Interpretazione economica della dualità

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1 Interpretazione economica della dualità Interpretazione economica delle variabili duali Interpretazione economica del problema duale nei problemi di allocazione risorse e miscelazione Applicazioni della dualità alla teoria dei giochi BT 4.3; Fi 4.4

2 Interpretazione economica delle variabili duali Consideriamo un problema {min c T x : Ax = b, x 0} e sia x una soluzione ottima non degenere, associata alla base B. Supponiamo di perturbare il vettore dei termini noti sostituendo b con b + d. Allora: essendo B non degenere si ha x B = B 1 b > 0, ma allora anche x B = B 1 (b + d) > 0 per d piccolo ; quindi, per d sufficientemente piccolo B è ancora una base ammissibile essendo B ottima si ha c T c T B B 1 A 0 e ciò non cambia dopo la perturbazione; quindi B è ancora una base ottima

3 Interpretazione economica delle variabili duali quindi, il costo ottimo del problema perturbato è c T BB 1 (b + d) = p T (b + d) in cui p è una soluzione ottima duale di conseguenza, se l i-mo requisito varia di d i, il costo complessivo varia di p i d i, quindi p i può essere interpretato come il suo costo marginale

4 Allocazione di risorse: produrre o vendere? Consideriamo un modello a risorse condivise: x 1,..., x n quantità da produrre di ciascun prodotto. Come sempre, detto c j il prezzo a cui vendiamo il prodotto j, il nostro obiettivo è massimizzare il ricavo dalle vendite: max c 1 x c n x n a 11 x a 1n x n b 1 a 21 x a 2n x n b 2... a m1 x a mn x n b m x j 0, j = 1,..., n

5 Allocazione di risorse: produrre o vendere? Supponiamo che un acquirente sia interessato a comprare le nostre risorse, al prezzo p i per la risorsa i. Il ricavo dalla vendita diretta delle risorse è quindi: b 1 p b m p m quantità che l acquirente cerca di minimizzare. D altro canto, tale opzione suscita il nostro interesse solo se ricaviamo almeno quanto quello che otterremmo utilizzando le risorse per produrre e vendendo il prodotto. Più precesamente, per ogni prodotto j, il ricavo che avremmo vendendo le risorse necessarie a produrre una sua unità deve superare il prezzo c j : a 1j p a mj p m c j

6 L acquirente risolve il problema duale Decidere i prezzi di acquisto per le risorse in modo che l offerta sia conveniente per noi (altrimenti rifiuteremmo) ma spendendo il meno possibile. min b 1 p b m p m a 11 p a m1 p m c 1... a 1n p a mn p m c n p i 0, i = 1,..., m Dualità debole = una qualunque offerta concorrenziale ci farebbe guadagnare non meno che vendere i prodotti Dualità forte = all ottimo le alternative si equivalgono

7 Il problema della dieta Un nutrizionista deve programmare la dieta per una squadra sportiva, in modo da garantire un certo apporto b i di ciascuno dei nutrienti fondamentali (zuccheri, grassi, proteine, etc.). Per ciascun alimento j sul mercato è noto il costo unitario c j la qtità a ij di nutriente i contenuta in una unità di j Determinare una dieta (qtità x j di alimento j) di costo minimo n z = min c j x j j=1 n a ij x j b i, j=1 x j 0, j = 1,..., n i = 1,..., m (1)

8 Esempio Alimento Eur/Kg Zuccheri Grassi Proteine Vitamine g/kg g/kg g/kg g/kg pasta carne uova latte dose giornaliera

9 Il problema del produttore di integratori alimentari Un azienda farmaceutica produce direttamente i nutrienti e deve decidere il loro prezzo di immissione sul mercato. I suoi prodotti rappresentano alternative per il nutrizionista agli alimenti tradizionali. Possiamo stimare il ricavo massimo dell azienda? Se i prezzi p i dei nutrienti fossero troppo elevati, il nutrizionista non sarebbe incentivato ad acquistarli: se il prezzo di sintesi di un alimento j attraverso i suoi nutrienti fosse superiore al suo prezzo di acquisto, il nutrizionista preferirebbe acquistare l alimento stesso quindi, l azienda ha il seguente vincolo: m a ij p i c j, i=1 j = 1,..., n

10 Esempio (cont.) siano p Z, p G, p P, p V vitamine i prezzi risp. di zuccheri, grassi, proteine, ad es. per sintetizzare 1 Kg di pasta (che costa 2 Eur) occorrono 300 g di zuccheri, 1 g di proteine e 12 g di vitamine, quindi: 300p Z + p P + 12p V 2

11 Il produttore di integratori alimentari risolve il duale! m w = max b i p i i=1 m a ij p i c j, i=1 p i 0, i = 1,..., m j = 1,..., n (2) per qualunque scelta ammissibile dei prezzi si ha m i=1 p ib i n j=1 c jx j : il nutrizionista preferirà gli integratori per il teorema della dualità forte, z = w : il mercato tende ad un equilibrio in cui l acquirente ha due alternative equivalenti

12 Giochiamo a Morra! 2 giocatori (Tullio e Claudia) ciascuno nasconde 1 o 2 Euro e scommette (a voce alta) su quanto nasconde l altro quindi, ogni giocatore ha quattro possibili mosse [x, y], x, y [1, 2]: nascondi x, scommetti y se solo uno dei giocatori indovina la scommessa esso vince l intero ammontare della cifra nascosta in tutti gli altri casi non c é vincita

