= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )"

Transcript

1 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.1 su derivate: la definzione Classe 5B Sc.Soc. Data: Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo aperto I contenente x 0 ) e assegnato l'incremento convenzionalmente positivo R della variabile indipendente (sucientemente piccolo ancé x 0 + I) si ciama rapporto incrementale di punto iniziale x 0 e incremento il rapporto: m x0 () = y Q y P x Q x P = y x = f(x 0 + ) f(x 0 ). tale rapporto incrementale (ce dipende da x 0 e oltre ce dalla specica funzione f) è un numero ce rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta secante il graco della funzione e passante per i punti del graco di f aventi di ascissa x 0 e x 0 +, cioè P (x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). Se l'incremento viene lasciato generico, il rapporto incrementale m x0 () = f(x 0 + ) f(x 0 ) è una funzione di (denita in un intorno di 0, zero escluso); a senso pertanto provare a calcolare: lim m f(x 0 + ) f(x 0 ) x 0 (), cioè lim. 0 0 Se tale limite esiste ed è nito esso si ciama derivata della funzione in x 0 e si indica con f (x 0 ) (si tratta quindi di un numero) e quindi: f (x 0 ) = lim 0 f(x 0 + ) f(x 0 ). Le derivata della funzione in x 0 rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta tangente t x0 al graco della funzione nel punto di ascissa x 0, cioè in P (x 0, f(x 0 )). Tale retta a dunque equazione: t x0 : y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ). Esercizio 1: Scrivi il rapporto incrementale m x0 () della funzione y = f(x) assegnata relativo al punto iniziale x 0 assegnato e all'incremento indicato della variabile indipendente; negli esercizi contrassegnati con determina ance l'equazione della retta secante il graco della funzione, passante per i punti P (x 0, f(x 0 ) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1; = 2 R 1 (2) = 4; retta secante y = 4x 4 1

2 (2) f(x) = x 2; x 0 = 4; = 1 R 4 ( 1) = 2 1 (3) f(x) = 1 2x + 1 ; x 0 = 2; = 3 R 2 (3) = 55 2 ; retta secante y = 2 55 x (4) f(x) = 2 3x 4 ; x 0 = 1; = 2 R 1 ( 2) = Esercizio 2: Scrivi il rapporto incrementale m x0 () della funzione y = f(x) assegnata relativo al punto iniziale x 0 assegnato e all'incremento ( 0) generico della variabile indipendente. (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 R 1 () = + 2 (2) f(x) = 3x 1; x 0 = 1 R 1 () = (3) f(x) = x 2 x 2 ; x 0 = 2 R 2 () = 1 (+2) 2 (4) f(x) = log 3 (x 2 1); x 0 = 2 R 2 () = log 3 (2 +4+3) 1 Esercizio 3: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato. (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 f (1) = 2 (2) f(x) = x x 2 ; x 0 = 1 f (1) = 2 (3) f(x) = x; x 0 = 4 f (4) = 1 4 (4) f(x) = 2x 3 + x 2 4x 1; x 0 = 0 f (0) = 4 Esercizio 4: Determina l'equazione della retta tangente t x0 al graco della funzione y = f(x) nel suo punto di ascissa x 0. (si tratta delle stesse funzioni e dello stesso punto x 0 del gruppo di esercizi precedenti). (1) f(x) = x 2 1; x 0 = 1 t 1 : y = 2x 2 (2) f(x) = x x 2 ; x 0 = 1 t 1 : y = 2x + 1 (3) f(x) = x; x 0 = 4 t 4 : y = 1 4 x + 1 (4) f(x) = 2x 3 + x 2 4x 1; x 0 = 0 t 0 : y = 4x 1

