a confronto per i sistemi di audit regionali Definizione del problema Le regioni finanziano ogni anno diverse attività tramite due fondi europei: il Fondo Europeo

Dettagli

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docente: dott. F. Zucca Esercitazione # 2 1 Distribuzione normale Esercizio 1 Sia X una variabile aleatoria Normale N (5, ). Facendo

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli

i dati escludono vi sia una relazione tra variabile indipendente e variabile dipendente (rispettivamente

i dati escludono vi sia una relazione tra variabile indipendente e variabile dipendente (rispettivamente TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 6 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia Parte A. La retta di regressione.2

Dettagli

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17

Dettagli

Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza

Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con

Dettagli

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente: CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o

Dettagli

le scale di misura scala nominale scala ordinale DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione si basano su tre elementi:

le scale di misura scala nominale scala ordinale DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione si basano su tre elementi: DIAGNOSTICA PSICOLOGICA lezione! Paola Magnano paola.magnano@unikore.it si basano su tre elementi: le scale di misura sistema empirico: un insieme di entità non numeriche (es. insieme di persone; insieme

Dettagli

La valutazione dei rischi. Corso di risk management Prof. Giuseppe D Onza

La valutazione dei rischi. Corso di risk management Prof. Giuseppe D Onza La valutazione dei rischi Corso di risk management Prof. Giuseppe D Onza LA VALUTAZIONE DEI RISCHI E un attività che caratterizza la gestione dei rischi finalizzata ad apprezzare la gravità dei fenomeni

Dettagli

Analisi della varianza: I contrasti e il metodo di Bonferroni

Analisi della varianza: I contrasti e il metodo di Bonferroni Analisi della varianza: I contrasti e il metodo di Bonferroni 1 Contrasti In molti problemi risulta importante stabilire, nel caso venga rifiutata l ipotesi nulla, di uguaglianza delle medie µ j delle

Dettagli

Tema d esame del 15/02/12

Tema d esame del 15/02/12 Tema d esame del 15/0/1 Volendo aprire un nuovo locale, una catena di ristoranti chiede ad un consulente di valutare la posizione geografica ideale all interno di un centro abitato. A questo scopo, avvalendosi

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 10. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 10. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 10 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo 1 REGRESSIONE LINEARE Date due variabili quantitative, X e Y, si è

Dettagli

Università della Calabria

Università della Calabria Università della Calabria FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Civile CORSO DI IDROLOGIA N.O. Prof. Pasquale Versace SCHEDA DIDATTICA N 3 CURVE DI PROBABILITÀ PLUVIOMETRICA A.A. 00- CURVE

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI

METODO DEI MINIMI QUADRATI METODO DEI MINIMI QUADRATI Torniamo al problema della crescita della radice di mais in funzione del contenuto di saccarosio nel terreno di coltura. Ripetendo varie volte l esperimento con diverse quantità

Dettagli

Statistica. Lezione 4

Statistica. Lezione 4 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela

Dettagli

Laboratorio di Calcolo B 68

Laboratorio di Calcolo B 68 Generazione di numeri casuali Abbiamo già accennato all idea che le tecniche statistiche possano essere utili per risolvere problemi di simulazione di processi fisici e di calcoli numerici. Dobbiamo però

Dettagli

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si

Dettagli

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di

Dettagli

C.I. di Metodologia clinica

C.I. di Metodologia clinica C.I. di Metodologia clinica Modulo 5. I metodi per la sintesi e la comunicazione delle informazioni sulla salute Quali errori influenzano le stime? L errore casuale I metodi per la produzione delle informazioni

Dettagli

Esercizio 1. Stima intervallare: IC per la media incognita (varianza ignota)

Esercizio 1. Stima intervallare: IC per la media incognita (varianza ignota) STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 5 26.02.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Stima intervallare: IC per la media incognita (varianza ignota) Il responsabile del controllo qualità di un azienda che

Dettagli

N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento.

N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle Tabelle riportate alla fine del documento. N.B. Per la risoluzione dei seguenti esercizi, si fa riferimento alle abelle riportate alla fine del documento. Esercizio 1 La concentrazione media di sostanze inquinanti osservata nelle acque di un fiume

Dettagli

b) E necessario formulare delle ipotesi per calcolare l intervallo di confidenza ottenuto al punto a? (motivare brevemente la risposta):

b) E necessario formulare delle ipotesi per calcolare l intervallo di confidenza ottenuto al punto a? (motivare brevemente la risposta): ESERCIZIO 1 Una grande banca vuole stimare l ammontare medio di denaro che deve essere corrisposto dai correntisti che hanno il conto scoperto. Si seleziona un campione di 100 clienti su cui si osserva

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Computazione per l interazione naturale: fondamenti probabilistici

Computazione per l interazione naturale: fondamenti probabilistici Computazione per l interazione naturale: fondamenti probabilistici Corso di Interazione Naturale Prof. Giuseppe Boccignone Dipartimento di Informatica Università di Milano boccignone@di.unimi.it boccignone.di.unimi.it/in_2016.html

Dettagli

Prova scritta Affidabilità dei sistemi stocastici e controllo statistico di qualità 28 Marzo 2013

Prova scritta Affidabilità dei sistemi stocastici e controllo statistico di qualità 28 Marzo 2013 Prova scritta Affidabilità dei sistemi stocastici e controllo statistico di qualità 28 Marzo 2013 1. Un azienda che produce batterie per cellulari sta effettuando dei test per confrontare tre tipi diversi

Dettagli

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA SIGI, Statistica II, esercitazione n. 3 1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA FACOLTÀ DI ECONOMIA CORSO DI LAUREA S.I.G.I. STATISTICA II Esercitazione n. 3 Esercizio 1 Una v.c. X si dice v.c. esponenziale

Dettagli

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia

Dettagli

Gli errori nella verifica delle ipotesi

Gli errori nella verifica delle ipotesi Gli errori nella verifica delle ipotesi Nella statistica inferenziale si cerca di dire qualcosa di valido in generale, per la popolazione o le popolazioni, attraverso l analisi di uno o più campioni E

Dettagli