L impedenza. RIASSUNTO Richiamo: algebra dei numeri complessi I FASORI Derivate e integrali Esempio: circuito RC. Il concetto di impedenza :

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1 L impedena RASSUNTO Richiamo: algebra dei numeri complessi FASOR Derivae e inegrali Esempio: circuio RC Transiene Soluione saionaria l conceo di impedena : Resisena: Z R R nduana: Z L ω L Capacia : Z C /( ω C Sfasameno mpedene in serie e parallero Poena in a.c. Esempio: la sonda

2 numeri complessi Ricordare: ( α α α α α α α α α e e e a b g b a e b a e b a sin( cos( /

3 Rappresenaione grafica Un numero complesso si può rappresenare come un veore nel piano xy. La componene x del veore è uguale alla pare reale, la componene y a quella immaginaria. n queso modo la lunghea del veore è proporionale al modulo l angolo formao dal veore con l asse x è uguale alla fase. 3

4 Fasori Un fasore è un numero complesso della forma: e l numero è un numero complesso, con modulo e fase L angolo formao con l asse reale è pari a : e quindi aumena linearmene col empo: il veore ruoa in senso aniorario nel piano complesso. La pare reale di è pari a: ω e Se moliplico un fasore per un numero complesso rovo un nuovo fasore, che ruoa con la sessa velocià, sfasao rispeo a di un angolo pari alla fase di. e ω ( cos( ω Re ω ( con ω πf π T 4

5 Derivae e inegrali La derivaa di un fasore è uguale a: d d ω ωe Ovvero: per calcolare la derivaa di un fasore si moliplica per ω, oenendo un nuovo fasore sfasao di π/ rispeo a quello originario. Analogamene si calcola l inegrale come inverso della derivaa: d ω ω Per oenere l inegrale si divide per ω, ovvero si divide per ω e si sfasa di -π/ rispeo a. π / 5

6 Si consideri il circuio in figura: niiamo da un esempio L equaione del circuio è: dq cos( ω R d Sappiamo che la soluione più generale di quesa equaione è daa dalla somma di una soluione paricolare più la soluione dell equaione omogenea. C q 6

7 l ransiene Abbiamo già risolo l equaione omogenea: R dq d q q qe C l paramero q dipende dalle condiioni iniiali. RC Si può noare come la soluione dell equaione omogenea va a ero rapidamene a causa dell andameno esponeniale decrescene: cosiuisce quello che nel linguaggio dell eleronica si chiama ransiene 7

8 La soluione a regime La soluione paricolare può essere quella che si oiene lasciando il sisema in funionameno per molo empo: per queso è dea anche soluione a regime. Per oenerla, si può cercare una soluione oscillane con la sessa pulsaione ω: q( cos( ω cos( ω dq i( ωq d Sosiuendo : Q [ cos( ωcos sin( ωsin] [ sin( ωcos cos( ωsin] RQ ω sin( ωcos RQ ω cos( ωsin Q Q Q cos( ωcos sin( ωsin C C Eguagliando i ermini in seno e coseno, si rova: Q ω ω cos sin an RC RQ C C Q cos Q ω ( ω RQ sin cos RC g C Si noa che: La soluione a regime non dipende dalle condiioni iniiali La mole di coni da effeuare risula noevole anche per un problema semplice. 8

9 Si scriva e q nella forma: Una via alernaiva... ω ω ω ω Re( e Re( e, q( Re( Qe Q Re( e e Q cos( ω ( Sosiuendo nell equaione del circuio si ha: ωrqe Q ω Q e C C ωrc ω e ( ω C ( ωrc ( ωrc ωrc C ( ωrc ( ωrc...ed infine, separando modulo e fase: Q Q C ( ωrc an( m( Q Re( Q ωrc Uiliando i fasori, si esegue un semplice calcolo algebrico. 9

10 mpedena n generale, dao un circuio conenene elemeni lineari, come resisene, condensaori, impedene, se si applica ad esso una ensione sinusoidale di pulsaione ω, la correne che vi scorre ha le segueni proprieà: E anch essa sinusoidale di pulsaione ω. Risula sfasaa rispeo alla ensione di un angolo ϕ che dipende da ω. L ampiea della correne è proporionale all ampiea della ensione e il rapporo dipende da ω. Si definisce impedena del circuio la quanià: Nella rappresenaione complessa: e ω e L impedena è una grandea complessa. ω Z Z l modulo si misura in Ohm e la fase in gradi (o radiani. Z e Z e