3 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.2 su derivate Il calcolo della funzione derivata mediante le regole di derivazione: funzioni elementari Classe VB SC Data: Teoria in sintesi. derivate delle funzioni elementari: funzione y = f(x) funzione derivatay = f (x) funzione potenza y = x n y = nx n 1 funzione logaritmica y = log b x y = 1 x ln b funzione esponenziale y = a x y = a x ln a casi particolari: funzione y = f(x) funzione derivata y = f (x) funzione costante y = k y = 0 funzione prima potenza y = x y = 1 funzione seconda potenza y = x 2 y = 2x funzione terza potenza y = x 3 y = 3x 2 funzione radice quadrata y = x y = 1 2 x funzione logaritmo naturale y = ln x y = 1 x funzione esponenziale, base e y = e x y = e x regole di derivazioni funzioni e operazioni: funzione funzione derivata moltiplicazione per una costante f(x) = k g(x) f (x) = k g (x) somma algebrica di funzioni f(x) = (x) ± g(x) f (x) = (x) ± g (x) prodotto di funzioni f(x) = (x) g(x) f (x) = (x) g(x) + (x) g (x) quoziente di funzioni f(x) = n(x) d(x) f (x) = n (x) d(x) n(x) d (x) [d(x)] 2 Nota e = è un numero irrazionale; i logaritmi in base e sono detti logaritmi naturali ed indicati semplicemente con ln anzicé log e ; la funzione esponenziale con base e non a un nome particolare, ma spesso, soprattutto in ambito informatico è spesso indicata con y = exp(x) anzicé con y = e x.

4 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.3 su derivate: la definzione Classe VB SC Data: Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo aperto I contenente x 0 ) e assegnato l'incremento R della variabile indipendente (sucientemente piccolo ancé x 0 + I) si ciama rapporto incrementale di punto iniziale x 0 e incremento il rapporto m x0 () = y Q y P x Q x P = y x = f(x 0 + ) f(x 0 ). Tale rapporto incrementale (ce dipende da x 0 e oltre ce dalla specica funzione f) è un numero ce rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta secante il graco della funzione e passante per i punti del graco di f aventi di ascissa x 0 e x 0 +, cioè P (x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). Se l'incremento viene lasciato generico, il rapporto incrementale: m x0 () = f(x 0 + ) f(x 0 ) è una funzione di (denita in un intorno di 0, zero escluso); a senso pertanto provare a calcolare: lim m f(x 0 + ) f(x 0 ) x 0 () = lim. 0 0 Se tale limite esiste ed è nito esso si ciama derivata della funzione in x 0 e si indica con f (x 0 ) (si tratta quindi di un numero) e quindi: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 se tale limite esiste nito. Le derivata della funzione in x 0 rappresenta la pendenza (= il coeciente angolare) della retta tangente t x0 funzione nel punto di ascissa x 0, cioè in P (x 0, f(x 0 )). Tale retta a dunque equazione: al graco della t x0 : y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) Esercizio 1: USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato; determina ance l'equazione della retta tangente t al graco della funzione y = f(x) nel punti di ascissa x 0. [1] f(x) = 2x 2 + x 3; x 0 = 1 [2] f(x) = x2 x 2 ; x 0 = 3 [3] f(x) = x 3 + 2; x 0 = 7 f (1) = 2 f (1) = 2 f (1) = 2 Esercizio 2: USO DIRETTO DELLA DEFINIZIONE TEORIA: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 generico. [1] f(x) = x [2] f(x) = 1 x f (x) = 1 2 (x) f (x) = 1 x 2 [3] f(x) = 5x 2 f (x) = 10x Esercizio 3: USO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE E DELLA CONOSCENZA DELLA FUNZIONE DERIVATA DI FUNZIONI ELEMENTARI: utilizzando non la denizione, ma le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari, determina la funzione derivata y = f (x) delle seguenti funzioni. [1] f(x) = 4 x + 2x 2 1 [2] f(x) = e x + ln x 3x 4 [3] f(x) = 2 4 x + 4 log 2 x 2x 3 [4] f(x) = 6x 3 3x 2 x + 3

