ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

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1 ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite per successioni monotone... 2 Teorema del confronto... 2 Teorema di permanenza del segno... 2 Teorema sull algebra dei limiti... 2 Teorema sull aritmetizzazione parziale di... 3 Teorema degli zeri... 3 Teorema dei valori intermedi... 4 Proprietà fondamentali del calcolo dei limiti... 4 Stime asintotiche... 4 Derivata e derivabilità... 4 Retta tangente... 5 Continuità e derivabilità... 5 Algebra delle derivate... 5 Regola della catena... 5 Derivata di funzione inversa... 6 Teorema di Fermat... 6 Teorema del valor intermedio o di Lagrange... 6 Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla... 7 Test di monotonia... 7 Teorema di De L Hospital... 7 Polinomio di MacLaurin... 8 Formula di MacLaurin al ordine, con resto secondo Peano... 8 Formula di Taylor all ordine, con resto secondo Peano... 8 Integrale... 9 Teorema della media... 9 Teorema fondamentale del calcolo integrale... 9 Documento scaricato da Appunti liberamente scopiazzati da: Matematica calcolo infinitesimale e algebra lineare seconda edizione, Ed.Zanichelli M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa Pag. 1 / 9

2 Proprietà dell estremo superiore per R Sia {,} una partizione di R; essa si chiama sezione se e risulta <. Allora si dimostra che per ogni sezione di {,} di R esiste un unico numero reale (detto elemento separatore) tale che, (tale elemento separatore altro non è che =). Definitivamente Una successione { } possiede (o acquista) definitivamente una certa proprietà se esiste un intero tale che la proprietà risulta verificata per ogni. Successioni convergenti Una successione { } si dice convergente se esiste un numero con questa proprietà: qualunque sia >0 risulta definitivamente < Il numero si chiama limite della successione { } e si scrive: lim = oppure per + Successioni monotone Una successione { } si dirà: monotona crescente se ; strettamente crescente se < monotona decrescente se ; strettamente decrescente se > Teorema di esistenza del limite per successioni monotone Una successione { } ammette sempre limite uguale a { }ale limite è perciò finito se { } è limitata superiormente; altrimenti è +. Teorema del confronto Dim. Fissiamo >0. Allora definitivamente si ha: < <+; < <+ da cui segue < <+ e quindi, definitivamente, < <+ Dunque. Teorema di permanenza del segno 0 0 Dim. Fissiamo >0. Allora definitivamente si ha: < <+ da cui segue, essendo 0, 0<+ per ogni >0 Se fosse <0, per abbastanza piccolo sarebbe anche +<0, in contrasto con quanto appena scritto. Quindi 0. Teorema sull algebra dei limiti Proviamo ad esempio che, Dim. Fissiamo >0. = (per la disuguaglianza triangolare) Pag. 2 / 9

3 Poiché, < definitivamente; inoltre < + definitivamente; poiché, < definitivamente. Quindi: = ++ < definitivamente. Per l arbitrarietà di segue la tesi. Teorema sull aritmetizzazione parziale di Proviamo ad esempio che, R 0 Dim. Fissiamo >0. Poiché, definitivamente si ha Poiché, definitivamente si ha Ne segue che definitivamente Per l arbitrarietà di, segue la tesi. > 1 < + < +< Teorema degli zeri Sia: 1. continua in, 2. <0 Allora esiste, tale che =0. Se è anche strettamente monotona, lo zero è unico. Dim. Costruiamo una successione che tende a uno zero di. Poniamo =, punto medio dell intervallo,. Se =0 il teorema è dimostrato. Se 0 guardiamo il segno di : <0 Se >0 dove =, = consideriamo l intervallo, dove =, = Poniamo ora =, punto medio dell intervallo,, calcoliamo e procediamo come prima. Continuando in questo modo troviamo una sequenza di intervalli, con le seguenti proprietà: 1. e ({ } cresce e { } decresce) 2. = (ciascun intervallo è lungo la metà del precedente) 3. <0 (per come sono stati scelti e a ogni passo) Per la 1), possiamo allora dedurre che le successioni { } e { } hanno limite finito, in base al teorema di esistenza del limite delle successioni monotone; cioè: e, + (si noti che le successioni sono anche limitate perché contenute in,). Dalla 2) deduciamo che = 0 se + e perciò = =. Per la continuità di, abbiamo allora che mentre dalla 3) e dal teorema della permanenza del segno deduciamo 0. Deve perciò essere =0 e così è lo zero cercato. Pag. 3 / 9

