INFINITI ED INFINITESIMI. 1. Definizione di infinitesimo Per prima cosa, occorrono alcune definizioni dei concetti di infinito e di infinitesimo.

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1 INFINITI ED INFINITESIMI DAVIDE TAMBUCHI. Definizione di infinitesimo Per prima cosa, occorrono alcune definizioni dei concetti di infinito e di infinitesimo. Definizione.. Sia y = una funzione definita in un intorno di un punto x 0, escludendo al piú il punto x 0 stesso. Se si ha: x x 0 = 0 diremo che é un infinitesimo, per x x 0. Se si verifica che = 0 diremo che é infinitesimo, per x +. Infine, se = 0 x diremo che é infinitesimo, per x. In altre parole, un infinitesimo é una quantitá che ha per ite zero. Ad esempio, si ha: x x3 = 0 e pertanto x 3 é infinitesimo per x. Analogamente, avendosi: x = 0 diremo che x é infinitesimo per x +. Consideriamo ora il rapporto tra due funzioni e. Definizione.2. Se si ha: x x 0 = L 0 con L finito e non nullo diremo che e sono infinitesimi dello stesso ordine. Se si ha: x x 0 = 0 diremo che é un infinitesimo di ordine superiore rispetto a. Infine, se si ha: x x 0 = diremo che é un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a. La presente definizione vale anche se al posto di x 0 sostituiamo + o

2 2 DAVIDE TAMBUCHI.. L infinitesimo principale. Consideriamo due o piú funzioni,, h(x), e siano tutte infinitesime per x x 0 (o per x ± ). Scegliamone una, a piacere. La funzione scelta sará chiamata infinitesimo principale. Scegliamo ora, come infinitesimo principale,la funzione. Definizione.3. Sia ora n 0 un numero reale. Se si ha f n (x) x x 0 = L 0 diremo che é infinitesimo dello stesso ordine di f n (x), o anche che é infinitesimo di ordine n rispetto ad. Per n =, i due infinitesimi sono ovviamente dello stesso ordine, per la precedente definizione. Ad esempio, siano: = x 2 = x 2 h(x) = (x 2 4) 5 Tutte queste funzioni sono infinitesime per x 2. Avendosi: f 2 (x) (x 2) 2 = x 2 x 2 x 2 = x 2 x 2 x 2 = diremo che = x 2 é infinitesimo di ordine 2 rispetto a = x 2. Analogamente, avendosi: f 5 (x) x 2 h(x) = x 2 (x 2) 5 (x 2 4) 5 = x 2 (x 2) 5 (x 2) 5 (x + 2) 5 = x 2 (x + 2) 5 = 4 5 diremo che h(x) = (x 2 4) é infinitesimo di ordine 5 rispetto a = x 2. Notiamo che non é corretto parlare di infinitesimo di ordine n se non si specifica quale funzione viene scelta come infinitesimo principale. Ad esempio, siano = x e = x 3. Entrambi sono infinitesimi per x. Scegliendo = x come infinitesimo principale, ed avendosi x = x x x 3 = x x (x )(x 2 + x + ) = 3 diremo che é infinitesimo di ordine rispetto ad, ovvero che i due infinitesimi sono dello stesso ordine. 2. Infinito Sia y = una funzione definita in un intorno di un punto x 0, escludento al piú il punto x 0 stesso. Definizione 2.. Se si ha: = x x 0 diremo che é un infinito, per x x 0. Se si verifica che = diremo che é un infinito, per x +. Infine, se = x diremo che é un infinito, per x. f Nulla cambia,se anziché calcolare il ite del rapporto n (x) avessimo calcolato il ite del rapporto f n (x)