13 Un esempio di partita Claudia ha giocato senza uno schema preciso e, dopo un numero elevato N di tiri, ha giocato c 1 volte la mossa [1, 1], c 2 volte la mossa [1, 2], c 3 volte la mossa [2, 1], c 4 volte la mossa [2, 2] diversamente, Tullio ha tirato una moneta e fatto la mossa [1, 2] o [2, 1] in caso risp. di testa o croce # tiri mossa Claudia mossa Tullio vincita Tullio c 1 /2 [1, 1] [1, 2] 2 c 1 /2 [1, 1] [2, 1] 3 c 2 /2 [1, 2] [1, 2] - c 2 /2 [1, 2] [2, 1] - c 3 /2 [2, 1] [1, 2] - c 3 /2 [2, 1] [2, 1] - c 4 /2 [2, 2] [1, 2] 3 c 4 /2 [2, 2] [2, 1] 4

14 Analisi vincita totale di Tullio (c 1 c 4 )/2 Euro: quindi se Claudia gioca [2, 2] più frequentemente di [1, 1] Tullio perde Tuttavia, nel caso peggiore c 1 = 0, c 4 = N Tullio non perde più di 0.5 Euro a tiro in sostanza, Tullio si protegge da perdite maggiori di 0.5 Euro/tiro semplicemente giocando con la stessa frequenza le mosse [1, 2] e [2, 1] (naturalmente senza alcuno schema comprensibile altrimenti un disastro!) Tullio può fare di meglio?

15 Giochi a somma zero Rappresentiamo un gioco con 2 giocatori con una matrice A ad ogni tiro, il giocatore riga (Tullio) sceglie una riga i = 1,..., m e ad ogni tiro, il giocatore colonna (Claudia) sceglie una colonna j = 1,..., n il profitto del tiro per il giocatore riga è quindi a ij (se negativo, il giocatore riga paga) la matrice di payoff della morra è quindi: Claudia [1, 1] [1, 2] [2, 1] [2, 2] [1, 1] Tullio [1, 2] [2, 1] [2, 2]

16 Giochi a somma zero strategia del giocatore riga: ad ogni tiro la riga i è scelta con probabilità x i il giocatore colonna risponde secondo uno schema oppure in modo random: dopo molti tiri, y j è la frequenza con cui ha giocato la colonna j quindi l elemento ij è selezionato x i y j N volte in N tiri il payoff medio per tiro è quindi m i=1 n j=1 a ijx i y j (x T Ay in notazione matriciale) x e y hanno componenti non-negative e a somma 1: vettori di questo tipo si dicono stocastici

17 Strategia ottima (giocatore riga) Quindi, quando il giocatore riga adotta la strategia x, è certo di avere una vincita media per tiro di almeno min x T Ay y [ad es. Tullio è certo di vincere almeno 0.5 Euro per tiro in media con la strategia (0, 0.5, 0.5, 0)] definiamo quindi stategia ottima x quella che massimizza min y x T Ay, con y vettore stocastico

18 Esempio Sia x T = (0.3, 0.2, 0.4, 0.1) la strategia del giocatore riga; allora y 1 ( ) y y 3 = y 4 y 1 = ( ) y 2 y 3 = 0.8y 1 2.4y 2 0.5y 3 y 4 y 4 quindi il minimo si ottiene con y 2 = 1, y 1, y 3, y 4 = 0

19 Strategia ottima (giocatore riga) l esempio mostra come min y x T Ay = min j=1,...,n m i=1 a ijx i in altri termini, fra le risposte più efficaci dell avversario (colonna) ad una qualunque strategia del giocatore riga ce n è sempre una corrispondente ad una mossa singola! di conseguenza, decidere la strategia ottima per il giocatore riga equivale al seguente problema: max min j=1,...,n i=1 m a ij x i s.t. m x i = 1 i=1 x i 0, i = 1,..., m

20 Il giocatore riga risolve un PL! come sappiamo, il precedente problema ammette una riformulazione lineare: max z s.t. m z a ij x i 0, j = 1,..., n i=1 m x i = 1 i=1 x i 0, i = 1,..., m

21 Strategia ottima (giocatore colonna) Analogamente, il giocatore colonna è certo di avere una perdita media per tiro di al più max x xt Ay = max i n a ij y j j=1 quindi la sua stategia ottima y è tale da minimizzare max x x T Ay, con y vettore stocastico

22 Strategia ottima (giocatore colonna) di conseguenza, il problema di decidere la strategia ottima per il giocatore colonna equivale al seguente problema: min max i=1,...,m j=1 n a ij y j s.t. n y j = 1 j=1 y j 0, j = 1,..., n = w min w s.t. n a ij y j 0, i = 1,..., m j=1 y j 0, n y j = 1 j=1 j = 1,..., n il duale del problema del giocatore riga!!

23 Teorema min-max Il teorema di dualità forte implica quindi il seguente risultato: Per ogni matrice A di dimensioni m n esistono un vettore riga stocastico x R m ed un vettore colonna stocastico y R n tali che min y x Ay = max x xay in cui x e y variano fra tutti i possibili vettori stocastici. il valore ottimo v = w = z è detto valore del gioco

24 Fair games Adottando la strategia x il giocatore riga è sicuro di vincere almeno v Euro per tiro in media simmetricamente, adottando la strategia y il giocatore colonna è sicuro di perdere al più v Euro per tiro in media i giochi per cui v = 0 sono detti fair games (la morra è fra questi)