Il problema del job scheduling in presenza di agenti egoisti

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA SPECIALISTICA anno accademco Il problema del job schedulng n presenza d agent egost Relatore prof. Vncenzo Auletta Canddato Dodato Ferraol

2 Per te, nonno

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4 Indce Introduzone 3 1 Selsh Schedulng Modello Selsh Routng Selsh Clent Assgnment Assocazone n ret based Teora de goch Goch e Equlbr Congeston e Potental Games Prce of Anarchy Stato dell'arte Notazone Unrestrcted Job Schedulng Maxmum Latency Total Latency Restrcted Job Schedulng Routng Games Unrelated Restrcted Schedulng Esstenza Equlbro Dmostrazone Potenzale Maxmum Latency Server Latency Total Latency Machne load and PoA Identcal Settng Quadratc latency

5 INDICE 2 Concluson 50 Indce analtco 56

6 Introduzone Negl ultm ann è emersa un nteressante area d studo nella comuntà algortmca che fonde prncp dell'nformatca a quell, pù strettamente economc, d teora de goch: tale fusone, chamata algorthm game theory è mputable soprattutto all'avvento e alla dusone d Internet. Internet ha trasformato e accelerato normal mercat not all'economa e ne ha creat nuov e percò nmmagnabl, oltre ad essere esso stesso, n manera mportante, un mercato: n questo ambto, gl algortm dventano l'ambente naturale e la pattaforma d default per prese d decsone strategche. D'altro canto, Internet è l prmo artefatto computazonale che non è stato creato da una sngola enttà (ngegnere, team d progettazone, o compagna), ma emerge dall'nterazone strategca d molte d esse. Gl nformatc s sono trovat così per la prma volta d fronte ad un oggetto a cu dovevano pensare con la stessa ncertezza e perplesstà con cu gl economst avevano approccato mercat. E, n manera abbastanza prevedble, s sono rvolt alla teora de goch per ottenere sprazone n tale studo, o, per drlo con le parole d Scott Shenker, un ponere d questo modo d pensare, Internet è un equlbro, no dobbamo solo dentcare l goco. Gl algortm per computare equlbr sono stat uno de prm obettv della rcerca dell'algorthm game theory. Quest lavor hanno dato un contrbuto notevole al dbattto n economa crca la valdtà delle predzon del comportamento: un'ecente computabltà è emersa come una caratterstca molto desderable per tal predzon, mentre l'ntrattabltà computazonale getta un ombra d mplausbltà su un concetto d equlbro proposto. La natura algortmca del mechansm desgn, un'altra delle aree dell'algorthm game theory, è ancora pù mmedata: essa s occupa della progettazone d goch, con gocator che hanno utltà sconoscute e prvate, tal che all'equlbro l progettsta ottenga propr obettv ndpendentemente dalle utltà degl agent. Questo è ovvamente un problema computazonale: un ngente lavoro esplctamente algortmco sul mechansm desgn è stato fatto negl ultm ann, specalmente n ambt come aste e cost sharng d rapda applcazone pratca (per esempo, come recuperare l costo un servzo 3

7 Internet da clent che valutano l servzo con mport not soltanto a loro). Inne, c s è occupat d analzzare stuazon n cu gl utent d un sstema nteragscono e s condzonano l'uno con l'altro. Esstono molt goch che modellano problem tpc dell'nformatca: routng, network desgn e faclty locaton ne sono solo alcune. Il routng game modella l traco de pacchett su Internet: ogn router decde verso quale lnk nstradare pacchett che debbano raggungere una determnata destnazone. Una assa ragonevole soluzone sarebbe quella d selezonare l lnk che sembr meno congestonato. Comunque, se molt router selezonano lo stesso lnk questo dverrà sovraccarco e creerà dann al router che vedrà remprs la propro coda e rallentare la propra attvtà. Questo è un goco: la scelta d ogn router condzona l'attvtà e le performance d molt altr router. Charamente, l processo che costrusce e mantene Internet, e localzza alcune rsorse (come name servers DNS) è anch'esso un goco. Internet è costruto da un nseme d Independent Network Provders (ISP), ognuno de qual costrusce la propra porzone d rete n manera autonoma e secondo propr nteress e utlzzando gl altr provders solo se necessaro. Ma un abuso delle rsorse d rete d un ISP produce un peggoramento del traco e delle condzon del servzo, creando qund una stuazone smle a quella descrtta n precedenza: guardando Internet da questa prospettva, è magco che esso lavora così bene come fa. Koutsoupas e Papadmtrou [17] per prm hanno nquadrato quest problem e queste anals, come un nuovo genere d problem algortmc, chedendos quanto la mancanza d coordnazone e l comportamento egostco nuenzassero l raggungmento d un ottmo socale, e ntroducendo l concetto d Prce of Anarchy (P oa) come msura d questa nuenza. Ess s sono occupat d un semplce e partcolare modello, dento KP-model, rappresentato da una rete formata da m lnk parallel, tutt con la stessa capactà: questo è essenzalmente un problema d schedulng con m macchne e n jobs ndpendent d lunghezza w. In questo lavoro c rferamo ad un'estensone del KP-model, ossa ad un problema d schedulng unrelated restrcted: ognuno degl n jobs può essere schedulato solo su un sottonseme delle m macchne ed noltre l'esecuzone d ogn job mpega una quanttà d tempo derente per ognuna delle macchne su cu può essere schedulato, ma compresa n un ntervallo [w mn, w max ]. Questo modello sarà analzzato ampamente n vrtù d derent funzon d ottmo socale: Maxmum Latency, che prevede d mnmzzare la massma attesa per l completamento dell'esecuzone d un job; 4

8 Server Latency, che equvale a mnmzzare l lavoro totale eseguto dalle macchne; Total Latency, che s occupa d mnmzzare l'attesa totale osservata da jobs; Quadratc Latency, che anch'essa prova a essere una msura dell'attesa totale osservata da jobs. Per questo modello erano stat gà ottenut seguent rsultat, rportat n seguto n questo lavoro: Even-Dar et al. [14] hanno dmostrato l'esstenza d un equlbro Nash; Awerbuch et al. [7] hanno dmostrato che per la Maxmum Latency l Prce of Anarchy è Θ(s + log m ). log(1+ log m ) s dove s = wmax w mn. Rsultat ottenut In questo lavoro sono presentat nteressant rsultat raggunt per alcune d queste funzon: per la Server Latency abbamo dmostrato che P oa = Θ(s); per la Total Latency abbamo dmostrato che s P oa = O(max(s, log m log(1+ log m s ) )); per la Quadratc Latency abbamo dmostrato che P oa = Θ(s 2 ). Oltre al problema d schedulng unrelated restrcted c occuperemo brevemente anche del modello dentcal restrcted, coè tale che ognuno de n jobs può essere schedulato solo su un sottonseme delle m macchne, ma l'esecuzone d ogn job mpega la stessa quanttà d tempo w [0, 1] per ognuna delle macchne su cu può essere schedulato. Hoefer e Souza [16] hanno studato questo modello n funzone del traco totale w, ossa la somma de pes w d cascun job, ed hanno ndvduato che l Prce of Anarchy per la Total Latency è Θ( n m ). Tuttava n questo lavoro evdenzeremo che la w loro dmostrazone non è corretta e, attraverso le tecnche utlzzate nel caso unrelated restrcted, stablremo un nuovo bound d Θ( log m ). log log m Rassumamo nella tabella 1 tutt rsultat raggunt. 5

