Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI

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1 Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: TEOREMI Pagina 1

2 NUMERI COMPLESSI (C, +, ) è un campo. i 2 = -1. K, +,,, 0, 1 L'equazione x 2 +1=0 non ha soluzioni in K La definizione di esponenziale complesso e z estende quella nota e rende vera e z1 e z2 = e z1+z2 z1, z2 C (fondamentale dell'algebra #1) soluzione complessa. (fondamentale dell'algebra #2) P(z)=a (z-z 1 ) (z-z n ) Ogni equazione algebrica di grado n 1 ha almeno una Dato un polinomio P(z), (z 1, z n ) C N tale che SUCCESSIONI NUMERICHE (di unicità del limite) Sia a n una successione reale e sia l R. Se a n converge ad l, allora a n non converge ad alcun l' l. Ogni successione convergente è limitata. Se a n diverge non è limitata. Siano a n e b n due successioni reali convergenti. Allora convergono anche le successioni a n +/-/ b n e valgono le formule lim n ( an +/ / bn ) = lim a n +/-/ lim b n n n Estensione del teorema precedente Se b n 0 allora ha senso a n a e lim n b n n b n = lim an lim bn Teoremino Se a n converge e b n diverge positivamente, allora a n + b n diverge positivamente. Ognuna delle seguenti operazioni con infinito nasconde un teoremino analogo: x, + +, x ( ) con x < /> 0, (+ )(+ ),( - )(- ), (+ )(- ), 1/. (di conservazione delle disuguaglianze) Se a n e b n sono successioni reali convergenti, le disuguaglianze a n b n n implicano lim a n lim b n. n n Sia x n una successione di vettori in R N, l R N. Allora x n l x n l. Proposizione Sia x n una successione di vettori in R N, l R N. x n =(x n,1, x n,2,., x n,n ) l = (l 1,, l n ) Allora sono equivalenti: 1) lim n x n = l 2) lim n x n,i = l i i = 1 N. (di completezza) Ogni sottoinsieme non vuoto di R ha in R estremo superiore. Pagina 2

3 (fondamentale delle successioni monotone) Allora x n non oscilla. Precisamente: lim x n = sup x n : n N se x n non decrescente lim x n = inf x n : n N se x n non crescente. Sia x n una successione reale monotona. e = lim (1 + 1 n n) n. Nota: in base alla definizione data di e e al teorema precedente, il teorema è equivalente al seguente: la successione (1 + 1 n) n è non decrescente. Sia a n una successione di elementi in R N convergente a l R N. Allora ogni sua sottosuccessione converge a l (ammessi l= se N=1). Sia a n una successione reale non limitata. Allora esiste una sottosuccessione divergente. di Bolzano-Weierstrass sottosuccessione convergente. Da ogni successione limitata di elementi di R N si può estrarre una Conseguenza Se a n è una successione limitata di elementi di R N che oscilla (non converge) allora esistono due sue sottosuccessioni convergenti a due limiti diversi. SERIE NUMERICHE Se la serie a n converge allora a n è infinitesima. (fondamentale) Sia a n una successione reale. Se a n 0 n allora la serie a n non oscilla. Criterio (del confronto) Sia 0 a n b n n. Allora: b n converge a n converge. Ovvero: a n diverge b n diverge. Criterio (del confronto asintotico) Siano a n e b n due successioni di elementi > 0. Supponiamo che a lim n esiste, è finito e diverso da zero. Allora a n b n e b n sono entrambe convergenti o entrambe n divergenti. Criterio (del rapporto) se l < 1, a n converge se l > 1, a n diverge. a Sia a n >0 n. Supponiamo che l= lim n +1 esiste e sia diverso da 1. Allora: n a n Criterio (della convergenza assoluta) Data a n reale/complessa/vettoriale. Se a n converge, converge anche a n. Criterio di Liebniz Sia a n una successione reale monotona infinitesima. Allora la serie ( 1) n a n converga. Inoltre S-S n a n+1 n (dove S n è la somma ridotta e S la somma). a n reale/complessa/vettoriale. Se la serie converge assolutamente allora ogni suo riordinamento b n converge assolutamente e risulta a n = b n. Sia a n una serie reale semplicemente convergente. Allora: 1) S' R esiste un riordinamento b n di a n tale che b n =S' 2)esistono riordinamenti divergenti (a + e - ) 3)esistono riordinamenti oscillanti. Pagina 3

