3 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 7 febbraio 2012

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1 3 CERTAMEN NAZIONALE DI PROBABILITA E STATISTICA FELICE FUSATO Fase di Istituto 7 febbraio ) Non sfogliare questo fascicolo finché l insegnante non ti dice di farlo. 2) E ammesso l utilizzo di calcolatrici tascabili. 3) La prova è rigorosamente individuale. E vietato l uso di telefoni cellulari. 4) La prova consiste di 13 problemi divisi in due gruppi: nei problemi dal numero 1 al numero 10 sono proposte 4 risposte possibili, indicate con le lettere A, B, C, D. Una sola delle risposte è corretta. La lettera corrispondente alla risposta corretta dovrà essere riportata, per ogni quesito, in fondo a questa pagina nella relativa casella. Ogni risposta giusta vale 5 punti, ogni risposta errata vale 0 punti e ogni quesito lasciato senza risposta vale un punto.. Non sono ammesse correzioni o cancellature sulla griglia. I problemi 11, 12 e 13 richiedono invece una procedura risolutiva esplicita ed argomentata. Ti invitiamo a formulare le soluzioni in modo chiaro e conciso usufruendo dello spazio riservato e consegnando soltanto i fogli di questo fascicolo. Tali problemi verranno valutati con un punteggio da 0 a 10. 5) Quando l insegnante dà il via, comincia a lavorare. Hai 2 ore di tempo. Buon lavoro! Da compilare da parte dello studente Nome: Cognome Indirizzo: Città: Scuola: Anno di corso: Città: Risposte ai primi 10 quesiti PUNTEGGIO (da riempirsi a cura dell insegnante) Numero delle risposte esatte (1-10) Numero degli esercizi senza risposta x 5 = x 1 = Valutazione esercizio n.11 Valutazione esercizio n.12 Valutazione esercizio n.13 PUNTEGGIO TOTALE 1

2 Problemi a risposta multipla 1. Due giocatori di pari livello disputano un incontro di tennis. Vince il giocatore che si aggiudica per primo tre partite. Qual è la probabilità che si renda necessario disputare la bella (ossia la quinta partita)? A) 1/4 B) 1/3 C) 3/8 D) 1/2 2. L influenza dell anno si può evitare al 95% prendendo il vaccino o, indipendentemente, al 25% abitando in una salubre località di campagna. Qual è la probabilità di evitare l influenza se si assume il vaccino e si risiede in campagna? A) 100% B) 96,25% C) 97,5% D) 70% 3. Siano X e Y due caratteri statistici studiati in una data popolazione: x i y i stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere: a) La serie statistica è fortemente correlata; b) il baricentro ha coordinate (1/4; 1/4); c) si ha Cov(X;Y) = 19/16 A) Solo la a) e la c) B) solo la b) C) tutte e tre D) solo la a) e la b) 4. Un bersaglio ha la forma di un cerchio di raggio 20 cm. Qual è la probabilità che, lanciando una freccia, solo al quarto lancio la freccia colpisca un cerchio interno di raggio 10 cm? A) 0,105 B) 0,500 C) 0,020 D) 0, Se X è una variabile che si distribuisce normalmente con media m=3 e scarto quadratico medio σ = 4, risulta: A) P(X>5) = 0,1915 B) P(X>5) = 0,3085 C) P(X>5) = 0,6915 D) P(X>5) = 0,7 6. Se una distribuzione relativa al carattere x di n elementi è tale che: µ x =3 σ x = 2 allora n è uguale a: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 7. In una prima superiore ci sono tre ragazzi per ogni due ragazze. L età media dei ragazzi è 14 anni e due mesi, quella delle ragazze 13 anni e 4 mesi. Qual è l età media della classe? A) 13 anni e 8 mesi B) 13 anni e 10 mesi C) 14 anni D) dipende dal numero di alunni della classe 8. In una competizione matematica sono stati istituiti 10 premi, 5 indicati con A, tre con B e due con C, di diverso valore, posti ciascuno in una busta identica per ogni premio. I vincitori sono invitati a scegliere una busta a caso tra le 10 contenti i premi. Quando l ottavo vincitore sceglie la sua busta, qual è la probabilità che nelle tre buste rimanenti, e tra cui deve scegliere il suo premio, vi sia un A, un B e un C? A) 1/8 B) 1/4 C) 1/3 D) Nessuna delle precedenti 9. A una festa di compleanno vengono tirati a sorte quattro giocattoli fra i tre ragazzi presenti. I sorteggi sono indipendenti, ossia tutti i ragazzi partecipano a tutti i sorteggi. Qual è la probabilità p che vi sia almeno un ragazzo che resta privo di giocattoli? A) p= 4/9 B) 4/9 <p <1/2 C) 1/2 <p<5/9 D) p = 5/9 10. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sulla ruota di Firenze sia minore del primo numero estratto sulla ruota di Napoli? ( ricordiamo che al lotto si estraggono i numeri da 1 a 90). A) 44/90 B) 44/89 C) 89/180 D) 1/2 Nome: Cognome: 2

3 Problema n.11 Un sacchetto contiene un gettone verde, quattro gettoni gialli e un gettone rosso. Un giocatore estrae simultaneamente tre gettoni (salva l equiprobabilità delle estrazioni). Il giocatore guadagna 5 euro se estrae il gettone verde, perde 5 euro se estrae il gettone rosso, non guadagna nulla con i gettoni gialli. 1) Sia X la variabile aleatoria che associa ad ogni estrazione il guadagno del giocatore (una perdita è un guadagno negativo). Dare la legge di probabilità di X; calcolare la sua speranza matematica. 2) La prova consiste ora nell effettuare due estrazioni successive di tre gettoni, rimettendo i tre gettoni nel sacchetto dopo la prima estrazione. Sia Y la variabile aleatoria rappresentante la somma dei guadagni delle due estrazioni. Determinare la legge di probabilità di Y e la sua funzione di ripartizione. Rappresentare graficamente questa funzione. Nome: Cognome: Problema n.12 I mille biglietti di una lotteria sono numerati con numeri di tre cifre presi nell insieme E: {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. 3

4 I biglietti vincenti sono quelli che terminano con 06 oppure con 47 oppure con 80. Tutti i biglietti sono venduti. Il signor Rossi acquista un biglietto a caso. Calcolare la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi: 1. A: il biglietto del sig. Rossi è vincente ; 2. B: il biglietto del sig. Rossi contiene almeno uno zero ; 3. Sapendo che l evento B si è verificato, trovare la probabilità che sia il biglietto vincente. Nome: Cognome: Problema n.13 4

5 Un sacchetto contiene 48 palline di diversi colori: bianche, rosse e nere. La probabilità che, estraendo contemporaneamente due palline, esse siano entrambe bianche è doppia rispetto alla probabilità che, estraendo contemporaneamente tre palline, esse siano tutte rosse. Quante sono le palline nel sacchetto? Nome: Cognome: 5