Università del Sannio

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1 Università del Sannio Corso di Fisica 1 Lezione 9 Prof.ssa Stefania Petracca 1

2 Considerazioni relative al significato del momento angolare I Il momento angolare L di un sistema materiale ammette un interpretazione cinematica solo nel caso che il sistema sia dotato di opportune proprietà strutturali; in particolare nel caso dei sistemi rigidi: Ora vogliamo analizzare il caso di sistemi materiali non necessariamente rigidi, ma particolarmente semplici, di modo che l interpretazione cinematica di L risulti immediata. Le considerazioni fisiche che faremo a proposito di questi sistemi materiali semplici consentiranno di capire meglio anche casi più complessi. Cominciano con l analizzare un sistema costituito da due masse uguali, praticamente puntiformi, collegate l una all altra mediante una sbarretta orizzontale di massa trascurabile e ruotanti intorno ad un asse verticale fissato nel punto di mezzo della sbarretta orizzontale (punto O). La sbarretta è tale da mantenere inalterata la distanza tra le due masse, durante il moto. Se la sbarretta orizzontale ha la lunghezza d, ognuna delle due masse compie un moto circolare con velocità di modulo v = ω d, dove ω è la velocità angolare. Il momento angolare L del sistema rispetto al polo O risulta evidentemente L = l1 + l = d1 m v1 + d mv = md ω Notiamo che fissata la geometria (cioè il coefficiente md ), il momento angolare risulta proporzionale alla velocità angolare ω. L = kω

3 Considerazioni relative al significato del momento angolare II Se vogliamo cambiare la velocità angolare ω dobbiamo cambiare L e dunque deve essere dl / dt diverso da zero; e considerando la seconda legge cardinale della dinamica dobbiamo applicare delle forze il cui momento risultante non sia nullo. Se per semplicità supponiamo di non voler far muovere il punto O (cioè il centro di massa del sistema), deve trattarsi di un sistema di forze con risultante F (e) nullo: una coppia. Se volgiamo modificare il modulo della velocità angolare (cioè il modulo di L) senza cambiare la direzione, allora dl / dt deve essere parallelo ad L e dunque anche M (e) deve essere parallelo a L: la coppia deve essere cioè tale che il suo momento sia parallelo all asse di rotazione (coppia motrice o coppia resistente a seconda che si voglia aumentare o diminuire il modulo di ω). Invece se volgiamo cambiare la direzione di L (e di ω) senza cambiarne il modulo, allora dl / dt deve essere ortogonale a L: anche il momento della coppia deve essere dunque ortogonale all asse. Supponiamo ora che il sistema costituito dalle due masse rotanti sia un sistema libero, cioè sottoposto ad alcune sollecitazione esterna. Si ha allora, in particolare M (e) = 0, e dunque L = costante. Se la geometria del sistema non cambia allora possiamo concludere che la velocità angolare ω rimane costante indefinitivamente. Il fatto che nella realtà, un tale sistema, una volta messo in rotazione e abbandonato a sé, rallenti progressivamente fino a fermarsi, denuncia in effetti la presenza di un momento frenante esercitato dalle forze di attrito: momento frenante che nella nostra presente schematizzazione supponiamo essere trascurabile. 3

4 Considerazioni relative al significato del momento angolare III Mantenendo dunque il sistema isolato (M (e) = 0), modificandone la geometria in virtù di forze interne: ad esempio supponiamo che le due masse possano scorrere sulla sbarretta, e che vengano attratte verso O fino a che la loro distanza dall asse di rotazione non dimezzi: d = d /. Nella configurazione finale, il momento angolare L sarà dato da L' = md' ω' D altra parte, poiché il cambiamento di configurazione è avvenuto in virtù di sole forze interne, (e dunque dl / dt = 0) il momento angolare deve essersi conservato: L = L; e dunque md' ω' = md ω' = E poiché nel nostro caso d / d =, si ottiene ω = 4 ω: il cambiamento di configurazione (in virtù delle forze interne) di un sistema liberamente ruotante, si accompagna a variazioni della velocità angolare ω. d d ' ω ω 4