4 (delle contrazioni) solo punto fisso. Sia C un chiuso di R N e sia f:c C una contrazione. Allora f ha un LIMITI E CONTINUITÀ Quadro in cui porsi per la definizione di limite: x 0 R n, A R n. x 0 sia di accumulazione per A. f:a R m oppure f:a-{x 0 } R m. l R m (di unicità del limite) Nel quadro della definizione di limite, se questo esiste è unico. Proposizione Nella condizione della definizione di limite, siano B ' una base di intorni di x 0 e B '' una base di intorni di l. Allora f(x) tende a l per x che tende a x 0 se e solo se: B'' B '' B' B ' t.c. x A B'-{x 0 } f(x) B'' Considerando due palle appartenenti rispettivamente a B ' e B '': B δ x 0 R n e B ε l R m, posso dire che f(x) tende a l per x tendente a x 0 quando: ε > 0 δ > 0 t. c. x A x 0 ( x x 0 < δ f x l < ε ) Sia f i (x) la i-esima coordinata di f(x) e sia l i la i-esima coordinata di l (i=1 m -funzione con codominio R m ). Allora f(x) tende a l per x che tende a x 0 se e solo se f i (x) tende a l i per x che tende a x 0. Proposizione Nelle condizioni della definizione di limite, f(x) l per x x 0 se e solo se vale la condizione: per ogni successione {a k } di elementi di A-{x 0 } convergente a x 0, avviene che {f(a k )} converge a l. Proposizione Se f(x) converge a l per x x 0 allora esiste un intorno di x 0 in cui f è limitata. della permanenza del segno Nel quadro della definizione di limite. A R n. f:a R oppure f:a-{x 0 } R. Se f ha limite l >0 per x x 0 allora esiste un intorno J di x 0 t.c. f(x)>0 x A J-{x 0 }. Osservazione Se lim x x0 f(x) esiete (finito) allora esiste un intorno di x 0 in cui f è limitata. Applicazioni Sia lim x x0 f 1 x = l 1 e lim x x0 f 2 x = l 2. Poiché vale, in particolare, lim x x0 f 1 x f 2 x = l 1 l 2 si ha che la somma di funzioni continue in x 0 è continua in x 0. Nel solo caso in cui f 2 ha valori in R risultati analoghi valgono per f 1 f 2 e per 1/f 2 (per quei valori in cui il limite e/o la funzione non s'annullano). Nota: per le formulazioni corrette cfr pagg 80 e 86 (2.1, 4.1, 4.2) Osservazione Si ha continuità in ogni punto isolato. A R n, f:a R m, x 0 A. Allora f è continua in x 0 se e solo se verifica la condizione: successione {a k } di punti di A convergente a x 0 la successione {f(a k )} converge a f(x 0 ). (continuità funzioni composte) A R n ; B R m ; f:a B; g:b R p ; x 0 A. Sotto queste condizioni, se f è continua in x 0 e g è continua in f(x 0 ) allora g f è continua in x 0. Torema Ogni funzione lipschitziana è continua. Proposizione 1 A R n, x 0 A. A 1, A 2,, A p A. x 0 A k per k=1,,p. A = A 1 U A 2 U U A p. f:a R m. Scriviamo f k =f Ak. Allora: f è continua in x 0 tutte le f k sono continue in x 0 Pagina 4

