= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.1 su derivate: la definzione Classe 5B Sc.Soc. Data: Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo aperto I contenente x 0 ) e assegnato l'incremento convenzionalmente positivo R della variabile indipendente (sucientemente piccolo ancé x 0 + I) si ciama rapporto incrementale di punto iniziale x 0 e incremento il rapporto: m x0 () = y Q y P x Q x P = y x = f(x 0 + ) f(x 0 ). tale rapporto incrementale (ce dipende da x 0 e oltre ce dalla specica funzione f) è un numero ce rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta secante il graco della funzione e passante per i punti del graco di f aventi di ascissa x 0 e x 0 +, cioè P (x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). Se l'incremento viene lasciato generico, il rapporto incrementale m x0 () = f(x 0 + ) f(x 0 ) è una funzione di (denita in un intorno di 0, zero escluso); a senso pertanto provare a calcolare: lim m f(x 0 + ) f(x 0 ) x 0 (), cioè lim. 0 0 Se tale limite esiste ed è nito esso si ciama derivata della funzione in x 0 e si indica con f (x 0 ) (si tratta quindi di un numero) e quindi: f (x 0 ) = lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 ). Le derivata della funzione in x 0 rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta tangente t x0 al graco della funzione nel punto di ascissa x 0, cioè in P (x 0, f(x 0 )). Tale retta a dunque equazione: t x0 : y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ). Esercizio 1: Scrivi il rapporto incrementale m x0 () della funzione y = f(x) assegnata relativo al punto iniziale x 0 assegnato e all'incremento indicato della variabile indipendente; negli esercizi contrassegnati con determina ance l'equazione della retta secante il graco della funzione, passante per i punti P (x 0, f(x 0 ) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1; = 2 R 1 (2) = 4; retta secante y = 4x 4 1

2 (2) f(x) = x 2; x 0 = 4; = 1 R 4 ( 1) = 2 1 (3) f(x) = 1 2x + 1 ; x 0 = 2; = 3 R 2 (3) = 55 2 ; retta secante y = 2 55 x (4) f(x) = 2 3x 4 ; x 0 = 1; = 2 R 1 ( 2) = Esercizio 2: Scrivi il rapporto incrementale m x0 () della funzione y = f(x) assegnata relativo al punto iniziale x 0 assegnato e all'incremento ( 0) generico della variabile indipendente. (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 R 1 () = + 2 (2) f(x) = 3x 1; x 0 = 1 R 1 () = (3) f(x) = x 2 x 2 ; x 0 = 2 R 2 () = 1 (+2) 2 (4) f(x) = log 3 (x 2 1); x 0 = 2 R 2 () = log 3 (2 +4+3) 1 Esercizio 3: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato. (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 f (1) = 2 (2) f(x) = x x 2 ; x 0 = 1 f (1) = 2 (3) f(x) = x; x 0 = 4 f (4) = 1 4 (4) f(x) = 2x 3 + x 2 4x 1; x 0 = 0 f (0) = 4 Esercizio 4: Determina l'equazione della retta tangente t x0 al graco della funzione y = f(x) nel suo punto di ascissa x 0. (si tratta delle stesse funzioni e dello stesso punto x 0 del gruppo di esercizi precedenti). (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 t 1 : y = 2x 2 (2) f(x) = x x 2 ; x 0 = 1 t 1 : y = 2x + 1 (3) f(x) = x; x 0 = 4 t 4 : y = 1 4 x + 1 (4) f(x) = 2x 3 + x 2 4x 1; x 0 = 0 t 0 : y = 4x 1

3 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.2 su derivate Il calcolo della funzione derivata mediante le regole di derivazione: funzioni elementari Classe VB SC Data: Teoria in sintesi. derivate delle funzioni elementari: funzione y = f(x) funzione derivatay = f (x) funzione potenza y = x n y = nx n 1 funzione logaritmica y = log b x y = 1 x ln b funzione esponenziale y = a x y = a x ln a casi particolari: funzione y = f(x) funzione derivata y = f (x) funzione costante y = k y = 0 funzione prima potenza y = x y = 1 funzione seconda potenza y = x 2 y = 2x funzione terza potenza y = x 3 y = 3x 2 funzione radice quadrata y = x y = 1 2 x funzione logaritmo naturale y = ln x y = 1 x funzione esponenziale, base e y = e x y = e x regole di derivazioni funzioni e operazioni: funzione funzione derivata moltiplicazione per una costante f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) somma algebrica di funzioni f(x) = (x) ± g(x) f (x) = (x) ± g (x) prodotto di funzioni f(x) = (x) g(x) f (x) = (x) g(x) + (x) g (x) quoziente di funzioni f(x) = n(x) d(x) f (x) = n (x) d(x) n(x) d (x) [d(x)] 2 Nota e = è un numero irrazionale; i logaritmi in base e sono detti logaritmi naturali ed indicati semplicemente con ln anzicé log e ; la funzione esponenziale con base e non a un nome particolare, ma spesso, soprattutto in ambito informatico è spesso indicata con y = exp(x) anzicé con y = e x.

