@polimi.it. pratica. dei cicli. Sommario. In questa convogli.

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1 U UNA PROCEDURA SEMPLIFICATA PER IL CALCOLOO DEI CEDIMENTI DII RILEVA ATI FERROVIARI Gabriele Della Vecchia, Federico Pisanò, Andrea Galli, Claudio di Prisco Politecnico di Sommario In questa nota si propone un approccio per il calcolo dei cedimenti di rilevati ferroviari indotti dal passaggio di convogli. Il problema è affrontato con un metodoo di tipo stress path. Lo stato tensionalee iniziale e l incremento al carico viaggiante in superficie sono calcolati attraverso analisi agli elementi finiti effettuate tenendo conto della geometria reale del rilevato e della stratificazione. La conoscenza dello stato tensionale inziale e incrementale permettee di calcolaree l incrementoo di deformazione verticale, attraversoo una legge costitutiva c opportunamente formulata per fornire un accettabile compromesso tra accuratezza e semplicità. 1. Introduzione Le lineee ferroviarie rivestono un ruolo essenziale nel sistema nazionale dei trasporti di passeggeri e merci. Sebbene gli approcci di progetto dei rilevati ferroviari siano praticamentep e rimasti inalterati sin dal loro originario concepimento, l attuale concorrenza tra vettori stradali, aerei e marittimi ha reso sempre più impellente la necessità di adeguarsi alle maggiori velocità dei convogli. Si rendee pertanto necessaria la progettazione di sistemi ferroviari moderni ed efficienti,, basati su tecnologie innovative e che al contempo minimizzino i costi di costruzione e manutenzione. Un rivelato ferroviario è generalmente costituito dalla presenza di una strato superiore di ballast (generalmente costituito da materiale grossolano di origine rocciosa) dello spessore tipico di cm, che giace su di uno strato di materiale compattato granulare di pezzatura inferiore, chiamato subballast nella letteratura anglosassone. I due strati giacciono a loro volta su dii uno strato di terreno compattato, detto subgrade (Figura 1, Selig & Waters 24). Le rotaie trasmettono le sollecitazioni dovute al passaggio dei convogli ferroviarii al ballast attraverso delle traversine, generalmente realizzatee in legno o in calcestruzzo. Nell ambito dell ingegneria dei trasporti, uno dei problemi più significativi legati alle massicciate ferroviarie riguarda l accumulo ciclico di deformazioni permanenti negli strati granulari. In linea teorica, il problema potrebbe essere affrontato introducendo delle opportune leggi costitutive per tali materialii granulari sottoposti a carichi ciclici, da implementarsi in codici agli elementi finiti per la soluzione del problema al contorno. Talee approccio non è di norma perseguito nella pratica professionale, soprattutto a causa della complessa caratterizzazi one meccanica dei materiali e dell elevatissimo onere computazionale. Dal punto di vista pratico, gli approcci attualmente più diffusi sonoo di tipo semplificato e si s basano sull utilizzo di relazioni empiriche non lineari tra il cedimento ciclicoo accumulatoo e il numero dei cicli di carico. Nonostante la loro semplicità, s tali relazionii non tengono in nessun conto il ruolo r dei differenti fattori meccanici e geometrici che influenzano il cedimento e necessitano volta per volta la calibrazione dei parametri, spesso di non immediato significato fisico.

