Architettura degli elaboratori 2012/2013

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1 Architettura degli elaboratori 2012/2013 Rappresentazione ed aritmetica binaria di base Michele Jazzinghen Bianchi 1 1 Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'informazione Universtià degli Studi di Trento 21 Febbraio of 27

2 Introduzione Contatti: Sito web con i materiali: Ricevimento: scrivetemi una mail, così ci mettiamo d'accordo. Domande o parti poco chiare: Ovviamente sono qui per questo, quindi chiedete pure, altrimenti mandatemi le domande via mail, alle quali risponderò all'inizio della lezione successiva 2 of 27

3 Introduzione Extra Sulla mia pagina è presente una Quick Start Guide per quanto riguarda la seconda parte del corso. Vi potrebbe essere utile leggerla subito, così se ci sono casini metto a posto Aggiungerò dei link a delle risorse online utili per il corso, dateci un'occhiata ogni tanto. So che vi sentite dire questa cosa spesso, ma a meservono hit per prendere soldi nel mio caso vi potrebbe essere utile, visto che non ci sono ancora tutti i contenuti. 3 of 27

4 Storia Sistemi unari (dita, tacche, ideogrammi) Sistemi di numerazione additivi (Romani, Egizi) Sistemi letterali (e.g. Sixty nine, Soixante dix-neuf, Settantanove) Notazioni posizionali (Babilonesi [base60], Hindu-Arabic [base10]) 4 of 27

5 Basi informatiche Base-2 (Binario): rappresentazione grezza delle linee logiche Base-8 (Ottale): rappresentazione di 3 bit (deprecato) Base-16 (Esadecimale): rappresentazione 4 bit (e.g. Colori per CSS) 5 of 27

6 Denizioni di base Bit [0,1]: stato di una linea logica Byte [0,255]: 8 bit assieme (e.g. 1 carattere ASCII) Word [0,2 bits 1]: numero variabile di byte a seconda del sistema (e.g. oat da 4byte) 6 of 27

7 Integer (8, 16, 32, 64 bit) Unsigned: Da 0 a 2 bit 1 Signed: Da 2 bit 1 a 2 bit 1 1 Float Single: e 38 a e 38 Double: e 308 a e 308 Quad (There is no kill like overkill): 3.362e 4932 a 1.20e 4932 N.B. Per iniziare lavoreremo con i numeri naturali (interi positivi) a 8 bit. Ovvero da 0 a 255, come se stessimo giocando a Final Fantasy VII. 7 of 27

8 Strutture complesse Testo: Sequenza di byte o, nel caso di sistemi moderni, di word da 8 a 32 bit (UTF-8) Immagini: Bitmap a profondità variabile (1, 8, 16, 24, 32 bit) 1 bit: Bianco e Nero 8 bit: 256 colori (NES! MSX2! :D Glorious Retrogaming) 16 bit: colori (SNES, Windows 95) 24 bit: 16 milioni di colori (Circa tutto adesso) 32 bit: 16 milioni di colori + Alpha Channel Audio: Dati stereo codicati tramite Pulse Code Modulation (PCM) 1 1 Dannato PCM! 8 of 27

9 Conversione base-10 a base-2 Valore di un numero base-10 Un numero in base-10 è formato da unità, decine, centinaia, migl... blah blah. In pratica è la somma di multipli di potenze di 10, partendo da 10 0 = 1 Quindi, se prendiamo un numero tipo il avremo: 9 of 27

10 Conversione base-10 a base-2 Valore di un numero base-2 Alla stessa maniera un numero base-2 è formato da unità, due, quattro, otto ed avanti così per potenze di 2. La conversione, quindi, da base-2 a base-10 è molto semplice, basta sommare le potenze di 2 rappresentate dagli 1 e avremo così il numero in base of 27

11 Conversione base-10 a base-2 Ci sono due metodi per farlo: Divisione e Modulo: Continuare a dividere per due e mantenere il resto Sottrazione: Testare se il numero è contenuto in un multiplo di due, se sì ve lo segnate da parte e poi lo sottraete dal numero e continuate così 11 of 27

12 Conversione base-10 a base-2 Divisione e modulo Più facilmente implementabile Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; while n>0 do s = (n mod 2) + s; n = n div 2; end 12 of 27

13 Conversione base-10 a base-2 Divisione e modulo Più facilmente implementabile =?? Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; while n>0 do s = (n mod 2) + s; n = n div 2; end 12 of 27

14 Conversione base-10 a base-2 Divisione e modulo Più facilmente implementabile =?? Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; while n>0 do s = (n mod 2) + s; n = n div 2; end n s = of 27

15 Conversione base-10 a base-2 Sottrazione Terribile se usato con numeri grandi Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; i = massima potenza di due contenuta in n; repeat if i n then s = s + 1; n = n - i; else s = s + 0; end i = i div 2; until i=0; 13 of 27

16 Conversione base-10 a base-2 Sottrazione Terribile se usato con numeri grandi Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; i = massima potenza di due contenuta in n; repeat if i n then s = s + 1; n = n - i; else s = s + 0; end i = i div 2; until i=0; =?? 13 of 27

17 Conversione base-10 a base-2 Sottrazione Terribile se usato con numeri grandi Data: n: Numero base-10 da convertire Result: s: Numero convertito in base-2 s = stringa vuota; i = massima potenza di due contenuta in n; repeat if i n then s = s + 1; n = n - i; else s = s + 0; end i = i div 2; until i=0; =?? n i s = of 27