9 Restrcted Unrelated Job Schedulng Server Latency P oa = Θ(s) Total Latency Quadratc Latency P oa = O(max(s, log m )) log(1+ log m ) s P oa = Θ(s 2 ) Restrcted Identcal Job Schedulng P oa = Ω(s) max j c j c j log m log(1+ log m s ) )) = Θ(max(s, P oa = Θ( log m log log m ) Tabella 1: Nuov rsultat presentat n questo lavoro Organzzazone Nel resto del lavoro ntrodurremo prma l modello d Selsh Schedulng nel Captolo 1, denendone le caratterstche e descrvendo alcun esemp n cu tale modello s adatta perfettamente. Nel Captolo 2 ntrodurremo e spegheremo concett fondamental dell'algorthm Game Theory. Nel Captolo 3 saranno analzzat alcun de maggor rsultat ottenut relatvamente al Selfsh Schedulng. Inne, nel Captolo 4 saranno rassunt tutt rsultat relatv al modello unrelated restrcted e presentat nuov rsultat raggunt.

10 Captolo 1 Selsh Schedulng 1.1 Modello Lo studo dello schedulng rsale a prm ann 50 e da allora una enorme varetà d problem e d rsultat ad esso relatv sono stat ntrodott. In generale un problema d schedulng s verca ogn qual volta c s trova d fronte ad n jobs che devono essere processat su m macchne. In realtà dvers problem nascono n vrtù d come tal jobs e tal macchne sono dente e dell'obettvo che c s pone d raggungere. In partcolare per quanto rguarda jobs possamo dstnguere due macrocategore: Unweghted Jobs, n cu jobs sono tutt dentc, qund s può dre che : w = 1; Weghted Jobs, ossa ogn job ha un arbtraro processng tme. In vrtù delle caratterstche delle macchne dstnguamo n: Identcal Machnes, tutte le macchne sono ugual e qund per processare lo stesso job mpegano tutte la stessa quanttà d tempo; Related Machnes, ad ogn macchna è assocata una veloctà q j e l tempo necessaro per processare l job d carco w è w Unrelated Machnes, dove ogn macchna è completamente dversa e uno stesso job ha de processng tme dvers e non relat tra le dverse macchne. Una ulterore classcazone nasce da qual macchne possono essere utlzzate; s parla d: q j ; 7

11 CAPITOLO 1. SELFISH SCHEDULING 8 Unrestrcted Schedulng, quando ogn job può essere processato da qualsas macchna; Restrcted Schedulng, se un job può essere processato solo su un sottonseme delle macchne. Ancora, relatvamente a jobs, possamo dstnguere: unsplttable job, coè l job deve essere processato completamente dalla stessa macchna; splttable job, per cu l job può essere dvso n task che possono essere esegut su macchne derent. Inoltre, n relazone a come job vengano processat, derenzamo: sequental fashon, che fà sì che una volta comncato l job deve essere processato completamente e un nuovo job dovrà attendere che la macchna s lber; round-robn fashon, che permette a tutt jobs assegnat alla stessa macchna d attendere sostanzalmente la stessa quanttà d tempo per l completamento del processng. Inne, un'ulterore dstnzone vene fuor dall'obettvo dello schedulng: l makespan è, senza dubbo, l'obettvo su cu gl studos hanno concesso maggore attenzone, ma numeros altr sono stat ntrodott per far fronte alle pù svarate necesstà. L'nformatca ha dedcato molta attenzone a questo problema, soprattutto come problema algortmco, per cercare d calcolare l mglor assegnamento d jobs alle macchne. Tuttava, ogg c sono numeros esemp n cu non c'è nessuna autortà globale capace d forzare l'applcazone d un tale assegnamento ottmo, ma gl agent sono gudat nelle loro azon solo dal propro nteresse. Questo naturalmente costrnge ad adottare una mpostazone d Teora de Goch, attraverso l quale analzzare cosa accade alla funzone obettvo. Al selsh schedulng, ovvamente s adattano tutte le categore e le dstnzon dente sopra, con tuttava l dverso compto d dover confrontare la soluzone ottma, che può essere suggerta dà un'autortà centrale, con la soluzone rsultante dal comportamento egostco degl agent. In partcolare rsultat raggunt e presentat qu s rferscono ad un modello d restrcted selsh schedulng con weghted e unsplttable jobs processat n round-robn fashon su unrelated machnes e a dverse nteressant funzon

12 CAPITOLO 1. SELFISH SCHEDULING 9 obettvo. Questo generale modello s adatta perfettamente a numeros problem real che s vercano ogg gorno, come al selsh routng su lnk parallel (sezone 1.2), all'assocazone clent-server n sstem dstrbut (sezone 1.3) o all'assocazone agl Access Pont nelle ret wreless (sezone 1.4). 1.2 Selsh Routng Ogg nella progettazone d molte ret d grand dmenson uno de maggor sforz è dedcato alla denzone d vald meccansm d routng, ossa stablre come debba essere scelto un path per l traco tra mttente e destnataro. La versone splttable d questo problema è quando l traco tra due agent può essere soddsfatto da molt path contemporaneamente; la versone unsplttable, o dscreta, n cu l traco è nstradable su un unco path, rsulta pù complessa. Tuttava, n molt cas, come n Internet, nelle ret wreless o nelle rete overlay costrute su Internet l traco dal mttente al destnataro è mandato su un sngolo path e suddvdere tale traco causa problem d rassemblamento al destnataro e per questo motvo è evtato. Consderando una rete n cu ogn lnk ha una legge per cu l traco determna la propra latenza, osservamo come questo problema può essere faclmente formalzzato come un problema d teora de goch, vedendo gl utent della rete come agent ndpendent che partecpano n un goco non-cooperatvo: ogn agente desdera usare l path d latenza mnma dalla sua sorgente alla sua destnazone, data la congestone causata dal resto degl agent. Tuttava l fatto che l routng sa soggetto al comportamento egostco e noncooperatvo degl utent, non togle che l progettsta s ponga un problema d ottmzzazone ben precso, n cu egl desdera ottmzzare un costo socale, ovvero mnmzzare l massmo rtardo (Maxmum Latency) puttosto che mnmzzare la somma d tutt rtard tra gl agent (Total Latency). Sebbene quello del selsh routng è un problema vasto e d enorme applcabltà, nora c s è concentrat soprattutto su un caso specale d questo problema, ntrodotto da Koutsoupas e Papadmtrou [17] n uno degl artcol baslar dell'algorthm Game Theory, n cu la rete è composta semplcemente da m lnk parallel da un orgne a una destnazone, tutt con la stessa capactà e l rtardo soerto da ogn agente è uguale alla quanttà totale d traco sul lnk selezonato. Sono noltre present n agent che hanno ognuno una quanttà d traco w, = 1,..., n da mandare dall'orgne alla destnazone. S assume che l trasfermento del traco dell'agente sul lnk j termn quando termnano tutt trasferment sul lnk j: questa assunzone