5 ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.4 su derivate: calcolo della derivata del prodotto/quoziente di funzioni; applicazione alla ricerca degli intervalli di monotonia e dei punti di massimo e minimo relativo Classe VB SC Data: Teoria in sintesi Indiciamo con D[f(x)] la funzione derivata di f(x): (1) la (funzione) derivata del prodotto di due funzioni: D[f(x) g(x)] = D[f(x)] g(x) + f(x) D[g(x)] [ ] f(x) D[f(x)] g(x) f(x) D[g(x)] (2) la (funzione) derivata del quoziente di due funzioni: D = g(x) g 2 (x) Denizione di punto stazionario (o punto a tangente orizzontale): data una funzione y = f(x), ogni punto x 0 del domino della funzione in cui la derivata esiste e vale zero, cioè f (x 0 ) = 0, è detto punto stazionario (o punto a tangente orizzontale). Denizione di punto di massimo relativo (interno) e di massimo relativo: sia x 0 un punto del dominio interno al dominio di una funzione (cioè non un estremo del dominio) ; se vale f(x) f(x 0 ) per tutti i valori di x intorno ad x 0 (cioè per tutti gli x appartenenti ad un intervallino aperto contente x 0 ) allora x 0 è detto punto di massimo relativo; il valore f(x 0 ) ce la funzione assume in x 0 è detto massimo relativo. Denizione di punto di minimo relativo (interno) e di minimo relativo: sia x 0 un punto del dominio interno al dominio di una funzione (cioè non un estremo del dominio) ; se vale f(x) f(x 0 ) per tutti i valori di x intorno ad x 0 (cioè per tutti gli x appartenenti ad un intervallino aperto contente x 0 ) allora x 0 è detto punto di minimo relativo; il valore f(x 0 ) ce la funzione assume in x 0 è detto minimo relativo. In generale i punti di massimo/minimo relativi sono detti estremanti relativi (interni); i massimi e i mininimi relativi sono detti estremi relativi. (1) Teorema: punti stazionari ed estremanti relativi: se x 0 è estremante relativo (interno) e la funzione è derivabile in x 0, allora f (x 0 ) = 0, cioè x 0 è un punto stazionario. Nota: non vale il viceversa: esistono punti stazionari ce non sono estremanti relativi: essi sono detti punti di esso a tangente orizzontale. Nota: un punto può essere un estremante relativo ma in esso può non esistere la derivata. (2) Teorema: Intervalli di monotonia e segno della derivata: se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo aperto I e si a f(x) > 0 per tutti gli x I, allora su tale intervallo la funzione è crescente, cioè x 1 > x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). (3) Teorema: Intervalli di monotonia e segno della derivata: se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo aperto I e si a f(x) < 0 per tutti gli x I, allora su tale intervallo la funzione è decrescente, cioè x 1 > x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Nota: non vale il viceversa: ad esempio esistono funzioni ce sono crescenti su un intervallo, ma ce non anno la derivata positiva su tutti i punti di tale intervallo (la derivata al più può essere nulla in qualce punto, nei punti di esso a tangente orizzontale) e comunque un funzione potrebbe essere crescente/decrescente su tutti i punti di un intervallo, ma la derivata su alcuni punti potrebbe non esistere (punti di non derivabilità). Esercizi: Esercizio 1: CALCOLO DELLA (FUNZIONE) DERIVATA DI UN PRODOTTO/QUOZIENTE: calcola la derivata delle seguenti funzioni (ove compaiono il prodotto/quoziente di funzioni elementari (o della somma di funzioni elementari) (1) y = x ln x (2) y = 4 x e x (3) y = 2x2 + 1 x 3 (4) y = (log x + 3x 2 ) 2 x (5) y = x2 + e x x ln x (6) y = x3 ln x 2x 3

6 (7) y = 3x x 1 Esercizio 2: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni. RICERCA DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA: determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (prima occorre trovare il dominio). (1) y = 2 3 x x2 2x + 9 f (1) = 2 (2) y = x 2 e x f (1) = 2 (3) y = 8 ln x x 2 f (1) = 2 (4) y = x + 4 2x 3 (5) y = x + 1 x 2 2 f (1) = 2 f (1) = 2

