Il modello di cerniera plastica

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1 Il modello di cerniera plastica Quando il comportamento a rottura della sezione di una trave piana dipende dalla sola caratteristica di momento flettente, il dominio limite si riduce ad intervallo della retta reale del tipo [ 1 M l, M ] 2 l, essendo M il momento flettente limite positivo e M il momento flettente limite l 1 l 2 negativo (il pedice l, sta dunque per limite ). In particolare, se la sezione è simmetrica ed il materiale è omogeneo, i due momenti limite coincidono in valore assoluto ed il dominio coincide con l intervallo [ M l, M l ], dove M l = M = M l1 l 2. Ci si propone ora di costruire tale dominio a partire dal valore limite della tensione del materiale in regime uniassiale (approccio deduttivo), ammettendo che quest ultimo sia uguale a trazione ed a compressione ( σ y1 = σ y 2 = σ y ). Si fa riferimento in primo luogo al caso semplice della sezione rettangolare. Un generico diagramma di tensioni staticamente ammissibile per la sezione è rappresentato in Fig. 1. h M x b M y h / 2 y -σ y Stress block y σ y Fig. 1 E facile rendersi conto che il massimo dei momenti flettenti staticamente ammissibili per la sezione, ossia il momento di collasso della sezione (teorema statico), si ottiene considerando il cosiddetto stress block, ossia il diagramma delle tensioni che corrisponde a porre y = 0 in Fig. 1. Un semplice calcolo fornisce allora: M pl A h/2 = σ y dy = 2b σ y y dy = 0 2 bh σ. (6.1) y 4 dove il pedice pl sta per plasticizzazione. Pur operando nell ambito un modello rigido-plastico, risulta utile assumere come valore di riferimento del momento flettente il cosiddetto momento resistente al limite elastico, Pagina 1 di 15

2 corrispondente alla situazione in cui la tensione di snervamento viene raggiunta nella fibra più sollecitata. Quest ultimo si esprime comunemente nella forma: M l = W lim σ y (6.2) essendo W lim il modulo di resistenza elastico a flessione, che per una sezione rettangolare vale: W lim 2 b h =. (6.3) 6 In modo analogo si può porre: M pl = W pl σ y (6.4) dove si è indicato con W pl la proprietà geometrica della sezione nota come modulo di resistenza plastico a flessione e con M pl il momento al limite plastico o Momento Ultimo. Quest ultimo viene talvolta indicato con il simbolo M u. Il rapporto adimensionale: M W Z = M W pl pl = (6.5) lim lim è noto invece con il nome di fattore di forma della sezione. Dalla (6.1) si evince che tale fattore per la sezione rettangolare vale 1.5, il che indica come, in tale sezione, la duttilità del materiale consenta di sopportare un momento del 50% superiore al valore al limite elastico. Il procedimento seguito per sezioni rettangolari, può essere ripetuto per ogni altra sezione. Si può verificare, ad esempio, che il fattore di forma di sezione a I è compreso nell intervallo [1, 1.5]- L estremo superiore (1.5) corrisponde al caso in cui la sezione degeneri in un rettangolo costituito dalla sola anima, mentre l estremo inferiore (1) corrisponde ad una sezione limite, detta putrella ideale, in cui l anima non contribuisce alla resistenza flessionale e le flange sono così sottili da non permettere alcuna distribuzione di sforzo sul loro spessore. Quest ultima sezione è staticamente determinata e non presenta risorse plastiche. I valori dei fattori di forma per diversi tipi di sezione sono riportati in Tab. 1. Pagina 2 di 15

3 Sezione Z Tab. 1 Si osserva che i valori più elevati corrispondono a sezioni raramente utilizzate in flessione. Va, infatti, sottolineato che un alto valore di Z, pur denotando cospicue risorse plastiche, non è affatto indice di una buona risposta globale della sezione a flessione. Fattori di forma elevati sono tipici di sezioni che addensano il materiale attorno all asse neutro o, il cui baricentro non è equidistante dalle fibre estreme. I picchi di sforzo in fase elastica coinvolgono allora solo poche fibre e la maggior parte del materiale risulta scarsamente sollecitata. Tali sezioni possono ridistribuire gli sforzi in misura notevole e presentano un incremento di capacità flessionale percentualmente elevato, che va, però, riferito ad un limite elastico modesto in relazione al materiale impiegato. Tensioni caratteristiche e tensioni di calcolo Nell ambito dell approccio semiprobabilistico agli stati limite compendiato dalla Normativa attualmente vigente in Italia (D.M ), i valori di tensione di snervamento σ y da adottarsi per il calcolo di M pl vanno opportunamente ridotti attraverso un coefficiente γ M, denominato coefficiente parziale di sicurezza, definito dalla Norma stessa in funzione del materiale e della condizione di carico in esame. Per l acciaio da carpenteria, i valori previsti per γ M variano tra 1,05 e 1,25; introducendo la resistenza di calcolo σ d = σ y / γ M (detta talvolta anche resistenza di progetto ; in inglese design strength ), si perviene al seguente valore di calcolo (o di progetto) del momento plastico M pl,d : M pl,d = W pl σ d = W pl σ y /γ M Le norme sopra richiamate indicano di far riferimento a M pl,d, in luogo di M pl, nell'ambito delle verifiche di resistenza agli stati limite delle strutture inflesse. Per questa ragione, si indicherà nel seguito M pl,d semplicemente come momento plastico (o momento ultimo) della sezione. Pagina 3 di 15