4 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.3 su derivate: la definzione Classe VB SC Data: Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo aperto I contenente x 0 ) e assegnato l'incremento R della variabile indipendente (sucientemente piccolo ancé x 0 + I) si ciama rapporto incrementale di punto iniziale x 0 e incremento il rapporto m x0 () = y Q y P x Q x P = y x = f(x 0 + ) f(x 0 ). Tale rapporto incrementale (ce dipende da x 0 e oltre ce dalla specica funzione f) è un numero ce rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta secante il graco della funzione e passante per i punti del graco di f aventi di ascissa x 0 e x 0 +, cioè P (x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). Se l'incremento viene lasciato generico, il rapporto incrementale: m x0 () = f(x 0 + ) f(x 0 ) è una funzione di (denita in un intorno di 0, zero escluso); a senso pertanto provare a calcolare: lim m f(x 0 + ) f(x 0 ) x 0 () = lim. 0 0 Se tale limite esiste ed è nito esso si ciama derivata della funzione in x 0 e si indica con f (x 0 ) (si tratta quindi di un numero) e quindi: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 se tale limite esiste nito. Le derivata della funzione in x 0 rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta tangente t x0 funzione nel punto di ascissa x 0, cioè in P (x 0, f(x 0 )). Tale retta a dunque equazione: al graco della t x0 : y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Esercizio 1: USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato; determina ance l'equazione della retta tangente t al graco della funzione y = f(x) nel punti di ascissa x 0. [1] f(x) = 2x 2 + x 3; x 0 = 1 [2] f(x) = x2 x 2 ; x 0 = 3 [3] f(x) = x 3 + 2; x 0 = 7 f (1) = 2 f (1) = 2 f (1) = 2 Esercizio 2: USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE TEORIA: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 generico. [1] f(x) = x [2] f(x) = 1 x f (x) = 1 2 (x) f (x) = 1 x 2 [3] f(x) = 5x 2 f (x) = 10x Esercizio 3: USO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE E DELLA CONOSCENZA DELLA FUNZIONE DERIVATA DI FUNZIONI ELEMENTARI: utilizzando non la denizione, ma le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari, determina la funzione derivata y = f (x) delle seguenti funzioni. [1] f(x) = 4 x + 2x 2 1 [2] f(x) = e x + ln x 3x 4 [3] f(x) = 2 4 x + 4 log 2 x 2x 3 [4] f(x) = 6x 3 3x 2 x + 3