13 CAPITOLO 1. SELFISH SCHEDULING 10 è realstca n quanto l traco può essere suddvso n pacchett, che sono mandat secondo modaltà round-robn. È facle vedere come l KP-model può essere ovvamente rappresentato come un problema d selsh schedulng dove gl m lnk parallel sono le m macchne e gl n agent gestscono n jobs d durata w ognuno. S tratta qund d schedulng unrestrcted (ogn job ha accesso su tutt lnk) su macchne dentche n round-robn fashon. Qund studare l problema d selsh schedulng fornsce anche utl nformazon ad un semplce, ma sgncatvo problema come quello del routng su lnk parallel. 1.3 Selsh Clent Assgnment Sccome gl utent che accedono a servz d Internet crescono n numero e dspersone, è dventato necessaro, per mglorare le performance e la scalabltà d tal servz, dstrbure st server per la forntura del servzo. Tale dstrbuzone ha l'eetto beneco d rdurre la latenza d accesso e d mglorare la scalabltà del servzo dvdendo l carco tra dvers st. Il problema generato da tale scenaro è come debba l'utente sceglere l server approprato. Dvers sono cas n cu tale problema s verca: molte ret azendal sono connesse a molt servce provders (ISPs) e la gestone d quale ISP usare n quale momento è soggetta solo alle poltche azendal e alle scelte progettual de sstemst d rete. Ancora, Czumaj et al. [12] hanno nvestgato gl eett del comportamento egosta n una Web server farm: server dstrbut nel mondo memorzzano le d grosso carco come mmagn grand o embedded les, e gl stream d rcheste (spesso anche molto derent tra loro) che sarebbero stat normalmente drett al web server del provder, ora devono essere assegnat a tal nuov web server. Un altro esempo, descrtto da Sur et al. [26], rguarda sstem peer-to-peer (P2P), dove dat sono spesso replcat per ottenere un alto lvello d dsponbltà e d tolleranza a guast: n questo modo, gl utent hanno spesso la scelta d molt host da cu scarcare propr dat, scelta gudata dall'obettvo d mnmzzare l download tme, mentre, d'altro canto, servendo dat a pù utent un host deve condvdere la sua lmtata banda tra quest utent, ncrementando così l download tme d cascuno d ess. In generale possamo descrvere tutt quest problem consderando un nseme d n selsh clent, ognuno de qual deve sceglere uno tra m server dsponbl. Ogn clent potrebbe essere connesso solo ad un sottonseme degl m server, che possamo ndcare come l'nseme de server permssbl per. I server possono avere veloctà dverse, così come le rcheste de clent

14 CAPITOLO 1. SELFISH SCHEDULING 11 possono avere un carco derente sul server. Ogn clent vuole mnmzzare la propra attesa e razonalmente prefersce un server veloce ad uno pù lento. Infatt, la latenza d un server è nversamente proporzonale alla sua veloctà, ma è drettamente proporzonale al carco: qund l rtardo osservato da cascun clent è soggetto al comportamento degl altr utent. Da tale descrzone s evnce come anche n questo caso quest problem possono essere vst semplcemente come problem d selsh schedulng, n cu clent rappresentno gl n jobs e server le m macchne. Ancora una volta, qund, studare questo generco problema fornsce nformazon utl a numeros problem che realmente s vercano n ambto nformatco. 1.4 Assocazone n ret based Con l'evolvers della tecnologa wreless s è duso l concetto d Wreless Mesh Network, una rete che consste d nod wreless che possono essere clent, router o entramb: cò permette d avere una backbone wreless che supporta la trasmssone end-to-end e n cu ogn nodo è un router che noltra pacchett ad altr nod, ma che può agre contemporaneamente come clent trasmettendo propr pacchett. Uno de meccansm fondamental per garantre un'ecente comuncazone è rappresentato dall'assocazone de clent (STA) agl Access Pont (AP) della Mesh Network. Nello standard IEEE [2] tale procedura prevede che una STA non assocata collezon nformazon relatve agl AP attraverso un'operazone d scannng attvo o passvo e qund scelga sulla base d tal nformazon l'ap a cu rtene sa pù opportuno assocars. Nello standard, l'nformazone che è usata è la forza del segnale rcevuto relatvamente a frame d management trasmess dall'ap detto Receved Sgnal Strength Report Indcator (RSSRI). Tuttava è stato dmostrato che le polcy d assocazone basate sull'ndcatore RSSRI possono portare ad un necente uso delle rsorse d rete [3], [8], [9]. Questo perché RSSRI fornsce nformazon solo per l canale d downlnk (dall'ap alla STA) e nulla per quanto rguarda la qualtà del canale, l'nterferenza, la potenza d trasmssone dell'ap, le condzon del canale d uplnk e le dmenson della popolazone gestte da uno stesso AP. Per questo motvo l Task Group IEEE s [1] raccomanda l'uso del protocollo Rado Metrc - Ad Hoc On Demand Dstance Vector (RM-AODV) come protocollo d default: tale protocollo ntroduce una nuova metrca da assocare a cascun router wreless detta artme metrc. Questa metrca tenta d fornre alla STA una reale msura d quanto l canale sa occupato.

15 CAPITOLO 1. SELFISH SCHEDULING 12 Athanasou et al. [4] sono stat prm a denre delle nuove procedure d assocazone e rassocazone che utlzzno tale metrca, che sano fully complant allo standard e che sano compatbl con le mplementazon corrent d questo standard. Nella loro procedura s fa sì che le STA, dopo aver acqusto le nformazon d cu necesstano, provvedano, dversamente da quanto accade ora, ad esegure calcol necessar a determnare l mglor AP: da notare è che le msure d due derent STA relatve ad uno stesso AP possono essere completamente dverse tra loro, così come le msure della stessa STA relatve ad AP derent possono essere non correlate n alcun modo. Inoltre è mportante sottolneare che secondo lo standard ogn stazone può essere assocata con solo un AP e così non è possble una bforcazone del traco prodotto da tale STA. Tuttava sa nel meccansmo d assocazone standard, sa n quello ntrodotto da Athanasou et al. le STA sono non-cooperatve e s comportano egostcamente per ottmzzare le propre performance: questo motva qund lo studo d tal meccansm attraverso l'attenta lente della Teora de Goch. Tuttava anche n questo caso è facle rdurre l meccansmo d assocazone ndcato da Athanasou et al. ad un problema d schedulng: le stazon rappresentano gl n jobs, gl access pont le m macchne; ogn job porta un carco su ogn macchna che dpende dal rate d trasmssone con cu la STA è nteressato a trasmettere all'ap; l carco sull'access pont è una funzone del carco portato da cascun job. In partcolare questo esempo gustca pù degl altr la scelta del settng che verrà analzzato n questo lavoro: restrcted, dato che le STA non hanno la possbltà d accedere a qualsas AP nella rete; unrelated, dato che rate d trasmssone selezonat, e qund carch portat da cascuno d esso, dpendono sa dalla stazone sa dall'access pont a cu c s vuole assocare; unsplttable jobs, dato che non è permessa bforcazone del traf- co; round-robn fashon, perché eettvamente l'access pont gestsce contemporaneamente tutte le STA rducendo la banda dedcata a cascuno d essa. Qund, ancora una volta, è possble vedere come rsultat analzzat qu sono d enorme utlzzo pratco per sottolneare l'ecenza o meno d protocoll, schem e procedure che s presentano n molt sstem.

