Outline. La trasformata wavelet e alcune. Trasformata di Haar. Decomposizione wavelet. Trasformata di Haar. Trasformata TSH. Ing.

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1 Outline La trasformata wavelet e alcune sue applicazioni Trasformata di Haar Trasformata di Fibonacci-Haar Trasformata TSH Applicazioni: Compressione Sicurezza Edge detection Image denoising Ing. Federica Battisti 2 Decomposizione wavelet Trasformata di Haar h 0 (n) 2 a(m,n) La trasformata di Haar e basata su funzioni base molto semplici da implementare e di veloce applicazione x(m,n) h 0 0( (m) 2 h 1 (n) 2 d V (m,n) La trasformata di Haar e separabile e simmetrica e puo essere espressa in forma matriciale come h 1 (m) 2 h 0 (n) 2 d H (m,n) h 1 (n) 2 d D (m,n) T=HFH T dove: F e la matrice da trasformare di dimensione NxN H e la matrice di trasformazione

2 1 h 0 z, z 0,1 N ( ) = [ ] p q 1 q z < p p 2 2 p 1 q 0.5 q 2 hk ( z) = hpq( z) = 2 z< p p N altrimenti, z [ 0,1] Funzioni base h ( z ) [ ] Le funzioni base k sono definite nell intervallo z 0,1 chiuso,,p per k=0,1,2,,,,,n-1. Per generare H definiamo un intero k tale che k = 2 p + q 1, dove p 0 p n 1, q= 0 o 1 per p=0 e 1 q 2, p 0 Caratteristiche Elevata ridondanza Molti valori sono nulli o prossimi allo zero ->buoni risultati nel caso di compressione E possibile ricostruire il segnale originale a diversi livelli di risoluzione Le caratteristiche locali sono costanti trasformata.m Trasformata di Haar Trasformata di Fibonacci-Haar Trasformata TSH Applicazioni: Compressione Sicurezza Edge detection Image denoising Outline 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... 0 if n < 0 f ( n) = 1 if n= 0 f ( n 1) + f ( n 2) if n> 0 Sequenze-p generalizzate di Fibonacci : Fibonacci 0 if n < 0 f p ( n ) = 1 if n= 0 fp( n 1) + fp( n p 1) if n > 0 Leonardo da Pisa (ca ca.1250) 7 7 p = 0 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,

3 Sequenze-p generalizzate Numeri di Fibonacci in natura Al variare di p cambiano i valori delle sequenze: p n P indica il passo della sequenza scelta e n il numero di bit utilizzati per la rappresentazione 9 9 Il numero di spirali delle pigne sia in verso orario che antiorario è un numero di Fibonacci Numeri di Fibonacci in natura Numeri di Fibonacci in natura Il numero di spirali nei semi dei girasoli sia in verso orario che antiorario è un numero di Fibonacci Ogni parte del nostro dito indice, dalla punta alla base del polso, è proporzionale ai numeri di Fibonacci 2, 3, 5 e

4 Rappresentazione binaria Decomposizione di Haar tradizionale Haar Decomposizione wavelet Fibonacci-Haar Decomposizione di Fibonacci-Haar Trasformata di Fibonacci-Haar Le funzioni di Haar si ottengono tramite una divisione diadica dell intervallo temporale. La trasformata di Fibonacci-Haar attua una divisione temporale non uniforme che dipende dall albero di Fibonacci. p=1, n=13 233*233 pixel p=3, n=20 250*250 pixel La trasformata è dipendente dalla chiave p=5, n=27 322*322 pixel Data un immagine di dimensione N x N, dove N = F n è un numero della sequenza-p di Fibonacci: LL, F n-1 x F n - 1 pixel; LH, F n-1 x F n - 2 pixel; HL, F n-2 x F n - 1 pixel; HH, F n - 2 x F n -2 pixel dove F n - 1 è il numero precedente nella sequenza-p considerata e F n - 2 è il numero che precede di due posti F n trasformata.m

