SUI SISTEMI LINEARI. 1. Richiami.Il metodo di Gauss. Un equazione nelle incognite. si dice lineare o di primo grado se si può ridurre. R.

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1 SUI SISTEMI LINEARI. Richiami.Il metodo di Gauss Un equaione nelle incognite..., n si dice lineare o di primo grado se si può ridurre alla forma: a a... an n b con a, a... an, b R. I numeri a, a... an si chiamano coefficienti delle incognite e b si dice termine noto; se b 0 l equaione è detta omogenea; se b 0è detta non omogenea. Un insieme di m equaioni lineari nelle medesime n incognite costituisce un sistema di m equaioni lineari a n incognite non omogeneo se non tutti i termini noti delle equaioni sono uguali a ero; omogeneo se i termini noti di tutte le equaioni sono nulli. Se m n il sistema è detto quadrato, questo caso è il più frequente. Risolvere un sistema di equaioni lineari significa determinarne le soluioni ossia le n-uple di numeri ( α α... ), α n, che sostituite alle incognite, soddisfano le equaioni. Un sistema si dice: indeterminato se ammette infinite soluioni;si dice impossibile se non ammette alcuna soluione.se un sistema non è indeterminato, ossia è determinato, il numero delle sue soluioni non può mai superare il suo grado (che per definiione è il prodotto dei gradi delle equaioni che lo compongono), pertanto, trattandosi di un sistema di primo grado, esso ammette un unica soluione. Un metodo per trovare l unica soluione di un sistema lineare determinato di n equaioni in altrettante incognite è quello di Gauss detto anche di eliminaione. Descriviamo tale procedimento applicandolo al seguente sistema di tre equaioni in tre incognite, ma lo stesso procedimento potrà essere applicato sena sostaniali modifiche al caso () generale.

2 () Passo. Scegliamo una delle equaioni e in essa un incognita con coefficiente non nullo (conviene scegliere l equaione più semplice e nella quale il coefficiente dell incognita non sia troppo piccolo) e procediamo come segue: - scriviamo l equaione prescelta nella prima riga dopo aver isolato l incognita scelta ; - sostituiamo tale valore nelle altre due equaioni che diventano equaioni nelle sole incognite rimanenti. Nell esempio considerato si è scelta la prima equaione e come incognita la Passo. Fermo restando la prima equaione, applichiamo il procedimento prima descritto alle restanti equaioni. _() Tale sistema nasce dalla risoluione del seguente quesito: E possibile attuare una certa dieta che prevede un consumo giornaliero di 0g di grassi, 00g di proteine e 0g di carboidrati usufruendo soltanto degli alimenti A,B e C la cui composiione percentuale (in peso) è indicata nella seguente tabella? Composiione Alimento A Alimento B Alimento C Grassi 0 % % % Proteine 0% 0% 0% Carboidrati 0% % 0% Altri alimenti 0% 60% % Infatti, posto: la quantità in grammi occorrente dell alimento A, la quantità in grammi occorrente dell alimento B e la quantità in grammi occorrente dell alimento C, le condiioni date portano a risolvere il seguente sistema

3 Nel nostro esempio, si è isolata la dalla seconda equaione e sostituita l espressione ottenuta nella tera: Passo. Dall ultima equaione ricaviamo il valore dell incognita 0 /, e lo sostituiamo nell equaione precedente trovando il valore della 0 /. Sostituiamo infine entrambi i valori trovati nella prima equaioni ricavando il valore di 0 / Il sistema quindi ammette come sua unica soluione la terna (0 /; 0 /; 0 /). () Il procedimento descritto non funiona se ad un certo punto qualche incognita scompare da tutte le equaioni nelle quali ci si aspetterebbe di doverla ancora trovare. Si può proseguire ugualmente nel procedimento di eliminaione delle altre incognite, ma alla fine si arriverà ad una uguagliana numerica (priva di incognite) la quale può essere vera o falsa. Esempi: a) ( ) ( ) (7 ) L ultima uguagliana numerica è vera e quindi all incognita scomparsa si può attribuire un valore a piacere e ciò vuol dire che il sistema è indeterminato. Le soluioni sono, al variare di, le terne (,-8, 7-). () Riferendoci al quesito il cui modello matematico è il sistema considerato si ha che è possibile seguire la dieta proposta assumendo 0 / g dell alimento A, 0 / 7 g dell alimento B e 0 / g dell alimento C.

4 b) 7 ( ) 6 6 L ultima uguagliana numerica è falsa, ciò vuol dire che il sistema è impossibile. Nel caso di un sistema di due equaioni in due incognite il metodo di Gauss è quello della sostituione () () In relaione al quesito precedente qualora nella dieta non s'impongono limitaioni sulla quantità dei grassi ed essa dovrà essere ottenuta solamente mediante due dei tre alimenti A, B e C le condiioni imposte portano a dover risolvere sistemi di due equaioni in due incognite. Infatti - nel caso dei soli alimenti A e B si ha il seguente sistema : / ( ) / Esso ammette come unica soluione la coppia( 7 0 / ; 0 / ). Avendo trovato per una delle due incognite un valore negativo, tale soluione non è significativa per il nostro problema pertanto è impossibile seguire la dieta con i soli alimenti A e B. - nel caso dei soli alimenti A e C si ha il seguente sistema (0 ), , 0 0, Esso ammette come unica soluione la coppia (70, 0). E possibile seguire la dieta assumendo 70g dell alimento A e 0g dell alimento C. - nel caso dei soli alimenti B e C si ha il seguente sistema: / / 7 0 / Esso ammette come unica soluione la coppia ( 0 /; 7 0 /) E possibile seguire la dieta assumendo 0 g dell alimento B e 0g dell alimento C:

5 .Esercii proposti Risolvere i seguenti sistemi lineari: a) b) 8 c) 0 d) e) 7 f) 9