5 Proposizione 2 Nel quadro della proposizione precedente, se x 0 è anche di accumulazione per tutti gli A k, è vera la seguente proposizione: f ha limite in x 0 tutte le f k hanno limite in x 0 e i limiti coincidono. Sia A un intervallo, x 0 A non estremo di A. f:a R monotona. Allora si verificano solo i due casi: f è continua in x 0 oppure f ha un salto in x 0. Corollario viceversa.?? Nelle stesse ipotesi del teorema precedente. Se f(a) è un intervallo allora f è continua e Se f è monotona il limite per x tendente a x 0 da destra esiste finito. f:r R monotona. Allora l'insieme dei punti di discontinuità di f è al più numerabile. Dato comunque un insieme numerabile D R esiste f:r R non decrescente tale che D sia l'insieme dei punti di discontinuità. CALCOLO DIFFERENZIALE Questo è il quadro cui fare riferimento per la differenziabilità: x 0 R n, J 0 intorno di x 0, f:j 0 R m. (unicità del differenziale) Nel quadro: se f è differenziabile, lo sviluppo del primo ordine si realizza con un solo operatore lineare L. Quadro precedente. Se f è differenziabile in x 0, f è continua in x 0. Lemma Sia L:R n R m lineare. Allora M 0 t.c. L v M v v R n. Osservazione Un'applicazione lineare L:R n R m è differenziabile in qualunque x 0 R n. dl x0 =L. Solito quadro. f è differenziabile in x 0 se e solo se sono differenziabili in x 0 tutte le sue componenti f 1,.., f m. Inoltre, in caso di differenziabilità, detti L e L j i differenziali in x 0 di f e f j, si ha: L h = (L 1 h, L 2 h,, L m h) h R n. Nel quadro ma con n=m=1. Se f è differenziabile in x 0 allora esiste finita la derivata e questa vale df x0 (1). Risultato analogo si ha per m 1: le derivate (anche destra e sinistra) sono vettori di R m. Sia f e g due funzioni differenziabili definite come nel quadro e sia :J 0 R differenziabile. Sia Lh il differenziale di f, L'h il differenziale di g e L''h il differenziale di. La combinazione lineare f+ g è differenziabile e il suo differenziale vale Lh+ L'h. Il prodotto delle funzioni f e è differenziabile e il suo differenziale vale (x 0 )Lh+f(x 0 )L''h Corollari - calcolo delle derivate Per n=1. ( f+ g)'(x 0 )= f'(x 0 )+ g'(x 0 ). Formula di Leibniz: (f )'(x 0 )=f'(x 0 ) (x 0 ) + '(x 0 ) f(x 0 ). (differenziabilità funzioni composte) f:r n R m, g:r m R p. x 0 R n, f(x 0 ) R m. Sia f differenziabile in x 0 e g differenziabile in f(x 0 ). Allora g f è differenziabile in x 0 e: d(g f) x0 = dg f(x0) df x0 Corollari - calcolo delle derivate Da cui si può ricavare 1 f x 0 = f x 0 f 2 x 0. Per n=m=p=1. La funzione composta ha derivata e vale (g f)'(x 0 )= g'(f(x 0 )) f'(x 0 ) Pagina 5

6 (differenziabilità funzione inversa) x 0 R n, y 0 R n. J 0 intorno di x 0, I 0 intorno di y 0. f:j 0 I 0 biettiva, differenziabile in x 0 f(x 0 )=y 0. Sotto queste condizioni f -1 è differenziabile in y 0 se e solo se: df x0 :R n R n è un isomorfismo f -1 è continua in y 0. df 1 x0 = df 1 y 0. Corollario - calcolo delle derivate derivata è data dalla formula: Per n=m=1. La prima delle due condizioni equivale a: f'(x 0 ) 0. La f 1 1 y 0 = f f 1 y 0 Lemma e = lim x (1 + 1 x) x x 0 R, f:(x 0 -r,x 0 +r) R differenziabile in x 0. Se f'(x 0 )>0 allora >0 t.c. f(x)>f(x 0 ) per x 0 <x<x 0 + ; f(x)<f(x 0 ) per x 0 - <x<x 0. Sia f definita in un intervallo a valori reali. Sia x 0 un punto interno all'intervallo e f differenziabile in x 0. Se x 0 è un punto di estremo (massimo o minimo) locale per f, allora f'(x 0 )=0. Sia I un intervallo. f:i R differenziabile. Allora: se f'(x) 0 x I allora f è non decrescente se f'(x)>0 x I allora f è strettamente crescente. Corollario (teorema della derivata nulla) costante. I intervallo, f:i R differenziabile. Se f'(x)=0 x I allora f è (dell'asintoto) Sia u:[0,+ ) R differenziabile e i limiti = lim x + u(t) e = lim x + u (t) esistano. Se è finito allora =0. f x Sia f differenziabile in x 0 e r un versore. Allora il limite lim 0 +tr f(x 0 ) t 0 esiste e vale Lr. t Differenziali e derivate direzionali Sia L:R n R m lineare e si v=(v 1,,v n ) R n. Abbiamo L v = v 1 Le v n Le n. Da cui, dati f: R n R m differenziabile e h=(h 1,,h n ) R n, ricaviamo: df x0 h = n i=1 f x 0 x i h i Sia poi r=(r 1,,r n ) un versore di R n, si ha: Equivalentemente: df x0 h = Df x 0 h f r x f 0 = r i (x x 0 ) i n i=1 f r = Df x 0 r (diffferenziabilità-1) (differenziabilità-2) di. f:r R m. Se esiste finita la derivata allora f è differenziabile aperto di R n. f: R m di classe C 1. Allora f è differenziabile in ogni punto Pagina 6