2 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 Si presenta in questa nota una metodologiaa alternativa per l analisi dei cedimenti dovuti a carichi ciclici in rilevati ferroviari, allo scopo di ottenere una soluzione di d compromesso tra precisione e semplicità d impiego. Lo scopo del lavoro è quello di introdurre uno strumento numerico maneggevole, in grado di fornire stime di cedimento affidabili a partire p dallaa reale geometria del problema e dalle caratteristiche meccaniche del materiale. In particolare, si propone un metodo di tipo stress-path basato sulle seguenti fasi: Formulazione di una relazione semi-empirica tra il tasso di accumuloo della deformazione permanente e il numero di cicli di carico. Ispirata da datii sperimentali di letteratura, tale relazione è stata sviluppata per tenere in conto i principali fattori in grado di influenzare il comportamento meccanico dei materiali coinvolti; Analisi in campo elastico agli elementi finiti degli stati tensionali geostatico e incrementale relativi alla geometria reale del rilevato ferroviario; Stima finale del cedimento tramite l integrazione spaziale dell incremento di deformazione ciclica irreversibile lungo opportune sezioni verticali del sistema. Tale approccio consente di stimare i cedimenti in funzione delle condizioni di carico e di un numero limitato di parametri costitutivi del materiale ottenibili da prove triassiali cicliche.. Fig 1. Schematizzazione di un rilevato ferroviario (Selig and a Waters, 1994) 2. Modellazione del comportamento ciclico Il termine ballast è usato nell ambito dell ingegneria ferroviaria per indicare il pietrisco, allo stato naturale o ricavato per frantumazione di rocce, utilizzato per formare la massicciata e fornire un supportoo alla sovrastruttura (ovvero traversina e rotaie). I principali fattori che governano il comportamento meccanico del ballast sono le proprietà delle particelle che lo costituisconoo (forma, dimensione, rugosità superficiale, resistenza a rottura delle particelle, attrito tra particelle), le caratteristiche dell assemblaggio (curva granulometrica, indice dei vuoti, grado di saturazione), la sollecitazione (stato, storia e percorso tensionale) e la degradazione e delle particelle. Oltre all attesa dipendenza della risposta tensio-deformativa del ballast in condizioni statiche dalla pressione di confinamento e dallaa storia di carico, nell ambito dell ingegneria ferroviaria assume particolare rilievo l influenza del numero di cicli di carico sull accumulo di deformazione irreversibile. Nell approccio propostoo si assume implicitamente che le considerazionii precedenti e il modelloo descritto nel seguito siano applicabili a materiali granulari di qualsivoglia granulometria, inclusi il subballast e il subgrade. Ad oggi, uno dei lavori più completi sulla modellazione costitutiva di d materiali granulari sottoposti ad elevato numero di cicli di carico sembra essere quello di Niemuniss et al. (25), a cui hanno fatto seguito quelli di Witchmann et al. (29, 21) sulla calibrazione di parametri costitutivi perr sabbie e ghiaie. A conoscenza di chi scrive, tale modello sinora mai applicato a materialii più grossolani è in grado di predire la deformazione accumulata (al netto della componente oscillatoria) in funzione dell ampiezza della componente oscillatoria della deformazione, dell rapporto traa obliquità tensionale corrente e a rottura, della densità relativa dell materiale, della pressione isotropa efficace, nonchè della o

3 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 storia pregressa in termini di cicli di carico e della polarizzazione dei cicli stessi. Nonostante la sua notevole accuratezza, il modello citato è di difficile impiego a causa dell elevato numero di parametri costitutivi da calibrare. Nello stesso ambito, altri modelli in grado di riprodurre accuratamente i dati sperimentali (ma ancora piuttosto onerosi da calibrare) sono quelli proposti da Suiker & de Borst (23) e Indraratna et al. (212). Regredendo a formulazioni più semplici (in cui i parametri introdotti sono spesso privi di preciso significato fisico), val la pena menzionare il lavoro di Liu & Carter (24), a partire dal quale è stato concepito il modello di natura semi-empirica presentato in questa nota. Si propone di calcolare l incremento di deformazione