7 SCHEDA n.5 su derivate: Derivazione di una funzione composta (o funzione di funzione) Classe VB SC Data: Teoria in sintesi La derivata di una funzione composta o funzione di funzione f = g (x) = g((x)) è = g () (x) dove la prima derivata è eseguita rispetto alla funzione e non rispetto alla variabile x, come negli esempi ce seguono: g(x) (x) f(x) = g (x) = g((x)) f (x) = g () (x) x x 3 + 5x (x) = x3 + 5x (x) 1 (x) = 2 x 3 + 5x (3x2 + 10x) x 10 3x 2 2x + 7 [(x)] 10 = (3x 2 2x + 7) 10 10[(x)] 9 (x) = 10(3x 2 2x + 7) 9 (6x 2) e x 2x 4 1 e (x) = e 2x4 3x 3 e (x) (x) = e 2x4 3x 3 (8x 3 9x 2 ) Vediamo ora l'applicazione a casi più generali: funzione elementare derivata funzione elementare funzione composta derivata funzione composta g(x) g (x) f(x) = g((x)) = g (x) f (x) = g () (x) x n n x n 1 f(x) = [(x)] n f (x) = n [(x)] n 1 (x) x 2 2 x f(x) = [(x)] 2 f (x) = 2 (x) (x) x 3 3 x 2 f(x) = [(x)] 3 f (x) = 3 [(x)] 2 (x) x 1 2 x f(x) = (x) f (x) = 1 2 (x) (x) log b x 1 x ln b f(x) = log b [(x)] f (x) = 1 (x) ln b (x) ln x 1 x f(x) = ln[(x)] f (x) = 1 (x) (x) a x a x ln a f(x) = a (x) f (x) = a (x) ln a (x) e x e x e (x) e (x) (x) Esercizi: Esercizio 1: LA DEFINIZIONE DI DERIVATA: calcola mediante la denizione la derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 indicato; determina l'equazione esplicita della retta tangente t al graco della funzione nel punto P di ascissa x 0. a) f(x) = x 2 + 3; x 0 = 1 f (1) = 1 2 f t : y = 1 2 x b) f(x) = x 2 x 2 ; x 0 = 2 f (1) = 1 4 t : y = 1 4 x 1 2 Esercizio 2: LA DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA: ricordando ce Esercizio 3: determina la funzione derivata delle seguenti funzioni composte: (1) y = x y = x x 2 +1 (2) y = ln(2x 2 3x + 1) y = (3) y = e 2x 1 x 4x 3 2x 2 3x+1 y = e 2x 1 x 1 x 2 (4) y = x ln(x 2 + 1) y = ln(x 2 + 1) + 2x2 x 2 +1 (5) y = ln(3x 2) + 2 y = ln(3x 2)+2 3x 2

8 (6) y = e x x y = 3 2 ex x x (7) y = x(1 e x ) y = e x (x 1) + 1 Esercizio 4: PUNTI STAZIONARI E INTERVALLI DI MONOTONIA; PUNTI ESTREMANTI RELATIVI; ESTRE- MI RELATIVI: dopo aver determinato il dominio D delle funzioni assegnate, determina punti stazionari ed intervalli di monotonia; determina i punti di max e min relativo e i max e min relativi. (1) y = x x D = R, punti staz.= { 1, +1}, f 1 < x < 1, f x < 1 x > 1; x = 1 punto di minimo relativo; y = 1 2 di massimo relativo; y = 2 1 massimo relativo; (2) y = ln(x 2 + x + 1) minimo relativo; x = 1 punto D = R, punti staz.= { 1 2 }, f x > 1 2, f x < 1 2 ; x = 1 2 punto di minimo relativo; y = ln ( 34 ) = 0.29 minimo relativo (3) y = e x x 2 D = R \ {2}, f mai, f x < 2 x > 2; Esercizio 5: determina per quali valori del parametro reale m la seguente funzione cubica y = x 3 +mx 2 +(2m+9)x+3 è decrescente su tutto R (e non presenta punti stazionari). 3 < m < 9 Esercizio 6: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni e determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (prima occorre trovare il dominio). (1) y = 2 3 x x2 2x + 9 (2) y = x 2 e x (3) y = 8 ln x x 2 (4) y = x + 4 2x 3 (5) y = x + 1 x 2 2