7 (derivazione funzione composta) f:r n R m, g:r m R p. x 0 R n, f(x 0 ) R m. Sia f differenziabile in x 0 e g differenziabile in f(x 0 ). Sia z= g f. Indicata con Df(x 0 ) la jacobiana calcolata in x 0, si ha: Dz(x 0 )=Dg(f(x 0 )) Df(x 0 ) O equivalentemente, posto f(x 0 )=y 0 e y=(y 1,,y m ) la variabile di R m, z i x j x 0 = m k=1 g i y k y 0 f k x j (x 0 ) per i = 1 p e j = 1 n Corollario Sia f:r n R n differenziabile in x 0 e invertibile e sia f -1 differenziabile in f(x 0 )=y 0. Allora Df(x 0 ) è invertibile e vale l'uguaglianza: (Df(x 0 )) -1 = (Df -1 )(y 0 ) Proposizione S R N, s 0 R N. Se s 0 è di accumulazione per S, il cono tangente non è ridotto al vettore nullo. Proposizione x 0 R N, J un suo intorno. f: J R m continua in x 0 e iniettiva, S l immagine di f e s 0 =f(x 0 ). Allora s 0 è di accumulazione per S. Toerema x 0 R n, f:r n R m differenziabile in x 0. Sia S l immagine di f. Allora ogni elemento appartenente all immagine del differenziale df x0 è un vettore tangente a S in f(x 0 ). -1 Nelle condizioni del teorema precedente. Siano f e df x0 iniettive e sia f -1 continua in f(x 0 ). Allora ogni vettore tangente a S in f(x 0 ) appartiene all immagine del differenziale df x0. Inoltre con tali ipotesi T f(x0) S è un sottospazio di R m di dimensione n generato dai vettore D i f(x 0 ), i=1..n. Corollario x 0 R n, J un suo intorno. f: J R m differenziabile in x 0. Allora il cono tangente al grafico di f nel punto (x 0,f(x 0 )) coincide con il grafico del differenziale df x0 ed è un sottospazio di R n xr m di dimensione n generato dai vettori (e i, D i f(x 0 )), i=1..n. Applicazione f:r n R m. y R m. x, x 0 R n. Questa l equazione del n-piano tangente al grafico di f nel punto x 0 : y=f(x 0 )+df x0 (x-x 0 ). Ovvero: Ovvero: y = f x 0 + Df(x 0 ) (x x 0 ) n y = f x 0 + D i f x 0 (x i x 0i ) i=1 f:r n R m continua in x 0. Sia T (x0, f(x0)) (grafico di f) (grafico di L) con L:R n R m lineare. Allora f è differenziabile in x 0 e L=df x0. Applicazione Siano r 1,,r n n versori di R n ortogonali a due a due. Allora vale la formula: f(x 0 ) f x 0 = r r i i i=1 Il gradiente è quindi nullo se e solo se sono nulle tutte le derivate direzionali. Nota: pero ogni v R n n, con le notazioni precedenti vale: v = (v r i ) r i n i=1 f: R n R differenziabile in x 0 R n tale che f(x 0 ) 0. Sia r 0 il versore del gradiente. Allora: f x r 0 = f(x 0 ) e x 0 r 0 < f(x 0 ) per ogni r r 0. La direzione che rende minima la derivata direzionale è quella di r 0. aperto di R n. f: R di classe C 1, x 0 tale che f(x 0 ) 0. Sia l insieme di livello di f contenente x 0. Allora T x0 è sottospazio di R n di dimensione n-1 e f(x 0 ) è normale a in x 0. f Pagina 7

