Nel mondo dei numeri e delle operazioni

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1 Carla Alberti, Maria Elisabetta Bracchi e Stefania Portieri Nel mondo dei numeri e delle operazioni I numeri oltre 100 Moltiplicazione e divisione Guida

2 Editing e progettazione Serena Larentis Sviluppo software Michele Linardi Adriano Costa Collaborazione Daniele De Martin Marco Amoretti Andrea Biasioli Coordinamento tecnico Matteo Adami Grafica, illustrazioni e animazioni Riccardo Beatrici Dario Scaramuzza Elaborazione grafica Riccardo Beatrici Tania Osele Dario Scaramuzza Testing Marzia Gaita Anthony K. Frizzera Federica Lunardi Audio Jinglebell Communication Musiche Simone Bordin Immagine di copertina Riccardo Beatrici Fotocomposizione e packaging Tania Osele 2009 Edizioni Erickson Via del Pioppeto Trento tel fax info@erickson.it Tutti i diritti riservati. Vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo effettuata, se non previa autorizzazione dell Editore.

3 C. Alberti, M.E. Bracchi e S. Portieri Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2 I numeri oltre 100 Moltiplicazione e divisione

4 C a r l a Al b e r t i Laureata in matematica presso l Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia, è insegnante di scuola secondaria superiore, docente a contratto presso il Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria presso l Università Cattolica di Brescia e membro del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica per la Scuola Primaria della medesima Università. Svolge attività di formazione e aggiornamento in scuole dell infanzia e del primo ciclo di istruzione. M a r i a El i s a b e t t a Br a c c h i È insegnante nella scuola primaria e membro del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica per la Scuola Primaria dell Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia. Ha svolto attività come formatore in scuole di diverse province italiane e come docente di laboratorio di Didattica della matematica presso il corso di laurea di Scienze della Formazione Primaria dell Università Cattolica di Brescia. S t e f a n i a Po r t i e r i È stata insegnante nella scuola primaria ed è membro del Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica per la Scuola Primaria dell Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia. Ha conseguito il Diploma di abilitazione all insegnamento per gli alunni in difficoltà e ha svolto attività come formatore in scuole di diverse province italiane e con Enti quali l IRRE Lombardia.

5 INDICE Installazione e avvio del CD-ROM p. 6 Introduzione a cura degli autori p. 7 Guida alla navigazione p. 8 Login p. 8 Menu p. 9 Tasti di scelta rapida p. 10 Sezione 1 Numeri naturali p. 11 Sezione 2 Moltiplicazione p. 20 Sezione 3 Divisione p. 25 Sezione 4 Giochi aritmetici p. 30 Guida al gestionale p. 34 Menu p. 34 Esportazione dei dati in formato Excel p. 35 Statistiche p. 35 Opzioni p. 36

6 Installazione e avvio del CD-ROM Per usare il CD-ROM su computer Windows, assicurarsi che la propria macchina soddisfi i requisiti di sistema riportati in copertina. Avvio automatico 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Non premete nessun tasto. Il programma partirà automaticamente (il tempo medio è di 25 secondi). Avvio manuale 1. Inserite il CD-ROM nell apposito lettore. 2. Cliccate su Start/Avvio. 3. Cliccate su Esegui. 4. Digitate D:\AVVIOCD.EXE (dove D indica la lettera dell unità CD- ROM) e premete «Ok». In alternativa, premete il pulsante «Sfoglia», scegliete l unità CD-ROM nel campo «Cerca in» e fate doppio clic sul file «Setup». 5. Passate alle voce «Installazione del programma». Installazione del programma Con i sistemi operativi Windows XP o Windows Vista è possibile installare l applicazione in due modalità: 1. L applicazione può essere installata e utilizzata da tutti gli utenti che accedono al computer. Per poter fare questo tipo di installazione, l utente deve avere i diritti di amministratore. 2. L applicazione può essere installata e utilizzata da un solo utente. L installazione del programma può essere di due tipi: installazione automatica, ovvero il programma si autoinstalla; installazione personalizzata, in cui l utente può scegliere la cartella in cui installare il programma. Con Windows Vista all inserimento del CD-ROM potrebbe comparire una finestra denominata «Controllo dell account utente» che chiede conferma prima di installare il programma. Selezionare l opzione «Consenti». A questo punto partirà l installazione Erickson. Se non disponete di un account utente con privilegi di amministratore prima di proseguire verrà chiesto di inserire la password di amministratore. Se non disponete di questa password non sarà possibile proseguire con l installazione. Leggimi Per ulteriori informazioni, consultare il file «Leggimi» presente nella finestra di avvio o visualizzarlo, cliccando su «Risorse del computer», cliccare l icona CD-ROM, dal menu «File», selezionare la voce «Esplora», fare doppio clic sul file «Leggimi» , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

7 Introduzione a cura degli autori Questo software è il secondo di una serie pensata per supportare le proposte didattiche presenti in forma di approfondimenti concettuali, itinerari didattici e schede fotocopiabili nei volumi della collana Ricostruiamo la matematica Nel mondo dei numeri e delle operazioni (a cura di C. Colombo Bozzolo, A. Costa, C. Alberti pubblicata presso le Edizioni Erickson). Esso, quindi, è stato elaborato in coerenza con la visione della matematica, del suo insegnamento e del suo apprendimento esplicitata nei suddetti volumi e riconducibile agli studi di H. Freudenthal (1994). Questi sottolinea come la matematica sia prima di tutto un fatto culturale, in quanto è un attività mentale che, a partire da contesti ricchi, come quelli reali, porta a indagare ragioni, a cercare e creare certezze logiche, strumenti linguistici e logici per leggere, interpretare e rappresentare la realtà. Un apprendimento della matematica che voglia essere in sintonia con la natura stessa della disciplina e, al medesimo tempo, rispettoso della libertà del soggetto di tale apprendimento e del suo mondo cognitivo, deve essere inteso come re-invenzione, ossia ricostruzione attiva del sapere matematico da parte del soggetto. Tale ricostruzione deve essere guidata dall insegnante, per cui l insegnamento viene inteso come regia, predisposizione accurata di situazioni, contesti, materiali atti a sollecitare la re-invenzione, guida consapevole dei concetti da reinventare, dei loro legami, della loro complessità e attenta ai processi, non solo ai prodotti. In particolare, il software qui presentato integra con esercizi che sfruttano le potenzialità del mezzo informatico le proposte didattiche del volume 3 di Nel mondo dei numeri e delle operazioni: I numeri oltre 100 Moltiplicazione e divisione. Bibliografia Freudenthal H. (1994), Ripensando l educazione matematica, Brescia, La Scuola. 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 7