verticale accumulata corrispondente a ciascun ciclo di carico attraverso la relazione: (1) dove è un parametro dipendente dal materiale e dallo stato tensionale iniziale, mentre, e sono funzioni che tengono conto rispettivamente dell effetto della variazione di densità relativa del materiale, della distanza dello stato tensionale corrente dalle condizioni di rottura e del numero dei cicli. Si esprime la funzione secondo la proposta di Niemunis et al. (25) 1 1 (2) essendo l indice dei vuoti corrente, un indice dei vuoti di riferimento (assunto coincidente con l indice dei vuoti massimo del materiale ) e un parametro che Witchmann et al. (29) hanno posto pari a.96 (dove è l indice dei vuoti minimo del materiale). La funzione è tale da assumere valore unitario in corrispondenza dell indice dei vuoti massimo e valore pressochè nullo in corrispondenza dell indice dei vuoti minimo, ovvero nella situazione in cui il materiale non può ulteriormente ridurre la propria densità. A partire da Liu & Carter (24), la funzione è stata modificata in modo da dipendere sia dal valore di deviatore degli sforzi massimo raggiunto durante il carico ciclico che dalla distanza tra tale valore e il deviatore a rottura del materiale : (3) dove rappresenta l invariante deviatorico iniziale (ovvero prima dell applicazione del carico ciclico) e l incremento di deviatore indotto dal carico ciclico. La funzione è tale da assumere, a parità di, valore minimo per = e tendere a infinito per valori di deviatore massimo + in prossimità del valore di rottura per il livello di confinamento corrente. La funzione è definita come: log (4) e conduce, integrando la (1), ad una relazione logaritmica tra e numero di cicli. Allo scopo di valutare la capacità predittiva del modello, si riporta in Figura 2 la simulazione dei risultati sperimentali di Suiker et al. (25) da prove triassiali cicliche su ballast a due diverse pressioni di confinamento (pari a 41.3 kpa e 68.9 kpa). Per ciascun valore di, sono stati considerati quattro diversi valori dell obliquità ciclica relativa n, definita come il rapporto tra la massima obliquità / raggiunta durante il ciclo e l obliquità a rottura ottenuta da prove statiche.

4 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 Fig 2. Confronto tra dati sperimentali da Suiker et al. (25) e predizioni del modello costitutivo 3. Analisi dello stato tensionale Ulteriore ingrediente della procedura di calcolo è il passaggio quantitativo dalle sollecitazioni esterne (peso proprio e carico trasmesso dal convoglio) allo stato tensionale del terreno. Per semplicità, si identifica tale legame assumendo che il carico ciclico viaggiante sia applicato staticamente e in condizioni di deformazione piana (ossia introducendo una striscia di carico infinitamente estesa nella direzione del binario). Tali ipotesi semplificative riducono evidentemente l accuratezza del calcolo, ma consentono di sviluppare in modo agevole un modello numerico in cui aspetti geometrici e stratigrafici sono debitamente considerati. In particolare, partendo da informazioni disponibili circa la geometria del rilevato e composizione/spessore degli strati costituenti, si è impiegato l ambiente PDETOOL di MATLAB per impostare una procedura automatica in grado di generare un modello geometrico del sistema e la relativa discretizzazione agli elementi finiti. Ciascuno dei sottostrati introdotti è caratterizzato da spessore H e date proprietà meccaniche, che nel caso di materiali elastici lineari sono il peso specifico, il modulo di Young E e il coefficiente di Poisson. Si riporta in Figura 3 un esempio di modello discretizzato con le seguenti componenti stratigrafiche: - traversina ferroviaria in calcestruzzo ( H =.2 m, = 25 kn/m3, E = 2 GPa, =.2); - ballast ( H =.5 m, = 16 kn/m 3, E = 1 GPa, =.3); - subballast ( H =.2 m, = 16 kn/m 3, E = 7 MPa, =.3); - subgrade ( H = 1.5 m, = 16 kn/m 3, E = 5 MPa, =.3); - terreno di fondazione ( = 2 kn/m 3, E = 2 MPa, =.3). qui caratterizzate da rigidezze realistiche per i tipi di materiale considerati. Alla luce della relazione costitutiva introdotta nella Sezione 2, è necessario ricorrere all analisi numerica del rilevato per ottenere le distribuzione spaziali dello stato tensionale iniziale (sforzo geostatico) e degli sforzi indotti dal carico sul binario. Nell ipotesi di materiali a