16 Captolo 2 Teora de goch 2.1 Goch e Equlbr Un goco è una rappresentazone formale d una stuazone n cu un numero d ndvdu nteragscono n un settng d nterdpendenza strategca: coè l benessere d ogn ndvduo dpende non solo dalle propre azon, ma anche dalle azon degl altr ndvdu [20]. Pù formalmente, un goco consste d un nseme d n gocator {1, 2,..., n}. Ogn gocatore ha un nseme d possbl stratege S. Tale gocatore partecpa al goco selezonando una stratega s S. Tuttava l propro outcome, l'esto del propro goco, non dpende solo dalla stratega selezonata ma dall'ntero vettore s = (s 1,..., s n ) S = S delle stratege scelte da tutt gl n gocator. Ovvamente, ogn gocatore prefersce alcun de possbl outcome puttosto che altr: per speccare tal preferenze spesso s usa assegnare, per ogn gocatore, un valore (un costo o un rcavo) v : S R a cascuno d tal est. Un goco s conclude quando tutt gocator raggungono una stuazone d stabltà, vale a dre una stuazone n cu gocator sono content dell'outcome rcevuto e rsulta dcle mglorare l propro benessere. Formalmente questa nozone d stabltà ha dato vta a dvers soluton concepts. Alcun goch, nfatt, godono d una nteressante propretà: ognuno de gocator ha un unca best strategy, ndpendente dalle stratege degl altr gocator. Dremo che goch con questa propretà hanno una domnant strategy soluton. Pù formalmente, ndcando con s la stratega gocata da e con s le stratege gocate da tutt gl altr gocator e rdenendo l'utltà v (s) come v (s, s ), dremo che un vettore delle stratege s S è una domnant strategy soluton se, s, s, v (s, s ) v (s, s ). (2.1) 13

17 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 14 È mportante sottolneare due mportant note: una domnant strategy soluton potrebbe non dare la massma utltà a qualcuno de gocator, ossa, potrebbe non concdere con quella che sarebbe stata la soluzone ottma per que gocator; l requsto che un goco abba una sngola stratega domnante per tutt gocator è estremamente rgdo e molt poch goch lo soddsfano, coscché questo concetto d soluzone, nonostante la sua semplctà ed mmedatezza, ha una rdotta applcabltà nello studo d molte stuazon real. Dato cò è necessaro ndvduare una soluzone, un concetto d stabltà che sa pù ampamente applcable: cò è senza dubbo rappresentato dalla nozone d Nash Equlbrum [19], per cu nessun sngolo gocatore può ndvdualmente mglorare l propro benessere modcando la propra stratega. Formalmente, un vettore delle stratege s S è un Nash Equlbrum se, s, v (s, s ) v (s, s ). (2.2) Sostanzalmente, ogn gocatore goca la sua mglore stratega assumendo che le stratege gocate da tutt gl altr gocator sano ssate: questo porta a far sì che questa soluzone sa self-enforcng, nel senso che, una volta che un player deva da una congurazone nzale, tutt gl altr adattano la propra stratega a quest cambament, no a che s raggunga l'equlbro, per cu a nessuno convene pù devare. Tuttava anche per quanto rguarda gl equlbr Nash sono da sottolneare due mportant note: n un goco l'equlbro Nash potrebbe non essere unco e cascuno de derent equlbr potrebbe avere utltà ampamente dverse per gocator; esstono goch che non possedono un equlbro Nash. Ancora una volta qund, nonostante questo concetto d soluzone appaa convncente ed ecente, la sua non-unctà e la sua non-unversaltà la rendono n alcun cas non adatta a descrvere applcazon real. Per gl equlbr Nash appena descrtt c samo rfert a stratege pure, n cu ogn gocatore determnstcamente scegle una sola stratega. Tuttava, possamo consderare che gocator faccano le propre scelte n manera random, assumendo tuttava che ess sano rsk-neutral, coè tentno d massmzzare l propro payo atteso. Per denre tale concetto d soluzone formalmente ammettamo qund che la scelta d un gocatore conssta nel determnare una dstrbuzone d probabltà tra tutte le possbl stratege rferendoc qund a stratege mste. Estendendo l concetto d soluzone dento formalmente n (2.2) a tal stratege, ntroducamo Mxed Strategy Nash Equlbra [19]. In partcolare Nash [19] ha dmostrato che ogn goco con un nseme nto d gocator e un nseme nto d stratege ha un Mxed Strategy Nash

18 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 15 Equlbrum: tuttava tale dmostrazone è solo esstenzale e, anz, è stato ampamente dmostrato che trovare tale equlbro è un problema dcle. Qund laddove l'unversaltà rende questo concetto abbastanza aascnante per la sua pratca applcabltà, l'necenza e la scarsa naturalezza della denzone lo rendono nvece spesso nadatto a tal stud. Un ulterore rlassamento del concetto d equlbro Nash è quello d Correlated Equlbrum ntrodotto da Aumann [5]: laddove n un equlbro Nash gocator scelgono le loro stratege ndpendentemente, n un equlbro correlato un devce d correlazone esterno, un coordnatore trusted, può sceglere una dstrbuzone d probabltà per gl outcome e da questa dervarne una stratega da suggerre ad ogn gocatore; se nessuno de gocator può ncrementare la propra utltà attesa cambando la stratega suggerta allora la soluzone è un Correlated Equlbra. Sebbene questo concetto mantenga l'unversaltà de Mxed Strategy Nash Equlbrum essendone una generalzzazone, e sebbene la rcerca d tal equlbr sa ecente, ess appaano ancora pù astrus, nnatural e poco convncent, tale da portarl ad una scarsa applcazone nell'anals d stuazon real. Ulteror varant del concetto d equlbro Nash sono state ntrodotte per far fronte a problem leggermente derent, come quell n cu l goco abba molt turn d mosse, n cu qund ogn gocatore può modcare la propra stratega n base a quanto è accaduto nel turno precedente, o ancora come quell n cu grupp d utent possono cooperare modcando le propre stratege ed ottenendo un outcome mglore per tutt: tuttava queste estenson, sebbene molto nteressant, sono per ora estranee all'obettvo d questo lavoro. Infatt, n questo lavoro sostanzalmente utlzzeremo come concetto d soluzone quello de Pure Strategy Nash Equlbra, anche perché l suo prncpale dfetto, la non-unversaltà, non sembra essere un problema per l nostro modello come evdenzato nella prossma sezone. 2.2 Congeston e Potental Games I Congeston Games sono stat ntrodott da Rosenthal [22], mostrando che tale classe d goch ammette sempre un equlbro Nash. Formalmente n un (general) congeston game c sono un nseme nto d rsorse E (con E = m). La stratega s per un gocatore è rappresentata dalla selezone d un partcolare sottonseme d rsorse n una famgla d sottonsem permess (S ). Il costo per l player nel gocare la stratega s è dato dalla somma de cost d cascuna rsorsa selezonata. Tal cost