5 Considerazioni relative al significato del momento angolare IV 5

6 Considerazioni relative al significato del momento angolare V Consideriamo ora un altro semplice esempio: la stessa configurazione precedente ma ora l angolo tra la sbarretta e l asse di rotazione è θ. Calcoliamo il momento angolare L del sistema sempre rispetto al polo O. Le due masse compiono un moto circolare uniforme di raggio r = d cos θ; per entrambe il modulo della velocità (costante) vale v = ω d cos ω. Entrambi i vettori velocità sono ortogonali al piano formato dalla sbarretta e dall asse di rotazione, e dunque sono ortogonali a d 1 e d. Tuttavia considerato che anche d 1 e d hanno verso opposto, i momenti angolari dei due punti l 1 = d 1 m v 1 e l = d m v sono tra loro concordi e uguali, sono contenuti nel piano formato dalla sbarretta e dall asse di rotazione, ed hanno la direzione della normale n alla sbarretta; il loro modulo vale: In definitiva si ottiene che l = dmv = dmωd cosθ = L = md ωnˆ md cosθω Osserviamo che in questo caso L non ha la stesa direzione di ω. Notiamo, ora, che se ω è costante il modulo L di L è ancora costante; tuttavia non è vero per il vettore L: infatti il versore normale alla sbarretta descrive un moto a cono con apertura angolare pari a θ. 6

7 Considerazioni relative al significato del momento angolare VI Di conseguenza il vettore dl/dt è diverso da zero e dunque il momento esterno M (e) èdiverso da zero. Se la sbarretta non è ortogonale all asse di rotazione (cioè se θ 0), il moto può avvenire solo se si applicano al sistema delle forze esterne con momento non nullo. Per un ulteriore precisazione, scomponiamo la seconda legge cardinale della dinamica lungo un asse parallelo ed un ortogonale ad ω M M Vediamo che la componente L p di L è parallela ad ω (che è costante); quindi la derivata temporale deve essere nulla M ( M n ( e) p ( e) n e) = = ( e) p dl d dt L dt = 0 L = dt d n Per mantenere in rotazione il sistema non è necessaria nessuna coppia motrice. P n 7

8 Considerazioni relative al significato del momento angolare VII Il vettore L n, componente di L normale all asse di rotazione, rappresenta invece un vettore rotante (ortogonale all asse) di modulo costante: la sua derivata dl n /dt è dunque anch essa un vettore rotante (ortogonale a L n ), e tale deve essere anche M n (e) : per esercitare tale momento, i cuscinetti che sostengono l asse sono costretti a esplicare due forze f 1 e f, fra di loro uguali ed opposte, e anch esse rotanti. E l effetto di queste forze di un automobile le cui ruote anteriori non siano bene equilibrate. 8

9 Momento della forza gravitazionale 9

10 Definizione di corpo rigido I Molti oggetti sono sostanzialmente indeformabili e possono essere descritti, con approssimazione adeguata alla maggior parte degli scopi, tramite la schematizzazione di corpo rigido. Un corpo rigido è un sistema materiale (continuo) rigorosamente indeformabile: la distanza relativa di due qualunque punti costituenti un corpo rigido è immutabile. Un corpo rigido libero di muoversi nello spazio presenta sei gradi di libertà: una volta specificata la posizione di un suo punto (il che richiede che si fissi il valore di tre coordinate), il corpo può ancora ruotare attorno ad un asse qualunque passante per quel punto. Per fissare le direzione di un asse solidale col corpo e passante per quel punto è necessario specificare due angoli; ed un terzo angolo è necessario per specificare l angolo di rotazione intorno a quel asse (come una porta che ruota intorno all asse individuato dai suoi cardini). Il moto di un corpo rigido non può essere influenzato dalle forze interne: queste infatti, essendo costituite da un insieme di coppie di braccio nullo, tenderebbero semplicemente a far mutare le distanze relative fra i costituenti del corpo rigido; ma queste distanze relative non possono cambiare. Ci aspettiamo dunque che il moto di un corpo rigido sia governato dalle equazioni cardinali della dinamica, che hanno al primo membro delle quantità caratteristiche delle sole forze esterne (risultante e momento risultante). In effetti, il moto di un corpo rigido è completamente descritto dalle equazioni cardinali. Esse infatti costituiscono nel loro insieme 6 equazioni scalari fra loro indipendenti. 10