5 Outline Riuscite a trovare il problema nella trasformata di Fibonacci-Haar? Trasformata di Haar Trasformata di Fibonacci-Haar Trasformata TSH Applicazioni: Compressione Sicurezza Edge detection Image denoising DPV La decomposizione dipende da un parametro segreto, il Discontinuity Point Vector (DPV) Discontinuity Point Vector: [100, 23] Tree-Structured Haar Dimensione dell immagine La conoscenza del DPV e cruciale per antitrasformare

6 Funzioni base TSH Esempi di decomposizioni TSH Albero binario con i corrispondenti intervalli temporali Funzioni TSH Tree-Structured Haar Decomposizioni TSH [1, 10, 143] Trasformata di Haar Trasformata TSH [18, 4] [18, 190, 210] Il DPV definisce la dimensione delle sottobande

7 Outline Compressione Trasformata di Haar Trasformata di Fibonacci-Haar Trasformata TSH Applicazioni: Compressione Sicurezza Edge detection Image denoising Nella sottobanda di interesse si estraggono i contorni. Vengono posti a zero tutti i coefficienti che non ne fanno parte. La scelta di mantenere inalterati i contorni è dovuta alla struttura del sistema visivo umano sottobande I livello sottobande III livello HL LH HH Valori di PSNR(dB) e WPSNR(dB) Valori di PSNR(dB) e WPSNR(dB) della LH della HL della HH delle LH,HL HL e HH della LLLH della LLHL della LLHH delle LLLH,LLHL LLHL e LLHH 28 28

8 Confronto Haar-TSH Confronto Haar-TSH HL Haar Haar LH HH TSH TSH della LH della LLHL della HH delle 29LH,HL e 29 HH della LLLH delle della HL della LLHH LLLH,LLHL 30 e 30 LLHH Test progressiva Haar db dettagli di 1 livello dettagli di 1 e 2 livello dettagli di 1, 2 e 3 livello ll db TSH 256x x dettagli di 1 livello dettagli di 1 e 2 livello dettagli di 1,2 e 3 livello 32 32

9 db progressiva Confronto tra i metodi Originale bit db TSH edge- detector Haar edge- detector TSH - intera Haar - intera sottobanda a zero sottobanda a zero Schema di marchiatura Caratteristiche Original image watermark Embedding Key Watermarked image Channel Attacks / manipulations Original watermark Test image Dt Detector t / Decoder Original image Key watermark yes/no Costo computazionale Resistenza alle modifiche Efficienza Robustezza Spatial. DCT/ Fourier Wavelet Watermark Watermark Capacità Impercettibilità

10 Protezione di dati digitali Crittografia: la protezione sparisce dopo la decifratura. Marchiatura: nasconde un messaggio nel supporto; il marchio può essere distrutto, rimosso o modificato. Unione di marchiatura e cifratura: Approcci non commutativi pp Il marchio non può essere estratto nel dominio cifrato; Approcci commutativi La marchiatura e la cifratura non interfersiscono; i Il marchio è rilevato/estratto anche dal contenuto cifrato. Metodo proposto Per disegnare un sistema di marchiatura e cifratura in cui le due procedure siano commutative, si utilizzano: una funzione f W per nascondere il marchio W nell immagine X X W = f W (X,W) una funzione f C per cifrare i dati X E = f C (X, ξ) ξ è la chiave di cifratura. f W ef C sono disegnate in modo tale che l immagine cifrata e marchiata X W,E soddisfa la proprietà commutativa: X W,E = f W (f C (X, ξ), W)= f C (f W (X,W), ξ) Per aumentare la sicurezza è utilizzato un dominio trasformato dipendente da chiave: la trasformata Tree Structured Haar. Schema di marchiatura Immagine marchiata e cifrata 3 rd order TSH transform Bit planes decomposition MSB Embedding Encryption Marchiatura:Quantization Index Modulation su 8 piani bit. c = c + α q ' i, j i, j W i, j W i, j q= QΔ ci, j Δ + ki, j ci, j ki, j D Δ + D Cifratura: AES con chiave da 128-bit su 3 bit-plane Immagine marchiata PSNR = 40 db WPSNR = 45 db Immagine marchiata e cifrata 40 40