8 Numeri complessi, Successioni numeriche, Serie numeriche, Limiti e continuità, Calcolo differenziale: DEFINIZIONI Pagina 8

9 ANALISI - DEFINIZIONI NUMERI COMPLESSI 1) Numero complesso: ogni polinomio di grado 1 a coefficienti reali dell'indeterminata i 2) Prodotto di numeri complessi: resto della divisione del prodotto di polinomi per i ) Modulo di z: z = x 2 + y 2 ; coniugato di z: z = x-iy 4) Esponenziale complesso. e z = e x (cos y + i sen y) 5) Funzioni trigonometriche complesse. cos z = eiz + e iz ; sin z = eiz e iz ; cosh z = ez + e z 2 2i 2 cos z = cosh iz ; sin z = i sinh iz ; sinh z = ez e z 2 SUCCESSIONI NUMERICHE 6) Successione: funzione con dominio N (o, eventualmente, N \ insieme finito ). 7) Insieme numerabile. Un insieme A è numerabile quando esiste un'applicazione da N in A biettiva; Insieme al più numerabile: insieme finito o numerabile. Insieme non numerabile: insieme che non è al più numerabile. 8) Successione convergente. Siano a n una successione reale e l R. a n converge a l quando: > 0 m N : n m a n - l 9) Successione limitata. a n è limitata quando: M : n a n M 10) Successione non limitata. a n è non limitata quando: M n : a n > M 11) Successione divergente positivamente. a n reale diverge positivamente quando: M m : n m a n M Successione divergente negativamente. a n diverge negativamente quando -a n diverge posit. Ovvero: M m : n m a n -M 12)Successione oscillante. a n oscilla quando non converge e non diverge. 13) a n reale è detta: non decrescente quando: n,m m < n x m x n strettamente crescente quando: n,m m < n x m < x n non crescente quando: n,m m < n x m x n strettamente decrescente: n,m m < n x m > x n monotona quando soddisfa almeno una delle quattro condizioni precedenti. 14) Maggiorante. Sia A R, M R. M è maggiorante di A quando: Pagina 9

10 x A x M Minorante. Sia A R, m R. m è minorante di A quando: x A x m 15) Insieme limitato. Un insieme A è limitato superiormente quando esiste un maggiorante reale di A. È limitato inferiormente quando esiste un minorante di A. 16) Massimo, minimo. Un maggiorante che appartiene ad A, si dice massimo di A. Un minorante che appartiene ad A, si dice minimo di A. 17) Estremo superiore: supa = min maggioranti di A, R Estremo inferiore: infa= max minoranti di A, R 18) Costante di Nepero: e = sup n n : n = 1,2,3 19) Sottosuccessioni. Siano a n e b n due successioni qualunque. La seconda è sottosuccessione della prima quando: k n k strettamente crescente da N a N t.c. b k = a nk k SERIE NUMERICHE 20) Serie numerica. Sia a n una successione reale e sia s n così definita: s 0 =a 0, s n+1 =s n +a n+1 n. Allora s n = s n è detta somma ridotta n-esima. n k=0 a k 21) Serie geometrica: n=0 z n, z parametro complesso Serie armonica: Serie esponenziale: 1 n α n=1, α > 0 z n n=0 = e z, z C n! 22) Serie semplicemente/assolutamente convergente. Sia a n una serie reale/complessa/vettoriale convergente. Se a n converge allora la serie a n si dice assolutamente convergente. Altrimenti a n si dice semplicemente convergente. 23) Parte positiva. (x) + =max {x,0} ; f + (x)= (f(x)) + = max {f(x),0} Parte negativa. (x) - =max {-x,0} ; f - (x)= (f(x)) - = max {-f(x),0} Risulta: x=(x) + -(x) - e x =(x) + +(x) - 24) Riordinamento di una serie. Date a n e b n, la seconda è un riordinamento della prima quando f:n N biettiva t.c. b n = a f(n) n 25) Chiuso. Un sottoinsieme C di R N si dice chiuso di R N quando: x 0 R n -C r>0 t.c. x-x 0 r x C Pagina 10