19 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 16 c k ( ), chamat congeston cost, sono solo funzon d n k (s), coè l numero d gocator che selezonano la k-esma rsorsa e k nello stato s = (s 1,..., s n ). Nello stato s l'utltà per l player, v (s) è: v (s) = k s c k (n k (s)) (2.3) In un network congeston game la famgla d nsem S è mplctamente presentata come path n una rete. L'nput è rappresentato da una rete (V, E), due nod a, b V per ogn gocatore e una funzone d rtardo per ogn arco: l'nseme d tutt path da a a b dentca l'nseme d stratege per l player. C sono sostanzalmente due varant d network congeston games: la varante asmmetrca, n cu è consentto che player abbano dverse stratege, e quella smmetrca, dove tutt gocator condvdono la stessa stratega, ossa hanno gl stess endpont a e b. Partcolarmente nteressant n questa classe d problem sono routng games, che fanno luce su un mportante problema pratco: come nstradare l traco n un grande rete d comuncazone, senza autortà centrale, specalmente per quanto rguarda ret con source routng, n cu ogn utente scegle una rotta completa per l propro traco, e per quanto rguarda ret n cu l traco è nstradato n manera dstrbuta, sensble alla congestone. Sono not due derent modell d routng games: l non-atomc selsh routng, ntrodotto da Pgou [21] e formalmente dento da Wardrop [27], n cu sono present un gran numero d gocator, ognuno de qual controlla una frazone neglgble del traco totale; l'atomc selsh routng, consderato per prmo da Rosenthal [23], dove ogn gocatore controlla una quanttà non trascurable d traco. Una varante leggermente dversa, denta sngle-choce congeston game è quella n cu ogn player può sceglere soltanto una rsorsa: n questo caso possamo dre che n gocator condvdono un nseme d m rsorse. È facle notare come un sngle-choce congeston game può essere faclmente vsto come un symmetrc network congeston game su una rete con solo due nod e un nseme d arch parallel o equvalentemente ad un problema d schedulng come quell analzzat n questo lavoro. Come gà detto, Rosenthal n [22] ha mostrato che Theorem Ogn (general) congeston game possede almeno un equlbro Nash puro. La dmostrazone s basa sull'ntroduzone della seguente funzone: P (s) = m k=1 n k (s) y=1 c k (y) (2.4)

20 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 17 ed evdenzando che qualsas varazone a questa funzone corrsponde anche ad una varazone (dello stesso segno) nell'utltà d qualche player. Per cu l mnmo d questa funzone, dovrà per forza corrspondere ad uno stato n cu nessun gocatore può mglorare la propra utltà, ossa ad un equlbro Nash. La funzone (2.4) è stata denta potental functon da Monderer e Shapley [18]: tale concetto è drettamente collegato con congeston games, n quanto tracca l global payo del sstema. Tuttava tale funzone potenzale può assumere dverse forme: la pù generale, quella d generalzed ordnal potental, prevede che la funzone P : S R per un goco Γ, sa tale che, s S e s, s S v (s, s ) v (s, s ) > 0 mplca P (s, s ) P (s, s ) > 0 (2.5) Denamo, noltre, ordnal potental functon la funzone P : S R per un goco Γ, se, s S e s, s S o equvalentemente v (s, s ) v (s, s ) > 0 P (s, s ) P (s, s ) > 0 (2.6) sgn(v (s, s ) v (s, s )) = sgn(p (s, s ) P (s, s )) (2.7) Indchamo, nvece, con w-potental, dove w = (w ) {1,...,n}, o weghted potental la funzone P : S R per un goco Γ tale che, s S e s, s S v (s, s ) v (s, s ) = w (P (s, s ) P (s, s )) (2.8) Inne, ntroducamo l'exact potental functon P : S R per un goco Γ tale che, s S e s, s S v (s, s ) v (s, s ) = P (s, s ) P (s, s ) (2.9) La classe d goch che ammettono un potenzale sono dett potental games. Monderer e Shapley [18], hanno ndvduato alcun mportant rsultat relatv a tal goch. Theorem Ogn ordnal potental game nto possede un equlbro Nash puro. Theorem Ogn congeston game è un potental game. Theorem Ogn (exact) potental game nto è somorfo a un congeston game.

21 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 18 I teorem e sostanzalmente dmostrano qund che congeston game e potental game sono pratcamente equvalent. Tuttava, nonostante tale equvalenza e nonostante abbamo gà vsto come l nostro modello è rconducble ad un congeston game, nel captolo 4, mostreremo che esste anche un ordnal potental functon. 2.3 Prce of Anarchy Come gà sottolneato n precedenza nella sezone 2.1, un equlbro, ovvero l'outcome raggunto spontaneamente da agent razonal ed egost, è nferore alla soluzone che potrebbe essere centralmente ndcata da una autortà che regola e montora la rete al ne d ottmzzare una certa funzone obettvo. Il Prce of Anarchy, dento da Koutsoupas e Papadmtrou [17] è la pù popolare msura dell'necenza d tal equlbr: sostanzalmente, nell'avere a che fare con questo nuovo genere d problem algortmc, è necessaro nvestgare l costo della mancanza d coordnazone, come per gl algortm on-lne è necessaro nvestgare l costo della mancanza d nformazone e per gl algortm d approssmazone l costo della mancanza d rsorse computazonal llmtate. Così come avvene n queste aree, per valutare la perdta al sstema s utlzza l worst-case approach, ossa l'ottmo vene confrontato con l peggore equlbro Nash. Formalmente, qund, l Prce of Anarchy d un goco è dento come l rapporto tra l peggor valore della funzone obettvo n corrspondenza d un equlbro del goco e l valore della funzone obettvo n corrspondenza della soluzone ottma. Il Prce of Anarchy ha un enorme nteresse pratco: dentcare goch n cu tale msura è prossma ad 1, sgnca dre che tutt gl equlbr sono una buona approssmazone della soluzone ottma, per cu l comportamento egosta degl agent è da preferrs alla costosa o dclmente pratcable nstallazone d un controllo centrale. Tuttava, l'esstenza d un solo equlbro necente tra tant quas ottm, porterebbe ad un prezzo dell'anarcha molto alto. Per questo Schulz e Ster Moses [24] hanno ntrodotto l concetto d Prce of Stablty d un goco, come l rapporto tra l mglor valore della funzone obettvo n corrspondenza d un equlbro del goco e l valore della funzone obettvo n corrspondenza della soluzone ottma: oltre a derenzare tra goch n cu tutt gl equlbr sono necent e goch n cu solo qualche equlbro è necente, l Prce of Stablty è sgncatvo n quanto può essere vsto come ndcatvo della soluzone che una autortà centrale può proporre agl utent egost.