3 INFINITI ED INFINITESIMI 3 In modo analogo al confronto tra infinitesimi, é possibile confrontare tra di loro gli infiniti. Consideriamo ora il rapporto tra due funzioni e. Definizione 2.2. Se si ha: x x 0 = L 0 con L finito e non nullo diremo che e sono infiniti dello stesso ordine. Se si ha: x x 0 = diremo che é un infinito di ordine superiore rispetto a. Infine, se si ha: x x 0 = 0 diremo che é un infinito di ordine inferiore rispetto a. La presente definizione vale anche se al posto di x 0 sostituiamo + o. Ad esempio, siano = 2x 2, = x 4 + 2, h(x) = x Queste funzioni sono tutte degli infiniti, per x + (ed anche per z ). Avendosi poi: = 2x 2 x = 0 possiamo dire che é un infinito di ordine superiore rispetto ad, o che é un infinito di ordine inferiore rispetto a. Avendosi invece: h(x) = 2x 2 x = 2 possiamo dire che i due infiniti ed h(x) sono dello stesso ordine. 2.. Infinito principale. Ripetiamo, pari pari, il procedimento per la definizione di infinitesimo principale. Consideriamo due o piú funzioni,, h(x), e siano tutte infiniti per x x 0 (o per x ± ). Scegliamone una, a piacere. La funzione scelta sará chiamata infinito principale. Come infinito principale, scegliamo ora la funzione. Definizione 2.3. Sia ora n 0 un numero reale. Se si ha f n (x) x x 0 = L 0 diremo che é infinito dello stesso ordine di f n (x), o anche che é infinito di ordine n rispetto ad. Per n =, i due infiniti sono ovviamente dello stesso ordine, per la precedente definizione 2 Ad esempio, siano: = x 3 = x 3 + k(x) = x w(x) = x Tutte le funzioni sono infiniti per x. Scegliamo come infinito principale. Avendosi: f 6 (x) x w(x) = = x 2 Anche qui, nulla cambia se avessimo calcolato il ite del rapporto f n (x).

4 4 DAVIDE TAMBUCHI diremo che w(x) é infinito di ordine 6 = rispetto ad. Avendosi invece x 3 x 3 + = diremo che é infinito di ordine rispetto ad, o meglio che i due infiniti sono dello stesso ordine. Se scegliamo invece, come infinito principale, la funzione k(x) = x si ha: k 2 (x) w(x) = possiamo dire che w(x) é infinito di ordine 2 x = x rispetto a k(x). 3. Infiniti e infinitesimi campione in molte questioni,nel caso in cui x 0 sia finito, conviene prendere come infinitesimo principale la funzione = x x 0, e come infinito principale la funzione = x x 0. Se invece, si ha x 0 =, conviene prendere la funzione = x come infinitesimo principale e la funzione = x come infinito principale. Queste funzioni sono dette infinitesimi ed infiniti campione. 3.. Esempi. Sia = x 4 x. Questa funzione é infinitesimo per x 0, ed anche per x. Nel primo caso, per determinare l ordine di infinitesimo, la confrontiamo con la funzione = x 0 = x, presa come infinitesimo principale. Avendosi = x 2 x 3 f 2 (x) x 0 = x 0 x 2 = x 2 x 3 possiamo dire che é infinitesima di ordine 2 rispetto all infinitesimo campione, per x 0. Nel secondo caso (x ) scriviamo come: = x x 3 + x 2 + x e prendiamo = x come infinitesimo campione. Avendosi allora: f 2 (x ) x = x x x x3 + x 2 + x = 3 diremo che é infinitesimo di ordine 2 rispetto all infinitesimo campione = x, per x. Sia ora = 2x 3 +. Questa funzione é un infinito per x. Preso come infinito campione la funzione = x, ed avendosi f 3 (x) x = x 3 x 2x 3 + = 2 diremo che é infinito di ordine 3 rispetto all infinito campione = x. Sia ora: = (x 4) 4 Avendosi: = x 4 x 4 (x 4) 4 = + possiamo dire che é un infinito, per x 4. Come infinitesimo campione, scegliamo dunque la funzione = x 4

5 INFINITI ED INFINITESIMI 5 Avendosi: f 4 (x) x 4 = (x 4) 4 x 4 = (x 4) 4 possiamo dire che é un infinito di ordine 4 rispetto all infinito campione. Sia ora: = sin x Questa funzione é un infinitesimo, per x nπ con n Z Ad esempio, per x 0 la possiamo confrontare con l infinitesimo campione = x 0 = x. Avendosi: x 0 = sin x x 0 x = diremo che é infinitesimo di ordine, rispetto all infinitesimo campione = x, per x 0. Se consideriamo il punto x = π, la funzione sin x é ancora un infinitesimo. Prendendo come infinitesimo campione la funzione = x π calcoliamo il ite: x pi x π Per far ció, introduciamo una nuova variabile: da cui x = t + π, e quindi: t = x π sin x x π x pi sin(t + π) sin t cos π + sin π cos t sin t = = = t 0 t t 0 t t 0 t Pertanto, anche per x π la funzione sin x é infinitesimo di ordine rispetto all infinitesimo campione. 4. Parte principale e complementare di un infinitesimoi e di un infinito Sia un infinito (o infinitesimo) di ordine n per x x 0, rispetto ad un infinito (o infinitesimo) principale. Avendosi di conseguenza 3 : x x 0 f n (x) = L 0 con L finito e non nullo, possiamo anche scrivere: Da ció vediamo che la funzione x x 0 f n (x) L = 0 h(x) = f n (x) L che si trova sotto l operazione di ite, é infinitesimo per x x 0. Di conseguenza, in un piccolo intorno di x 0, la funzione h(x) assume valori prossimi a zero, e pertanto, possiamo scrivere: h(x) = f n (x) L = α(x) ove la funzione α(x) é infinitesimo, per x x 0 Si ha allora: = L f n (x) + α(x) f n (x) 3 Nel confronto degli infinitesimi o degli infiniti, se si deve calcolarne la parte principale e complementare, conviene mettere a numeratore nel calcolo del ite.

