Informazione e comunicazione per la sicurezza Esercizi tipo Telecomunicazioni

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1 Informazione e comunicazione per la sicurezza Esercizi tipo Telecomunicazioni 1) Dato un canale trasmissivo la cui banda sia da 3 a 4 MHz, ed il cui rapporto segnale - rumore sia 24 db, calcolare la massima capacità trasmissiva del canale e il relativo livello di modulazione. Per risolvere il problema è necessario definire il concetto di canale trasmissivo intenso come un sistema di connessione che consente di trasferire ad una certa velocità un determinato quantitativo di dati. Il legame tra la velocità di trasmissione (bit rate) e la larghezza di banda è dato dal Teorema di Nyquist: C=2*B*log 2 (M) [bit/s] o bps dove: C: capacità trasmissiva (o anche velocità trasferimento) B: larghezza di banda del segnale M: tasso di modulazione. È importante ricordare, inoltre, che l applicazione di questa relazione è valida per canali con comportamento ideale cioè privi di rumore termico. Il massimo bit rate invece, (ovvero la capacità trasmissiva massima) relativo ai canali reali (con rumore termico) è dato dal Teorema di Shannon che tiene conto del rapporto segnale rumore che influenza notevolmente la capacità del canale. Infatti maggiore è il livello di segnale rispetto al rumore maggiore sarà la capacità del canale; viceversa minore sarà il rapporto segnale rumore minore sarà la capacità del canale: C=B*log 2 *(1+ S/N) [bit/s] o bps -C: massimo bit rate -B: larghezza di banda del segnale -S/N: rapporto segnale rumore Detto ciò, nota la legge di Shannon, si può calcolare la massima capacità trasmissiva, prestando attenzione alla conversione del rapporto segnale rumore in un parametro adimensionale, imponendo che: 24 db=10*log 10 (SNR) (24/10)= log 10 (SNR) (NB: Data un funzione y= log a x, possiamo ricavare l argomento del logaritmo x come x=a^y) SNR=10^(2,4)= 251 Legge Shannon: C=B*log 2 (1+SNR) C=(4 MHz-3 MHz)*log 2 (1+251)

2 Per poter fare il calcolo, nel caso in cui la calcolatrice non consenta di effettuare direttamente il logaritmo in base 2, è necessario ricorrere alle proprietà dei logaritmi secondo cui: log b x= log k (x) / log k (b) dove: - b nel nostro caso è uguale a 2, dalla formula di Shannon; - k=10; - x=argomento del logaritmo in base 2; log 2 (252) = log 10 (252) / log 10 (2) = 2,40 / 0,301 = 7,97 C=1 MHz*7,97=7,97 Mb/s 8 Mb/s (capacità del canale) Nota la capacità massima di trasmissione e la larghezza di banda, è possibile calcolare i livelli di modulazione applicando la relazione inversa della legge di Nyquist: C=2B*log 2 (M) dove: - B=1 MHz; - C=8 Mb/s C/2B=log 2 (M) M=2^(C/2B)=2^(8 Mbps/2 MHz)=16 (livelli di modulazione).

3 2) Dimensionare un filtro che lascia passare una banda tra 3 e 4 MHz. Prima di procedere con il dimensionamento è necessario rivedere i principi di funzionamento di un filtro passa banda. Esso è un dispositivo passivo che permette il passaggio di frequenze all interno di un dato intervallo (la cosiddetta banda passante compresa tra ω 1 e ω 2 ) ed attenua le frequenze al di fuori di tale intervallo (F< ω 1, F> ω 2 ). Possiamo affermare quindi che il filtro passa banda risulta essere la combinazione di un filtro passa basso e passa alto schematizzati nel circuito qui sotto, dove il ramo di sinistra del medesimo circuito identifica il passa basso(r1, C1), mentre quello di destra il passa alto (R2, C2) Nel nostro caso, ω 2 =4 MHz che corrisponde alla frequenza di taglio del passa basso mentre ω 1 =3 MHz che corrisponde alla frequenza di taglio del passa alto. Ricordando che: - Frequenza di taglio ω =1/RC - ω =2* π* Ft ( dove Ft rappresenta la frequenza di taglio) -Ft= ω /2* π -Ft=1/(2*R*C* π ) L obiettivo è quello di determinare le capacità del filtro passa basso e passa alto noti: -Frequenza di taglio di entrambi i filtri (passa alto a 3 MHz e passa basso a 4 MHz) -Resistenza, i cui valori commerciali sono compresi generalmente tra 1 Ω e 100 megaohm; (fissiamo, ad esempio. un valore pari a 10^4 Ω) E possibile quindi procedere, noti tutti i dati ed utilizzando la relazione precedente, a calcolare la capacità elettrica di entrambi i filtri: Capacità =1/(2*R* π* Ft) Per quanto riguarda il passa alto, è necessario utilizzare la frequenza di taglio di 3 MHz. C PA =1/(2*10^4 Ω * π*3*10^6 Hz)=1/(1,88*10^11)=5,32*10^(-12) F=5,30 pf

4 Con lo stesso criterio è possibile calcolare la capacità del filtro passa basso, in quanto basterà sostituire il valore della frequenza di taglio di 4 MHz. Per quanto riguarda il valore di resistenza, per praticità di calcolo, si può supporre che sia la stessa per entrambe i filtri: C PB =1/(2*10^4 Ω * π*4*10^6 Hz)=1/(2,51*10^11)=3,98*10^(-12) F=3,98 pf Nota: per quanto riguarda le capacità elettriche, i valori commerciali vanno da 1 pf a 1000 µf, per cui i valori ottenuti sono commercialmente disponibili.

5 3) Si supponga di volere trasmettere ripetutamente un carattere composto da 8 bit ad una velocità di bps. Si calcoli il filtro in ricezione che permette di fare passare almeno le prime 6 armoniche del relativo segnale. La frequenza fondamentale del segnale è pari a 2.000/8= 250 Hz. La sesta armonica è pari a 250 Hz*6= Hz. Il filtro da utilizzare è un passa basso la cui frequenza di taglio Ft è pari a Hz. Si ricorda che: - Frequenza di taglio ω =1/RC - ω =2* π* Ft ( dove Ft rappresenta la frequenza di taglio) -Ft= ω /2* π -Ft=1/(2*R*C* π ) Scelto per la resistenza un valore pari a 1 kω, la corrispondente capacità sarà pari a: C =1/(2*R* Ft * π )=106 * 10^(-9) F= 106 nf (100 nf rappresenta un valore commerciale normalmente disponibile).

6 Sicurezza delle telecomunicazioni 4. Dato un sistema di calcolo in grado di eseguire Nt=10^6 tentativi al secondo, si calcoli il tempo necessario a violare un cifrario caratterizzato da chiavi di 128 bit mediante attacco a forza bruta. Il numero di tentativi medio, se N è il numero di bit delle chiave, è pari a (2^N)/2= 2^ (N-1). Il tempo T necessario, espresso in anni, è pari a: T= numero di chiavi/numero di tentativi per anno= numero di chiavi/(numero di tentativi al secondo*numero di secondi/minuto*numero di minuti/ora*numero di ore/giorno*numero di giorni/anno=2^(n-1)/(nt*60*60*24*365,25)=2^(n-1)/(nt* ) anni Sostituendo i valori numerici si ha: T=5,39*10^24 anni, che rappresenta un valore superiore al tempo di vita dell universo.