comportamento lineare, è possibile sovrapporre a posteriori gli effetti dei diversi carichi, in particolare il peso proprio e il carico in superficie. Tale semplificazione è accettabile a condizione che l incremento tensionale dovuto al passaggio del treno non conduca localmente il materiale in prossimità del limite di rottura (come dovrebbe non accadere in condizioni di normale esercizio). La Figura 4 rappresenta la distribuzione spaziale dell incremento di sforzo verticale indotto dal carico in superficie e normalizzato rispetto al carico stesso (si osservi la zona di applicazione del carico in corrispondenza delle maggiori concentrazioni tensionali). Inoltre, in Figura 5 si esemplificano gli output ottenibili da analisi del tipo citato, e in particolare le distribuzioni di sforzo lungo sezioni verticali di interesse (in questo caso sono state considerate le sezioni in mezzeria, al di sotto del

5 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 binario e all estradosso del rilevato). Fig 3. Modello a elementi finiti del rilevato ferroviario Fig 4 Incremento di sforzo verticale normalizzato rispetto al carico sul binario indotto dal treno (a) mezzeria binario esterno σ z σ x z [m] σ [kpa] σ [kpa] σ [kpa] (b) mezzeria binario esterno z [m] Δσ z /q Δσ x /q Δσ/q [ ] Δσ/q [ ] Δσ/q [ ] Fig 5. Variazione in profondità degli sforzi verticale e orizzontale indotti (a) dal peso proprio e (b) dal passaggio del treno lungo tre sezioni del rilevato (centrale, al di sotto del binario, estradosso)

6 Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica IARG 214 La conoscenza puntuale dello stato di sforzo e del suo incremento è quanto serve ad ottenere, tramite il modello sopra descritto, l evoluzione delle deformazioni con il numero di cicli di carico. 4. Conclusioni e sviluppi futuri La procedura di calcolo appena descritta si conclude integrando lungo opportune sezioni verticali la deformazione ciclica incrementale al progredire del numero di cicli, in maniera da ottenere l evoluzione temporale dei cedimenti assoluti e/o differenziali subiti dal rilevato. Nel prossimo futuro, il lavoro sarà rivolto a rendere lo strumento il più semplice possibile, seguendo due principali direzioni: 1) creazione di un data base di parametri costitutivi per i materiali più comunemente impiegati (per lo meno in Italia) nella realizzazione di rilevati ferroviari; 2) definizione di abachi adimensionali per la stima speditiva dello stato tensionale corrente e del suo incremento indotto dal carico sul binario. Tali abachi saranno ottenuti a partire da un congruo numero di analisi parametriche agli elementi finiti, al fine di fornire uno strumento totalmente analitico all utilizzatore finale. Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Veronica Minardi e Andrea Zambon per l aiuto offerto nello sviluppo del modello costitutivo e del codice di calcolo. Bibliografia Fredlund D. G, Rahardjo H. (1993). Soil Mechanics for Unsaturated Soils. Wiley and Sons Inc., New York. Indraratna B., Thakur P.K.., Vinod J.S., Salim W. (212). Semiempirical cyclic densification model for ballast incorporating particle breakage, International Journal of Geomechanics 12(3), Liu M.D., Carter J.P. (24). Application of a new definition for the number of cycles of loading. In Cyclic Behaviour of Soils and Liquefaction Phenomena, Triantafyllids (ed), Niemunis A., Wichtmann T., Triantafyllidis T. (25). A high-cycle accumulation model for sand. Computers and geotechnics, 32(4), Selig E.T., Waters, J.M. (1994). Track geotechnology and substructure management. Thomas Telford. Suiker A.S.J., de Borst R. (23). A numerical model for the cyclic deterioration of railway traks, International Journal for Numerical Methods in Engineering 57, Suiker A.S.J., Selig E.T., Frenkel R. (25). Static and cyclic triaxial testing of ballast and subballast. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering 131, Wichtmann T., Niemunis A., Triantafyllidis T. (29). Validation and calibration of a high-cycle accumulation model based on cyclic triaxial tests on eight sands Soils and Foundations 49, Wichtmann T., Niemunis A., Triantafyllidis T. (21). On the determination of a set of material constants for a high-cycle accumulation model for non-cohesive soils International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 34,