8 Guida alla navigazione Login Per accedere al programma è necessario scrivere il proprio nome nel riquadro o selezionarlo dalla lista dei nomi. Per scorrerla si possono usare le due frecce poste alla base del cartellone. Quindi si deve cliccare il cartello «Vai» per entrare nel menu e iniziare le attività. Per attivare i fumetti contenenti le istruzioni scritte, basta cliccare il pulsante «Attiva istruzioni scritte» e per disattivarli è sufficiente ricliccarlo. Per continuare la lettura dei testi, si clicca sui fumetti. Per accedere alla parte gestionale contenente le statistiche e le opzioni del programma si deve cliccare il pulsante con l ingranaggio o i tasti «Ctrl+o» sulla tastiera. Login: registrazione di un nuovo utente Clicca qui per vedere le istruzioni scritte Digita il tuo nome o selezionalo dalla lista Clicca «Vai» per entrare nel menu , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

9 Menu Dopo aver inserito il nome nel login e cliccato «Vai», si accede al menu principale, dove sono presenti gli elementi di accesso alle varie sezioni: a) 4 sezioni corrispondenti ai diversi argomenti Sezione 1: Numeri naturali Sezione 2: Moltiplicazione tra numeri naturali Sezione 3: Divisione tra numeri naturali Sezione 4: Giochi aritmetici b) Ultimo svolto Al clic sulla freccia a spirale l alunno può riprendere l attività dall ultimo esercizio svolto nella sessione di lavoro precedente. c) Lampada a olio Al clic sulla lampada a olio l alunno può visualizzare le funzioni dei pulsanti usati nel programma. La videata è stampabile. Menu: scelta delle attività Attestato Spiega pulsanti Sezioni Ultimo svolto 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 9

10 d) Attestato Il rotolo di pergamena viene sbloccato al superamento del 100% degli esercizi. Nella parte gestionale è possibile selezionare l opzione che lo rende liberamente accessibile in qualunque momento della navigazione. L attestato è personalizzato per ogni utente e può essere stampato. e) Pulsante «X» Al clic sul pulsante «X» in alto a destra si ritorna alla videata del login. Tasti di scelta rapida Il programma consente agli utenti di utilizzare una combinazione di tasti in alternativa al clic del mouse sui pulsanti presenti nelle videate. FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Generali Audio istruzioni Esci/Chiudi Stampa Guida/informazioni utili Attiva/disattiva istruzioni scritte Gestione volumi Login Entra Esci dal software sì/no Seleziona utente Gestionale Menu Scorri menu Ultimo svolto Attestato Lista esercizi Scrolla lista su/giù Esercizi Ho fi nito Scorri videata Annulla Ok COMBINAZIONE DI TASTI Ctrl + Barra spaziatrice Ctrl + x F10 F1 Ctrl + i Ctrl + v Invio s/n Frecce alto/basso Ctrl + o Frecce avanti/indietro Ctrl + u Ctrl + a Frecce alto/basso Ctrl + invio Ctrl + Frecce avanti/indietro Ctrl + a Tab , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

11 FUNZIONI DEL PROGRAMMA/PULSANTI Gestionale Stampa Guida/informazioni utili Esci/chiudi Scrolla testo su/giù Esporta file excel Aumenta/diminuisci carattere Ok/sì Annulla/no COMBINAZIONE DI TASTI F10 F1 Ctrl + x Frecce alto/basso Ctrl + e Ctrl + +/- Invio Ctrl + x Sezione 1 Numeri naturali Il concetto di numero naturale è complesso sia perché assume diversi significati (espressione di una quantità o di una posizione, misura, contrassegno, ) sia perché comporta la questione della sua scrittura simbolica e della relativa denominazione. Parlare di numero naturale significa, dunque, fare riferimento congiuntamente a un contenuto e a una forma verbale e simbolica necessaria per esprimere il contenuto. Inoltre, nell insieme dei numeri naturali possono essere definite relazioni tra numeri, relazioni le quali permettono di attribuire a tale insieme diverse strutture. Tra tali relazioni, sono fondamentali quella di uguaglianza e quella d ordine. Nei paragrafi che seguono si danno alcune indicazioni essenziali in merito agli aspetti dei numeri naturali sui quali sono proposte le attività della sezione 1 del software. 1. Leggere e scrivere i numeri e 2. Comporre e scomporre i numeri Per esprimere in modo verbale e simbolico un numero naturale è necessario adottare un sistema di numerazione, ossia si devono scegliere alcuni simboli (detti cifre), ognuno dei quali viene considerato la scrittura di un certo numero, e stabilire regole di combinazione di questi simboli al fine di ottenere la scrittura di tutti gli altri numeri. In particolare, il sistema di numerazione universalmente diffuso e utilizzato è il cosiddetto sistema di numerazione posizionale decimale. In esso, è fissata come base il numero dieci e sono state scelte dieci cifre (di origine indo-araba) ognuna delle quali corrisponde ad un numero naturale da zero a nove: la cifra 0 per il numero zero, la cifra 1 per il numero uno,, la cifra 9 per il numero nove. È stato poi stabilito che ogni potenza di dieci definisca una nuova unità di ordine superiore. Con queste premesse, si dimostra che ogni numero naturale può essere 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 11

