COMPITO n. 1. c(4s + 6t) se 0 s t 1 f(s, t) = 0 altrimenti

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1 COMPITO n. 1 a) Si lancia due volte un dado non truccato. Quant è la probabilità dell evento al primo lancio esce un numero strettamente minore di 3 oppure al secondo lancio esce un numero strettamente maggiore di 4? [5/9] b) Da un urna contenente quattro monete d oro, tre d argento e due di rame se ne estraggono a caso tre senza rimpiazzo. Quant è la probabilità di estrarre due monete d oro ed una d argento? [3/14] c) Di un campione Ω di giovani laureati si sa che il 30% è disoccupato, che l 80% degli occupati ha studiato statistica e che il 15% dei disoccupati ha studiato statistica. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso nel campione un giovane che ha studiato statistica, egli sia occupato? [112/121] 2. In una fabbrica si inscatolano bulloni che vengono prodotti a ciclo continuo da tre macchine e inviati sullo stesso nastro trasportatore dal quale un addetto li preleva e li mette in confezioni da 50 bulloni ciascuna. Si sa che la prima macchina produce l 1% di bulloni difettosi, la seconda il 3% e la terza il 5%. a) Calcolare la probabilità che un bullone preso a caso dal nastro trasportatore sia difettoso ed il numero medio di bulloni difettosi presenti in ogni confezione. [probabilità = 3/100, media = 3/2] b) Calcolare in media ogni quanti bulloni l addetto ne prende uno difettoso dal nastro. [100/3] c) Sapendo che l addetto ha appena pescato un bullone difettoso, quant è la probabilità che provenga dalla terza macchina? [5/9] [c = 3/8] c(4s + 6t) se 0 s t 1 [ fx (s) = 3(3 + 4s 8 7s2 ), f Y (t) = 3t 2 per s, t [0, 1], cov(x, Y ) = 13 7 ] b) calcolare P (X + Y 1). [11/32]

2 COMPITO n. 2 a) Di una classe Ω di studenti di statistica si sa che il 70% ha passato l esame, che il 90% dei promossi ha seguito i consigli del docente e che il 15% dei bocciati ha seguito i consigli del docente. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso uno studente che ha seguito i consigli del docente, egli passi l esame? [14/15] b) Nel gioco della roulette si estrae a caso un numero intero compreso tra 0 e 36, estremi inclusi. Quant è la probabilità che si verifichi l evento esce un numero divisibile per 3 oppure divisibile per 4? [19/37] c) Quant è la probabilità che, disponendo a caso le lettere A, I, I, N, P, P, si ottenga una parola che inizia per P e finisce con I? [2/15] 2. Un urna contiene tre monete che danno testa nel 20% dei lanci la prima, nel 25% dei lanci la seconda e nel 50% dei lanci la terza. Si estrae a caso una delle monete con la quale si effettuano lanci successivi. a) Calcolare la probabilità che la moneta estratta dia testa in un lancio e il numero medio di volte che esce testa su 200 lanci. [probabilità = 19/60, media =190/3] b) Calcolare in media quanti lanci ci vogliono perché esca testa la prima volta. [11/3] c) Calcolare la probabilità che si sia scelta la terza moneta se in un lancio si è ottenuto testa. [10/19] [c = 6/13] c(5s + 3t) se 0 t s 1 [ fx (s) = 3s 2, f Y (t) = 6 ( 5 +3t t2 ) per s, t [0, 1], cov(x, Y ) = 21 3 ] b) calcolare P (X + Y 1). [17/26]