9 Classe VB SC SCHEDA n.6 su (applicazioni delle) derivate: ESERCIZI PER VERIFICA/SIMULAZIONE III PROVA DI APRILE Data: Teoria: il teorema degli zeri delle funzioni continue: sia f una funzione reale di variabile reale denita sull'intervallo [a, b] e ivi continua; se f(a) > 0 e f(b) < 0 (o viceversa f(a) < 0 e f(b) > 0) allora esiste c ]a, b[ tale ce f(c) = 0 (un tale valore del dominio è detto zero della funzione; il teorema pertanto ci dà una condizione suciente (ma non necessaria, percé?) per l'esistenza di uno zero di una funzione continua). Teoria: il teorema degli zeri delle funzioni continue: caso particolare: sia f una funzione reale di variabile reale denita su R e continua; se f(x) = + e lim f(x) = (o viceversa lim f(x) = e lim f(x) = + ) allora esiste c R tale ce f(c) = 0. lim x + x x + x ESERCIZI: LO STUDIO COMPLETO DI FUNZIONE: studia le seguenti funzioni determinando dominio segno ed eventuali intersezioni con asse x eventuale intersezione con asse y limiti agli estremi del dominio (punti disc., asintoti verticali e orizzontali) derivata zeri e segno della derivata (punti stazionari, intervalli di monotonia, punti di max e min relativo, max e min relativi) codominio Esercizio 1: y = (x + 3) e x Informazione assegnata (ce non saresti in grado di ottenere senza l'utilizzo del Teorema di De L'Hopital f(x) = [+ 0] = [F I] = 0 lim x + alcune risposte: f(x) > 0 x > 3, f(x) < 0 x < 3; f (x) = ( x 2)e x ; x = 2 punto stazionario e max relativo e assoluto; y = e 2 = 7.4 max relativo e assoluto; f crescente su ], 2[. Domanda extra: si stabilisca al variare di k R quante soluzioni a l'equazione (x + 3) e x = k Esercizio 2: y = x 3 3x + 7 Nota: si salti lo studio del segno della funzione. alcune risposte: punti stazionari x = 1; x = 1 Domanda extra: si stabilisca al variare di k R quante soluzioni a l'equazione x 3 3x + 7 = k Domanda extra: si dimostri ce esiste uno zero c per f e lo si approssimi a meno di un'unità. Utilizzando questo valore cosa diresti ora relativamente allo studio del segno? Esercizio 3: y = ln(x) 1 2 x2 Nota: si salti inizialmente lo studio del segno della funzione. Informazione assegnata (ce non saresti in grado di ottenere senza l'utilizzo del Teorema di De L'Hopital f(x) = [+ ] = [F I] = lim x + alcune risposte: punto di max x = 1 Domanda extra: si dimostri f(x) < 0 per tutti i valori di x del dominio della funzione. Esercizio 4: y = x2 x + 1 x 2 + x + 1 alcune risposte: punti stazionari x = 1; x = 1

10 SIMULAZIONE 1 DELLA TERZA PROVA Classe VB SC Sceda 3 Mercoledì 10 giugno 2009 (1) QUESITO 1: Dopo aver ricordato (teoria)..., il candidato consideri le tre seguenti funzioni; tutte e tre sono denite intorno al punto x = 1, ma x = 1 non fa parte del dominio naturale di nessuna di esse; utilizzando lo spazio a disposizione, il candidato classici il punto di discontinuità x = 1. (a) f(x) = 3x2 x 2 x 1 (b) g(x) = x log 2 (x + 7) se x > 1 (c) (x) = 8 se x < 1 x 3

11 (2) QUESITO 2: Dopo aver ricordato (teoria)..., il candidato consideri la funzione y = e x2 +4x avente R come dominio naturale; di essa si ciede di determinare, utilizzando lo spazio a disposizione (a) la funzione derivata prima; (b) l'equazione della retta tangente t nel punto P del graco della funzione di ascissa x = 0; (c) gli intervalli di monotonia della funzione; (d) i punti estremanti relativi e gli estremi relativi. Cognome:

12 VERIFICA DI MATEMATICA Classe VB SC Data: venerdì 17 aprile 2009 Cognome: NORME: è consentito l'uso della calcolatrice; non saltate troppi passaggi per evitare malintesi. consegnato denitivamente la verica). Punteggi: massimo 10+2 Non è consentito uscire dall'aula durante la prova (a meno di aver (1) ESERCIZIO 0: [Punti 1.00] Riporta la denizione di derivata di una funzione in un punto (a parole e in simboli); nota non on ciesto il signicato geometrico o altro, ma semplicemente la denizione. (2) ESERCIZIO 1: Mediante l'uso diretto della denizione, calcola il valore della derivata f (x 0 ) delle seguenti funzioni nel punto x 0 assegnato; determina ance l'equazione della retta tangente t al graco della funzione y = f(x) nel punti di ascissa x 0. (a) [Punti 1.50] f(x) = 1 x 2 ; x 0 = 2 (b) [Punti 1.50] f(x) = x + 3; x 0 = 1 (3) ESERCIZIO 2: USO DELLE REGOLE DI DERIVAZIONE: utilizzando non la denizione, ma le regole di derivazione e la tabella delle derivate delle funzioni elementari, determina la funzione derivata y = f (x) delle seguenti funzioni. (a) [Punti 1.50] f(x) = x ln x x (4) ESERCIZIO 3: RICERCA DEI PUNTI STAZIONARI E DEGLI INTERVALLI DI MONOTONIA: determina tutti i punti stazionari delle seguenti funzioni (stabilisci se sono punti di massimo o minimo relativo o altro; non è riciesto il calcolo del max/min relativo) e determina gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni funzioni (tieni conto del fatto ce ce per le prime due funzioni il dominio è D = R laddove per la terza esso è D = {x R x > 0} ). (a) [Punti 1.50] y = x 3 3x 2 (b) [Punti 1.50] y = (2x 1) e x (c) [Punti 1.50] y = x 2 ln x (5) ESERCIZIO EXTRA: [Punti 2.00] dopo aver rapidamente disegnato un graco qualitativo della funzione y = x 3 3x 2 determina al variare di k R quante soluzioni a l'equazione x 3 3x 2 ). Nota: per disegnare un graco qualitativo della funzione y = x 3 3x 2 sfrutterai le informazioni trovate nell'esercizio precedente, (ma dovrai ance calcolare i max e min relativi) oltre a dominio e ai limiti (istantanei) agli estremi del dominio; invece, pur essendo non dicili da trovare, puoi evitare di trovare intersezioni con l'asse x e segno visto ce non sono necessari per lo svolgimento dell'esercizio.