12 scritto come somma di potenze di dieci, in modo che tali potenze abbiano esponente decrescente fino a zero e che i loro coefficienti siano minori della base. Ad ogni coefficiente si può, dunque, sostituire una cifra; se, poi, si trascurano le potenze della base e si accostano i solo coefficienti si ottiene la scrittura in cifre del numero. Tale scrittura, quindi, è una successione ordinata di cifre, le quali hanno un proprio valore e un valore relativo alla posizione occupata nella successione. Sul piano didattico, invece di esprimersi in termini di potenze, si parla di gruppi di unità: dieci unità raggruppate formano una nuova unità di ordine superiore. In particolare, dieci unità semplici raggruppate formano una decina (1da), dieci decine raggruppate formano un centinaio (1h), Per esempio, la successione di cifre 348 è la scrittura compatta e sintetica del numero formato da tre centinaia, quattro decine e otto unità, che in forma polinomiale è Per evitare di introdurre nomi distinti per ogni gruppo di unità, si introduce la suddivisione in classi o periodi dei gruppi di unità: a partire dalla prima cifra da sinistra, si riuniscono in una stessa classe i tre ordini consecutivi e si attribuisce un nome a ciascuna classe, all interno della quale i gruppi di unità crescenti in valore si indicano, rispettivamente, come unità, decina, centinaia: la prima classe, corrispondente alla prima, seconda e terza cifra da sinistra, è detta classe delle unità semplici; questa non ha una specifica marca, per cui i relativi ordini di grandezza sono detti, rispettivamente, unità (u), decine (da), centinaia (h); la seconda classe, corrispondente alla quarta, quinta e sesta cifra da sinistra, è detta classe delle migliaia ed è indicata dalla marca k; gli ordini di grandezza sono detti, rispettivamente, unità di migliaia (uk), decine di migliaia (dak), centinaia di migliaia (hk); la terza classe, corrispondente alla settima, ottava e nona cifra da sinistra, è detta classe dei milioni ed è indicata dalla marca M; gli ordini di grandezza sono detti, rispettivamente, unità di milioni (um), decine di milioni (dam), centinaia di milioni (hm); la quarta classe, corrispondente alla decima, undicesima e dodicesima cifra da sinistra, è detta classe dei miliardi ed è indicata dalla marca G; gli ordini di grandezza sono detti, rispettivamente, unità di miliardi (ug), decine di miliardi (dag), centinaia di miliardi (hg); In forza di quanto stabilito dal Sistema Internazionale, per evidenziare le classi di unità, il gruppo di tre cifre corrispondente ad una classe va separato dal gruppo precedente e da quello seguente da uno spazio e non da un punto , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

13 Forma il nome dei numeri! Esempio Nel numero il gruppo di cifre 247 è relativo alle unità semplici e il gruppo di cifre 516 è relativo alle migliaia; in particolare, il valore relativo di ciascuna cifra è = 5hk 3dak 6uk 2h 4da 7u. Se invece il numero è dell ordine delle unità di migliaia, si parla genericamente di migliaia. Esempio Nel numero la cifra 5 ha il valore delle unità di migliaia (uk) o più genericamente delle migliaia (k). Nella scrittura di un numero come successione di cifre ha un ruolo importante la cifra 0, utilizzata per segnare il posto del tipo di unità mancante nella scrittura del numero come somma di potenze di dieci. Per esempio, nella scrittura 80 la cifra 0 indica che, dopo avere raggruppato per dieci le unità semplici e avere ottenuto otto decine, non sono rimaste unità semplici non raggruppate. Non vengono indicate le unità mancanti oltre la potenza massima della base presente nel numero, per cui non si scrive la cifra 0 a sinistra di quella relativa all unità di valore posizionale maggiore. Accanto alla costruzione della scrittura simbolica si deve porre attenzione al nome verbale dei numeri, nome che non deriva semplicemente dall accostamento dei nomi delle cifre poste in successione: nel nostro sistema di numerazione, il numero in cifre 34 non ha come nome tre- 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 13

14 quattro, ma trentaquattro, in quanto nel nome si esprime anche il valore relativo che ogni cifra assume all interno della successione. Per numeri composti da classi di unità oltre quelle semplici, nel nome vengono espresse anche le classi. Clicca sui cartellini che compongono il numero! Esempio = cinquecentotrentaseimiladuecentoquarantasette Particolare è la denominazione dei numeri da dieci a diciannove, in quanto la presenza della decina viene espressa in modi diversi (dici, dicia) e in posizione diversa rispetto al nome delle unità (per esempio, undici, diciotto, diciassette, ). Si rileva che nella denominazione verbale si esprime lo zero anche quando esso non è presente nella scrittura in cifre: dicendo trentaquattro si indicano esplicitamente due numeri (trenta e quattro), ma la scrittura in cifre non presenta lo zero del numero trenta. 3. Confrontare i numeri La prima relazione considerata nell insieme dei numeri naturali è quella di uguaglianza, che può essere interpretata in modi diversi, a seconda dell accezione con cui i numeri vengono interpretati. La relazione «è uguale a» ha come scrittura simbolica «=» e possiede la proprietà simmetrica, ossia se un numero a è uguale ad un numero b, allora anche b è uguale ad a. Questo comporta che il simbolo , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