11 26) Punto fisso. I punti fissi di f(x) sono le soluzioni dell'equazione f(x)=x. 27) Contrazione. f:c C è una contrazione se [0,1) t.c. x,y C f(x)-f(y) x-y. nota: C è un insieme chiuso e non l'insieme dei complessi. LIMITI E CONTINUITÀ 28) Insieme limitato di R N : A R N t.c. M: x A x M. 28) Intorno. Un sottoinsieme chiuso I di R N è detto intorno di z 0 quando r>0 t.c. I B r (z 0 ). B r (z 0 ) si dice palla (o palla aperta) di centro z 0 e raggio r ed è così definita: B r (z 0 )={z R N z-z 0 r}. Per indicare la palla chiusa si usa la notazione B r (z 0 ). I R è intorno di + quando R t.c. (,+ ) I. I R è intorno di - quando R t.c. (-, ) I. 29) Punto di accumulazione. A R n. x 0 R n è punto di accumulazione per A quando ogni intorno di x 0 interseca A-{x 0 }. + è di accumulazione per C R quando ogni intorno di + interseca C. 30) Base di intorni. z 0 R N. Una famiglia B di sottoinsiemi di R N è detta base di intorni di z 0 quando: ogni B B è un intorno di z 0 ogni intorno di z 0 include un elemento B B. 31) Limite. Quadro: x 0 R n, A R n. x 0 sia di accumulazione per A. f:a R m oppure f:a-{x 0 } R m. l R m. Dico che f(x) converge (o tende) a l per x che tende a x 0 quando: intorno I di l, J intorno di x 0 t.c. x A J-{x 0 } f(x) I. Avvalendosi della proposizione 2, la formulazione εδ di limite è la seguente: ε > 0 δ > 0 t. c. x A x 0 ( x x 0 < δ f x l < ε ) 32) Funzione segno. sign:r-{0} R x x x 33) Restrizione. f:a B, A' A. Restrizione di f ad A' è la funzione f A' : A' B, (f A' )(x)= f(x) x A' 34) Funzione di Dirichlet: f x = 1, x Q 0, x Q. ovvero f(x)= lim n [lim m cos 2m (n! π x)]. 35) Continuità. Quadro: A R n, f:a R n, x 0 A. f è continua in x 0 quando: intorno I di f(x 0 ) J intorno di x 0 t.c. x A J f(x 0 ) I. Se x 0 è anche di accumulazione per A, possiamo aggiungere: f continua in x 0 lim x x0 f x = f x 0. La formulazione εδ è la seguente: ε > 0 δ > 0 t. c. x A ( x x 0 δ f x f x 0 ε) 36) Parte intera. [ ]:R R x [x] = max {n Z: n x}. Pagina 11