22 CAPITOLO 2. TEORIA DEI GIOCHI 19 Possamo qund concludere che laddove l Prce of Anarchy msura l rscho massmo che l'assenza d coordnamento comporta, l Prce of Stablty rappresenta la degradazone necessara a cu s va ncontro facendo a meno d una autortà centrale. In questo lavoro c occuperemo d calcolare l Prce of Anarchy per l nostro modello, relatvamente a derent funzon obettvo.

23 Captolo 3 Stato dell'arte In questo captolo presenteremo alcun de maggor rsultat relatv al modello del selsh schedulng presentato nel Captolo 1. Prma, tuttava, sarà necessaro charre la notazone che sarà usata sa n questo che nel captolo successvo. 3.1 Notazone Il modello d rfermento n questo lavoro è rappresentato dal problema d selsh schedulng presentato nel Captolo 1, n cu sono present n jobs e m macchne. {1,..., n} denamo con A {1,..., m} l'nseme delle macchne ammssbl per. Qualora c rferamo al caso d unrestrcted selsh schedulng (sezone 1.1) allora {1,..., n} A = {1,..., m}, coè tutte le macchne sono ammssbl. {1,..., n} j A denamo con w j [w mn, w max ] con w mn > 0, l carco del job sulla macchna j. Nel caso dentcal (sezone 1.1) {1,..., n} j A denamo con w j = w [w mn, w max ] con w mn > 0, l carco del job sulla macchna j: ossa un job ha lo stesso carco su qualsas macchna j A. Nel caso related (sezone 1.1) j {1,..., m} denamo con q j 1 la veloctà della macchna j e {1,..., m} denamo con w [w mn, w max ] con w mn > 0, la lunghezza del job : n questo caso l carco del job sulla macchna j è w j = w q j. 20

24 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 21 Nel caso d unweghted jobs (sezone 1.1) {1,..., n} w = 1 sa n presenza d macchne dentche sa n presenza d macchne relate (l caso d macchne non relate non ha pù senso d esstere con jobs non pesat). Denamo s = wmax w mn. Denamo un assegnamento d jobs alle macchne attraverso una matrce n m: n partcolare c rferremo ad x come all'assegnamento n equlbro Nash e a x come all'assegnamento ottmo. Qund dremo { x j = 1, se è stato assegnato a j nella soluzone n equlbro; x j = 0, altrment. e allo stesso modo { x j = 1, se è stato assegnato a j nella soluzone ottma; x j = 0, altrment. Consdereremo sempre un processng n round-robn fashon (sezone 1.1), per cu, dato l'assegnamento x: j {1,..., m} denamo con c j = :x j =1 w j l carco presente sulla macchna j nella soluzone n equlbro Nash; j {1,..., m} denamo con n j = { : x j = 1} l numero d jobs present sulla macchna j nella soluzone n equlbro Nash (osservamo che c j = n j n presenza d unweghted jobs (sezone 1.1)); {1,..., n} denamo con j = {j : x j = 1} la macchna su cu l job è assegnato nella soluzone n equlbro Nash. Le stesse denzon possamo possamo darle anche n funzone dell'assegnamento ottmo x : j {1,..., m} denamo con c j = :x j =1 w j l carco presente sulla macchna j nella soluzone ottma; j {1,..., m} denamo con n j = { : x j = 1} l numero d jobs present sulla macchna j nella soluzone ottma (osservamo che c j = n j n presenza d unweghted jobs (sezone 1.1)); {1,..., n} denamo con j = {j : x j = 1} la macchna su cu l job è assegnato nella soluzone ottma.

25 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 22 Dato che la soluzone x è n equlbro Nash per essa dovrà valere la condzone Nash: {1,..., n} j A c j c j + w j (3.1) Inne faremo rfermento alle seguent funzon d costo socale: Maxmum Latency, che prevede d mnmzzare la massma attesa per l completamento dell'esecuzone d un job; per tale funzone obettvo l costo della soluzone n equlbro Nash è C(NASH) = max j c j ; l costo della soluzone ottma è C(OP T ) = max j c j. Server Latency, che equvale a mnmzzare l lavoro totale eseguto dalle macchne (osservamo che tale obettvo ha senso solo nel caso unrelated (sezone 1.1)); per tale funzone obettvo l costo della soluzone n equlbro Nash è C(NASH) = j c j; l costo della soluzone ottma è C(OP T ) = j c j. Total Latency, che s occupa d mnmzzare l'attesa totale osservata da jobs; per tale funzone obettvo l costo della soluzone n equlbro Nash è C(NASH) = c j = j n jc j ; l costo della soluzone ottma è C(OP T ) = c j = j n jc j. Quadratc Latency, che anch'essa prova a essere una msura dell'attesa totale osservata da jobs (osservamo che nel caso d unweghted jobs (sezone 1.1) questa concde con la Total Latency); per tale funzone obettvo l costo della soluzone n equlbro Nash è C(NASH) = w j c j = j (c j) 2 (per l caso related C(NASH) = w c j j (c j) 2 ); l costo della soluzone ottma è C(OP T ) = w j c j = j (c j) 2 (per l caso related C(OP T ) = w c j j (c j) 2 ). 3.2 Unrestrcted Job Schedulng I prm due rsultat che analzzamo s rferscono ad un problema d unrestrcted selsh schedulng su macchne relate e weghted jobs (sezone 1.1). Il prmo rsultato, dovuto a Czumaj and Vöckng [13], s rfersce alla Maxmum Latency ed è partcolarmente nteressante perché le tecnche ntrodotte

26 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 23 sono state molto utlzzate n numeros lavor successv per ndvduare un gran numero d bound relatv al Prce of Anarchy per l selsh schedulng. Il secondo rsultato presentato nvece è opera d Hoefer e Souza [15] e utlzza come funzone obettvo quella della Total Latency: questo è uno de poch rsultat, nseme a quell presentat da Berembrnk et al. [10], relatv a questa funzone obettvo n un settng con weghted jobs. Entramb rsultat presentat sono essenzalmente tght e provvederemo a presentare sa l'upper che l lower bound Maxmum Latency Dmostramo ora che l Prce of Anarchy è Θ( log m ), assumendo che le log log m macchne sano n ordne decrescente d veloctà, ossa q 1 q m. Upper Bound Fssamo un equlbro Nash e normalzzamo pes w d ogn job tal che C(OP T ) = 1; dmostramo ora che C(NASH) = O( log m log log m ). Lemma C(NASH) Γ ( 1) (m) + 1 = O( log m log log m ). Dmostrazone: Per k 1 denamo j k l'ndce pù pccolo n {0, 1,..., m} tale che c jk +1 < k o, se non esste tale ndce, j k = m. Osservamo che: per ogn k 1 con 0 < j k m, tutte le macchne j j k hanno carco almeno k; per ogn k 1 con 0 j k < m, la macchna j k + 1 ha carco mnore d k; Denamo C = C(NASH) 1. Mostreremo che j 1 C!, che, combnandolo con l'ovvo bound j 1 m fornsce l rsultato desderato. Per stmare j 1, prma stmamo j C. Clam j C 1, da cu c 1 C. Dmostrazone: Per assurdo, assumamo j C = 0. Questo mplca che c 1 < C C(NASH) 1. Sa j la macchna pù carca, allora c < C(NASH) = c j. Osservamo che tutt jobs assegnat a j sono tal che w > q 1. (3.2) Infatt, se un job avesse peso w q 1, allora c 1 + w q 1 vola la condzone Nash (3.1). c c j, che