15 di uguaglianza possa essere indifferentemente letto da sinistra verso destra oppure da destra verso sinistra. La negazione dell uguaglianza è espressa dal predicato «non essere uguale a», che ha simbolo. L insieme dei numeri naturali è, inoltre, ordinabile, in quanto tra due numeri che non sono tra loro uguali è possibile definire una relazione d ordine, così da stabilire quale dei due è maggiore (o minore). La relazione d ordine «è maggiore di» è tradotta simbolicamente da «>» e non è simmetrica, in quanto scambiando di posto i due numeri confrontati si ha la relazione inversa «è minore di», che in simboli si scrive «<». Le due relazioni d ordine «è maggiore di» e «è minore di» hanno la proprietà transitiva, secondo la quale se un numero a è maggiore (minore) di un numero b e b è maggiore (minore) di un numero c, allora anche a è maggiore (minore) di c. Questa proprietà permette di estendere il confronto da due a più numeri, ossia di passare all ordinamento, che può essere crescente (dedotto dalla relazione d ordine «è minore di») o decrescente (dedotto dalla relazione d ordine «è maggiore di»). Ordinare in modo crescente, per esempio, almeno tre numeri comporta di effettuare più confronti a due a due tra i numeri dati, al fine di elencare come primo numero quello, sia a, che rende vera la disuguaglianza a <, qualunque altro numero si metta a destra del simbolo, come secondo numero quello, sia b, che rende vera la disuguaglianza b <, qualunque altro numero, escluso a, si metta a destra del simbolo, e così via, fino a esaurire tutti i numeri assegnati. Per stabilire una delle suddette relazioni di uguaglianza o di disuguaglianza non è necessario dare ogni volta un interpretazione ai numeri confrontati, in quanto l adozione di un sistema di numerazione posizionale permette di dedurre l uguaglianza o la disuguaglianza confrontando le scritture simboliche dei numeri stessi. Il lavoro sulla forma, dunque, equivale a quello sul contenuto; infatti, se un numero a è scritto con una successione di cifre più lunga di quella che esprime un altro numero b, allora a non è uguale a b, più precisamente a è maggiore di b, in quanto a presenta unità di ordine (potenze della base dieci) superiore a quelle presenti in b. Se a e b sono rappresentati da due successioni di cifre di uguale lunghezza, allora per stabilire l uguaglianza o la disuguaglianza è sufficiente confrontare le cifre di uguale posto (uguale valore posizionale) nelle due successioni, procedendo in ordine da sinistra verso destra, ossia dalle unità di ordine superiore a quelle di ordine inferiore. Dal confronto globale dei due numeri si passa così al confronto cifra a cifra. A questa strategia fanno rimando gli esercizi proposti nella parte del software Confrontare i numeri, esercizi che talvolta sono veri e propri problemi privi di soluzioni o a più soluzioni. 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 15

16 Inoltre, i numeri sono assegnati sia in forma ridotta come successione di cifre, sia in forma additiva, ossia scritti con addizioni o sottrazioni, in modo da offrire stimoli per applicare alcune proprietà di tali operazioni (come la commutatività dell addizione o l invariantiva della sottrazione) o strategie di calcolo mentale o di approssimazione dei risultati. Completa con le cifre mancanti! 4. Numeri in linea La cosiddetta linea dei numeri viene generata costruendo una corrispondenza tra i numeri naturali e i punti di una linea non intrecciata, sulla quale sia stato scelto un verso di percorrenza e un unità di lunghezza. Si fa corrispondere a un punto della linea il numero zero, poi al punto che, nel verso fissato, dista un unità di misura dallo zero si associa il numero uno e così via. In particolare, se si sceglie come linea una semiretta, si è soliti associare il numero zero all origine di tale semiretta. Ogni numero così posto in corrispondenza di un punto della linea esprime la misura, rispetto all unità fissata, del segmento avente il primo estremo nel punto associato a zero e il secondo estremo nel punto considerato. La linea dei numeri naturali rimanda non solo al significato di numero come misura, ma anche al numero come espressione di quantità, alla regola per generare la successione dei numeri, ossia l applicazione dell operatore +1, all ordinamento, ai numeri stessi come operatori additivi. È possibile mettere in evidenza solo alcuni punti della linea dei numeri naturali, corrispondenti ad una , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

17 successione ottenuta applicando, a partire da un numero non necessariamente uguale a zero, un operatore diverso da + 1. Ciò significa che negli esercizi di completamento dei tratti di linea dei numeri si deve prima di tutto individuare il valore del passo che separa un punto dal suo successivo. Completa le caselle sulla retta! 5. Numeri in tabella Attraverso la costruzione e l osservazione di opportune tabelle di numeri è possibile porre l attenzione sulle regolarità nella scrittura in base dieci dei numeri naturali e sollecitare strategie di calcolo a mente di somme e differenze.in particolare, con una tabella quadrata a cento caselle: se si elencano i numeri di un fissato centinaio (0-99; ; ; ) ogni passo compiuto rimanendo nella stessa colonna porta a incontrare numeri con uguale cifra delle unità e diversa cifra delle decine, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi +10 e -10; ogni passo compiuto rimanendo nella stessa riga porta ad incontrare numeri con uguale cifra delle decine e diversa cifra delle unità, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi +1 e -1 (fig. 1); 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 17

18 ogni passo in diagonale porta a modificare sia la cifra delle decine sia la cifra delle unità, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi -9, -11, +9, +11 (fig. 2) fig. 1 fig. 2 se si elencano i numeri di un fissato migliaio, numerando per dieci (0-990; ; ; ) ogni passo compiuto rimanendo nella stessa colonna porta a incontrare numeri diversi per la sola cifra delle centinaia, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi -100 e +100; ogni passo compiuto rimanendo nella stessa riga porta a incontrare numeri diversi per la sola cifra delle decina, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi -10 e + 10 (fig. 3); ogni passo in diagonale porta a modificare sia la cifra delle centinaia sia la cifra delle decine, quindi corrisponde all applicazione degli operatori additivi -110, -90, +110, +90 (fig. 4) fig. 3 fig , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

19 se si elencano i numeri da 0 a ottenuti numerando per 100 ogni passo compiuto rimanendo nella stessa colonna porta a incontrare numeri diversi per la sola cifra delle migliaia, quindi corrisponde all applicazione degli operatori additivi e ; ogni passo compiuto rimanendo nella stessa riga porta ad incontrare numeri diversi per la sola cifra delle centinaia, quindi traduce l applicazione degli operatori additivi -100 e +100 (fig. 5); ogni passo in diagonale porta a modificare sia la cifra delle migliaia sia la cifra delle centinaia, quindi corrisponde all applicazione degli operatori additivi -1100, -900, +1100, +900 (fig. 6) fig. 5 fig. 6 Scrivi i numeri nelle caselle che si illuminano! 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 19