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci Dai la denizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0, illustra il suo signicato geometrico e serviti di tale denizione per dimostrare che f

Dettagli

Richiami sullo studio di funzione

Richiami sullo studio di funzione Richiami sullo studio di funzione Per studiare una funzione y = f() e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere in ordine secondo i seguenti passi:. determinare il campo di esistenza (o

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata

Dettagli

Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1

Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Roberto Boggiani 7 novembre 2012 1 Richiami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo che dati due punti del piano A(x

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m =

y x y x A (x 1,y 1 ) = (c, f(c)) B(x 2,y 2 ) = (c+h, f(c+h)) m = DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA E DERIVABILITA PUNTI DI NON DERIVABILITA

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica

Dettagli

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p.

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. Calcolo Differenziale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe VB Anno Scolastico 014-015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 Nozioni di topologia su Intervalli; Estremo superiore

Dettagli

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{

Dettagli

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 + Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e

Dettagli

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

Le Funzioni. Modulo Esponenziali Logaritmiche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le Funzioni Modulo Esponenziali Logaritmiche Definizione di modulo o valore assoluto Se x è un generico numero reale, il suo modulo o valore assoluto è: x = x se x 0 -x se x

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su

Dettagli

Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione

Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione 1 Sia data una funzione f(x) continua nel punto x 0 : allora essa è anche derivabile in x 0? Se invece l'ipotesi prevede che f(x) è derivabile in x 0, si

Dettagli

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture / Metodi. partecipazione degli alunni. 2 Completamento equazioni e disequazioni.

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture / Metodi. partecipazione degli alunni. 2 Completamento equazioni e disequazioni. Pagina 1 di 5 DISCIPLINA: MATEMATICA E LABORATORIO INDIRIZZO: IGEA CLASSE: IV FM DOCENTE : Cornelio Terreni Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture / Metodi 1 Matematica RIPASSO e COMPLETAMENTO:

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento

Traccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza

Dettagli

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne

LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE. Prof Giovanni Ianne LA ERIVATA I UNA FUNZIONE Pro. Giovanni Ianne /22 Come si determina la retta tangente a una curva in un punto P? Per una circonerenza, la tangente è la retta che interseca la curva solo in P. IL PROBLEMA

Dettagli

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti

Derivate. Rette per uno e per due punti. Rette per uno e per due punti Introduzione Rette per uno e per due punti Rette per uno e per due punti Rette secanti e tangenti Derivata d una funzione in un punto successive Derivabilità a destra e a sinistra Rette per uno e per due

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)

Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire solamente i concetti fondamentali

Dettagli

12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi.

12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi. Università degli Studi di Trento Facolta di Scienze Cognitive Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Applicata Corso di Analisi Matematica - a.a. 2005/06 Docente: Prof. Anneliese

Dettagli

Le funzioni reali di una variabile reale

Le funzioni reali di una variabile reale Le funzioni reali di una variabile reale Prof. Giovanni Ianne DEFINIZIONE DI FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE Dati due insiemi non vuoti A, B R, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio 1. Si consideri il seguente sistema 2x 3y + z =5 x ky +2z = k kx y z = 1 Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro

Dettagli

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x

Studi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare

Dettagli

Argomento 7. Studio di funzione

Argomento 7. Studio di funzione Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I

Dettagli

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13 Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in

Dettagli

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza

Contenuti del programma di Matematica. Classe Terza Contenuti del programma di Matematica Classe Terza A.S. 2014/2015 Tema Contenuti GEOMETRIA Misura della lunghezza della circonferenza e NEL PIANO area del cerchio. COMLEMENT Equazioni e disequazioni con

Dettagli

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.