5 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.4 su derivate: calcolo della derivata del prodotto/quoziente di funzioni; applicazione alla ricerca degli intervalli di monotonia e dei punti di massimo e minimo relativo Classe VB SC Data: Teoria in sintesi Indiciamo con D[f(x)] la funzione derivata di f(x): (1) la (funzione) derivata del prodotto di due funzioni: D[f(x) g(x)] = D[f(x)] g(x) + f(x) D[g(x)] [ ] f(x) D[f(x)] g(x) f(x) D[g(x)] (2) la (funzione) derivata del quoziente di due funzioni: D = g(x) g 2 (x) Denizione di punto stazionario (o punto a tangente orizzontale): data una funzione y = f(x), ogni punto x 0 del domino della funzione in cui la derivata esiste e vale zero, cioè f (x 0 ) = 0, è detto punto stazionario (o punto a tangente orizzontale). Denizione di punto di massimo relativo (interno) e di massimo relativo: sia x 0 un punto del dominio interno al dominio di una funzione (cioè non un estremo del dominio) ; se vale f(x) f(x 0 ) per tutti i valori di x intorno ad x 0 (cioè per tutti gli x appartenenti ad un intervallino aperto contente x 0 ) allora x 0 è detto punto di massimo relativo; il valore f(x 0 ) ce la funzione assume in x 0 è detto massimo relativo. Denizione di punto di minimo relativo (interno) e di minimo relativo: sia x 0 un punto del dominio interno al dominio di una funzione (cioè non un estremo del dominio) ; se vale f(x) f(x 0 ) per tutti i valori di x intorno ad x 0 (cioè per tutti gli x appartenenti ad un intervallino aperto contente x 0 ) allora x 0 è detto punto di minimo relativo; il valore f(x 0 ) ce la funzione assume in x 0 è detto minimo relativo. In generale i punti di massimo/minimo relativi sono detti estremanti relativi (interni); i massimi e i mininimi relativi sono detti estremi relativi. (1) Teorema: punti stazionari ed estremanti relativi: se x 0 è estremante relativo (interno) e la funzione è derivabile in x 0, allora f (x 0 ) = 0, cioè x 0 è un punto stazionario. Nota: non vale il viceversa: esistono punti stazionari ce non sono estremanti relativi: essi sono detti punti di esso a tangente orizzontale. Nota: un punto può essere un estremante relativo ma in esso può non esistere la derivata. (2) Teorema: Intervalli di monotonia e segno della derivata: se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo aperto I e si a f(x) > 0 per tutti gli x I, allora su tale intervallo la funzione è crescente, cioè x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). (3) Teorema: Intervalli di monotonia e segno della derivata: se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo aperto I e si a f(x) < 0 per tutti gli x I, allora su tale intervallo la funzione è decrescente, cioè x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Nota: non vale il viceversa: ad esempio esistono funzioni ce sono crescenti su un intervallo, ma ce non anno la derivata positiva su tutti i punti di tale intervallo (la derivata al più può essere nulla in qualce punto, nei punti di esso a tangente orizzontale) e comunque un funzione potrebbe essere crescente/decrescente su tutti i punti di un intervallo, ma la derivata su alcuni punti potrebbe non esistere (punti di non derivabilità). Esercizi: Esercizio 1: CALCOLO DELLA (FUNZIONE) DERIVATA DI UN PRODOTTO/QUOZIENTE: calcola la derivata delle seguenti funzioni (ove compaiono il prodotto/quoziente di funzioni elementari (o della somma di funzioni elementari) (1) y = x ln x (2) y = 4 x e x (3) y = 2x2 + 1 x 3 (4) y = (log x + 3x 2 ) 2 x (5) y = x2 + e x x ln x (6) y = x3 ln x 2x 3

6 (7) y = 3x x 1 Esercizio 2: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni. RICERCA DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA: determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (prima occorre trovare il dominio). (1) y = 2 3 x x2 2x + 9 f (1) = 2 (2) y = x 2 e x f (1) = 2 (3) y = 8 ln x x 2 f (1) = 2 (4) y = x + 4 2x 3 (5) y = x + 1 x 2 2 f (1) = 2 f (1) = 2

7 SCHEDA n.5 su derivate: Derivazione di una funzione composta (o funzione di funzione) Classe VB SC Data: Teoria in sintesi La derivata di una funzione composta o funzione di funzione f = g (x) = g((x)) è = g () (x) dove la prima derivata è eseguita rispetto alla funzione e non rispetto alla variabile x, come negli esempi ce seguono: g(x) (x) f(x) = g (x) = g((x)) f (x) = g () (x) x x 3 + 5x (x) = x3 + 5x (x) 1 (x) = 2 x 3 + 5x (3x2 + 10x) x 10 3x 2 2x + 7 [(x)] 10 = (3x 2 2x + 7) 10 10[(x)] 9 (x) = 10(3x 2 2x + 7) 9 (6x 2) e x 2x 4 1 e (x) = e 2x4 3x 3 e (x) (x) = e 2x4 3x 3 (8x 3 9x 2 ) Vediamo ora l'applicazione a casi più generali: funzione elementare derivata funzione elementare funzione composta derivata funzione composta g(x) g (x) f(x) = g((x)) = g (x) f (x) = g () (x) x n n x n 1 f(x) = [(x)] n f (x) = n [(x)] n 1 (x) x 2 2 x f(x) = [(x)] 2 f (x) = 2 (x) (x) x 3 3 x 2 f(x) = [(x)] 3 f (x) = 3 [(x)] 2 (x) x 1 2 x f(x) = (x) f (x) = 1 2 (x) (x) log b x 1 x ln b f(x) = log b [(x)] f (x) = 1 (x) ln b (x) ln x 1 x f(x) = ln[(x)] f (x) = 1 (x) (x) a x a x ln a f(x) = a (x) f (x) = a (x) ln a (x) e x e x e (x) e (x) (x) Esercizi: Esercizio 1: LA DEFINIZIONE DI DERIVATA: calcola mediante la denizione la derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 indicato; determina l'equazione esplicita della retta tangente t al graco della funzione nel punto P di ascissa x 0. a) f(x) = x 2 + 3; x 0 = 1 f (1) = 1 2 f t : y = 1 2 x b) f(x) = x 2 x 2 ; x 0 = 2 f (1) = 1 4 t : y = 1 4 x 1 2 Esercizio 2: LA DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA: ricordando ce Esercizio 3: determina la funzione derivata delle seguenti funzioni composte: (1) y = x y = x x 2 +1 (2) y = ln(2x 2 3x + 1) y = (3) y = e 2x 1 x 4x 3 2x 2 3x+1 y = e 2x 1 x 1 x 2 (4) y = x ln(x 2 + 1) y = ln(x 2 + 1) + 2x2 x 2 +1 (5) y = ln(3x 2) + 2 y = ln(3x 2)+2 3x 2

