November 13, sta ad indicare che la formula B dipende dalle assunzioni occorrenti nell insieme X.

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1 DEDUZIONE NTURLE November 3, 2006 Le regole di inferenza consistono di regole di introduzione (I) e regole di eliminazione (E) per ogni costante logica e per il simbolo del falso, se occorre nel linguaggio. Per ogni regola le formule sopra la riga sono dette premesse e la formula sotto la riga conclusione della regola. La scrittura X. sta ad indicare che la formula dipende dalle assunzioni occorrenti nell insieme X. La scrittura []. sta ad indicare che la formula (occorrente fra le assunzioni da cui dipende) può essere scaricata nel corso della deduzione. Regole di inferenza: E E ( )

2 [] C C [] C E [] E X (x) I x(x) purché x non occorra libera in X. x(x) E (t/x) purché t sia libero per x in (x). (t/x) I x(x) purché t sia libero per x in (x). [(x)] x(x) E purché x non occorra libera in né in assunzioni da cui dipende, eccetto (x). (a) Regole per la negazione in un linguaggio non contenente il simbolo del falso. [] [] i [ ] [ ] c Con Np indichiamo la logica positiva, ovvero la logica contenente le regole di introduzione ed eliminazione dei connettivi, e. Nm, logica minimale, è data da Np + Ni, logica intuizionista, è data da Nm + i 2

3 Nc, logica classica, è data da Ni + c (b) Se il linguaggio contiene il simbolo e non contiene la negazione, le regole sono i [ ] c Si noti che la regola i è un caso particolare di c, esattamente il caso in cui non si scarica alcuna assunzione. Si noti che non possiamo assiomatizzare la logica minimale se il linguaggio contiene solo ; infatti non possiamo distinguere tra e p p, distinzione che invece è cruciale per la logica minimale. In ogni calcolo contenente la regola i possiamo definire il simbolo di negazione attraverso l implicazione ed il falso: = df. Infatti Esercizio. Mostra che nel calcolo Np + i sono derivabili le regole e i e che nel calcolo Np + c è derivabile anche la regola c. (c) Se il linguaggio contiene il simbolo del falso e la negazione, oltre alle regole per dobbiamo avere le seguenti: E [] I Definizione Una deduzione è un albero finito di formule tali che. le formule associate alle foglie sono dette assunzioni e possono essere scaricate. Le formule associate alle foglie dipendono da se stesse. 2. la formula associata ad un nodo α che non sia una foglia è ottenuta dalle formule associate ai nodi che precedono immediatamente α via applicazione di una regola di inferenza. La formula associata ad α dipende da tutte le assunzioni da cui dipendono le premesse della regola eccetto le assunzioni scaricate dall applicazione della regola stessa. 3

4 3. la formula associata alla radice è detta conclusione. Definizione è deducibile da un insieme Γ di formule sse esiste una deduzione di cui è la conclusione e le cui assunzioni non scaricate sono in Γ. Esempi di deduzioni Np ( ( )) ( ) 2 ( ( )) 2 Nm ( ) ( ) 2 E 3 m 3 2 ( ) ( ) ttenzione: si possono scaricare anche assunzioni non presenti nella deduzione!! Np ( ) (viene scaricata!) ( ) ttenzione: si possono scaricare tutte le occorrenze di una stessa formula!! 4

5 Np ( ) ( C) 2 C ( ) ( C),2 ( ) ( C) ttenzione: si può scaricare una occorrenza alla volta di una stessa formula!! Np ( ( ) ( C)) 2 C ( ) ( C) ( ) ( C) 2 ( ( ) ( C)) ttenzione: nella deduzione che segue si scarica solo la formula da cui dipende, ovvero stessa, e non anche la formula da cui dipende!! Nm 2 2 Nm ( ) ( ) 2 m ( ) 3 m 2,3 ( ) 5

6 ncora sulle regole per la negazione. La regola i è un caso particolare di c quello in cui non vengono scaricate le assunzioni da cui e dipendono. Inoltre la regola si ottiene da c: 3 4 c c 6 2. E E c 3,5 2 Si noti che dalla sola regola i non si ottiene! ssiomatizzazione alternativa di Nc. Nc = Ni + dn, ove dn è la regola di doppia negazione. dn dn c Qualche altro esempio di derivazione ( ( C)) (( ) ( C)) 6

7 ( C) 2 E 2 3 E C E C 2 C 3 ( ) ( C) ( ( C)) (( ) ( C)) Si noti che l albero sopra la formula C contiene solo regole di eliminazione, mentre la derivazione sotto C solo regole di introduzione. C è chiamata la formula mediana. ( ) ( ) 2 i E,3 4 ( ) ( ) E 2 dn 2 7

8 ncora esempi di deduzioni ( ) 2 E ( ) 2 3 E 2 ( ) 4 2,3 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 3 i 3,2 2 ( ) 3 E,2 3 ( ) ( ) ( ) ( C) ( C 8

9 ( ) E ( ) C ( C) 2 E ( C) 2 C ( C) ( C) ( ) ( C) 3 E,2 ( C) 3 ( ) ( C) ( C) ( C) ( ) ( C) ( C) E ( ) ( C) ( C) E C 2 C ( ) ( C) ( ) ( C) ( C) E C E,2 ( ) ( ) 3 2 i 2 ( ) 3 3 ( ) ( ) ( ) Legge di Crisippo 9

10 2 i ( ) 4 2 c ( ) 4 4 ( ) ( ) 3 3 ( ) consequentia mirabilis (( ) ) 3 ( ) (( ) ) 3 2 E 2 ( ) 3 (( ) ) dn ( ) 0