27 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 24 Osservamo noltre che C(OP T ) max w max j q j. (3.3) Ora, combnando le dsuguaglanze (3.2) e (3.3), ottenamo che la nostra assunzone nzale (C(OP T ) = 1) è volata, dmostrando così l'assurdo. Ora damo un lower bound per j k n funzone d j k+1. Clam Per k 1, j k (k + 1)j k+1. Dmostrazone: Sa T l'nseme d jobs assegnat alle macchne {1,..., j k+1 } e ndchamo con OP T l'allocazone ottma. Osservamo che OP T non può assegnare jobs d T a una macchna j, j > j k. Sa w T, l peso mnmo tra jobs n T. Il carco delle macchne n {1,..., j k+1 } è, per denzone, almeno k + 1, mentre, per denzone, l carco sulla macchna j k +1 è mnore d k. Percò la condzone Nash comporta che w T > q jk +1, altrment al job corrspondente converrebbe spostars sulla macchna j k +1. Supponamo per assurdo che OP T assegna jobs d T a una macchna j, j > j k per cu w T qj w T q jk > 1, che nseme alla dseguaglanza +1 (3.3), come prma, porta a volare la condzone che C(OP T ) = 1. Qund, n OP T, tutt jobs d T sono allocat su macchne n {1,..., j k }. Sa W T la somma de pes de jobs n T, osservamo che W T = T j k+1 w = c j q j. j=1 Percò, dato che j j k+1, c j k + 1, abbamo che j k+1 j k+1 W T = c j q j (k + 1) q j (3.4) j=1 D'altro lato, dato che C(OP T ) = 1 e che OP T alloca tutt jobs n T a macchne n {1,..., j k }, ottenamo W T j k j=1 j=1 q j (3.5) Combnando le dsuguaglanze (3.4) e (3.5) abbamo j k j=1 q j (k + 1) jk+1 j=1 q j. Ora, dato che le veloctà delle macchne sono non-decrescent, rsulta che j k (k + 1)j k+1. Iterando questa propretà osservamo che j 1 C!j C C!, e da qu rsalamo al rsultato desderato.

28 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 25 Lower Bound Senza perdta d generaltà, lascamo che m sa un ntero. Consderamo K + 1 grupp d macchne 0, 1,..., K. I grupp sono dent come segue: per 1 k K, l numero d macchne nel gruppo k è uguale a m K! k! (nota che per 1 k < K l numero d macchne nel gruppo k è esattamente (k + 1) volte l numero d macchne nel gruppo k + 1); l numero d macchne nel gruppo 0 è almeno m K!; per 0 k K, la veloctà delle macchne nel gruppo k è 2 k ; per 0 k K, per ogn macchna nel gruppo k, c sono esattamente k jobs d peso 2 k assegnat ad essa nella soluzone S. Da tale suddvsone rsulta che m K Γ ( 1) ( m log m ) 1 = Ω( ). e log log m k=0 K! m, l che è vero per K k! Innanztutto osservamo che C(S) = K. Se una macchna j è nel gruppo k allora c j = k 2k = k. (3.6) 2 k Qund le macchne nel gruppo K avranno propro carco K. Osservamo noltre che S è n equlbro Nash. Consderamo un job che è allocato a una macchna nel gruppo k 1 e sa j r una qualsas macchna nel gruppo t, 0 t K. Per provare che l sstema è n equlbro Nash, c basterà provare che c j + w q j c j : ma, essendo c j = k, c j = t (per la (3.6)) e w q j = 2 k t, dovremo dmostrare che t + 2 k t k, l che è vero per qualsas t e k non negatv. Inne, osservamo che C(OP T ) 2. Infatt, allocando tutt jobs assegnat a macchne nel gruppo k, k 1, nella soluzone S a macchne nel gruppo k 1, avremmo esattamente k m K! = K! m jobs d peso 2 k su k! (k 1)! m K! macchne, ognuna delle qual ha veloctà (k 1)! 2k 1. Qund assegnando ogn job ad una macchna dversa, l costo d ogn macchna è al pù 2. Da qu, l Prce of Anarchy è K log m = Ω( ). 2 log log m Total Latency Dmostramo ora, assumendo che le macchne sano n ordne decrescente d veloctà, ossa q 1 q m, che tal veloctà sano normalzzate, ossa q m 1 e che jobs sano tal che w [0, 1], che n P oa n + m2 +m, 2w w w ndcando con 2 w = w > 0, l peso totale de jobs.

29 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 26 Upper bound Lemma C(OP T ) P w2 j q j Dmostrazone: Osservamo che w 1, l che mplca che C(OP T ) = j n jc j j (c j) 2. Provando a mnmzzare la funzone t 2 j j q j soggetta al vncolo che j t j = w, dove qund t j rappresenta la somma de pes de jobs assegnat alla macchna j, osservamo che tale mnmo è ottenuto n corrspondenza della scelta t j = w q j P. Qund, C(OP T ) m k=1 q k j (c j) 2 t 2 j j q j j (w q j ) 2 q j ( Pm k=1 q k) 2 = w2 Pj q j, c.v.d.. Lemma C(NASH) n(w+m2 P +m) j q j Dmostrazone: Dstnguamo tra macchne veloc e macchne lente: una macchna j è veloce se q j 1 m m k=1 q k (tale denzone mplca che essta sempre almeno una macchna veloce ed n partcolare, dato l'ordnamento delle macchne, che la macchna 1 è veloce), altrment è lenta. Indchamo, come sopra, con t j la somma de pes de jobs assegnat a j, ossa t j = :x j =1 w. Indchamo con t j, l carco assegnato alla macchna j, n una deale allocazone perfettamente blancata, coè t j = P q j w e osservamo m k=1 q k che possamo rscrvere t j come t j + δ j : utlzzando tale notazone osservamo che c j = t j+δ j s j = P w + δ j m k=1 q k q j. Denamo y j = δ j q j. Assumamo che y j m q j. Inoltre, notamo che la condzone Nash (3.1) mplca che, per un job assegnato alla macchna j nella soluzone n equlbro, c j c 1 + w q 1 c q 1. Rcordandoc che la macchna 1 è veloce, ossa 1 q 1 P m, avremo m k=1 q k C(NASH) = j n j c j j n j (c ) = n(c w ) n( q 1 q m 1 k=1 q + k m w + y 1 + m k=1 q ) n( m k k=1 q k + m q 1 + m m k=1 q ) n(w + m2 + m) m k k=1 q. k C rmane da provare nel clam seguente che l'assunzone fatta è corretta. Clam y j m q j Dmostrazone. Dcamo che una macchna j è overloaded se δ j > 0 y j > 0, underloaded se δ j < 0 y j < 0 e balanced, altrment. Notamo che t j = w = w (3.7) j