20 Sezione 2 Moltiplicazione La moltiplicazione è un operazione che a ogni coppia ordinata di numeri naturali (a, b) associa un numero naturale c; questa associazione viene indicata con la scrittura simbolica a b = c. La moltiplicazione, dunque, è un operazione che è definita su tutte le coppie ordinate di numeri naturali, per cui nell insieme dei numeri naturali esiste sempre un numero che completa, rendendola vera, la scrittura a b = Diversi sono gli aspetti connessi alla moltiplicazione; tra essi il significato, ossia l interpretazione che può avere l operazione quando i numeri esprimono quantità, trasformazioni, il calcolo, inteso come il procedimento per individuare il numero c corrispondente alla coppia (a, b) le proprietà che sono possedute dall operazione considerata come «ente» matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal suo significato e dai procedimenti di calcolo. Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante strumenti, con strategie basate sulle memorizzazione di casi particolari (come le tabelline, ossia i prodotti di ciascuno dei numeri da 0 a 10 per tutti questi numeri) e sull applicazione, seppure implicita, delle proprietà della moltiplicazione. Per tale operazione, infatti, valgono: a) la proprietà associativa: date due moltiplicazioni consecutive, il risultato non dipende dall ordine in cui esse vengono svolte; se si segnala con le parentesi tonde la precedenza nello svolgimento e si indicano con a, b, c tre generici numeri naturali, la proprietà associativa può essere così formulata (a b) c = a (b c). Essa permette di estendere la moltiplicazione da due a più numeri, senza alcuna ambiguità nell interpretazione e nel risultato finale, per cui ha senso scrivere a b c; b) la proprietà commutativa: se in una moltiplicazione si scambiano di posto i fattori, il prodotto non cambia; in simboli a b = b a; c) l esistenza dell elemento neutro, ossia di un numero naturale che moltiplicato ad un altro numero non lo modifica; il numero in questione è uno, il quale è tale che a 1 = a e 1 a = a; d) l annullamento del prodotto: il prodotto di due numeri è zero se e solo se almeno uno dei due numeri è zero; ossia a b = 0 se e solo se a = 0 o b = 0; , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

21 e) la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione: si ottiene lo stesso risultato se si moltiplica per un certo fattore la somma di due numeri oppure si sommano i prodotti dei due addendi per quel fattore; con le notazioni sopra introdotte, la proprietà viene espressa simbolicamente nel modo seguente a (b + c) = (a b) + (a c); f) la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione: si ottiene lo stesso risultato se si moltiplica per un certo fattore la differenza tra due numeri oppure si fa la differenza tra i prodotti dei due numeri per quel fattore; in simboli a (b c) = (a b) (a c). Il calcolo scritto ha nell algoritmo in colonna la sua procedura più economica ed efficace, che non viene però proposta negli esercizi della sezione, in quanto si ritiene che il calcolo in colonna sia da eseguire con «carta e penna». Si richiama l attenzione sul fatto che nella sezione del software sulla moltiplicazione, le operazioni sono scritte con il prodotto talvolta a sinistra del simbolo di uguaglianza e talvolta a destra, per evitare di favorire la lettura dell uguaglianza con un verso privilegiato (da sinistra verso destra) e la sua identificazione con un simbolo orientato come una freccia ; si intende, invece, far sperimentare la simmetria dell uguaglianza, quindi l indipendenza dal verso di scrittura e di lettura. 1. Situazioni di moltiplicazione Negli esercizi proposti si fa riferimento a due situazioni che trovano nella moltiplicazione la descrizione quantitativa: gli schieramenti e gli incroci. Uno schieramento piano di elementi è una disposizione ordinata su righe e colonne, in modo che in tutte le righe ci sia lo stesso numero di elementi (coincidente con il numero di colonne) e in ogni colonna ci sia lo stesso numero di elementi (coincidente con il numero delle righe). Se un fattore corrisponde al numero delle righe e l altro al numero delle colonne dello schieramento, allora il prodotto è il numero degli elementi schierati. L indifferenza nell associazione di ciascuno dei fattori alle righe o alle colonne presuppone che sia stata constata la proprietà commutativa della moltiplicazione. Le moltiplicazioni a tre fattori possono essere interpretate come la descrizione quantitativa di schieramenti tridimensionali. Tali moltiplicazioni presuppongono che sia stata constatata l indipendenza del prodotto dall ordine di svolgimento delle operazioni, ossia la validità della proprietà associativa per la moltiplicazione. Le situazioni di incroci sono riconducili ancora agli schieramenti, in quanto si tratta di punti ottenuti intersecando due famiglie di segmenti 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 21

22 tali che due segmenti della stessa famiglia sono tra loro paralleli e due segmenti di due famiglie diverse sono tra loro perpendicolari. In questo caso, un fattore indica il numero di segmenti di una famiglia, l altro fattore il numero di segmenti dell altra famiglia e il prodotto il numero di punti di intersezione ottenuti. Rispetto agli schieramenti, le situazioni di incroci permettono di dare significato anche alle moltiplicazioni nelle quali uno fattore è il numero Moltiplicazioni in linea La linea dei numeri costituisce un supporto per il calcolo del prodotto di numeri naturali. Nelle consegne di lavoro, si presuppone che il punto di partenza sia sempre quello corrispondente al numero zero; uno dei due fattori sia interpretato come numero di passi successivi da compiere sulla linea; l altro fattore sia inteso come la misura della lunghezza di ciascun passo. La proprietà commutativa della moltiplicazione fa sì che sia indifferente l attribuzione dei due ruoli ai due fattori; tale attribuzione, dunque, indica una scelta strategica da parte dell utente. Completa la moltiplicazione! , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