11 Definizione di corpo rigido II La prima delle equazioni cardinali governa il moto del baricentro (o centro di massa) del sistema rigido; la seconda governa le rotazioni (ad esempio intorno al baricentro) come si può intuire ricordando le considerazioni che abbiamo fatto sul significato cinematico del momento angolare. Come per qualunque altro sistema materiale, così anche per un sistema rigido si definisce posizione di equilibrio una configurazione tale che, disponendo in essa, fermo, il sistema materiale, esso permane fermo in tale configurazione. Tuttavia, mentre nel caso generale è necessario assicurarsi che ognuno dei singoli punti costituenti il sistema sia in equilibrio, nel caso di un sistema rigido l equilibrio è garantito dalla condizione che non si muova il centro di massa, e che il sistema non ruoti attorno ad esso. Per conseguenza, condizione necessaria e sufficiente perché una posizione sia posizione di equilibrio per un corpo rigido, e che in tale posizione siano nulli il risultante F (e) e il momento M (e) delle forze esterne applicate al sistema. La condizione è necessaria: infatti se F (e) e/o M (e) sono diversi da zero, sono diversi da zero dq/dt e/o dl/dt. Pertanto, se inizialmente il sistema è fermo, esso si mette in movimento: il risultante delle forze esterne produce il moto del baricentro, e il momento risultante produce le rotazioni. La condizione è sufficiente: infatti se F (e) e M (e) sono nulli, sono nullo anche dq/dt e dl/dt. E dunque, se inizialmente il sistema era fermo (e dunque Q = 0 e L = 0), resta dunque Q = 0 e L = 0 anche negli istanti di tempo successivi, e queste sono sei condizioni cinematiche fra di loto indipendenti che garantiscono che tutti i punti del sistema restino fermi al passare del tempo. 11

12 Momento angolare rispetto al baricentro e momento di inerzia I Vogliamo estendere al coso dei sistemi rigidi le considerazione sviluppate nel caso dei sistemi di punti materiali. In effetti l unica differenza che abbiamo dal caso precedente è che ora abbiamo una distribuzione continua di materia, mentre in precedenza avevamo una distribuzione discreta. La generalizzazione è presto fatta se sostituiamo al concetto di somma quella dell integrale ed anche in questo ultimo caso è possibile ottenere una relazione di proporzionalità tra il momento angolare totale (di una distribuzione di materia) L ed il vettore velocità angolare ω (avendo scelto come asse di rotazione un asse di simmetria dei corpo rigido!): L = Iω Dove I è detto momento di inerzia rispetto all asse preso in considerazione per la rotazione ed è definito dalla relazione I = h dm Il momento d inerzia corrisponde ad una proprietà geometrica del corpo rigido considerato ed è diverso da corpo a corpo. Infatti che la velocità angolare ω è costante allora anche L ècostante poiché I non risente della dinamica del corpo. Quindi giungiamo alla conclusione che dl/dt = 0 e non vi è un risultante dei momenti diverso da zero: per mantenere il corpo in rotazione con velocità angolare costante intorno all asse di simmetria non è necessario applicare ad esso alcun momento delle forze esterne. 1

13 Momento angolare rispetto al baricentro e momento di inerzia II Ma dato che il centro di massa si trova sull asse di rotazione (il centro di massa è sempre sull asse di simmetria per un corpo con qualche particolare simmetria) non è in moto e quindi resta fermo dq/dt = F (e) = 0. Il corpo può ruotare liberamente intorno all asse di simmetria e non vi è bisogno di nessuna sollecitazione esterna per mantenere inalterato il moto nel tempo. Ogni asse che gode di questa proprietà è detto asse libero di rotazione o asse centrale di inerzia. Il calcolo del momento d0inerzia di un corpo rispetto ad un asse qualsiasi può essere effettuato con tecniche simili a quelle introdotte per il calcolo del centro di massa. Infatti per calcolare esplicitamente il momento di inerzia bisogna riscrivere l elemento di massa in termini della densità di massa (che è una funzione del punto) e pi estendere il calcolo dell integrale a tutto lo spazio occupato dal corpo: h dm = h ρ( x, y, z) dτ = I = h ρ( x, y, z) dxdydz L integrando h ρ risulta essere una funzione della posizione; e l integrale può essere eseguito pur di esprimere ρ, h e dτ in funzione delle stesse variabili. Qualora il corpo fosse schematizzabile come un corpo bidimensionale o unidimensionale otteniamo le rispettive relazioni I = h σ ( x, y) ds = h σ ( x, y) dxdy h dm = oppure x λ( x) dx 13

14 Momento angolare rispetto al baricentro e momento di inerzia III Quando di un corpo rigido ci sia noto il momento di inerzia I c rispetto ad un asse noto (c) passante per il centro di massa, il momento di inerzia I rispetto ad un altro asse (a) parallelo a c può essere facilmente calcolato mediante il teorema di Huygens Steiner secondo il quale I = Ic + dove M è la massa totale del sistema e d la distanza fra l asse a e l asse c. E da notare che a parità di massa, la rotazione è caratterizzata dalla distribuzione della massa attorno all asse di rotazione. Il momento di inerzia cambia al cambiare della posizione dell asse. Infatti, nel primo esempio abbiamo I = 1/3 M L, ma se l asse di rotazione cambia, come nel secondo caso, anche il momento cambia: I = 1/1 M L. Infine cambiando ancora una volta l asse di rotazione otteniamo I = 1/1 M (a +b ). Per una sfera omogenea abbiamo I = /5 M R. Md 14