6 6 DAVIDE TAMBUCHI Il termine p p (x) = L f n (x) é detto Parte principale dell infinito (o infinitesimo), mentre il termine p c (x) = α(x) f n (x) é la sua parte complementare. Il significato della parte principale é il seguente: in un piccolo intorno di x 0, la funzione p p (x) approssima, a meno di un piccolo errore, la funzione. L errore commesso é dato dalla parte complementare, che risulta funzione del punto x. Ad esempio, sia = 2 sin(x) Questa funzione é infinitesima, per x 0. Prendiamo come infinitesimo principale l infinitesimo campione = x. Avendosi: 2 sin x = 2 x 0 x possiamo dire che é infinitesimo di ordine uno rispetto all infinitesimo campione. Avendosi poi L = 2, possiamo calcolare la parte principale: p p (x) = L = 2x Ció significa che, nell intorno del punto x 0 = 0, la funzione 2 sin x puó essere approssimata dalla sua parte principale (a meno di un errore, dato dalla sua parte complementare, infinitesimo per x x 0 = 0). Il significato della parte principale e della parte complementare é rappresentato in figura. y p = 2x p parte complementare y= 2 sin x x Figura. Parte principale e complementare Sia ora: = x log( x 4 )

7 INFINITI ED INFINITESIMI 7 Questa funzione é un infinitesimo per x 4. Prendiamo l infinitesimo campione = x + 4. Avendosi: x log( x 4 ) = x + 4 x 4 = (x) x 4 f 2 possiamo dire che é infinitesimo di ordine n = 2 rispetto all infinitesimo campione. Avendosi inoltre L =, possiamo calcolare la parte principale dell infinitesimo: p p (x) = L f n (x) = x + 4 Prendiamo ora la funzione f 2 (x) = = 4x + 3 Osserviamo inoltre che la funzione é un infinito per x +. confrontarla con l infinito campione = x. Avendosi: 4x + 3 = 4 = 2 x La funzione é un infinito di ordine n = 2 Avendosi L = 2, la sua parte principale é: p p (x) = L f n (x) = 2 x Possiamo rispetto all infinito campione. Ció significa che in un intorno di +, cioé per x molto grande, la funzione p p (x) é una approssimazione di, a meno di termini infinitesimi per x +. Per esercizio, calcoliamo l ordine di infinitesimo e la parte principale della funzione: 6 = x + 5 Questa funzione é un infinitesimo per x +. Prendiamo l infinitesimo campione Avendosi: f 2 (x) = = x 6 x+5 x = 6 x x + 5 = 6 possiamo dire che é infinitesimo di ordine n = 2 rispetto all infinitesimo campione x. Avendosi poi L = 6, possiamo calcolarne la sua parte principale: p p (x) = L f n (x) = 6 x Sempre per esercizio, osserviamo che la precedente funzione 6 = x + 5 é un infinito, per x 5. Preso l infinito campione: = x + 5 e calcolato il ite: x 5 f 2 (x) = x 5 6 x+5 x+5 = 6 possiamo calcolare la parte principale dell infinito come: p p (x) = L f 2 (x) = 6 x + 5

8 8 DAVIDE TAMBUCHI coincidente, in questo caso, con la funzione stessa. 5. Avvertenza Questo documento puó essere liberamente distribuito, purché senza modifiche, integralmente, gratuitamente e senza scopo di lucro o altri scopi commerciali. Ogni cura é stata posta nella stesura del documento. Tuttavia l Autore non puó assumersi alcuna responsabilitá derivante dall utilizzo della stessa. Ultimo aggiornamento: 8 febbraio Per la segnalazione di errori e bugs contattare l autore all indirizzo davide.tambuchi@tin.it. Riferimenti bibliografici [] L. Amerio. Analisi Matematica, con Elementi di Analisi Funzionale volume primo, U.T.E.T., Torino, (977). [2] B. P. Demidovič. Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, Roma, (983). [3] W. Rudin. Principi di Analisi Matematica, McGraw-Hill, Milano, (996). [4] V. I. Smirnov. Corso di Matematica Superiore, volume primo, Editori Riuniti, Roma, (993). Typeset by L A TEX 2ε under LINUX