23 3. Tavola pitagorica La conoscenza dei prodotti ottenuti moltiplicando ciascuno dei numeri da 0 a 10 per tutti questi numeri è condizione necessaria all applicazione dell algoritmo di calcolo della moltiplicazione, noto come «moltiplicazione in colonna». Si tratta delle ben note tabelline, raccolte nella tavola pitagorica, completate con i prodotti relativi al numero 0 e al numero 1. Con gli esercizi proposti nella sezione si intende non solo supportare la memorizzazione delle singole tabelline, ma anche suggerire strategie per ridurre il carico della memoria; infatti, lavorando sull intera tavola pitagorica, si mettono in evidenza regolarità, legate, per esempio, alla proprietà commutativa della moltiplicazione. Completa la tavola pitagorica! 4. Tagli di schieramenti per moltiplicare L algoritmo di calcolo della moltiplicazione è fondato sulle proprietà della moltiplicazione, in particolare della proprietà distributiva rispetto all addizione. Infatti, il procedere a moltiplicare cifra a cifra per poi sommare i prodotti parziali ottenuti equivale a scomporre additivamente nelle diverse unità ciascuno dei due fattori, come mostra l esempio seguente = 64 (2 + 30). 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 23

24 Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione si può scrivere 64 (2 + 30) = (64 2) + (64 30) (64 2) + (64 30) = (60 + 4) 2 + (60 + 4) 30 Applicando ancora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione si ha (60 + 4) 2 + (60 + 4) 30 = (60 2) + (4 2) + (60 30) + (4 30) (60 2) + (4 2) + (60 30) + (4 30) = ( ) + ( ) Quindi il prodotto iniziale viene ottenuto come somma dei due prodotti parziali = = I passaggi sopra descritti vengono sintetizzati nello svolgimento in colonna 64 x Gli esercizi proposti nel paragrafo mirano a rendere esplicita la scomposizione additiva dei due fattori, attraverso la suddivisione in parti degli schieramenti, suddivisione scelta liberamente dall utente, in modo da poter ricondurre il calcolo del prodotto dato a quelli memorizzati o più facilmente calcolabili. Inoltre, gli esercizi intendono potenziare il calcolo a mente. 5. Tabelle di moltiplicazioni Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che la moltiplicazione è un operazione binaria, cioè un operazione definita tra due numeri naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano individuare le caselle ottenute dall intersezione delle righe e delle colonne di intestazione e che in ogni casella si collochi il prodotto dei numeri che intestano la relativa riga e la relativa colonna. In genere, una tabella viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come primo fattore ogni numero della colonna iniziale e come secondo fattore ogni numero della riga di testa. La constatazione della validità della proprietà commutativa della moltiplicazione rende superflua l indicazione esplicita del verso di lettura della tabella , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

25 Completa la tabella! 6. Ricostruire moltiplicazioni Il ricostruire moltiplicazioni può essere sia un esercizio (per esempio, quando è dato un fattore e il prodotto e si deve determinare, anche per semplice lettura inversa della tavola pitagorica, il fattore mancante) sia come problema che può avere nessuna soluzione, una soluzione o più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate. Sezione 3 Divisione La divisione è un operazione che a una coppia ordinata di numeri naturali (a, b), con b diverso da zero, associa una coppia di numeri naturali (q, r), chiamati rispettivamente quoziente e resto; il simbolo dell operazione è : oppure e, in base al simbolo utilizzato, in riga si scrive a : b = (q, r) oppure a b = q con resto r. Queste scritture equivalgono a richiedere che a = (b q) + r, con r < b. Esempio Alla coppia (14, 3) la divisione associa la coppia (4, 2) perché il quoziente 4 è il maggior numero che moltiplicato per 3 non supera 14 il resto 2 è dato da 14 (3 4) = , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 25

26 In riga si scrive 14 : 3 = (4, 2) oppure 14 3 = 4 con resto 2. Nel caso in cui il resto sia zero si può scrivere semplicemente a : b = q; si dice, inoltre, che b è divisore di a. La divisione non è definita quando il secondo termine della coppia è zero. Molteplici sono gli aspetti connessi alla divisione; tra essi il significato, ossia l interpretazione che può avere l operazione quando i numeri esprimono quantità, trasformazioni, il calcolo, inteso come il procedimento per individuare la coppia (q, r) corrispondente alla coppia (a, b) le proprietà che sono possedute dall operazione considerata come «ente» matematico e in quanto tale oggetto di studio, indipendentemente dal suo significato e dai procedimenti di calcolo. Gli esercizi proposti nella presente sezione del software sono relativi al calcolo, proposto secondo diverse modalità: per conteggio, mediante strumenti, con strategie basate sulla memorizzazione di casi particolari (come le coppie di numeri associate dalla sottrazione al numero 5) e sull applicazione di alcune proprietà della sottrazione. In tali proprietà si afferma che: a) data una divisione, se si moltiplicano entrambi gli operandi per uno stesso numero, diverso da zero, la divisione ottenuta ha lo stesso quoziente di quella assegnata, mentre il resto risulta modificato come gli operandi; in modo analogo se si dividono i due operandi per un divisore di entrambi. Se si evidenzia con le parentesi tonde la precedenza nello svolgimento e c un numero naturale diverso da zero, la proprietà può essere così formulata a b = q con resto r (a c) (b c) = q con resto (r c) e se c è divisore di a e b a b = q con resto r (a : c) (b : c) = q con resto (r : c); b) la divisione di un numero a, diverso da zero, con se stesso ha quoziente 1 e resto 0 a a = 1 con resto 0; c) il numero zero diviso per un qualsiasi numero a, diverso da zero, dà quoziente 0 e resto 0. 0 a = 0 con resto 0; , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