18 Somma di naturali Un'introduzione, prima A B Carry C Carry A + B + Carry = C + Carry 14 of 27

19 Somma di naturali Esempio = =? 15 of 27

20 Somma di naturali Esempio = =? = of 27

21 Somma di naturali Esempio = =? = = of 27

22 Sottrazione di naturali Operazione di base e Il prestito Come nella somma si va da destra a sinistra seguendo delle regole banali: A B A-B Nell'ultimo caso bisogna scorrere a sinistra nchè non si trova un 1, invertendo il valore di tutte le cifre incontrate, 1 compreso of 27

23 Sottrazione di naturali Esempio = =? 17 of 27

24 Sottrazione di naturali Esempio = =? = of 27

25 Sottrazione di naturali Esempio = =? = = of 27

26 Moltiplicazione di naturali Moltiplicazione (e divisione) per potenze di due Ok, se dobbiamo moltiplicare un numero base-10 per 10 dobbiamo of 27

27 Moltiplicazione di naturali Moltiplicazione (e divisione) per potenze di due Ok, se dobbiamo moltiplicare un numero base-10 per 10 dobbiamo... Aggiungere uno 0 a destra. 18 of 27

28 Moltiplicazione di naturali Moltiplicazione (e divisione) per potenze di due, cont. Nel caso dei numeri base-2, aggiungere uno 0 a destra signica moltiplicare il numero per 2, mentre eliminando la prima cifra a desra signica dividere per 2. Questa operazione è chiamata shifting, utilizzata spesso dai compilatori per ottimizzare la moltiplicazione. 19 of 27

29 Moltiplicazione di naturali Moltiplicazione tra due Naturali Moltiplicare due numeri base-2 naturali altro non è che l'applicazione di shifting multipli e poi della somma sui risultati degli shifting. Alla ne non è dierente dalla moltiplicazione in base-10, solo che è più semplice perché o bisogna sommare uno dei due moltiplicatori shiftati o nulla. 20 of 27

30 Moltiplicazione di naturali Esempio x17 10 = x =? 21 of 27

31 Moltiplicazione di naturali Esempio x17 10 = x =? x = of 27

32 Moltiplicazione di naturali Esempio x17 10 = x =? x = = of 27

33 Error Checking Overow/Underow Fino ad ora abbiamo sempre fatto calcoli pensando di avere cifre innite a nostra disposizone.... Purtroppo, la realtà ci impone dei limiti di spazio, dettati dall'architettura di basso livello del calcolatore. A causa di questo si possono rischiare errori da semplicemente stupidi a catastroci. 22 of 27

34 Error Checking Overow/Underow Fino ad ora abbiamo sempre fatto calcoli pensando di avere cifre innite a nostra disposizone.... Purtroppo, la realtà ci impone dei limiti di spazio, dettati dall'architettura di basso livello del calcolatore. A causa di questo si possono rischiare errori da semplicemente stupidi a catastroci. Tipo quello che è successo all'ariane 5 501, missile Geostationary Transfer Orbit (GTO), progettato dalla Astrium per l'esa. A causa di un errore di conversione e di mancato controllo degli Overow la casa di produzione ha bruciato 370M$ in circa 40 secondi. 22 of 27

35 Error Checking Overow/Underow cont. Possiamo immaginare i numeri in base-2 con una quantità limitata di cifre come se fossero posti intorno ad una ruota: 23 of 27

36 Error Checking Overow/Underow cont. Nel caso precedente il numero è formato al massimo da 3 cifre binarie, quindi, se noi provassimo a calcolare il risultato dovrebbe essere , solo che non abbiamo abbastanza cifre per contenere tutte le informazioni. Il risultato sarà quindi In pratica, = of 27

37 Error Checking Overow/Underow cont. Nel caso precedente il numero è formato al massimo da 3 cifre binarie, quindi, se noi provassimo a calcolare il risultato dovrebbe essere , solo che non abbiamo abbastanza cifre per contenere tutte le informazioni. Il risultato sarà quindi In pratica, = Fortunatamente le ALU contengono delle ag che indicano se è avvenuto un overow (o un underow) durante un'operazione aritmetica. 24 of 27

38 Aggiungere il segno agli interi Il supporto per i numeri negativi è stato aggiunto in vari modi 2 : Segno-e-Modulo: Un bit fa da segno, gli altri sono il valore del numero Complemento ad 1: Per avere il numero negativo invertiamo tutti i bit. Complemento a 2: Facciamo il complemento ad 1 e poi sommiamo 1. 2 I quali dimezzano il numero massimo rappresentabile 25 of 27

39 Aggiungere il segno agli interi Rappresentazione in Segno-e-Modulo Più vicino (Anzi, esattamente IL) al metodo usato per la rappresentazione dei negativi nei oat Permette l'esistenza di due 0: +0 e 0 Richiede una logica più complessa per venir implementato. 26 of 27

40 Aggiungere il segno agli interi Complemento a 2 Il complemento ad 1 è migliore del Segno-e-Modulo per gli interi, ma ha ancora dei problemi, tipo il doppio 0 oppure il fatto che è macchinoso a causa dell'oset di 1 dei numeri negativi. Per questo è stato inventato il complemento a 2: Solo uno 0 Trasparente per somma, sottrazione e moltiplicazione Per questo molto più facilmente implementabile a livello hardware 27 of 27