3 COMPITO n. 3 a) Cinque amici decidono di dividersi in modo casuale (quattro a testa) un pacchetto di 20 caramelle che ne contiene 10 alla menta, 6 alla fragola e 4 alla pesca. Quant è la probabilità che al primo degli amici tocchino due caramelle alla menta e due alla pesca? b) Si sa che il 30% di un campione Ω di persone adulte soffre di allergie ai pollini, che il 70% delle persone allergiche ai pollini sono fumatori e che il 5% dei non allergici ai pollini sono fumatori. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso un fumatore dal campione, egli sia allergico ai pollini? c) Da un urna contenente dieci palline numerate da 1 a 10 se ne estraggono due con restituzione. Quant è la probabilità dell evento la prima estratta è minore strettamente di 4 oppure la seconda estratta è strettamente maggiore di 6? 2. Un computer accede ad un database distribuito in modo uniforme su tre memorie secondarie. La prima sbaglia a leggere un byte su 1000, la seconda un byte ogni 2000 e la terza un byte ogni a) Calcolare la probabilità che il calcolatore riceva un byte sbagliato e il numero medio di byte sbagliati letti su un file di 10 4 bytes. b) Calcolare il numero medio di bytes letti prima che ne appaia uno sbagliato. c) Calcolare la probabilità che il computer stia ricevendo dalla prima memoria se ha ricevuto un byte sbagliato. c(8s + 3t) se 0 s t 2 b) calcolare P (X + Y 2).

4 COMPITO n. 4 a) Si lanciano due dadi non truccati e se ne sommano i risultati. Quant è la probabilità dell evento la somma è divisibile per 4 oppure per 3? b) Da un urna contenente 15 palline di cui 6 bianche, 5 verdi e 4 rosse, se ne estraggono a caso cinque senza restituzione. Quant è la probabilità di estrarne 3 verdi e due bianche? c) Di un campione Ω di banconote pervenute ad una banca si sa che il 70% proviene dall azienda Tizio ed il restante dall azienda Caio. Inoltre il 2% delle banconote dell azienda Tizio sono false come il 10% di quelle dell azienda Caio. Se si pesca a caso una banconota falsa dal campione, quant è la probabilità che provenga dall azienda Caio? 2. Una fabbrica inscatola i semi di un fiore che provengono in quantità uguali e con continuità da tre aziende differenti e vengono provvisoriamente tenuti mescolati nel medesimo deposito. I semi prodotti dalla prima hanno un tasso di fertilità (cioè, la percentuale dei semi che germogliano una volta piantati) del 90%, quelli della seconda hanno un tasso di fertilità del 93% e quelli della terza hanno un tasso di fertilità del 99%. a) Calcolare la probabilità che un seme estratto a caso dal deposito sia fertile e il numero medio di semi fertili in una confezione che ne contiene 100. b) Calcolare in media quanti semi si possono estrarre a caso dal deposito prima di trovarne uno non fertile. c) Calcolare la probabilità che si sia scelto un seme prodotto dalla terza azienda se risulta che è fertile. c(3s + 2t) se 0 t s 2 b) calcolare P (X + Y 2).

5 COMPITO n. 5 a) Di un campione Ω di giovani laureati si sa che il 30% è disoccupato, che l 80% degli occupati è laureato in ingegneria e che il 15% dei disoccupati è laureato in ingegneria. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso nel campione un giovane laureato in ingegneria, egli sia occupato? b) Da un urna contenente cinque monete d oro, due d argento e tre di rame se ne estraggono a caso tre senza rimpiazzo. Quant è la probabilità di estrarre due monete d oro ed una d argento? c) Si lancia due volte un dado non truccato. Quant è la probabilità dell evento al primo lancio esce un numero strettamente minore di 4 oppure al secondo lancio esce un numero strettamente maggiore di 5? 2. In una fabbrica si imbottigliano pillole contro il mal di testa che vengono prodotte a ciclo continuo da tre macchine e inviate sullo stesso binario dal quale un addetto le preleva e le mette in confezioni da 150 pillole ciascuna. Si sa che la prima macchina produce il 3% di pillole difettose, la seconda il 5% e la terza l 1%. a) Calcolare la probabilità che una pillola presa a caso dal binario sia difettosa ed il numero medio di pillole difettose presenti in ogni bottiglia. b) Calcolare in media ogni quante pillole l addetto ne prende una difettosa dal binario. c) Sapendo che l addetto ha appena preso una pillola difettosa, quant è la probabilità che provenga dalla seconda macchina? c(6s + 4t) se 0 s t 1 b) calcolare P (X + Y 1/2).