27 d) la divisione di un numero a, diverso da zero, con il numero 1 ha come quoziente il numero stesso e resto 0. a 1 = a con resto 0; e) si ottiene lo stesso risultato se si divide la somma di due numeri per un divisore comune ai due addendi oppure si sommano i quozienti dei due addendi per quel divisore (proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione); con le notazioni sopra introdotte, la proprietà viene espressa simbolicamente nel modo seguente (a + b) : c = (a : c) + (b : c); f) si ottiene lo stesso risultato se si divide la differenza tra due numeri per un divisore ad essi comune oppure si fa la differenza tra i quozienti dei due numeri per quel divisore (proprietà distributiva della divisione rispetto alla sottrazione); in simboli (a b) : c = (a : c) (b : c). 1. Situazioni di divisione Negli esercizi proposti si fa riferimento alla divisione come descrittiva della struttura di uno schieramento (anche di punti di un reticolo), del quale sono noti il numero di elementi schierati (dividendo) e il numero di righe (o di colonne; divisore). All utente viene richiesto di distribuire gli elementi assegnati in modo da rispettare le condizioni date e determinare, per conteggio, il numero di colonne (o righe) ottenute nello schieramento e il numero degli elementi che non sono stati collocati in tale schieramento, perché insufficienti al completamento di una riga (o di una colonna). Nello stesso contesto vengono proposti esercizi nei quali sono assegnati il dividendo e il quoziente (e talvolta il resto), per cui all utente spetta di determinare il divisore (ed eventualmente il resto). Si tratta di quesiti che mettono in gioco il significato di quoziente e resto e che possono ammettere più di una soluzione. 2. Divisioni in linea Una divisione può essere interpretata come scrittura compatta di una sottrazione ripetuta: il dividendo viene assunto come minuendo iniziale e il divisore come sottraendo da applicare ripetutamente fino ad ottenere una differenza minore del sottraendo stesso. Il quoziente è il numero di volte che si è ripetuta la sottrazione; il resto è l ultima differenza determinata. Con questa interpretazione, il calcolo del risultato di una divisione può essere supportato dalla linea dei numeri: a partire dal punto contrassegnato dal numero al dividendo, si eseguono tutti i possibili balzi indietro, ciascuno con lunghezza uguale al divisore; il numero 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 27

28 di balzi è il quoziente, il numero che contrassegna il punto di arrivo è il resto della divisione. Completa la divisione aiutandoti con la linea dei numeri! Nella sezione si propongono esercizi nei quali vengono assegnati dividendo, quoziente e talvolta il resto e si richiede di determinare il divisore (e il resto, se non dato). Nei casi in cui il resto è noto, l utente può procedere sottraendo al dividendo il resto e poi retrocedere con balzi ampi quanto indicato dal divisore fino a raggiungere la posizione contrassegnata dal numero zero sulla linea; oppure, l utente può cominciare subito a retrocedere con balzi ampi quanto indicato dal divisore fino a raggiungere la posizione contrassegnata dal numero dato come resto. 3. Tabelle di divisione Le tabelle a doppia entrata mettono in evidenza il fatto che la divisione è un operazione binaria, cioè un operazione definita tra due numeri naturali. La compilazione di una tabella richiede che si sappiano individuare le caselle ottenute dall intersezione delle righe e delle colonne di intestazione e che in ogni casella si collochi il risultato, costituito dalla coppia (quoziente, resto). Per rendere evidente anche sul piano grafico il diverso significato dei due numeri costituenti il risultato e per favorire la percezione visiva della tabella, le caselle dei risultati sono suddivise in due zone, l una per il quoziente e l altra per il resto , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

29 Dato che la divisione non ha la proprietà commutativa, una tabella viene letta da sinistra verso destra, quindi si considera come dividendo ogni numero della colonna iniziale e come divisore ogni numero della riga di testa. 4. Approssimare, calcolare, dedurre il risultato La determinazione del risultato di una divisione senza il supporto di materiali o strumenti richiede la messa in atto di numerose sottoprocedure aritmetiche e può essere favorita dall applicazione strategica di proprietà dell operazione stessa e dalla valutazione approssimativa del quoziente, valutazione che permette di mantenere il controllo della correttezza dei singoli passi compiuti nella procedura di calcolo. Nella prima parte della sezione si propongono esercizi relativi proprio all approssimazione del quoziente intero, approssimazione che viene espressa mediante intervalli numerici. In merito al calcolo del risultato di una divisione, ossia al ricorso ad un algoritmo aritmetico, quello tradizionalmente diffuso è piuttosto complesso, in quanto comporta il ricorso a sottoprocedure richiedenti le operazioni di divisione, moltiplicazione e sottrazione. Per ridurre tale complessità, negli esercizi proposti nel software si affianca allo schema della divisione in colonna la tabellina del divisore e si rendono esplicite le sottrazioni per il calcolo dei resti parziali. Trascina i mattoncini nella carriola corretta! 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 29

30 Nella seconda parte della sezione viene chiesto di dedurre il risultato di alcune divisioni le quali sono riconducibili, per trasformazioni aritmetiche, ad una completamente assegnata. L utente viene sollecitato dapprima a rilevare quale trasformazione aritmetica, per lo più additiva, è stata applicata alla divisione data come punto di partenza e a riflettere come (e quanto) tale trasformazione incide sul risultato. Completa le divisioni assegnate! 5. Ricostruire divisioni Il ricostruire divisioni è un problema che può avere nessuna soluzione, una soluzione o più soluzioni in relazioni alle informazioni assegnate. Si tratta, infatti, di mettere in atto strategie di tipo deduttivo a partire dai dati, di formulare ipotesi e verificarne la validità attraverso la compatibilità con i dati, di procedere per tentativi ragionati. Si presuppone una buona padronanza dell operazione dal punto di vista del calcolo, inteso come tecnica e significato. Sezione 4 Giochi aritmetici I giochi proposti hanno lo scopo di far mettere in campo le conoscenze e le abilità consolidate nelle sezioni precedenti con attività di tipo ludico. Il carattere della ludicità è connesso alla casualità dei dati (siano essi tessere da abbinare, regole di abbinamento, ), alla componente di sfida (del personaggio guida o di se stessi) e al procedere strategico richiesto dalla maggior parte delle proposte. In coerenza con tale ca , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