30 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 27 e t j = j j (t j + δ j ) = j q j w m k=1 q k + j δ j = w + j δ j (3.8) Da (3.7) e (3.8) rsulta qund che j δ j = 0, l che sgnca che se c'è una macchna overloaded dovrà per forza esserc anche una macchna underloaded. Se tutte le macchne fossero balanced avremmo che y j = 0 e l clam sarebbe banalmente dmostrato. Qund consderamo che esste una macchna k underloaded e una macchna j overloaded. Supponamo che k rceva un job arbtraro dalla macchna j, l suo carco sarà c k + w q k. La condzone Nash (3.1) stablsce che c k + w q k c j : questo sgnca che spostando un solo job da una macchna overloaded ad una macchna underloaded, trasforma quest'ultma n overloaded. Inoltre essendo w q k 1 q k, questo mplca che y j 1 q k. Cerchamo ora d valutare l numero d jobs che è necessaro rmuovere da una macchna overloaded j, per renderla underloaded o balanced. Supponamo c sano u macchne underloaded e che mgramo u jobs da j a ognuna delle derent macchne underloaded. Supponamo che j sa ancora sovraccarca: questo è assurdo, perché, da quanto notato n precedenza, non esstono pù macchne underloaded, l che contraddce l fatto che j δ j = 0. Sccome ogn job mgrato contrbusce al pù d 1 q j, avremo che y j u q j m q j, c.v.d.. Mettendo nseme rsultat del Lemma e del Lemma , ottenamo l'upper bound per l Prce of Anarchy d n w + m2 +m w 2. Lower Bound Consderamo l'esstenza d due macchne entramb d veloctà untara e un numero par d jobs. Sa w un ntero postvo par e denamo pes de jobs nel modo seguente: w 1 = w 2 = = w w = 1 e w w+1 = = w n = 0. L'allocazone ottma assegna w jobs d peso 1 alla macchna 1, restant alla macchna 2: l costo d questa soluzone è C(OP T ) = w 2. Invece, la soluzone che assegna w n w jobs d peso 1 e jobs d peso 0 a 2 2 cascuna macchna è n equlbro, poché nessun job mglorerebbe la propra latenza, mgrando da una macchna all'altra: l costo d questa soluzone è C(NASH) = nw, da cu ottenamo l lower bound per Prce of Anarchy d 2 n. 2w

31 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE Restrcted Job Schedulng In questo paragrafo consderamo un problema d restrcted selsh schedulng su macchne relate e unweghted jobs (sezone 1.1) (n questo caso rcordamo che c j = n j ). Il rsultato mostrato qu s rfersce ad una funzone d costo socale d total latency: l modello restrcted rende partcolarmente nteressante questa dmostrazone, poché le tecnche utlzzate nel caso unrestrcted, basate sopratutto sulla possbltà d spostare un job da una macchna a qualsas altra, fallscono n questa occasone. Invece, nella dmostrazone seguente, sarà utlzzata un'altra tecnca abbastanza dusa, che ntroduce l concetto d Nash Inequalty. Per questo modello l rsultato è tght e stablsce che 2.5 ε P oa 2.5: l'upper bound è dovuto a Sur et al. [25], mentre l lower bound è stato ndvduato da Caraganns et al. [11]. Upper Bound Dalla condzone Nash (3.1) abbamo che per ogn : n j q j n j + 1 q j (3.9) Denamo j {1,..., m} N j = { : x j = 1} e Nj = { : x j = 1} (osservamo che n j = N j = m k=1 N j Nk e n k = N k = m j=1 N j Nk ). Osservamo che, sommando la dseguaglanza (3.9) per ogn, ottenamo la seguente Nash Inequalty: C(NASH) = = = m k=1 j=1 m k=1 m n k + 1 q k n =1 n j q j = n j q j N j N k m j=1 (n j ) 2 q j = m m k=1 j=1 m N j Nk = j=1 m j=1 m j=1 n j q j m N j Nk = k=1 n k + 1 q k N j N k = (n j + 1)n j q j (3.10) È facle vercare che n j n j = 1 3 (n j) (n j) (n j 3 2 n j) 2. (3.11)

32 CAPITOLO 3. STATO DELL'ARTE 29 Dalla Nash Inequalty (3.10) dall'uguaglanza (3.11) ottenamo: C(NASH) m j=1 1 3 (n j 3 2 n j) 2 ) n j n j + n j q j = m j=1 m j=1 1 q j ( 1 3 (n j) (n j) 2 + n j 1 q j ( 9 8 (n j) n j 1 2 (n j 3 2 n j) 2 ). (3.12) È facle dmostrare che 9 8 (n j) n j 1 2 (n j 3 2 n j) (n j) 2, rscrvendo tale dseguaglanza come n j( n j) 2 (n j 3 2 n j) 2 (3.13) e osservando che (3.13) è trvalmente vercata per n j = 0 o per n j 2, mentre per n j = 1 è sempre vercato n quanto n j può assumere solo valor nter. Mettendo nseme tale dmostrazone con la dseguaglanza (3.12) otte- namo che C(NASH) 5 m 2 j= Lower Bound (n j )2 q j = 5 C(OP T ), ovvero che P oa 2 Per trovare tale bound, rappresentamo un goco come un grafo dretto (game graph), che ha un nodo per ogn macchna, e un arco dretto per ogn job: la drezone dell'arco è dalla macchna a cu l job è assocato nell'assegnamento ottmo alla macchna a cu è nvece assocato nell'assegnamento n equlbro Nash. No costruamo un game graph G consstente d un albero bnaro completo con k + 1 lvell e 2 k+1 1 nod; noltre ad ogn fogla è collegata una lnea d k + 1 arch e k + 1 nod addzonal. Il grafo G ha qund 2k + 2 lvell 0,..., 2k + 1, con 2 nod a lvello per = 0,..., k e 2 k nod a lvell k + 1,..., 2k + 1. Le macchne corrspondent a nod a lvello = 0,..., k 1 hanno una veloctà q = ( 3 2 ) ; le macchne corrspondent a nod a lvello = k,..., 2k hanno una veloctà q = ( 3 2 )k 1 2 k ; le macchne corrspondent a nod a lvello 2k + 1 hanno una veloctà q 2k+1 = ( 3 2 )k 1 2 k.