6 COMPITO n. 6 a) Nel gioco della roulette si estrae a caso un numero intero compreso tra 0 e 36, estremi inclusi. Quant è la probabilità che si verifichi l evento esce un numero divisibile per 2 oppure divisibile per 5? b) Quant è la probabilità che, disponendo a caso le lettere A, E, E, S, T, T, si ottenga una parola che inizia per E e finisce con E? c) Di un campione Ω di giovani laureati si sa che il 30% è disoccupato, che il 90% dei disoccupati è laureato in lettere e che il 5% degli occupati è laureato in lettere. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso nel campione un laureato in lettere, egli sia disoccupato? 2. Un urna contiene tre monete che danno testa nel 50% delle volte la prima, nell 80% della volte la seconda e nel 60% delle volte la terza. Si estrae a caso una delle monete con la quale si effettuano lanci successivi. a) Calcolare la probabilità che la moneta estratta dia testa in un lancio e il numero medio di volte che esce testa su 300 lanci. b) Calcolare in media quanti lanci ci vogliono perché esca testa la prima volta. c) Calcolare la probabilità che si sia scelta la seconda moneta se in un lancio si è ottenuto testa. c(s + 5t) se 0 t s 1 b) calcolare P (X + Y 1/2).

7 COMPITO n. 7 a) Si sa che il 35% di un campione Ω di persone adulte soffre di emicranie, che il 65% delle persone sofferenti di emicranie sono fumatori e che il 10% dei non sofferenti di emicranie sono fumatori. Quant è la probabilità che, se si sceglie a caso un fumatore dal campione, egli soffra di emicranie? b) Quattro amici decidono di dividersi in modo casuale (cinque a testa) un pacchetto di 20 caramelle che ne contiene 8 alla menta, 7 alla fragola e 5 alla pesca. Quant è la probabilità che al primo degli amici tocchino tre caramelle alla fragola e due alla pesca? c) Da un urna contenente dieci palline numerate da 1 a 20 se ne estraggono due con restituzione. Quant è la probabilità dell evento la prima estratta è minore strettamente di 5 oppure la seconda estratta è strettamente maggiore di 16? 2. Un computer accede ad un database distribuito in modo uniforme su tre memorie secondarie. La prima sbaglia a leggere un byte su 3000, la seconda un byte ogni 2000 e la terza un byte ogni a) Calcolare la probabilità che il calcolatore riceva un byte sbagliato e il numero medio di byte sbagliati letti su un file di 1000 bytes. b) Calcolare il numero medio di bytes letti prima che ne appaia uno sbagliato. c) Calcolare la probabilità che il computer stia ricevendo dalla terza memoria se ha ricevuto un byte sbagliato. c(2s + 3t) se 0 s t 2 b) calcolare P (X + Y 2).

8 COMPITO n. 8 a) Da un urna contenente 12 palline di cui 5 bianche, 4 verdi e 3 rosse, se ne e- straggono a caso quattro senza restituzione. Quant è la probabilità di estrarne 3 bianche ed una rossa? b) Si lanciano due dadi non truccati e se ne sommano i risultati. Quant è la probabilità dell evento la somma è divisibile per 6 oppure per 4? c) Di un campione Ω di banconote pervenute ad una banca si sa che il 60% proviene dall azienda A ed il restante dall azienda B. Inoltre il 3% delle banconote dell azienda A sono false come il 15% di quelle dell azienda B. Se si pesca a caso una banconota falsa dal campione, quant è la probabilità che provenga dall azienda B? 2. Una fabbrica inscatola chiodi provenienti in quantità uguali e con continuità da tre aziende differenti e che vengono provvisoriamente tenuti mescolati nel medesimo deposito. I chiodi prodotti dalla prima hanno un tasso di resistenza (cioè, la percentuale di chiodi che non si piegano durante l uso) del 96%, quelli della seconda hanno un tasso di resistenza del 94% e quelli della terza hanno un tasso di resistenza del 92%. a) Calcolare la probabilità che un chiodo estratto a caso dal deposito sia resistente e il numero medio di chiodi resistenti in una confezione che ne contiene 200. b) Calcolare in media quanti chiodi si possono estrarre a caso dal deposito prima di trovarne uno non resistente. c) Calcolare la probabilità che si sia scelto un chiodo prodotto dalla prima azienda se risulta che è resistente. c(4s + 6t) se 0 t s 2 b) calcolare P (X + Y 1).