4 Teorema dei valori intermedi Se è continua su,, allora per ogni valore compreso tra ed, esiste un ingresso in, che ha il valore come uscita (proprietà dei valori intermedi). Questo teorema è una semplice conseguenza di quello di Weierstrass e del teorema degli zeri. Siano: <<, =, =. Allora la funzione = è continua in, < e = = >0, = = <0. Dal teorema degli zeri, esiste tale che =0 e cioè =. Proprietà fondamentali del calcolo dei limiti Diremo che una proprietà vale definitivamente per se è vera per ogni sufficientemente vicino ad escluso al più stesso. Nei prossimi enunciati sarà un punto di R. Confronto. Se: i. per, e ; ii. h definitivamente per allora anche h per. Permanenza del segno. Se: i. per, ; ii. 0 definitivamente per allora anche 0. Permanenza del segno per funzioni continue. Se è continua in e >0, allora >0 definitivamente per. Algebra dei limiti. Se: per, e, R, allora per si ha: ± ± ; ; / / (purché, 0); (purché, >0). Aritmetizzazione parziale di. Valgono per i limiti di funzioni gli stessi risultati di aritmetizzazione parziale di che valgono per i limiti di successioni: ± =± ; + + =+ ; =0 etc Stime asintotiche Si dice che due funzioni, sono asintotiche per se lim =1 e si scrive ~. per. Derivata e derivabilità ~ 1 ~ 1 2 1~ log1+~ 1+ ~ Sia :, R; si dice derivabile in, se lim esiste finito. Tale limite prende il nome dei derivata prima (o semplicemente derivata) di in e si indica Pag. 4 / 9

5 +h lim = h Retta tangente La retta di equazione = + si chiama retta tangente di nel punto,. Continuità e derivabilità Se è derivabile in un punto allora è continua in. Ciò si vede scrivendo +h = h; passando al limite per h 0 si ricava lim +h =0 da cui lim +h=, che è la continuità di in. Algebra delle derivate Siano,:, R, derivabili in,; allora ±,, / 0 sono derivabili in, e valgono le seguenti formule: ± = ± = + = = costante 1 = Dim. A titolo d esempio dimostriamo il prodotto. Si ha, fissato, +h+h =+h+h +h++h e quindi +h+h =+h +h Pag. 5 / 9 + +h h h h + poiché +h quando h 0, essendo continua in quanto derivabile. Regola della catena Sia la composta di due funzioni e. Se è derivabile in un punto e è derivabile in = allora è derivabile in e vale la formula: = Dim. Si ha +h =+h Se poniamo =+h,=, allora +h=+, e per la continuità di,h 0 implica 0. Con le nuove notazioni, +h =+ Osserviamo ora che la definizione di derivata + =lim h si può riscrivere, per 0, + = + dove indica una quantità che tende a zero per 0. Moltiplicando ambo i membri dell equazione precedente per si trova + = + relazione valida anche per =0. Dunque: +h = +

6 Dividendo per h, e osservando che si ottiene =. Derivata di funzione inversa Se è derivabile nel punto e 0 allora è derivabile in = e vale la formula = 1 Osserviamo che, assumendo la derivabilità di, la formula segue subito dall identità = e dalla Regola della catena: =1 da cui, se 0, la formula. Teorema di Fermat Sia :, R, derivabile in,. Se è punto di estremo locale allora =0 Dim. Sia, ad esempio, punto di massimo locale. Allora, per abbastanza vicino a, si ha. Perciò: 0 e quindi = lim 0. Essendo derivabile in, si ha = = 0. < Teorema del valor intermedio o di Lagrange Sia derivabile in, e continua in,. Allora esiste, tale che = Si ha che = pendenza della retta. = pendenza della retta tangente al grafico di nel punto,. Dim. Osserviamo che la retta ha equazione e consideriamo la funzione =+ Pag. 6 / 9