8 (6) y = e x x y = 3 2 ex x x (7) y = x(1 e x ) y = e x (x 1) + 1 Esercizio 4: PUNTI STAZIONARI E INTERVALLI DI MONOTONIA; PUNTI ESTREMANTI RELATIVI; ESTRE- MI RELATIVI: dopo aver determinato il dominio D delle funzioni assegnate, determina punti stazionari ed intervalli di monotonia; determina i punti di max e min relativo e i max e min relativi. (1) y = x x D = R, punti staz.= { 1, +1}, f 1 < x < 1, f x < 1 x > 1; x = 1 punto di minimo relativo; y = 1 2 di massimo relativo; y = 2 1 massimo relativo; (2) y = ln(x 2 + x + 1) minimo relativo; x = 1 punto D = R, punti staz.= { 1 2 }, f x > 1 2, f x < 1 2 ; x = 1 2 punto di minimo relativo; y = ln ( 34 ) = 0.29 minimo relativo (3) y = e x x 2 D = R \ {2}, f mai, f x < 2 x > 2; Esercizio 5: determina per quali valori del parametro reale m la seguente funzione cubica y = x 3 +mx 2 +(2m+9)x+3 è decrescente su tutto R (e non presenta punti stazionari). 3 < m < 9 Esercizio 6: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni e determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (prima occorre trovare il dominio). (1) y = 2 3 x x2 2x + 9 (2) y = x 2 e x (3) y = 8 ln x x 2 (4) y = x + 4 2x 3 (5) y = x + 1 x 2 2

9 Classe VB SC SCHEDA n.6 su (applicazioni delle) derivate: ESERCIZI PER VERIFICA/SIMULAZIONE III PROVA DI APRILE Data: Teoria: il teorema degli zeri delle funzioni continue: sia f una funzione reale di variabile reale denita sull'intervallo [a, b] e ivi continua; se f(a) > 0 e f(b) < 0 (o viceversa f(a) < 0 e f(b) > 0) allora esiste c ]a, b[ tale ce f(c) = 0 (un tale valore del dominio è detto zero della funzione; il teorema pertanto ci dà una condizione suciente (ma non necessaria, percé?) per l'esistenza di uno zero di una funzione continua). Teoria: il teorema degli zeri delle funzioni continue: caso particolare: sia f una funzione reale di variabile reale denita su R e continua; se f(x) = + e lim f(x) = (o viceversa lim f(x) = e lim f(x) = + ) allora esiste c R tale ce f(c) = 0. lim x + x x + x ESERCIZI: LO STUDIO COMPLETO DI FUNZIONE: studia le seguenti funzioni determinando dominio segno ed eventuali intersezioni con asse x eventuale intersezione con asse y limiti agli estremi del dominio (punti disc., asintoti verticali e orizzontali) derivata zeri e segno della derivata (punti stazionari, intervalli di monotonia, punti di max e min relativo, max e min relativi) codominio Esercizio 1: y = (x + 3) e x Informazione assegnata (ce non saresti in grado di ottenere senza l'utilizzo del Teorema di De L'Hopital f(x) = [+ 0] = [F I] = 0 lim x + alcune risposte: f(x) > 0 x > 3, f(x) < 0 x < 3; f (x) = ( x 2)e x ; x = 2 punto stazionario e max relativo e assoluto; y = e 2 = 7.4 max relativo e assoluto; f crescente su ], 2[. Domanda extra: si stabilisca al variare di k R quante soluzioni a l'equazione (x + 3) e x = k Esercizio 2: y = x 3 3x + 7 Nota: si salti lo studio del segno della funzione. alcune risposte: punti stazionari x = 1; x = 1 Domanda extra: si stabilisca al variare di k R quante soluzioni a l'equazione x 3 3x + 7 = k Domanda extra: si dimostri ce esiste uno zero c per f e lo si approssimi a meno di un'unità. Utilizzando questo valore cosa diresti ora relativamente allo studio del segno? Esercizio 3: y = ln(x) 1 2 x2 Nota: si salti inizialmente lo studio del segno della funzione. Informazione assegnata (ce non saresti in grado di ottenere senza l'utilizzo del Teorema di De L'Hopital f(x) = [+ ] = [F I] = lim x + alcune risposte: punto di max x = 1 Domanda extra: si dimostri f(x) < 0 per tutti i valori di x del dominio della funzione. Esercizio 4: y = x2 x + 1 x 2 + x + 1 alcune risposte: punti stazionari x = 1; x = 1