11 Resisena Nel caso della resisena, lo sfasameno è ero, e l impedena è un numero reale. R R Z Si possono rappresenare le relaioni di fase in un diagramma: i veori e ruoano rimanendo paralleli, menre il veore Z è fisso. Si raa di una rappresenaione arbiraria, in quano, e Z hanno dimensioni diverse. R

12 nduana Nel caso dell induana ideale, l impedena è immaginaria. d L d ω L Z l modulo di Z cresce linearmene con la frequena, menre lo sfasameno è fisso: la correne è in RTARDO rispeo alla ensione di 9 gradi. ω L

13 Capacià Anche nel caso del condensaore, l impedena è puramene immaginaria: d Q Z C C ωc ωc ωc Savola il modulo di Z decresce con la frequena menre la correne è in ANTCPO sulla ensione di 9 gradi. 3

14 Lo sfasameno Due sinusoidi sfasae presenano il seguene aspeo: n queso esempio, la ensione è in anicipo rispeo alla correne, ovvero la correne è in riardo rispeo alla ensione. Una sinusoide in riardo presena uno sfasameno negaivo. La disana emporale ra le due sinusoidi è legaa allo sfasameno dalla formula: T ω ω π T / T T 4

15 E facile verificare che: Combinaione di impedene mpedene in serie di sommano: Z o Z Z L inverso dell impedena equivalene a due impedene in parallelo è uguale alla somma degli inversi delle singole impedene: Z o Z Tuo queso ovviamene nel caso in cui non esisano effei di accoppiameno ra elemeni del circuio, cosa quasi mai vera quando nel circuio sono preseni due induane vicine. Nel caso delle resisene e dei condensaori quese formule porano ai risulai già noi. Z 5

16 Esempio Nel caso dell induana reale, doaa di una sua resisena, si ha: ω L r Lo sfasameno cresce con la frequena. La frequena criica è daa da: Z Per f<f c prevale il comporameno resisivo per f>f c prevale il comporameno induivo. Nel nosro caso, f c è di circa 4 H. ωl Z ( ωl r r ( r ωl πfl f an( ϕ r r f C l modulo dell impedena non si aera mai, ma ha un valore minimo. f c r πl 6

17 Somma di ensioni Torniamo al circuio proposo all iniio: La correne è la sessa nella resisena e nel condensaore. La ensione ai capi della resisena è in fase con la correne. La ensione ai capi del condensaore è un quaro di periodo in riardo rispeo alla correne e quindi anche rispeo alla ensione ai capi della resisena. La ensione di alimenaione sarà la somma veoriale di R e C Deve valere la relaione: R C 7

18 Un alro circuio è il seguene: Somma di correni Savola le ensioni ai capi della resisena R e c ai capi del del condensaore sono uguali. La ensione e la correne in R hanno la sessa fase. La correne in C è un quaro di periodo in anicipo rispeo alla ensione. La correne è la somma veoriale di e. Si ha: 8

19 9 Poena in a.c. La poena dissipaa da un elemeno di circuio, ai capi del quale cade una ddp ( ed e araversao da una correne ( risula: La poena media dissipaa risula: Come si vede il condensaore e l induana NON dissipano in media poena (fasori sono orogonali. Per la resisena <P> T ½ ( e moduli dei fasori Dao un circuio in alernaa, lo sfasameno - ra correne e ensione ai capi di un suo elemeno NON ATTO deve essere sempre compreso ra [-9 o,9 o ] ( ( ( P P d T d T P T T T T ] Re[ ] Re[ cos( ( ] cos( [cos( cos( cos( cos( cos( ( ( ( * * > < > < ω ω ω ω ω prodoo scalare

20 Schema circuio: R s La sonda dell oscillosopio Cavo Oscilloscopio o in C ad coassiale C cavo l cavo: una capacia connessa a massa in // con C o : C o R o alori ipici: C o pf R o MΩ C cavo 3 pf Z Z R s R o ωc ωc Z ad eq Z Z Rs ωr C s Ro ωr C o ad eq o C C C eq A Z Z Z o in cavo in Z Ro ωroc Rs ωr C s o ad eq Se scegliamo: R s 9 R o C ad /9 C eq Ro ωr C o eq. 9 Abbiamo realiao un pariore x (indip. da ω ed aumenao di una faore l impedena di ingresso dello srumeno di misura.