Moto del proiettile. a cura di Beatrice Clair

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1 Moto del proiettile a cura di Beatrice Clair

2 Studiando il moto del proiettile è possibile prevedere l andamento di un lancio o di una caduta di un oggetto, sfruttando alcune leggi della fisica. La Balistica (dal verbo greco βαλλιζω = io lancio, da cui deriva anche il termine balestra) è quella parte della dinamica che studia il moto dei proiettili. 2

3 Supponiamo di lanciare un proiettile orizzontalmente ( se si tratta di un cannone si direbbe di alzo zero ) e di voler rappresentare graficamente la sua traiettoria. Come riferimenti scegliamo l asse x orizzontale e l asse y verticale diretto verso il basso. L origine del riferimento è il punto di partenza del lancio. Possiamo scomporre la velocità del proiettile in una componente orizzontale (Vx) e in una verticale ( Vy) e considerare il suo moto come la sovrapposizione di due moti indipendenti: uno lungo x e l altro lungo y. 3

4 Per analizzare correttamente questa curva, dobbiamo prendere tre aspetti in considerazione e ciascuno una volta in riferimento all asse x e un altra volta in riferimento all asse y: l accelerazione, la velocità, e la legge oraria (definisce lo spazio percorso in un dato tempo). 4

5 Premesse L accelerazione di gravità: g=9.8 m/s² La formula della velocità: V=S (spazio)/t (tempo) La formula dell accelerazione: a=δv/δt 5

6 Accelerazione ax=0 ay=g a=δv/δt 6

7 Velocità Vx= Vix velocità iniziale lungo la x (cost.) Vy= gt (gravità per il tempo) V=S (spazio)/t (tempo) 7

8 Legge oraria La legge oraria ci permette di definire il luogo esatto dove si trova il proiettile ad un momento dato e viceversa; inoltre ci fornisce il tempo che il proiettile ci mette per giungere a terra; quindi essa ci indica lo spazio percorso dal proiettile sull asse x e sull asse y (esso può andare a coincidere con l ascissa del punto di arrivo e l ordinata del punto di arrivo). Sx (spazio lungo la x)=vix t (t finale t iniziale) Sy (spazio lungo la y)=1/2 gt² 8

9 La curva effettuata da un proiettile qualsiasi, non lasciato cadere verticalmente, è sempre una PARABOLA; e questo ce lo dimostra la l equazione della traiettoria. Ricaviamo il tempo dalla prima legge oraria: t=x/vix Riscriviamo la seconda legge oraria con t: y=1/2 g x²/vix questa è l equazione di una parabola incentrata 9

10 Inoltre possiamo dire che il tempo, che impiega il proiettile sparato orizzontalmente, per arrivare a terra, è lo stesso di quello che impiega un proiettile lasciato cadere verticalmente. E possibile affermare ciò poiché sul proiettile agisce solo la forza di gravità che è costante. simulazione 10

11 Se però il proiettile viene sparato con una velocità lungo la y, cioè verticalmente, per esempio verso l alto, la curva appare diversa graficamente: In direzione orizzontale il proiettile si muove uniformemente ad una velocità Vix. In direzione verticale, invece, si muove come un corpo lanciato verso l alto con una velocità iniziale Viy. La componente y decresce, fino ad annullarsi nel punto più alto, quota massima; poi cambia segno e aumenta in valore assoluto. 11

12 Accelerazione e Velocità Accelerazione: ax=0 ay=g Velocità: Vx= Vix velocità iniziale lungo la x Vy= Viy - gt (gravità per il tempo) 12

13 Legge oraria Sx=Vix t Sp=(Vix t)- 1/2gt² Ricaviamo l equazione della traiettoria, per dimostrare che anche in questo caso si tratta di un equazione di una parabola: t=x/vix y=(vix x/vix) 1/2g (x/vix)² x= (2Vix Viy)/g 13

14 Gittata La distanza tra il punto di lancio e il punto di atterraggio del proiettile prende il nome di gittata. Ponendo che y=0 si trova che la gittata G è espressa dalla seguente relazione: G= (2Vix Viy)/g La gittata è massima quando la velocità iniziale del proiettile è inclinata di 45 rispetto alla direzione orizzontale. In tal caso si ha: G= Vi²/g 14

15 Vaso di gerani Per esemplificare la teoria qui sopra enunciata, ammettiamo che io voglia lanciare un vaso di gerani in testa alla mia vicina di casa mentre lei passa sotto il mio balcone. Informazioni necessarie: -abito al secondo piano ( 6 metri da terra) -la mia vicina cammina a 5 km/h (cioè 1.38 m/s) -la mia vicina cammina dritto, costantemente a 3 metri dalla mia finestra

16 Risoluzione: Accelerazione di x = 0 Accelerazione di y = g Sx= 3 = Vix t t = 3/Vix Sy= 6 = 1/2gt² = 1/2g (9/Vix²) Vix² ~ 44.1/6 Vix= 2.7 t= 3/2.7 = 1.1 secondo

17 Adesso bisogna scrivere la legge oraria della mia vicina: S= V t per il tempo metto quello del mio vaso ( cioè circa 1 secondo) S= = 1.38 m Quindi io dovrò lanciare il mio vaso ad una velocità iniziale di 2.7 quando la mia vicina sarà a 1.38 metri dal punto di arrivo del mio vaso.

18 La parabola del pallone Un calciatore imprime al pallone una velocità di 13.9 m/s a 45 rispetto alla direzione orizzontale. Trascurando la resistenza dell aria, dopo quanto tempo il pallone raggiunge la massima altezza? Qual è la gittata? DATI: Vo= 13.9 m/s α= 45 t=? G=? 18

19 Risoluzione Fissiamo un sistema di assi cartesiani e indichiamo con Vix e Viy le velocità iniziali del pallone. Poiché l angolo di formatosi è di 45 abbiamo che: Vix=Viy= ( 2/2) Vo= 9.83 m/s In funzione del tempo Viy è: Vy= Viy-gt Quindi ponendo Vy=0, dato che alla quota massima questa velocità si annulla, si trova che: t= Viy/g = 9.83/9.8 = 1.0 secondi Mentre la gittata diventa: G=V²o/g=19.7 metri 19

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