31 rattere, è previsto che le partite possano chiudersi in parità o con un vincitore, per il quale è premio la stessa soddisfazione della vittoria. I giochi presenti nella sezione sono per lo più adattamenti in chiave aritmetica di giochi termine inteso sia rispetto ai materiali sia rispetto alle azioni mentali e alle dinamiche tradizionali. Solitario Il gioco del solitario consiste nell abbinare a una carta pescata una delle carte in possesso del giocatore, nel rispetto della regola di abbinamento che di volta in volta appare in modo causale. Dal punto di vista aritmetico, il gioco ha come contenuti i numeri naturali fino a cento nel loro aspetto formale (scrittura in cifre, valore posizionale delle cifre, denominazione) e alcune relazioni fondamentali (precedente, successivo). Tre dadi in gioco La dinamica del gioco comporta la composizione di un numero del quale vengono quantificati i diversi tipi di unità (centinaia, decine, unità) mediante il lancio di tre dadi. In tal modo, la composizione può richiedere l effettuazione di cambi da un unità a quella di ordine successivo e si opera con numeri naturali da 333 a Lancia i dadi e fai la somma dei risultati! 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 31

32 Alla conquista delle uova Le caselle da conquistare per vincere sono contrassegnate da numeri naturali e le regole di conquista sono formulate in modo da far applicare semplici relazioni di multiplo (pari/dispari, multipli di 5 e di 10) e di ordinamento (maggiore, minore, compreso tra) e aspetti relativi alla scrittura dei numeri nel sistema di numerazione posizionale decimale. Numeri incatenati, Prodotti crociati e Crucinumeri Si tratta dell applicazione dello schema e delle regole dei cruciverba a contenuti aritmetici relativi o ai numeri (scrittura, ordinamento, relazioni di precedente/successivo, valore posizionale delle cifre, ) e alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Indipendentemente dalla forma dello schema, in ogni casella va scritta una sola cifra o il simbolo di un operazione. Investiganumero Si tratta di un gioco logico, nel senso che in un insieme dato, si deve individuare il numero che corrisponde agli indizi assegnati; si mettono, dunque, in atto processi di tipo deduttivo, a partire da informazioni relative ad aspetti dei numeri naturali come relazioni d ordine, valore posizionale delle cifre, tipi particolari di numeri (pari/dispari). Tombola La struttura del gioco è quella della tombola classica: ciascun giocatore ha una cartella suddivisa in sei caselle ognuna delle quali è contrassegnata da un numero o da una moltiplicazione. In base all estrazione, effettuata in modo casuale, il giocatore deve controllare se la propria cartella contiene un elemento (numero od operazione) uguale per valore a quello estratto; in caso di risposta affermativa, egli contrassegna la casella individuata. Il gioco termina quando uno dei due giocatori ha contrassegnato tutte le caselle della propria cartella (fa tombola) e vince chi per primo ottiene il completamento. Se dopo quindici estrazioni nessuno dei due giocatori ha fatto tombola, la partita finisce in parità. La tombola mette in gioco il calcolo mentale, i risultati particolari memorizzati (tabelline) e alcune proprietà della moltiplicazione (come la commutativa e l associativa). Solitario triangolare e Solitario quadrato Si tratta di una sorta di puzzle, in cui con le tessere assegnate, tutte di uguale forma, si deve ricoprire una forma simile a quella delle tessere, ma più grande, in modo che due tessere accostate tramite un , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson

33 lato rispettino una regola data. Tale regola fissa il prodotto tra i numeri disposti sui lati comuni. Con le tessere assegnate, che possono anche essere ruotate, è possibile almeno un ricoprimento dello schema. Ogni numero è scritto con le cifre orientate facendo riferimento al lato della tessera su cui è collocato; è quindi necessario riconoscere i numeri anche se scritti in posizione diversa rispetto a quella usuale. Dal punto di vista aritmetico, i solitari sono costruiti sulle cosiddette coppie di numeri amici di un numero dato rispetto alla moltiplicazione, ossia sulle coppie di numeri il cui prodotto è un numero fissato. Ricomponi il triangolo magico! Solitario a coppie, Punti al bersaglio e Percorsi vincenti Si tratta di giochi in cui svolgono un ruolo sia il quoziente sia il resto delle divisioni, per rafforzare l acquisizione del fatto che il risultato di una divisione è sempre una coppia ordinata di numeri naturali, anche quando il resto è nullo. 2009, Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson 33

34 Guida al gestionale Vi si può accedere dal pulsante «Gestionale» nel login o digitando contemporaneamente la combinazione di tasti «Ctrl + o» (nel login). Menu Comprende l elenco degli utenti e i pulsanti per accedere alla videata delle statistiche e a quella delle opzioni. Utenti: viene visualizzato l elenco degli utenti, che si può scorrere con la barra o le frecce verticali a lato. Per aggiungere un nuovo utente alla lista, si clicca il tasto «+» e si digita il nuovo nome. Per cancellarlo, si seleziona il nome e si clicca il tasto «-», confermando poi l eliminazione. Archivia: questo pulsante permette di fare il backup del database utenti, ovvero di salvare tutti i dati (punteggi, statistiche, personalizzati) relativi agli utenti, nella cartella di installazione del programma (normalmente C:\Programmi\Erickson\). Ripristina: questo pulsante permette di recuperare i dati relativi agli utenti salvati precedentemente tramite il pulsante «Archivia». I dati del database ripristinato sostituiranno quelli presenti nel programma. La cartella viene proposta automaticamente dal programma, ma è possibile anche selezionare una cartella qualsiasi. Menu principale del gestionale , Nel mondo dei numeri e delle operazioni 2, Erickson