11 Chiave segreta Performance Attack Embedded watermark Second highest peak ation value Correl 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Random DPVs Gaussian Sharpening Motion Blurring Gaussian: aggiunta a X W,E di rumore gaussiano bianco di media 0, e varianza= Sharpening: processing con filtro di enhancement di dimensioni 3x3. Estrazione del marchio e decifratura sono possibili se e solo se il DPV è noto Motion: appromazione del movimento lineare di una telecamera tramite un filtro 2D. Blurring: tramite filtro mediano circolare di raggio=5. 42 Performance Marchiatura di immagini a colori Embedded Second highest Correla ation value Correlation valu ue Quality factor 0.8 Embedded 0.7 Second highest h x50 100x x x x x500 Cropped area (pxl) Compressione JPEG dell immagine marchiata e cifrata Ritaglio dell immagine marchiata e cifrata Viene realizzata la trasformata di Fibonacci-Haar del primo ordine scegliendo una sequenza-p segreta. 2. La sottobanda LL è cifrata tramite l algoritmo AES. Nei test realizzati la chiave ha lunghezza 128 bit. 3. Per aumentare la capacità di marchiatura, le sottobande LH, HL e HH sono suddivise in blocchi. 4. Ogni blocco è decomposto con la Decomposizione a Valori Singolari (SVD) e il marchio è inserito nella componente S

12 Componenti RGB risultanti Risultati sperimentali R G B Immagine originale Immagine marchiata e cifrata Immagine marchiata e decifrata PSNR= 46 db p R =45 23 blocchi; sono modificati i valori dal 2 ndo al17 mo p G =24 23 blocchi; sono modificati i valori dal 2 ndo al 17 mo p B =0 3 blocchi; sono modificati i valori dal 10 mo al 105 mo B Qualità percepita Robustezza Invisibilità: Componente del rosso PSNR=47dB WPSNR=42dB; Componente del verde PSNR=46dB WPSNR=35dB; Componente del blu PSNR=57dB WPSNR=58dB. L immagine è non intellegibile per utenti non autorizzati che quindi non posseggono la chiave segreta p c utilizzata per generare la sequenza-p di partenza. Se si prova ad estrarre il marchio con un p c diverso da quello usato in trasmissione (per esmpio: p R = 24, p G = 0, e p B = 45), il valore di corellazione decresce da (se viene usato il corretto p c ) a Attack Parameter ρ Motion linear motion of a camera by 10 pixels 0.71 Gaussian mean=0, and standard deviation 0.75 =0.005 Blurring using a circular averaging filter within 0.73 the square matrix of size=5 Sharpening 3-by-3 contrast enhancement filter

13 Edge detection Image Denoising Si calcola la trasformata wavelet dell immagine Si effettua una sogliatura dei coefficienti wavelet. La soglia può essere uninca o diversa per le diverse sottobande Si effettua la trasformata inversa per ottenere una versione in cui il rumore è attenuato Matlab help dwt2 %legge l immagine I=imread('lena512 lena512.bmp bmp'); %decomposizione wavelet di Haar bidimensionale di primo livello [CA,CH,CV,CD] CH CV CD] = DWT2(I, 'haar'); tr=zeros(512,512); tr(1:256,1:256)=ca; imshow(ca,[]) imshow(tr,[]) tr(1:256,257:512)=ch; imshow(tr,[]) tr(257:512,1:256)=cv; imshow(tr,[]) tr(257:512,257:512)=cd; %trasformata di I imshow(tr,[]) 51 51