15 Energia cinetica di un sistema rigido L energia cinetica di un sistema rigido che ruoti intorno ad un asse a assume una forma particolarmente semplice in termini del momento di inerzia I a e della velocità angolare ω. La velocità v dell elemento dm, che si muove su traiettoria circolare di raggio h, ha infatti modulo v = ω h; e dunque il relativo contributo dk dell energia cinetica K del sistema vale 1 dk = dmv = Dunque l energia cinetica totale del sistema è 1 = 1 ω dmh ω K dk = dmh ω = dmh = 1 I ω Utilizzando il teorma di Koenig (K = ½ M v c + K ) unito all espressine appena ricavata, anche nel caso generale l energia cinetica di un sistema rigido assume un espressione particolarmente semplice. In un sistema baricentrale, il sistema compie infatti in ogni istante una rotazione intorno ad un asse c; per cui otteniamo: 1 1 K = Mv c + Iωc Dove I c è il momento di inerzia rispetto all asse (istantaneo) di rotazione. a 15

16 Moto di puro rotolamento I Questo tipo di moto è quello compiuto da una ruota circolare (sia r il suo raggio) che ruota senza strisciare a contatto con la strada: il sistema ruota con velocità angolare ω = ω u intorno all sse principale di inerzia u passante per il centro di massa C ortogonale alla ruota, e nello stesso tempo il centro di massa si muove rispetto al terreno con velocità v C, ortogonale all asse e parallela al terreno stesso. Benché il sistema (che per semplicità schematizziamo come un disco piano) sia dotato di moto di rotazione intorno a un asse che a sua volta trasla, esso è dotato di un solo grado di libertà. Infatti, per conseguenza del fatto che un punto A della ruota a contatto col terreno non striscia (dunque è, istante per istante, fermo rispetto al terreno), la velocità angolare ω della ruota e la velocità v C dell asse (e dunque del centro di massa della ruota) non sono fra di loro indipendenti, ma sono legati dalla relazione ω r = v C che in termini vettoriali: r ω = v C. Che la velocità angolare e la velocità del centro di massa siano cosi legate è comprensibile anche intuitivamente, sia ponendosi dal punto di vista solidale con il centro di massa (nel qual caso si vede la periferia della ruota, e con essa il terreno, procedere con velocità ω r), che dal punto di vista solidale con il punto di contatto (A) (nel qual caso si vede il sistema che ruota con velocità angolare ω intorno al punto di contatto, che pur essendo da istante ad istante diverso, è in ogni istante fermo: v A = 0). In base a questi ragionamenti, si conclude che il punto (B) diametralmente opposto al punto di contatto si muove con velocità v B = ω r = v C. 16

17 Moto di puro rotolamento II Poiché la ruota è un sistema ad un sol grado di libertà, basta una sola equazione dinamica, opportunamente scelta, per determinare la legge del moto; le altre equazioni dinamiche possono essere usate per calcolare le reazioni vincolari. Va notato che usualmente la ruota è costruita in modo che l asse di rotazione sia un suo asse centrale di inerzia (e noi supporremo di trovarci sempre in queste condizioni). 17

18 Ricapitolando Nello studio del moto dei sistemi di corpi o di corpi estesi, la traslazione viene regolata dalle leggi di Newton applicate al centro di massa, che è il punto reale o ideale in cui si considera concentrata la massa e intervengono solo le forze esterne (quelle esercitate da corpi esterni al sistema considerato). Le forze interne, che si presentano sempre come forze di azione a reazione, si annullano e non contribuiscono al moto. La rotazione del corpo intorno a qualche asse (passante per il centro di massa o un asse che vincola il moto) viene descritta dal momento delle forze esterne, e l accelerazione angolare dipende dalla distribuzione della massa attorno all asse di rotazione attraverso il centro di inerzia. Il principio di conservazione dell energia meccanica deve essere applicato tenendo conto dell energia cinetica di rotazione, oltre che quella di traslazione e delle energie potenziali. Si sono introdotti due nuovi principi: conservazione della quantità di moto (somma delle forze esterne = 0), conservazione del momento angolare (somma momenti esterni = 0). Se il corpo è inizialmente fermo, questi sono i principi che regolano la statica dei corpi. 18