12 37) Funzione lipschitziana. f:a R n R m è detta lipschitziana con costante di Lipschitz L 0 quando f(x) - f(y) L x-y x,y A. La costante di Lipschitz per antonomasia è il minor L che soddisfa la relazione. 38) Funzione limitata. f:a R n R m è limitata quando esiste un numero reale M>0 t.c. f(x) <M x A. 39) Discontinuità eliminabile. f:a R n R m ; x 0 A punto di accumulazione per A. Se lim x x0 f(x) esiste ma è diverso da f(x 0 ) allora la discontinuità è eliminabile. 40) Limiti destro e sinistro. f:a R R m, x 0 di accumulazione per A. Definiamo A + :{x A: x>x 0 } e A - :{ x A: x<x 0 } x 0 sia di accumulazione per A +, allora posso considerare lim x x0 f A + (x). Se esso esiste è detto limite destro di f(x) per x tendente a x 0. Se x 0 è di accumulazione per A - si parla allo stesso modo di limite sinistro. Le più comuni notazioni per indicare il limite destro sono: lim x x0 + f(x) ; f(x 0 + ). 41) Salto. Nelle condizioni che assicurano un senso a limite destro e sinistro, si dice che f ha un salto in x 0 quando f(x 0 + ) e f(x 0 - ) esistono e sono diversi. Il valore del salto è dato da f(x 0 + ) - f(x 0 - ) 42) Versore: vettore v R n tale che v =1. CALCOLO DIFFERENZIALE 43) o piccolo. f:j 0 -{x 0 } R m, g:j 0 -{x 0 } R; x 0 R n, J 0 intorno di x 0. Si dice che f(x) è "o piccolo" di g(x) per x x 0 quando esiste q:r n R m verificante f(x)=g(x)q(x) x J 0 -{x 0 } e lim x x0 q x = 0. In altri termini: ε > 0 un intorno di x 0 J J 0 t.c. x J-{x 0 } f(x) ε g(x) Si scrive: f(x)=o(g(x)) per x x 0. 44) O grande. Stesso qudro. Si dice che f(x) è "O grande" di g(x) per x x 0 quando q:r n R m t.c. f(x)=g(x)q(x) x J 0 -{x 0 } e q sia limitata in un intorno di x 0. In altri termini: un intorno di x 0 J J 0 e M t.c. x J-{x 0 } f(x) M g(x). Si scrive: f(x)=o(g(x)) per x x 0. 45) Differenziabilità. x 0 R n, J 0 intorno di x 0, f:j 0 R m. f è differenziabile in x 0 quando esiste L:R n R m lineare t.c. f(x 0 +h) = f(x 0 )+ Lh + o( h ). L'operatore L (che è unico) si chiama differenziale di f(x 0 ) e sarà indicato con df x0. f x 46) Derivata. Nel quadro della definizione precdente, con n=1, il limite lim 0 +h f(x 0 ) h 0 prende il nome di derivata di f in x 0 e si indica con f'(x 0 ). 47) Infiniti/ infinitesimi di ordine superiore. Sia f(x)=o(g(x)). Se f e g sono entrambi infinitesimi, allora f(x) si dice infinitesimo di ordine superiore a g(x). Se f,g sono entrambi infiniti, f(x) è un infinito di ordine inferiore a g(x). 48) Estremo locale. f:a R R, x 0 A. x 0 è punto di minimo locale per f quando esiste un intorno J di x 0 t.c. f(x) f(x 0 ) x A J. La definizione di massimo locale è analoga, ma con la disuguaglianza opposta. x 0 si dice estremo locale se è massimo locale o minimo locale. h f x 49) Derivata direzionale. f differenziabile in x 0 e r versore. Il limite lim 0 +tr f(x 0 ) t 0 t f in x 0 nella direzione r. È indicata con D r f(x 0 ) o con f (x r 0). si chiama derivata di Pagina 12

13 50) Derivata parziale. e 1, e n vettori della base canonica di R n. La derivata di f in x 0 nella direzione e i si chiama derivata parziale di f rispetto alla i-esima variabile. Si indica con D i f(x 0 ) o, scelto il nome della variabile vettoriale di R n f, con (x "nome variabile " 0) 51) Matrice jacobiana. f:r n R m differenziabile in x 0 R n. La matrice che rappresenta il differenziale df x0 :R n R m e che ha quindi come colonne ordinatamente D 1 f(x 0 ) D n f(x 0 ) è detta matrice jacobiana e sarà indicata con Df(x 0 ). Df(x 0 ) = f 1 x 1 f 1 x n f m x 1 f m x n 52) Aperto. R n è aperto quando ogni punto di ha un intorno incluso in. 53) Funzione di classe C 1. aperto di R n. f: R m è di classe C 1 quando in ogni punto di esistono tutte le derivate parziali e le derivate parziali viste come funzioni R m sono continue. 54) Vettore tangente. S R N, s 0 R N. v R N è tangente a S in s 0 se v=0 oppure esiste una successione {s k } di elementi di S\{s 0 } convergente a s 0 che verifica la condizione s k s 0 lim k s k s 0 = v v Un vettore di R N è normale a S in s 0 se è ortogonale a ogni vettore tangente a S in s 0. L insieme dei vettori tangenti come sopra è detto cono tangente ed è indicato con T s0 S. L insieme dei vettori normali come sopra è detto spazio tangente ed è indicato con N s0 S. 55) Gradiente. f: R n R differenziabile in x 0 R n. Il vettore (D 1 f(x 0 ),, D n f(x 0 )) si chiama gradiente di f in x 0 ed è indicato con f(x 0 ). 56) Insieme di livello. aperto di R n. f: R, c R. L insieme c = {x : f(x)=c} è detto insieme di livello c di f. Pagina 13

14 Testo di riferimento: G. Gilardi, Analisi matematica di base Pagina 14