7 = + È facile verificare che ==0, è continua in, e è derivabile in,. Poiché = la formula dell enunciato equivale a dimostrare che esiste, tale che =0. Essendo continua in,, per il teorema di Weierstrass esistono due punti e in, tali che = massimo di in,= = minimo di in,= Se =, allora è costante, per ogni, e quindi =0, per ogni,. Se >, almeno uno dei due punti e non si trova agli estremi dell intervallo, essendo ==0. Il teorema di Fermat implica allora che nel punto di massimo o minimo che risulta interno (eventualmente entrambi) la derivata di si annulla e il teorema è così dimostrato. Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla Sia :, R. Allora =0 in, è costante in,. Test di monotonia Sia :, R, derivabile. Allora crescente 0, decrescente 0, Dim. Sia, ad esempio, 0 per ogni,, e proviamo che allora è crescente in,. Prendiamo dunque due punti qualsiasi,,, <, e mostriamo che. Infatti, applicando il teorema di Lagrange ad sull intervallo, abbiamo che esiste, tale che = Poiché 0 e >0, ne segue 0, cioè la tesi. Teorema di De L Hospital Siano, funzioni derivabili in un intervallo, con, 0 in,. Se i) lim =lim =0 oppure ± ii) lim = R allora lim = Dim. Nel caso, 0. Sia una successione tendente ad ; prolunghiamo per continuità e in ponendo ==0. Allora =. Definiamo ora h= Notiamo che h=h =0. La funzione h soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange sull intervallo,, dunque esiste, tale che h = h h Pag. 7 / 9 =0 ovvero, calcolando h, =0 Dunque per ogni esiste un punto, tale che

8 = Per,, perciò, e di conseguenza anche, che è quanto volevamo dimostrare. Polinomio di MacLaurin Data una funzione derivabile volte in =0, esiste uno e un sol polinomio di grado, chiamiamolo, con la proprietà che: 0=0, 0= 0, 0= 0,, 0= 0 e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di di grado, è: = ! ! 0= 0! (avendo posto =) Formula di MacLaurin al ordine, con resto secondo Peano Sia :, R derivabile volte in 0,. Allora = +o per 0. Dim. Proviamo per semplicità il teorema nel caso =2, ossia: Occorre provare che ossia (per definizione di o piccolo ) che: = o =o per lim 2 0 =0 Questo limite dà una forma di indeterminazione. Applicando De L Hospital: 0+ 0 lim =0 2 dà ancora. Applicando una seconda volta De L Hospital: 0 lim 2 Nell ipotesi che sia continua in =0. Questo ragionamento può essere ripetuto per qualsiasi: applicando volte il teorema di De L Hospital, e utilizzando il fatto che, proprio per come è stato definito _, si ha = 0, si prova la tesi. =0 Formula di Taylor all ordine, con resto secondo Peano Sia :, R derivabile volte in,. Allora, =! =, +o per. Pag. 8 / 9

9 Integrale Per ogni funzione :, R continua, esiste finito lim dove =. Tale limite è indipendente dalla scelta dei punti ad ogni passo della costruzione, e si chiama integrale di su,. Si scrive: d = lim Teorema della media Sia :, R continua. Allora esiste, tale che 1 d= Dim. Essendo continua in,, essa è dotata di massimo = e minimo =. Dalla proprietà di monotonia si ha: = 1 d 1 d 1 d= Quindi il valore d è compreso tra il minimo ed il massimo di. Per la proprietà dei valori intermedi delle funzioni continue tale valore è uguale a per qualche,. Teorema fondamentale del calcolo integrale Si :, R è continua, e è una sua primitiva su,, allora d= Dim. Siano =,,, = punti che suddividono l intervallo, in intervallini di ugual ampiezza. Allora, aggiungendo e togliendo, per =1,2,, 1 si ha: = = = = Applichiamo ora il teorema di Lagrange alla funzione su ciascuno degli intervalli,. Esiste allora, tale che = = perché per ipotesi è una primitiva di e perciò =. Ne segue che = = dove è una somma n-esima di Cauchy Riemann di. L identità scritta vale per ogni ; possiamo allora far tendere a +, trovando = d Pag. 9 / 9

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