10 SIMULAZIONE 1 DELLA TERZA PROVA Classe VB SC Sceda 3 Mercoledì 10 giugno 2009 (1) QUESITO 1: Dopo aver ricordato (teoria)..., il candidato consideri le tre seguenti funzioni; tutte e tre sono denite intorno al punto x = 1, ma x = 1 non fa parte del dominio naturale di nessuna di esse; utilizzando lo spazio a disposizione, il candidato classici il punto di discontinuità x = 1. (a) f(x) = 3x2 x 2 x 1 (b) g(x) = x log 2 (x + 7) se x > 1 (c) (x) = 8 se x < 1 x 3

11 (2) QUESITO 2: Dopo aver ricordato (teoria)..., il candidato consideri la funzione y = e x2 +4x avente R come dominio naturale; di essa si ciede di determinare, utilizzando lo spazio a disposizione (a) la funzione derivata prima; (b) l'equazione della retta tangente t nel punto P del graco della funzione di ascissa x = 0; (c) gli intervalli di monotonia della funzione; (d) i punti estremanti relativi e gli estremi relativi. Cognome:

12 VERIFICA DI MATEMATICA Classe VB SC Data: venerdì 17 aprile 2009 Cognome: NORME: è consentito l'uso della calcolatrice; non saltate troppi passaggi per evitare malintesi. consegnato denitivamente la verica). Punteggi: massimo 10+2 Non è consentito uscire dall'aula durante la prova (a meno di aver (1) ESERCIZIO 0: [Punti 1.00] Riporta la denizione di derivata di una funzione in un punto (a parole e in simboli); nota non on ciesto il signicato geometrico o altro, ma semplicemente la denizione. (2) ESERCIZIO 1: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato; determina ance l'equazione della retta tangente t al graco della funzione y = f(x) nel punti di ascissa x 0. (a) [Punti 1.50] f(x) = 1 x 2 ; x 0 = 2 (b) [Punti 1.50] f(x) = x + 3; x 0 = 1 (3) ESERCIZIO 2: USO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE: utilizzando non la denizione, ma le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari, determina la funzione derivata y = f (x) delle seguenti funzioni. (a) [Punti 1.50] f(x) = x ln x x (4) ESERCIZIO 3: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI E DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni (stabilisci se sono punti di massimo o minimo relativo o altro; non è riciesto il calcolo del max/min relativo) e determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (tieni conto del fatto ce ce per le prime due funzioni il dominio è D = R laddove per la terza esso è D = {x R x > 0} ). (a) [Punti 1.50] y = x 3 3x 2 (b) [Punti 1.50] y = (2x 1) e x (c) [Punti 1.50] y = x 2 ln x (5) ESERCIZIO EXTRA: [Punti 2.00] dopo aver rapidamente disegnato un graco qualitativo della funzione y = x 3 3x 2 determina al variare di k R quante soluzioni a l'equazione x 3 3x 2 ). Nota: per disegnare un graco qualitativo della funzione y = x 3 3x 2 sfrutterai le informazioni trovate nell'esercizio precedente, (ma dovrai ance calcolare i max e min relativi) oltre a dominio e ai limiti (istantanei) agli estremi del dominio; invece, pur essendo non dicili da trovare, puoi evitare di trovare intersezioni con l'asse x e segno visto ce non sono necessari per lo svolgimento dell'esercizio.

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