LABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

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1 LABORATORIO DI MATEMATICA: COORDINATE POLARI ESTENSIONE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Uno strumento, che ci suggerisce come ampliare le nostre conoscenze, è il radar, strumento fondamentale nella navigazione marittima e aerea. Se osserviamo lo schermo, quando il radar è in funzione, vediamo una semiretta che spazza lo schermo girando in senso antiorario; la presenza di un ostacolo che si trova nella direzione in cui punta la semiretta è segnalata dall accendersi di un puntino luminoso. Si può conoscere facilmente la posizione di un ostacolo A rispetto all osservatore O mediante due numeri che si leggono direttamente sullo schermo : 1) la distanza OA = r; ) l angolo α che ha descritto la semiretta Oa, ha partire dalla posizione Op. Quindi la posizione di un punto A sullo schermo viene individuata da due numeri, r ed α, chiamati raggio e argomento o anomalia: A(r; α). Il punto O prende il nome di polo, la semiretta Op il nome di asse polare, si è così stabilito un riferimento polare. Spesso usando il radar, si incontra il seguente problema: riportare sulla carta geografica la posizione di un ostacolo A rilevato sullo schermo. Bisogna allora individuare il punto A rispetto alle direzioni Nord-Sud ed Est-Ovest, bisogna cioè darne longitudine e latitudine, indicando le distanze OA e AA ; quindi è come se traducessimo le coordinate polari di un punto A in coordinate cartesiane. 1

2 DALLE COORDINATE POLARI ALLE COORDINATE CARTESIANE Fissando un riferimento cartesiano con l asse delle x coincidente con Op ed osservando il triangolo OAA, si può scrivere: x = r cosα y = r sin α Affinchè ci sia corrispondenza biunivoca tra le coordinate polari e quelle cartesiane si suppone che < α DALLE COORDINATE CARTESIANE ALLE COORDINATE POLARI Si conoscono le coordinate cartesiane del punto P=(x,y). Essendo il raggio la lunghezza del segmento OP avremo che r = x + y. Per determinare l ampiezza dell angolo α osserviamo che: - Se x=0 e y>0 allora α = - Se x=0 e y<0 allora α = y - Se x 0 allora = tan α x In realtà nell intervallo y < α ci sono sempre due angoli la cui tangente ha come valore, x perciò a seconda del quadrante in cui si trova il punto P si hanno i seguenti valori dell angolo: - se x>0 α = arctan - se x<0 e y 0 α = arctan + - se x<0 e y<0 α = arctan Esempio 1. Determinare le coordinate polari del punto P=(6,3) 3 P è situato nel primo quadrante, quindi r = = 5 = 3 5 α = arctan 0.6radianti 6 Esempio. Determinare le coordinate polari del punto P=(-,) P è situato nel secondo quadrante, quindi r = = 3 α = arctan + + = radianti

3 DESCRIZIONE DI OGGETTI GEOMETRICI IN COORDINATE POLARI Esercizio 1: determinare l equazione della circonferenza di centro l origine e raggio 3, sia in coordinate cartesiane sia in coordinate polari. In coordinate cartesiane: x + y = 9. In coordinate polari i punti della circonferenza hanno lo stesso valore del modulo uguale a 3, mentre l angolo α può assumere qualsiasi valore. Quindi l equazione della circonferenza è r = 3. Disegnare la circonferenza in coordinate polari utilizzando Derive. Esercizio : Qual è la curva che, in coordinate polari ha equazione corrispondente equazione in coordinate cartesiane? α =? Quale sarebbe la Suggerimento: i punti della curva di equazione α = mantengono lo stesso argomento mentre il modulo varia assumendo valori non negativi via via crescenti Osservazione: in coordinate cartesiane è naturale considerare i due sistemi di rette che formano il quadrettato di base che fa da sfondo al riferimento. Sono le rette di equazioni x = h e y = k 3

4 In coordinate polari è invece naturale considerare altri due sistemi di curve che fanno da sfondo al riferimento; sono le curve di equazione r = h α = k Esercizio 3: Disegnare la curva che ha, in coordinate polari, l equazione di primo grado α Suggerimento: Completa la seguente tabella e riportala nel piano polare. = r Punti r α O 0 0 A / 8 / B 3 / 16 3 / 8 C / / D 3 / 8 3 / E / F 3 / 3 / G Congiungendo i punti con opportuni tratti curvilinei, si osserva che la curva assume la forma di un spirale.

5 Esercizio. Nel monito di un radar,due oggetti sono stati avvistati nelle posizioni A = (10,30 ) e B = (5,60 ), quanto distano i due oggetti tra di loro? Suggerimento: supponiamo che i due punti siano disposti come in figura Considerando il triangolo rettangolo OBQ si ha che BQ=.., AQ= da cui AB= Esercizi: 1) Disegna le seguenti circonferenze r = 6cos( α ) r = cosα. ) Disegna in coordinate polari il grafico delle seguenti funzioni: r = α, α = r, r = 1. α 3) Scrivi le equazioni in coordinate polari di: a) la circonferenza di centro nel polo O e raggio 3; b) la semiretta di origine O che forma un angolo α con l asse polare; c) una retta parallela all asse polare e distante 3 da essa d) una retta perpendicolare all asse polare e distante 3 dal polo. ) Ricordando le relazioni tra coordinate cartesiane e coordinate polari, riscrivi in coordinate polari le relazioni espresse in coordinate cartesiane e viceversa: a) x y = 9 ; b) xy = 5 ; c) x + y x = 0 ; e) r sin α = 1;f) r cosα = 1. 5) Calcola in riferimento polare la distanza tra A e B ( applica il teorema del coseno): A = ( 1, ) B = (3,0) 6) Il un sistema di riferimento polare le seguenti curve scegliendo opportuni valori di α tra 0 e costruendo la tabella dei valori corrispondenti di r e α : r = 1 + sin α ( curva detta cardioide), r = sin(α ) ( quadrifoglio). 5

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