PROGRAMMA. Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. PROGRAMMA Capitolo 1 : Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale. Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali. Operazioni sui numeri

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

Matematica per Economia Finanza e Management

Matematica per Economia Finanza e Management School of Economics and Management Matematica per Economia Finanza e Management A.A. 2015/2016 Annuale Prof. Paolo Crespi E-mail Office pcrespi@liuc.it Piano Terra Antistante Torre Phone +39-0331.572418

Dettagli

Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico.

Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico. Sul concetto di derivata di una funzione con riferimento ad alcune sue applicazioni nel campo matematico e fisico. Introduzione In matematica la derivata di una funzione è uno dei cardini dellanalisi matematica

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica e Geometria Preparazione al primo compito in itinere Cognome: Nome: Matricola: Prima Parte. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo,

Dettagli

DERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera?

DERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? DERIVATE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Data la funzione f(x) =+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? (a) f(x) nonè derivabile in x =0 (b) f (0) = (c) f (0) = (d)

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Analisi Matematica T1 - A.A prof.g.cupini CdL Ingegneria Edile Università di Bologna REGISTRO DELLE LEZIONI

Analisi Matematica T1 - A.A prof.g.cupini CdL Ingegneria Edile Università di Bologna REGISTRO DELLE LEZIONI Analisi Matematica T1 - A.A.2011-2012 - prof.g.cupini CdL Ingegneria Edile Università di Bologna REGISTRO DELLE LEZIONI (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno omissioni o errori) 27 SETTEMBRE

Dettagli

Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2

Registro di Meccanica /13 - F. Demontis 2 Registro delle lezioni di ISTITUZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 1 Corso di Laurea in Chimica 8 CFU - A.A. 2015/2016 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 17 dicembre 2015 1. Lunedì 05/10/2015,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la

Dettagli

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti. Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe III SIA sez. A A.S. 2015/2016 LE DISEQUAZIONI 1. Le disequazioni di primo e secondo grado 2. Le disequazioni di grado superiore al secondo e le disequazioni fratte

Dettagli

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI

LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN. Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire

Dettagli

Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15

Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 1a SETTIMANA 23/09/14 (2 ore): Introduzione al corso: orario, esercitazioni, ricevimento studenti, sito web, tempi e modalità delle prove di valutazione

Dettagli

Lezione 5 (9/10/2014)

Lezione 5 (9/10/2014) Lezione 5 (9/10/2014) Esercizi svolti a lezione Nota 1. La derivata di una funzione. Consideriamo una funzione f(x) : R R e definiamo il rapporto incrementale nel punto x 0 come r(h) = f(x 0 +h) f(x 0

Dettagli

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI ESERCITAZIONE: ESPONENZIALI E LOGARITMI e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Esercizio 1 In una coltura batterica, il numero di batteri triplica ogni ora. Se all inizio dell osservazione

Dettagli

Esercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni. Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x. 2 x. Soluzione. 0. Esercizio 2.

Esercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni. Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x. 2 x. Soluzione. 0. Esercizio 2. Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Calcolare i seguenti limiti. Esercizio

Dettagli

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo

Dettagli

DERIVATE. 1.Definizione di derivata.

DERIVATE. 1.Definizione di derivata. DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al

Dettagli

Matematica. dott. francesco giannino. a. a chiusura del corso. 1

Matematica. dott. francesco giannino. a. a chiusura del corso. 1 Matematica a. a. 2014-2015 dott. francesco giannino 99. chiusura del corso. 1 99. chiusura del corso 99. chiusura del corso. 2 Obiettivo del corso fornire strumenti matematici di base necessari nel prosieguo

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2015-16 PROGRAMMA SVOLTO RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo

Dettagli

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali per Scienze Ambientali Derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013 Retta secante un grafico e rapporto incrementale Sia f una funzione e x 0 un punto

Dettagli

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Prima prova in itinere. Ingegneria Industriale 16 novembre 2009 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico 2015-2016 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le

Dettagli

Istituzioni di Matematica I

Istituzioni di Matematica I Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti,

Dettagli

COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 2011, ore x e2x e 2x 1. f(x) = e 2x log(e 2x + 1) dx.

COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 2011, ore x e2x e 2x 1. f(x) = e 2x log(e 2x + 1) dx. Esame di ANALISI MATEMATICA I - 28 Febbraio 211, ore 8.3 A ESERCIZIO 1. (1 punti) Sia data la funzione f(x) = x e2x e 2x 1. (a) Determinarne il dominio e dimostrare che f si prolunga ad una funzione continua

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A

ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 14 GIUGNO 2016 FILA A ESAME DI MATEMATICA PER LE APPLICAZIONI ECONOMICHE 4 GIUGNO 206 FILA A Durata della prova: 2 ore e mezza. NOTA: Spiegare con molta cura le risposte. NOTAZIONE: log = ln = log e. Esercizio 5 punti) Sia

Dettagli

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)

Matematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3) Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

DERIVATA di una funzione

DERIVATA di una funzione DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per

Dettagli

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza

Dettagli

Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale

Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale Funzione derivabile. La derivata. Dati: f I R funzione; I R intervallo aperto ; x 0 I. Definizione (Derivata come ite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il ite del rapporto incrementale

Dettagli

Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 17 luglio 2012

Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 17 luglio 2012 Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria Correzione della Seconda Prova Scritta di nalisi Matematica 7 luglio cura dei Prof. B. Sciunzi e L. Montoro. Seconda Prova Scritta di nalisi

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

DERIV AT E. Arriviamo ora alla de nizione di derivata attraverso il concetto di rapporto incrementale.

DERIV AT E. Arriviamo ora alla de nizione di derivata attraverso il concetto di rapporto incrementale. DERIV AT E Il concetto di derivata di una funzione, è scaturito dal celebre problema della ricerca delle tangenti ad una curva in un suo punto, che ha lungamente impegnato i matematici prima di Newton

Dettagli

Elementi di matematica - dott. I. GRASSI

Elementi di matematica - dott. I. GRASSI Gli assi cartesiani e la retta. Il concetto di derivata. È ormai d uso comune nei libri, in televisione, nei quotidiani descrivere fenomeni di varia natura per mezzo di rappresentazioni grafiche. Tali

Dettagli

Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)

Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,

Dettagli

dato da { x i }; le rette verticali passanti per

dato da { x i }; le rette verticali passanti per Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione

Dettagli

FUNZIONI 3. calcolare: a) lim f ( x)

FUNZIONI 3. calcolare: a) lim f ( x) ) Data la funzione di equazione a) lim f ( ) b) lim f ( ) f FUNZIONI ), scriverne il dominio poi calcolare: 5 c) lim f ( ) d) lim f ( ) ( ± 5 ) Data la funzione di equazione f ( ) 5, scriverne il dominio

Dettagli

Registro dell'insegnamento

Registro dell'insegnamento Registro dell'insegnamento Anno accademico 2016/2017 Prof. MATTEO FOCARDI Settore inquadramento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA REGISTRO Scuola Scienze Matematiche, Fisiche NON e Naturali CHIUSO Dipartimento

Dettagli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli 1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli A) 1 2 B) [ A) 2 x 1; B) (-, - 3) ( - 3, 0) ( 0, + ) ] 2) Riferendoti al grafico rappresentato completa a) Il dominio

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi

Dettagli

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO MATEMATICA

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO MATEMATICA ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE A. MARTINI - SCHIO LICEO ARTISTICO - Dipartimento di Matematica e Fisica MATEMATICA Finalità della Matematica nel triennio è di proseguire e ampliare il processo di preparazione

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se PUNTI ESTREMANTI E PUNTI STAZIONARI. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI E RELATIVI. TEOREMI DI FERMAT, ROLLE E LAGRANGE. CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER MASSIMI E MINIMI RELATIVI. PROBLEMI DI MASSIMO E

Dettagli

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica

Scheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,

Dettagli

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2

Studio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei

Dettagli

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della

rapporto tra l'incremento della funzione e l' incremento corrispondente della DERIVATA Sia y f() una funzione reale definita in un intorno di. Si consideri un incremento (positivo o negativo) di : h; la funzione passerà allora dal valore f( ) a quello di f( +h), subendo così un

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA

PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA PROGRAMMA DI MATEMATICA APPLICATA Classe II A Turismo A.S. 2014/2015 Prof.ssa RUGGIERO ANGELA ISABELLA I NUMERI REALI Radicali: - Riduzione allo stesso indice e semplificazione - Alcune operazioni fra

Dettagli

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE Continuità e derivabilità Si studi la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco { Si trovi, se possibile, a e b in modo che le

Dettagli

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI

SIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione

Dettagli