4 Esempio di calcolo di M y e M pld per una sezione HEA 240 Per una sezione HEA 240 inflessa intorno all asse x-x, si ha W lim = 675 cm 3 A = 76,8 cm 2 Sia inoltre σ y = 355 N/mm 2 e γ M = 1,05. Essendo la sezione simmetrica si ha: M l1 = M l2 = M l = W lim σ y = 675 cm N/cm 2 = Ncm = 239,6 knm Per una sezione a doppio T, si ha: Wpl = A/2 d dove A è l area della sezione retta della trave e d è il braccio della copia interna ossia la distanza tra il baricentro della porzione tesa (A + ) e quello della porzione compressa (A - ), con riferimento alla distribuzione di tensione uniforme a tratti (stress-block) indicata in fig. 1. I baricentri di (A + ) ed (A - ), così come il fattore di forma Z, non sono sempre disponibili in tabelle e pertanto, in assenza di informazioni di letteratura, andranno calcolati manualmente. In tale situazione, si fa spesso riferimento ad una modellazione geometrica semplificata della sezione, ottenuta da quella esatta trascurando le aree definite dai raccordi circolari tra ala ed anima. Si Pagina 4 di 15

5 faccia in primo luogo riferimento a tale semplificazione, che è alla base dei calcoli riportati nelle figure che seguono. Pagina 5 di 15

6 E utile osservare che i calcoli sopra dettagliati conducono ad un momento plastico di calcolo M pl,d praticamente coincidente con il momento limite elastico M l ( 239 knm). Questo risultato deriva dal basso valore del fattore di forma (Z 1.05), che viene a coincidere in effetti con il fattore di riduzione della resistenza di calcolo rispetto alla tensione di snervamento (γ M = 1.05). Si segnala che il risultato trovato è in relazione con i seguenti due fattori: - la sezione in esame è particolarmente ottimizzata rispetto al comportamento in fase elastica (vedi le considerazioni svolte a pag. 3); - le semplificazioni di calcolo adottate circa la sagomatura dei raccordi (si ricorda che nei calcoli di cui alle figure precedenti sono state trascurate le aree di raccordo semicircolare tra ala ed anima; ciò ha comportato una sottostima dei momenti statici di A + ed A - rispetto all asse baricentrico e, conseguentemente, una sottostima del braccio della coppia interna d) Allo scopo di ridimensionare l incongruenza segnalata (Z γ M ), può risultare opportuno utilizzare la modellazione semplificata della sezione anche per il calcolo di W lim. Si lascia al lettore la cura di verificare che questa assunzione conduce ad un valore più elevato di Z (vedi l esempio che segue). Un calcolo più rigoroso, che tenga conto dell'effettiva curvatura dei raccordi, porterebbe ugualmente ad un valore di Z maggiore di A tal scopo, si faccia riferimento alla tabella che segue, tratta dal catalogo di produzione di una nota acciaieria di livello internazionale, che fornisce i valori esatti di W pl per vari profili HE. Pagina 6 di 15

7 Facendo riferimento alla tabella di cui sopra, per una sezione HE 240 A si ottiene rispetto all asse forte (denominato come asse y-y in tabella): W ely (ovvero W lim ) = 675,1 cm 3 W ply (ovvero W pl ) = 774 cm 3 e dunque W Z = W pl lim = = 1.15 Pertanto, per la sezione HE 240 A, il valore esatto del momento plastico di calcolo risulta pari a: M pl,d = W pl σ d = W pl σ y /γ M = 774 cm N/cm 2 / 1,05 = 288, Ncm 289 knm; Tale valore è dunque sensibilmente superiore a quello ottenuto trascurando i raccordi circolari ala/anima (M pl,d 239 knm). Pagina 7 di 15

8 Esempio di calcolo per una sezione a doppio T generica Si esamina di seguito il caso di una sezione a doppio T generica, le cui caratteristiche geometriche (area, baricentro, momenti di inerzia, moduli di resistenza e fattori di forma) dovranno essere preliminarmente calcolate manualmente, non essendo reperibili in tabelle di letteratura. Pagina 8 di 15

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13 Esempio di calcolo per una sezione romboidale Il modulo di resistenza al limite elastico W lim, vale dunque: W lim = I XG / h = ,7 cm 4 / 20 = 1.333,335 cm 3 Pagina 13 di 15

14 Volendo esplicitare l espressione ed il valore del modulo di resistenza plastico, si ha: W pl = A/2 d = A/2 2/3 h = A/3 h = 400/3 20 = 2.666,67 cm 3 ed il momento plastico di calcolo M pl,d = W pl σ d = W pl σ y /γ M = 2.666,67 cm N/cm 2 / 1,05 = 596, Ncm 596 knm; Pagina 14 di 15

15 conseguentemente il fattore di forma è pari a W = W ,67 cm = 1.333,335cm pl Z 3 lim = 2,00 Si osserva in conclusione che la sezione romboidale in esame possiede un fattore di forma sensibilmente più alto di quelli corrispondenti alle sezioni a doppio T considerate in precedenza (vedi anche la tabella 1). Ciò implica che essa è meglio ottimizzata nei riguardi del comportamento plastico, rispetto alle sezioni a doppio T. Si osserva, tuttavia, che a questo "guadagno" in sede plastica fa fronte una ridotta ottimizzazione della stessa sezione nei confronti del comportamento in fase elastica, sempre per confronto con le sezioni a doppio T, come conseguenza di una più contenuta "centrifugazione" del materiale rispetto al baricentro (vedi le considerazioni svolte a pag. 3). Pagina 15 di 15